Bài tập ôn tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 2 có đáp án

Chọn D

Theo quy tắc ba điểm, ta có: \[\overrightarrow {AB\,} \, = \overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {DB} \].

Do đó:

\[\overrightarrow {AB} \, + \,\overrightarrow {CD} \, = \,\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {DB} \, + \,\overrightarrow {CD} \]

\( = \,\,\,\,\overrightarrow {AD} \, + \left( {\,\overrightarrow {DB} \, + \,\overrightarrow {CD} } \right)\) \( = \,\,\,\,\overrightarrow {AD} \, + \left( {\,\,\overrightarrow {CD} \, + \,\overrightarrow {DB} } \right)\)\( = \,\,\,\,\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {CB} \).

Chọn A

Gọi \[O\] là tâm hình bình hành \[ABCD\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SO}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow c \\\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO}  = \overrightarrow b  + \overrightarrow d \end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow c  = \overrightarrow b  + \overrightarrow d \].

Chọn A

Vì \[M\] là trung điểm của \[BC \Rightarrow \overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \].

Mặt khác \[\overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \]

\[ = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD} \]\[ = \frac{1}{2}\overrightarrow a  + \frac{1}{2}\overrightarrow b  - \overrightarrow c  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - 2\overrightarrow c } \right)\].

Chọn D

Vì \[BB'C'C\] là hình bình hành nên \[ \Rightarrow \overrightarrow {B'C}  = \overrightarrow {B'C'}  + \overrightarrow {B'B}  = \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {AA'} \]

\[ =  - \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \]\[ =  - \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c \].

Chọn A

Do \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng nên \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ  \Rightarrow cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1\). Vậy \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).

Chọn B

Ta có \(\vec u \bot \vec v \Rightarrow \vec u.\vec v = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{5}\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{5}{\overrightarrow a ^2} - \frac{{13}}{5}\overrightarrow a \overrightarrow b  - 3{\overrightarrow b ^2} = 0\).

Suy ra \(cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\vec a.\overrightarrow b }}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} =  - 1 \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ \).

Chọn D

Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Rightarrow cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\vec a.\overrightarrow b }}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3.2}} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \).

Chọn B

\({\left( {3\overrightarrow a  + 5\overrightarrow b } \right)^2} = 9{\overrightarrow a ^2} + 30\overrightarrow a \overrightarrow b  + 25{\overrightarrow b ^2}\)\( = 9 + 90 + 25 = 124\)\( \Rightarrow \left| {3\overrightarrow a  + 5\overrightarrow b } \right| = \sqrt {124} \).

Chọn A

Ta có \({\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \frac{9}{2}.\) Do đó: \(\cos \;\alpha  = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{3}{8}\).

Chọn C

Tọa độ hình chiếu của điểm \(A\left( { - 2; - 1;3} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(\left( {0; - 1;3} \right)\).

Chọn C

Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {1;2;5} \right)\) lên trục \(Ox\) có tọa độ là \(\left( {1;0;0} \right)\).

Chọn C

Vì điểm \(M\) thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow i  + \overrightarrow j \) nên tọa độ điểm \[M\left( {2;\,1;\,0} \right)\].

Chọn D

Ta có: \(\overrightarrow i  = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\); \(\overrightarrow j  = \left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\); \(\overrightarrow k  = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\) nên \(\overrightarrow b  = 2\overrightarrow i  - 4\overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow b  = \left( {2\,;\,0\,;\, - 4} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow u  = \overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( { - 1\,;\,2\,;\,7} \right)\).

Chọn B

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {\,1\,;\,2\,;\,2} \right)\); \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} + 4 = 1\\{y_D} - 1 = 2\\{z_D} + 5 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} =  - 3\\{y_D} = 3\\{z_D} =  - 3\end{array} \right.\).

Chọn B

Điểm \(A'\) đối xứng với điểm \(A\) qua điểm \(B\) nên \[B\] là trung điểm của đoạn \[AA'\].

Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_B} - {x_A} =  - 4\\{y_{A'}} = 2{y_B} - {y_A} = 3\\{z_{A'}} = 2{z_B} - {z_A} = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 4;3;1} \right)\].

