Đề kiểm tra Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 2 có đáp án - Đề 1
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1\,;\, - 1\,;\,2} \right)\)và \(B\left( {2\,;\,1\,;\, - 4} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ là
\(\left( {3\,;\,0\,;\, - 2} \right)\).
\(\left( { - 1\,;\, - 2\,;\,6} \right)\).
\(\left( {1\,;\,0\,;\, - 6} \right)\).
\(\left( {1\,;\,2\,;\, - 6} \right)\).
Chọn D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1\,;\,1 - \left( { - 1} \right)\,;\, - 4 - 2} \right) = \left( {1\,;\,2\,;\, - 6} \right)\).
\[\overrightarrow {AC'} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
\[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \].
\[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
\[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
Chọn C
Ta có \[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 12\).
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = 40\].
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 6\].
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = 6\sqrt 3 \].
Chọn C
Ta có \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 2.6.\cos 120^\circ = 2.6.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 6\].
\(H\left( { - 1; - 2;3} \right)\).
\(H\left( {0;0;3} \right)\).
\(H\left( {1;0;0} \right)\).
\(H\left( {1;2;0} \right)\).
Chọn D
Toạ độ điểm \(H\) là \(H\left( {1;2;0} \right)\).
\[\left( {2;\, - 3;\,1} \right)\].
\(\left( {1;\, - 3;\,2} \right)\).
\[\left( {2;\,1;\, - 3} \right)\].
\[\left( {1;\,2;\, - 3} \right)\].
Chọn A
Ta có: \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k - 3\overrightarrow j = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 1.\overrightarrow k \)\( \Rightarrow \overrightarrow a = \left( {2; - 3;1} \right)\).
\(\left( {3\,;\,4\,;\,0} \right)\).
\(\left( {1\,;\, - 2\,;\, - 2} \right)\).
\(\left( {4\,;\,7\,;\,1} \right)\).
\(\left( {5\,;\,5\,;\, - 1} \right)\).
Chọn C
Ta có \(\overrightarrow u + 2\overrightarrow v = \left( {4\,;\,7\,;\,1} \right)\).
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 100 m sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 600 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\]có gốc \(O\) trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] trùng với mặt đất sao cho trục \[Ox\] hướng về phía tây, trục \(Oy\) hướng về phía nam, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình dưới) (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét).
Một máy bay tại vị trí \(F\) cách mặt đất \(12{\rm{ km}}\), cách \(400{\rm{ km}}\) về phía tây và \(300{\rm{ km}}\) về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. Từ vị trí \(F\), máy bay bay với tốc độ \(900{\rm{ km/h}}\), theo hướng của vectơ \(\vec a = \left( {3;4;0} \right)\) sau một giờ đến vị trí \(A\).
a) Tọa độ của ra đa đặt trên tháp \((0;0;0,1)\).
b) Vị trí \(F\) nằm trong phạm vi kiểm soát của ra đa.
c) Vị trí \(A\) có tọa độ \(A(940;420;0)\).
d) Trong khoảng thời gian một giờ máy bay bay từ vị trí \(F\) đến vị trí \(A\), máy bay có không quá 21 phút bay trong phạm vi theo dõi của của ra đa.
a) Đúng. Ra đa đặt trên đỉnh tháp, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên phía trên, suy ra tọa độ của đỉnh tháp \(E(0;0;0,1)\).
b) Đúng. Tọa độ điểm \(F\left( {400; - 300;12} \right)\).
\[\overrightarrow {EF} = \left( {400; - 300;11,9} \right) \Rightarrow EF \approx 500 < 600\,{\rm{km}}\]. Vậy \(F\)nằm trong phạm vi điều khiển của ra đa.
c) Sai. Từ \(F\), máy bay bay 1 giờ đến \(A\) với vận tốc \(90\,\,{\rm{km/h}}\) theo phương \(\vec a = (3;4;0)\).
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AF} = k\overrightarrow a \\\left| {\overrightarrow {AF} } \right| = 900\end{array} \right. \Rightarrow k\left| {\overrightarrow a } \right| = 900 \Rightarrow k = \frac{{900}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 180.\]
Suy ra \(\overrightarrow {AF} = \left( {540;720;0} \right) \Rightarrow A\left( {940;420;12} \right).\)
d) Sai. Gọi \(K\left( {x,y,z} \right)\) là điểm máy bay đạt đến phạm vi quan sát của ra đa, suy ra \(EK = 600;\)\[EF \approx 500\].
