Đề kiểm tra Ứng dụng hình học của tích phân (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Cho hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) liên tục trên \(\left[ {a\,;\,b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) bằng
\(\left| {\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]{\rm{d}}x} } \right|\).
\(\int\limits_a^b {\left| {f(x) + g(x)} \right|{\rm{d}}x} \).
\(\int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|{\rm{d}}x} \).
\(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]{\rm{d}}x} \).
Gọi \(S\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2x\), \(y = 0\),\(x = 0\),\(x = 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(S = \int\limits_0^2 {2x} dx\).
\[S = \pi \int\limits_0^2 {{x^2}} dx\].
\[S = \pi \int\limits_0^2 {2x} dx\].
\(S = - \int\limits_0^2 x dx\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,\,x = 2\) bằng
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{3}{2}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{7}{3}\).
Tính diện tích \(S\) hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 2,\,x = 0,\,x = 2\) và trục hoành.
\(S = \frac{{20}}{3}\).
\(S = \frac{{16}}{3}\).
\(S = \frac{{13}}{6}\).
\(S = \frac{{13}}{3}\).
Gọi \(S\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {2024^x}\), trục \[Ox\], trục \[Oy\], \(x = 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(S = \pi \int\limits_0^2 {{{2024}^x}{\rm{d}}x} \).
\(S = \int\limits_0^2 {{{2024}^x}{\rm{d}}x} \).
\(S = \pi \int\limits_0^2 {{{2024}^{2x}}{\rm{d}}x} \).
\(S = \int\limits_0^2 {{{2024}^{2x}}{\rm{d}}x} \).
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
\(\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right){\rm{d}}x} \).
\(\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2{x^2} + 2x - 4} \right){\rm{d}}x} \).
\(\int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right){\rm{d}}x} \).
\(\int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} - 2x + 4} \right){\rm{d}}x} \).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = x\ln x\), trục hoành và đường thẳng \(x = e\) là
\(\frac{{{e^2} - 1}}{2}\).
\(\frac{{{e^2} + 1}}{2}\).
\(\frac{{{e^2} + 1}}{4}\).
\(\frac{{{e^2} - 1}}{4}\).
Diện tích phần tô đậm của hình vẽ dưới đây là
\[\frac{3}{4}\].
\[1\].
\[\frac{\pi }{2}\].
\[\frac{4}{3}\].
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = - {x^2} + 1\), \(y = 0\), \(x = - 2\), \(x = 3\). Gọi \(V\) là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(V = \pi \int\limits_{ - 2}^3 {\left( { - {x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} \).
\(V = \int\limits_{ - 2}^3 {{{\left( { - {x^2} + 1} \right)}^2}{\rm{d}}x} \).
\(V = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {\left( { - {x^2} + 1} \right)} \right|{\rm{d}}x} \).
\(V = \pi \int\limits_{ - 2}^3 {{{\left( { - {x^2} + 1} \right)}^2}{\rm{d}}x} \).
Cho khối tròn xoay như hình vẽ
Thể tích của khối tròn xoay đó là
\(\pi \).
\(\frac{{3\pi }}{4}\).
\(2\pi \).
\(\frac{\pi }{2}\).
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \cos \frac{x}{2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;x = \pi \). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục \(Ox\)là
\(\frac{{{\pi ^2}}}{2}\).
\({\pi ^2} - \pi \).
\({\pi ^2} - 1\).
\(2\pi \).
Cho hình phẳng \(\left( S \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {2 - {x^3}} \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1\) và \(x = 1\). Thể tích của khối tròn xoay khi quay \(\left( S \right)\) quanh \(Ox\)là
\(\frac{{58}}{7}\pi \).
\(4\pi \).
\(\frac{{20}}{7}\pi \).
\(\frac{{27}}{6}\pi \).
