Đề kiểm tra Toán 12 Kết nối tri thức Chương 1 có đáp án - Đề 1
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( {0;1} \right)\).
Chọn B
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\).
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 5}}{{x + 1}}\) là:
\(y = 2\).
\(y = 3\).
\(y = - 1\).
\(x = 1\).
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2 \Rightarrow y = 2\)là tiệm cận ngang
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Hàm số có giá trị cực tiểu bằng \( - 1\).
Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 1\).
Hàm số có đúng một cực trị.
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên, nhận thấy đạo hàm \(y'\) của hàm số chỉ đổi dấu một lần khi \(x\) đi qua \({x_0} = 1\) nên hàm số chỉ có một cực trị duy nhất, do đó phương án D sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau:
Số nghiệm phương trình \(2f\left( x \right) - 5 = 0\) là:
\(2\).
\(1\).
\(3\).
\(0\).
Chọn B
Ta có: \[2f\left( x \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{5}{2}\].
Từ bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) suy ra số nghiệm phương trình \(2f\left( x \right) - 5 = 0\) là \(1\).
Đường cong dưới là đồ thị của hàm số nào trong các đáp án A, B, C, D?
\(y = - {x^3} + 12x + 2\).
\(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).
\(y = {x^3} - 3x - 2\).
\(y = {x^3} - 12x + 2\).
Chọn D
Đồ thị đã cho là đồ thị hàm bậc 3 có hệ số \(a > 0\)
(do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right) = + \infty \) nếu \(a > 0\) ). Loại A, B.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên chọn D.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau.
Giá trị lớn nhất của \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;5} \right]\) bằng
\(2\).
\(4\).
\(3\).
\(1\).
Chọn C
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;5} \right]\) bằng \(3\).
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)và hàm số \(y = f'\left( x \right)\)là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.
a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
b) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.
c) \(f'\left( 2 \right) = 4\).
d) Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{2}{x^2} + x + 2024\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).
a) Sai. Vì từ đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right) \ge 0\) với \(\forall x \ge 1\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
b) Sai. Vì từ đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)\) chỉ đổi dấu một lần qua \(x = 1\) nên hàm số có một điểm cực trị.
c) Sai. Từ đồ thị ta có hàm số \(f'\left( x \right)\) có dạng: \(f'\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\).
Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) đi qua \(\left( {0; - 4} \right)\) nên: \( - 4 = a{\left( {0 + 2} \right)^2}\left( {0 - 1} \right) \Leftrightarrow a = 1\).
Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right) \Rightarrow f'\left( 2 \right) = {\left( {2 + 2} \right)^2}\left( {2 - 1} \right) = 16\).
d) Đúng. Ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1\).
Vẽ đường thẳng \(y = x - 1\) trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\).
Khi đó: \(f'\left( x \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\).
Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) nên \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).
Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao \[250\]km so với bề mặt của Mặt Trăng. Trong khoảng \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao \(h\) của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm \(h\left( t \right) = - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250\) trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây và \(h\) là độ cao tính bằng kilomet.
a) Trong \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao lớn nhất mà con tàu đạt được là \(250\)(km).
b) Trong \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao thấp nhất mà con tàu đạt được tại thời điểm \(t \approx 25\)(s).
c) Trong \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, vận tốc của con tàu lớn nhất mà con tàu đạt được là \(10,33\,\)(km/s).
d) Trong \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao con tàu đạt được khi vận tốc của con tàu lớn nhất là \(139,37\,\)(km).
a) Đúng.
\(h\left( t \right) = - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250 \Rightarrow h'\left( t \right) = - 0,03{t^2} + 2,2t - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 55 \notin \left( {0;50} \right)\\t = 18 \in \left( {0;50} \right)\end{array} \right.\)
b) Sai. Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy trong \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao thấp nhất mà con tàu đạt được tại thời điểm \(t \approx 18\left( s \right)\).
c) Đúng. \(h\left( t \right) = - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250 \Rightarrow v\left( t \right) = h'\left( t \right) = - 0,03{t^2} + 2,2t - 30\)
\( \Rightarrow a\left( t \right) = v'\left( t \right) = - 0,06t + 2,2 = 0 \Leftrightarrow t \approx 37\)
Vận tốc của con tàu lớn nhất mà con tàu đạt được là \(10,33\,\left( {km/s} \right)\).
