Đề kiểm tra Ứng dụng hình học của tích phân (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng:
\[\int_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx} \].
\[\int_{ - 1}^2 {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right)dx} \].
\[\int_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} - 2x + 4} \right)dx} \].
\[\int_{ - 1}^2 {\left( {2{x^2} + 2x - 4} \right)dx} \].
Viết công thức tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\), xung quanh trục \(Ox\).
\(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx\).
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx\).
\(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx\).
\(V = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ {a\,;b} \right]\] có đồ thị như hình vẽ. Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right),\;y = 0,\;x = a,\;x = b\] quanh trục \[{\rm{Ox}}\] được tính theo công thức nào sau đây:
![Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [ a; b ] có đồ thị như hình vẽ. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid2-1769935394.png)
\[S = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} .\]
\[S = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} .\]
\[S = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .\]
\[S = \int\limits_a^b {{\pi ^2}{f^2}\left( x \right)dx} .\]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {e^x},\] trục hoành và hai đường thẳng \[x = 0\] và \[x = 3.\]
\({e^3}.\)
\({e^3} - 1.\)
\({e^2} - 1.\)
\(e\left( {{e^2} - 1} \right).\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\); \(y = x\) và hai đường thẳng \(x = 2;x = 3\) bằng\(a\ln 2 +
b\). Giá trị của \(a + b\) bằng
\[2.\]
\[1.\]
\[ - 1.\]
\[3.\]
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\) bằng
\(8\).
\(12\).
\(10\).
\(9\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}},\)\(y = x - 1\) và hai đường thẳng \(x = 2,\)\(x = 4\) là
\[\ln 3\]
\[\ln 5\]
\[\ln 2\]
\[\ln 7\]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số\[y = {x^3} + 11x - 6,\]\[y = 6{x^2}\] và hai đường thẳng \[x = 0,{\rm{ }}x = 2\] là
\[\frac{4}{3}\]
\[\frac{5}{2}\]
\[\frac{8}{3}\]
\[\frac{{18}}{{23}}\]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {2^x}\), \(y = - x + 6\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) bằng
\[10 + \frac{3}{{\ln 2}}\].
\[10 - \frac{3}{{\ln 2}}\].
\[10 - \frac{4}{{\ln 2}}\].
\[10 + \frac{4}{{\ln 2}}\].
Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ \[x\], \[\left( { - \sqrt 3 \le x \le \sqrt 3 } \right)\], mặt cắt
là hình vuông có độ dài các cạnh là \[\sqrt {3 - {x^2}} \,\]. Thể tích của vật thể đã cho bằng
\(\sqrt 3 \).
\(4\sqrt 3 \).
\(4\pi \sqrt 3 \).
\(\pi \sqrt 3 \).
Cho hình phẳng \[D\] giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {5 - x} ,x \le 5\), trục tung, trục hoành. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi
quay \(D\)quanh trục \(Ox\)là
\(\frac{{25\pi }}{2}\).
\(\frac{{25}}{2}\).
\(25\pi \).
\(\frac{{25}}{4}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình phẳng \(D\) là hình thang \(OABC\) có \(A\left( {0;2} \right),B\left( {3;3} \right),C\left( {3;0}
\right)\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang \(OABC\)quanh trục \[Ox\]bằng
\(19\).
\(19\pi \).
\(\frac{{15\pi }}{2}\).
\(\frac{{15}}{2}\).
Cho hàm số \(y = {e^x}\).
Diện tích hình học phẳng được giới hạn bới hàm số đã cho, trục hoành, \(x = - 1\)và \(x = 1\) là \(\frac{{{e^2} - 1}}{e}\).
Với \(a = \ln 4\) thì diện tích hình học phẳng được giới hạn bới hàm số đã cho, các trục tọa độ và đường thẳng \(x = a\) bằng \(3\).