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \[\left[ {a;b} \right].\] Diện tích hình phẳng \(S\) giới hạn bởi đường cong \(y = f\left( x \right),\) trục hoành và các đường \(x = a,\) \(x = b\) \(\left( {a < b} \right)\) được xác định bởi công thức \(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
Gọi \(S\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {2^x},\) \(y = 0\) và các đường \(x = 0,\) \(x = 2.\) Khi đó ta có\(S = \int\limits_0^2 {{2^x}{\rm{d}}x} .\)
Diện tích hình phẳng \[S\] giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = {x^3} - x,\] \[y = 2x\] và các đường \[x = - 1,\] \[x = 1\] được xác định bởi công thức \[S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right){\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right){\rm{d}}x} } .\]
Biết rằng đường parabol \[\left( P \right):{y^2} = 2x\] chia đường tròn \[\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 8\] thành hai phần lần lượt có diện tích là \[{S_1},\] \[{S_2}\] (hình bên). Khi đó \[{S_2} - {S_1} = a\pi - \frac{b}{c}\] với \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] nguyên dương và \[\frac{b}{c}\] là phân số tối giản. Tổng \[a + b + c\] bằng \[15.\]
Cho đường \[y = {x^2}\] có đồ thị là \[\left( P \right)\], \[y = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}\] có đồ thị là \(\left( d \right)\)và trục hoành.
Gọi \({S_1}\) là diện tích giới hạn bởi \(\left( P \right)\),trục hoành và đường thẳng \(x = 1\)
Gọi \({S_2}\) là diện tích giới hạn bởi \(\left( d \right)\),trục tung, trục hoành và đường thẳng \(x = 4\)
Gọi \(S\) là diện tích giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(\left( d \right)\) và trục hoành.
![Cho đường \[y = {x^2}\] có đồ thị là (P), y = -1/3 x +4/ 3 có đồ thị là (d) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid17-1769939625.png)
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\({S_1} = \frac{1}{3}\)
\({S_2} = \frac{3}{2}\)
\(S = {S_1} + {S_2}\)
\[S = \frac{{11}}{6}\]
Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = 2{e^x}\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4.\)
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) là \(S = \pi \int\limits_0^4 {xdx.} \)
Gọi \[V\] là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2{e^x}\), trục hoành và hai đường thẳng\(x = 0,x = 4\) khi quay quanh trục \(Ox.\) Khi đó, \(V = 2\pi \left( {{e^8} - 1} \right)\)
Diện tích của hình H là \({S_H} = 2{e^4} - \frac{{16}}{3}\).
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hình H khi quay quanh trục Ox là \(2\pi \left( {{e^8} - 5} \right)\)
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành \(Ox\)và hai đường thẳng \(x = 0,\,x = 4\). Các khẳng định sau là đúng hay sai?
Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác \(MOH\)quanh trục \(Ox\). Biết rằng \(V = 2{V_1}\). Khi đó \(a = 3\).
Công thức tính diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \(\int_0^4 {\sqrt x dx} \).
Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \(\frac{{19}}{6}\).
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), \(x = 0,\,x = 4\) và trục hoành \(Ox\) là \(8\pi \).
Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quanh hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x \), \(x = 0,\,x = 4\) và trục \(Ox\). Đường thẳng \(x = a\left( {0 < a < 4} \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \)tại \(M\).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( P \right):y = {x^2} - 1\) và hai tiếp tuyến của \(\left( P \right)\)tại \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( {2;3} \right)\). ( làm tròn đến hàng phần trăm)
Gọi \(S\) là diện tích mặt phẳng giới hạn bởi parabol \(y = {x^2} + 2x - 3\) và đường thẳng \(y = kx + 1\) với \(k\) là tham số thực. Tìm \(k\) để \(S\) nhỏ nhất.
2
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{10}}{3}x - {x^2}\) và \(y = \left\{ \begin{array}{l} - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \le 1\\x - 2\,\,\,\,\,khi\,\,x > 1\,\,\end{array} \right.\)
\frac{{13}}{2}.} \)
Cho hình phẳng \[\left( H \right)\] giới hạn bởi các đường \[y = \left| {{x^2} - 1} \right|\] và \[y = k\], với \[0 < k < 1\]. Tìm \[k\] để diện tích hình phẳng \[\left( H \right)\] gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên. Khi đó \[k = \sqrt[m]{n} - p\] thì giá trị của \[m + n + p\] bằng bao nhiêu?
8
Một khối cầu có bán kính là \(5\left( {{\rm{dm}}} \right)\), người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng \(3\left( {{\rm{dm}}} \right)\) để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được ( quy tròn đến hàng đơn vị của decimét khối).
\(415{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\).
Biết \(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 4 \right) - G\left( 0 \right) + 2m\), với \(m > 0\). Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = F\left( x \right)\), \(y = G\left( x \right)\); \(x = 0\) và \(x = 4\). Khi \(S = 8\) thì \(m\) bằng?
\(m = 1\)
Gợi ý cho bạn
Xem tất cả
Ngân hàng đề thi