Chọn C

Gọi \(B\left( {x;y;z} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = \left( {x - 4;y - 6;z + 3} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 =  - 3\\y - 6 = 2\\z + 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 8\\z =  - 2\end{array} \right.\).

Chọn B

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;\, - 4;\,2} \right)\); \(\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 2;\,y + 1;\, - 4} \right)\).

Để ba điểm \(A,\,B,\,M\) thẳng hàng thì \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{ - 4}}{2}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 7\end{array} \right.\).

Chọn B

Điểm \(M\left( {{x_0}\,;\,{y_0}\,;\,{z_0}} \right)\) có điểm đối xứng qua trục \(Oy\)là điểm \(M'\left( { - {x_0}\,;\,{y_0}\,;\, - {z_0}} \right)\).

Vậy điểm \(M\left( {2\,;\, - 1\,;\, - 3} \right)\) có điểm đối xứng qua trục \(Oy\) là điểm \(M'\left( { - 2\,;\, - 1\,;\,3} \right)\).

Chọn B

Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Ta có: \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2.\overrightarrow {AM}  = 2.\frac{3}{2}.\overrightarrow {AG}  = 3\overrightarrow {AG}  = \left( {3;6; - 3} \right)\).

Chọn C

Vì \(I\left( {x;y;z} \right)\) là trung điểm \(MN\) nên ta có: \[2\overrightarrow {IM}  + 2\overrightarrow {IN}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = \overrightarrow 0 \].

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + 0 + 0 + 2}}{4}\\y = \frac{{0 + 2 + 0 + 2}}{4}\\z = \frac{{0 + 0 + 2 + 2}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.\). Vậy \(I\left( {1;1;1} \right)\).

Chọn A

Ta có: \(3\overrightarrow a  = \left( {9;12;6} \right)\); \(2\overrightarrow b  = \left( { - 10;0;6} \right)\); \( - \overrightarrow c  = \left( { - 1; - 2;4} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow u  = 3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  - \overrightarrow c \)\( = \left( { - 2;10;16} \right)\).

Chọn D

Ta có: \(I\left( {\frac{{2 - 1}}{2}\,;\,\frac{{1 + 2}}{2}\,;\,\frac{{1 + 1}}{2}} \right)\)\[ \Rightarrow I\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{3}{2}\,;\,1} \right)\].

Chọn C

Đặt \(M\left( {x\,;y\,;z} \right)\), khi đó: \(\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - x\,;2 - y\,;3 - z} \right)\) và \(\overrightarrow {MB}  = \left( { - 2 - x\,; - 4 - y\,;9 - z} \right)\).

Ta có: \(MA = 2MB \Rightarrow \overrightarrow {MA}  =  - 2\overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x =  - 2\left( { - 2 - x} \right)\\2 - y =  - 2\left( { - 4 - y} \right)\\3 - z =  - 2\left( {9 - z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 2\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1\,; - 2\,;7} \right)\).

Khi đó: \(\overrightarrow {OM}  = \left( { - 1\,; - 2\,;7} \right)\). Vậy \[OM = \sqrt {54} \].

Chọn A

Ta có: \[\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 2} \right) = 8\].

Chọn B

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {5; - 1; - 1} \right).\)

Chọn C

Ta có trọng tâm \[G\] của tam giác \[ABC\]: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{a}{3}\\ - 2 = \frac{b}{3}\\3 = \frac{c}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 6\\c = 9\end{array} \right.\].

Khi đó: \[a + b + c = 3 + \left( { - 6} \right) + 9 = 6\].

Chọn B

Ta có \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\left( { - 1} \right).0 + 2.\left( { - 2} \right) + 0.1}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{ - 4}}{5}\).

Chọn A

Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \left( {2\,;\, - 2\,;\,8} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \left( {1\,;\, - 1\,;\,4} \right)\).

Khi đó \(AM = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}}  = 3\sqrt 2 \).