Khi đó \(\overrightarrow {FK} = k\overrightarrow a \left( {k > 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 400 = 3k\\y + 300 = 4k\\z - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400 + 3k\\y = - 300 + 4k\\z = 12\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {400 + 3k; - 300 + 4k;12} \right)\)
Suy ra \(\overrightarrow {EK} = \left( {400 + 3k; - 300 + 4k;11,9} \right)\), mà \(EK = 600.\)
Suy ra \({\left( {400 + 3k} \right)^2} + {\left( { - 300 + 4k} \right)^2} + 11,{9^2} = {600^2} \Leftrightarrow 25{k^2} = 109858,39 \Leftrightarrow k \approx 66.\)
Khi đó \(K\left( {598; - 36;12} \right) \Rightarrow \overrightarrow {FK} = \left( {198;264;0} \right) \Rightarrow FK = 330\).
Thời gian máy bay trong phạm vi theo dõi của ra đa \(t = \frac{{330.60}}{{900}} = 22\) phút.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng \(1\), có tâm \(O\). Gọi \(I\) là tâm của hình vuông A'B'C'D và \(M\) là điểm thuộc đoạn \(OI\) sao cho \(MO = \frac{1}{2}MI\). Gắn hệ trục tọa độ A'xyz như hình vẽ.
a) Toạ độ điểm \(M\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{4}} \right)\).
b) Toạ độ các điểm \(A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\) và \(A\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\).
c) Trong không gian giả sử điểm \(P,Q\) sao cho \(\overrightarrow {A'P} = \overrightarrow {A'B'} + 2\overrightarrow {A'D'} - 2\overrightarrow {A'A} \); \(\overrightarrow {A'Q} = \frac{8}{3}\overrightarrow {A'B'} + \frac{4}{3}\overrightarrow {A'D'} + \frac{8}{3}\overrightarrow {A'A} \) và \(J\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(A'PQ\), khi đó \(a - b + c = 0\).
d) Trong không gian có đúng 2 điểm \(N\) sao cho \(N\) không trùng với các điểm \(A\), \(B'\), \(D'\) và \[\widehat {ANB'} = \widehat {B'ND'} = \widehat {D'NA} = 90^\circ \].
a) Sai. Ta có: \(A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\). Suy ra: \(I\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,0} \right)\).
Mặt khác ta có \(O\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OI} \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {0\,;\,0\,;\, - \frac{1}{6}} \right)\). Vậy \(M\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{3}} \right)\).
b) Đúng. Toạ độ các điểm \(A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\) và \(A\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\).
c) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {A'P} = \overrightarrow {A'B'} + 2\overrightarrow {A'D'} - 2\overrightarrow {A'A} \Rightarrow P\left( {1\,;\,2\,;\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow {A'Q} = \frac{8}{3}\overrightarrow {A'B'} + \frac{4}{3}\overrightarrow {A'D'} + \frac{8}{3}\overrightarrow {A'A} \Rightarrow Q\left( {\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)\).
Suy ra: \(A'P = 3\,,\,A'Q = 4,PQ = 5\).
\(J\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(A'PQ\). Suy ra \(PQ.\overrightarrow {JA'} + A'P.\overrightarrow {JQ} + A'Q.\overrightarrow {JP} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 5\overrightarrow {JA'} + 3\overrightarrow {JQ} + 4\overrightarrow {JP} = \overrightarrow 0 \Rightarrow J\left( {1;1;0} \right)\).
Vậy \(a - b + c = 1 - 1 + 0 = 0\).
d) Đúng. Giả sử: \(N\left( {a;b;c} \right)\).
Ta có \[\widehat {ANB'} = \widehat {B'ND'} = \widehat {D'NA} = 90^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {B'N} = 0\\\overrightarrow {D'N} .\overrightarrow {B'N} = 0\\\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {D'N} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\left( {a - 1} \right) + {b^2} + c\left( {c - 1} \right) = 0\\a\left( {a - 1} \right) + b\left( {b - 1} \right) + {c^2} = 0\\{a^2} + b\left( {b - 1} \right) + c\left( {c - 1} \right) = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c = 0\\a = b = c = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]. Vậy có hai điểm \(N\) thoả mãn điều kiện.