d) Sai. \(h\left( t \right) = - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250 \Rightarrow v\left( t \right) = h'\left( t \right) = - 0,03{t^2} + 2,2t - 30\)
\( \Rightarrow a\left( t \right) = v'\left( t \right) = - 0,06t + 2,2 = 0 \Leftrightarrow t \approx 37\)
Khi đó: \({v_{{\rm{max}}}} = 10,33 \Leftrightarrow t \approx 37;\,\,\,\,h\left( {37} \right) = 139,37\)km.
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S\left( t \right) = 6{t^2} - {t^3}\). Vận tốc \(v\)(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm \(t\)(s) bằng bao nhiêu giây?
Ta có \(v = S'\left( t \right) = 12t - 3{t^2}\) suy ra \(v'\left( t \right) = 12 - 6t\) nên \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
Bảng biến thiên:
Do vậy \({v_{\max }} = 12\,\left( {m/s} \right)\) tại \(t = 2\,\left( s \right)\).
Đáp án: 2.
Ông Nam cần xây dựng một bể nước mưa có thể tích \(V = 8\left( {{m^3}} \right)\) dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp \(\frac{4}{3}\) lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi phí trung bình là 980.000đ/m2 và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng \(\frac{2}{9}\) diện tích nắp bể. Tính chi phí thấp nhất mà ông Nam phải chi trả (làm tròn đến hàng triệu đồng).
Gọi chiều rộng của bể là \(3x{\rm{ }}\left( m \right)\). Ta có chiều dài bể là \(4x{\rm{ }}(m)\) và chiều cao của bể là \(\frac{2}{{3{x^2}}}{\rm{ }}\left( m \right)\)
Khi đó tổng diện tích bề mặt xây là:
\(T = \left( {3x + 4x} \right).2.\frac{2}{{3{x^2}}} + 2.3x.4x - \frac{2}{9}.3x.4x = \frac{{28}}{{3{x^2}}} + \frac{{64{x^2}}}{3} \ge 2.\sqrt {\frac{{28}}{{3{x^2}}}.\frac{{64{x^2}}}{3}} = \frac{{32\sqrt 7 }}{3}{\rm{ }}\left( {{m^2}} \right)\).
Chi phí \(C\) (tính theo đồng) xây dựng là: \(C = T.980000 \ge \frac{{32\sqrt 7 }}{3}.980000 \approx 27657000\) (đồng).
Vậy chi phí thấp nhất mà ông Nam phải chi trả là \(28\) triệu đồng.
Đáp án: 28.
Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) vượt khoảng cách \[300km\]để tới nơi sinh sản. Vận tốc dòng nước là \[6km/h\]. Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là \[v{\rm{ }}km/h\] thì năng lượng tiêu hao của cả trong \(t\) giờ cho bởi công thức \(E\left( v \right) = c{v^3}t\) trong đó \(c\) là hàng số cho trước. \(E\) tính hằng Jun. Tình vận tốc bơi của cả khi nước đứng yên, để năng lượng của cả tiêu hao ít nhất?
Theo đề bài, vận tốc của cá khi bơi trên sông là \(v - 6\), khi đó thời gian để cá bơi đến nơi sinh sản là \(t = \frac{{300}}{{v - 6}}\).
Khi đó, \(E\left( v \right) = c{v^3}\frac{{300}}{{v - 6}}\) với \(v > 6\). Đặt \(x = v - 6\).
Bài năng lượng tiêu hao của cá được tính bởi hàm số:
\[f\left( x \right) = 300c\frac{{{{\left( {x + 6} \right)}^3}}}{x} = 300c\left( {{x^2} + 18x + 108 + \frac{{216}}{x}} \right)\] với \(x > 0\).
Ta có: \[f'\left( x \right) = 300c\left( {2x + 18 - \frac{{216}}{{{x^2}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + 18{x^2} - 216 = 0 \Rightarrow x = 3\].
Bảng biến thiên:
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\) hay khi vận tốc của cá khi nước đứng yên là \(v = 9km/h\) thì cá ít tốn năng lượng nhất.
Đáp án: 9