Chọn B

Hai vectơ \(\vec a\) và \(\overrightarrow b \)vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\vec a\,.\,\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow 3.2 + \left( { - 2} \right).m + m.\left( { - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 6 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = 2\).

a) Đúng. Theo công thức vì \[G\] là trọng tâm tứ diện \[ABCD \Rightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \].

b) Đúng. Ta có:

\[\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {OG} } \right) = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {CG}  + \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {DG} } \right)\]\[ = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right)\].

c) Đúng. \[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  =  - \overrightarrow {GB}  = \overrightarrow {BG} \].

d) Sai. \[\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OG}  = \overrightarrow {AO}  + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow {AO}  + \frac{1}{4}\left( {4\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OA}  + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\].

a) Đúng. Dựa vào hình vẽ, máy bay đang ở độ cao 9 km.

b) Đúng. Dựa vào hệ tọa độ trong hình vẽ, ta thấy vị trí của máy bay tại thời điểm 9h30’ là \(A\left( {150;300;9} \right)\).

c) Sai. Gọi \(B\left( {150;1086;9} \right)\) là vị trí của máy bay tại thời điểm 10h30'.

Quãng đường máy bay đi được trong 1 giờ là khoảng cách từ A đến B.

Có \(AB = \sqrt {{{(1086 - 300)}^2}}  = 786\).

Vận tốc giá theo hướng Đông: \(v = 10{\rm{\;m}}/{\rm{s}} = 36\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)\)

Vận tốc của máy bay là \(\frac{{786}}{1} - 36 = 750\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)\).

d) Sai. Từ lúc 10h30', vận tốc máy bay theo hướng Đông là \({v_T} =  - 800{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\).

Gọi \(C\left( {x;y;z} \right)\) là vị trí của máy bay tại thời điểm 11h.

Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_B}}\\{y = {y_B} + {v_T}.t}\\{z = {z_B}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 150}\\{y = 1086 - 800.\frac{1}{2}}\\{z = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 150}\\{y = 686}\\{z = 9}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Suy ra \(C\left( {150;686;9} \right)\).

Vậy máy bay cách gốc tọa độ khoảng 702 km.

a) Đúng. Có điểm A trùng với gốc tọa độ \({\rm{O}},D \in Oy \Rightarrow D\left( {0;{y_D};0} \right)\).

Mà \(AD = 7\), suy ra \({y_D} = 7\) hay \(D\left( {0;7;0} \right)\).

b) Đúng. Các điểm \(C,D\) có tung độ bằng nhau và bằng 7.

c) Sai. Ta có tọa độ điểm \(D'\left( {0;7;3,5} \right)\) và điểm \(C'\left( {6;7;3,5} \right)\).

Suy ra vectơ \(\overline {C'D'} \left( { - 6;0;0} \right)\).

d) Sai. Ta có điểm \(A'\left( {0;0;3,5} \right)\) và điểm \(C'\left( {6;7;3,5} \right)\).

Tọa độ trung điểm của \(A'{\rm{C'}}\) là \(\left( {\frac{{6 + 0}}{2};\frac{{7 + 0}}{2};\frac{{3,5 + 3,5}}{2}} \right) = \left( {3;3,5;3,5} \right)\).

Mà bóng đèn được treo cách trần nhà \(0,5{\rm{\;m}}\).

Vậy bóng đèn nằm tại vị trí có toạ độ \(\left( {3;3,5;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt 3 ,\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 1;0} \right) \Rightarrow AC = \sqrt 2 \), \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2;0; - 1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt 5 \).

a) Đúng. \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\) do đó \(AB \bot AC\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

b) Sai. Chu vi của tam giác là \(AB + AC + BC = \sqrt 3  + \sqrt 2  + \sqrt 5 \).

c) Sai. Diện tích là \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

d) Đúng. Tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của \(BC\) có tọa độ \(I\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right)\).

a) Đúng. Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là \(\left( {2;1;0,5} \right)\).

b) Sai. Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là \(\left( { - 1; - 1,5;0,8} \right)\).