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Một giỏ hoa treo trong nhà làm bằng \(3\) sợi dây không giãn, mỗi sợi dài 60 cm miếng kê là một miếng gỗ cân đối hình tròn bán kính 20 cm ba sợi dây được thắt một đầu bên trên và đỡ giá gỗ tại 3 điểm tạo thành tam giác đều (giả sử mối thắt của 3 sợi dây và mối nối của mỗi sợi dây với miếng gỗ không đáng kể). Biết lực chịu đựng của mỗi sợi dây bằng nhau và mỗi sợi chịu không quá 15 N, trọng lượng của miếng giá gỗ là 5 N. Tính trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt (đơn vị Newton, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Biết ba sợi dây được thắt một đầu bên trên là điểm \(S\), ba sợi dây đỡ giá gỗ tại 3 điểm tạo thành tam giác đều \(ABC\), độ dài sợi dây \(SA = SB = SC = 60\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\), bán kính hình tròn\(OA = OB = OC = 20\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Ta có hình chóp tam giác đều \(S.ABC\), gọi \(O\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
\( \Rightarrow SO \bot (ABC)\) và \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = 40\sqrt 2 \left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Gọi lực chịu đựng của mỗi sợi dây là \({T_1},\;T{}_2,{T_3}\)các lực này bằng nhau và không quá 15 N \( \Rightarrow {T_1} = {T_2} = {T_3} \le 15{\rm{N}}\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| \le 15\,{\rm{N}}\).
Lại có \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {SO} \).
Gọi \(P\)là lực tác động lên miếng kê (là tổng lực của miếng giá gỗ hình tròn và lực của các chậu hoa) nên \(P = \left| {3\overrightarrow {SO} } \right| = 3SO\).
Vì \(P\)chia đều ra ba sợi dây
\( \Rightarrow \frac{P}{{3{T_1}}} = \frac{{3SO}}{{3SA}} = \frac{{SO}}{{SA}} = \frac{{40\sqrt 2 }}{{60}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \Leftrightarrow {T_1} = \frac{P}{{2\sqrt 2 }} \le 15{\rm{N}} \Leftrightarrow P \le 30\sqrt 2 {\rm{N}}\).
Suy ra trọng lượng của các chậu hoa là \({P_{hoa}} + {P_{go}} \le 30\sqrt 2 N \Leftrightarrow {P_{hoa}} \le \left( {30\sqrt 2 - 5} \right)N \approx 37,4{\rm{N}}\).
Vậy trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt là \(37,4{\rm{N}}\).
Đáp án: 37,4.
Vì \[M\] thuộc mặt phẳng sàn nhà có chiều dài 8 m, rộng 6 m nên \[M\left( {x;y;0} \right)\] với \[0 \le x \le 8,0 \le y \le 6\].
Cây quạt \[A\] treo chính giữa bức tường 8 m và cách trần 1 m, cây quạt \[B\] treo chính giữa bức tường 6 m và cách trần 1,5 m.
Suy ra \[A\left( {4;0;3} \right),B\left( {0,3,\frac{5}{2}} \right)\].
Ta có: \[\overrightarrow {MA} = \left( {4 - x, - y,3} \right),\overrightarrow {MB} = \left( { - x,3 - y,\frac{5}{2}} \right)\], \[\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right| = \sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 6} \right)}^2} + 4} \].
Để \[\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right|\] nhỏ nhất thì \[{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2}\] nhỏ nhất.
Ta có: \[{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} \ge {\left( {0 + 4} \right)^2} + 0 = 16\].
Dấu bằng xảy ra khi \[x = 0,y = 6\].
Vậy \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = {0^2} + {6^2} + {0^2} = 36\].
Đáp án: 36.
Chọn hệ trục như hình vẽ.
Gọi vị trí của hai chiếc drone lần lượt là \(A\left( { - 2,5; - 1,5;0,06} \right)\), \(B\left( {3;2,5;0,04} \right)\), \(M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\) là vị trí tiếp nhiên liệu cần tìm. Do \(A,B\) nằm cùng phía so với mặt phẳng \(Oxy\), ta gọi điểm đối xứng với \(A\) qua \(Oxy\) là \(A'\left( { - 2,5; - 1,5; - 0,06} \right)\).
Khi đó \(AM + BM = A'M + BM \ge A'B\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(A',M,B\) thẳng hàng theo thứ tự đó
\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {A'B} = \left( {5,5;4;0,1} \right);\overrightarrow {BM} = \left( {a - 3;b - 2,5; - 0,04} \right)\) cùng phương.
Suy ra \(\frac{{a - 3}}{{5,5}} = \frac{{b - 2,5}}{4} = \frac{{ - 0,04}}{{0,1}} \Leftrightarrow a = 0,8;b = 0,9 \Rightarrow a + b = 1,7.\)
Đáp án: 1,7.