Cho hình phẳng \[D\] giới hạn bởi đường cong \[y = {e^x},\] trục hoành và các đường thẳng \[x = 0,\]\[x = 1.\] Khối tròn xoay tạo thành khi quay \[D\] quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng \[V = 2\pi \left( {{e^2} - 1} \right)\].
Gọi \(d\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\)đã cho tại điểm \({x_0} = 0\). Diện tích hình học phẳng được giới hạn bởi đường thẳng \(d\), trục hoành , \(x = - 1\) và \(x = 1\) là \(2\).
Cho đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} - 3x + 4\,\left( C \right)\)và đường thẳng \(d:y = 2x - 2\). Các khẳng định sau là đúng hay sai?
Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại ba điểm \(A\left( { - 2; - 6} \right),\,B\left( {1;0} \right),\,C\left( {3;4} \right)\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = - 1;\,x = 2\)bằng \(\frac{{21}}{4}\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) bằng \(\frac{{253}}{{12}}\).
Biết đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) thành hai miền \({S_1}\) và \({S_2}\). Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{63}}{{16}}\)
Cho hàm số \(y = \sqrt {x + 2} \,\,\,(x \ge - 2)\) và đường thẳng \(y = x\).
Diện tích hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 2} \,\,\,(x \ge - 2)\) , trục tung, trục hoành và đường thẳng \(x = 2\) là \({S_D} = \frac{{16}}{3} - \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\,\)(đvdt).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 2} \)và đường thẳng \(y = x\), hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \(S = \frac{{10}}{3} - \frac{{2\sqrt 2 }}{9}\) (đvdt).
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = x\), trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\) quanh trục \[Ox\] là \(5\pi \) (đvtt).
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) quanh trục \[Ox\] là \(6\pi \)(đvtt).
Cho đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(d:y = 2\).
Diện tích hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), trục tung, trục hoành là \(\frac{3}{2} - 2\ln 2.\)
Diện tích hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), đường thẳng \(d\), \(x = 1\,,\,\,x = 2\) là \(\frac{5}{2} + 2\ln \frac{3}{2}\).
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) quanh trục \(Ox\) là \[\left( {\frac{{20}}{3} - 12\ln 2} \right)\pi \].
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(H\) quanh trục \(Ox\) là \[\left( {12\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\pi .\]
Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ là \(x\) \(\left( {0 \le x \le 3} \right)\), ta được mặt cắt là một hình vuông có cạnh là \(\sqrt {9 - {x^2}} \) (xem hình dưới). Tính thể tích của vật thể đã cho.
18
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng \(A\) và \(B\) lần lượt là \({S_A} = 4\) và \({S_B} = 10\). Tính giá trị của \(f\left( 3 \right)\), biết giá trị của \(f\left( 0 \right) = 2\).
- 4
Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy \(x\)(cm)(\(0 \le x \le 16\)) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính (10+\(\sqrt x \))(cm). Tìm \(x\)(đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu?
8,94
Một chiếc lều mái vòm có hình dạng như hình bên. Nếu cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng \(x\) (mét) (\(0 \le x \le 3\)) thì được hình chữ nhật có các kích thước lần lượt là \(x\) và \(\sqrt {9 - {x^2}} \). Tính thể tích cái lều (đơn vị m3).
9
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol\(\left( {\rm{P}} \right):y = - {x^2} + 9\) . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi \(\left( {\rm{P}} \right)\), trục Ox và hai đường thẳng x = - 2 , x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.
\({\rm{V}} = \frac{{1204}}{5}\pi \)
Một cái lu đựng nước có dạng hình trụ như hình vẽ. Biết rằng khi lượng nước trong lu là x (dm) \(\left( {0 < x \le 9} \right)\)thì mặt nước lf hình tròn có bán kính là \(x\left( {dm} \right)\). Hãy tính dung tích của cái lu nước trên
\(V = 243{\pi ^2}\)(dm3)
Gợi ý cho bạn
Xem tất cả
Ngân hàng đề thi