c) Sai. Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất bằng\(\sqrt {{2^2} + {1^2} + 0,{5^2}}  = \frac{{\sqrt {21} }}{2}\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

d) Đúng. Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là

\(\sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1,5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0,8 - 0,5} \right)}^2}}  = \sqrt {15,34}  \approx 3,92\left( {{\rm{km}}} \right)\).

a) Sai. Vì nền nhà là hình chữ nhật nên tứ giác \(OABC\) là hình chữ nhật, suy ra \({x_A} = {x_B} = 4,{y_C} = {y_B} = \) 5. Do \(A\) nằm trên trục \(Ox\) nên tọa độ điểm \(A\) là \(\left( {4;0;0} \right)\).

b) Sai. Tường nhà là hình chữ nhật, suy ra \({y_H} = {y_C} = 5,{z_H} = {z_E} = 3\). Do \(H\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên tọa độ điểm \(H\) là \(\left( {0;5;3} \right)\).

c) Sai. Để tính góc dốc của mái nhà, ta đi tính số đo góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \(FG\), hai mặt phẳng lần lượt là \(\left( {FGQP} \right)\) và \(\left( {FGHE} \right)\). Do mặt phẳng \(\left( {Ozx} \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( {FGQP} \right)\) và \(\left( {FGHE} \right)\) nên góc \(PFE\) là góc phẳng nhị diện ứng với góc nhị diện đó.

Ta có \(\overrightarrow {FP}  = \left( { - 2;0;1} \right),\overrightarrow {FE}  = \left( { - 4;0;0} \right)\).

Suy ra \({\rm{cos}}\widehat {PFE} = {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} } \right) = \frac{{\overrightarrow {FP}  \cdot \overrightarrow {FE} }}{{\left| {\overrightarrow {FP} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {FE} } \right|}} = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 4} \right) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {0^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 4)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Do đó, \(\widehat {PFE} \approx 26,6^\circ \). Vậy góc dốc của mái nhà khoảng \(26,6^\circ \).

d) Sai. Chiều cao bằng cao độ của điểm \(P\) suy ra \(h = 4\).

a) Sai. Kẻ \(TM \bot Oy\), \(CN \bot Oy\).

Vì \(T\) là hình chiếu của \(Q\) lên \(\left( {Oxy} \right)\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_Q} = {x_T} =  - OD =  - \left( {AD - OA} \right) =  - 6\\{y_Q} = {y_T} = OH = \frac{{AB}}{2} = 3\end{array} \right.\).

\({z_Q} = QT = 7\)

Suy ra \(Q\left( { - 6;\,3;\,7} \right)\).

b) Đúng. Vì \(C \in \left( {Oxy} \right)\) nên \({z_C} = 0\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - OD =  - 6\\{y_C} = ON = AB = 6\end{array} \right.\). Suy ra \(C\left( { - 6;\,6;\,0} \right)\). Vậy \(\overrightarrow {OC}  = \left( { - 6;\,6;\,0} \right)\).

c) Đúng Gọi \(L\) là trung điểm của \(FG\).

Ta có: \({z_K} = OK = AE = 5\).

Suy ra \(K\left( {0;\,0;\,5} \right)\).

\( \Rightarrow OK = 5\).

\(B\), \(C\) lần lượt là hình chiếu của \(F\), \(G\) lên \(\left( {Oxy} \right)\).

Suy ra \(F\left( {2;\,6;\,5} \right)\), \(G\left( { - 6;\,6;\,5} \right)\).

Mà \(L\) là trung điểm của \(FG\) nên \(L\left( { - 2;\,6;\,5} \right)\)\( \Rightarrow KL = 2\sqrt {10} \).

Vậy độ dài đoạn cáp tối thiểu từ \(O\) đến \(K\) sau đó nối thẳng đến camera là

\(OK + KL = 5 + 2\sqrt {10} \) (m)

d) Sai. \(FG = \sqrt {{{\left( { - 6 - 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( {5 - 5} \right)}^2}}  = 8\) (m) .

\(GQ = \sqrt {{{\left( { - 6 + 6} \right)}^2} + {{\left( {3 - 6} \right)}^2} + {{\left( {7 - 5} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \) (m).

Suy ra \({S_{FGQP}} = FG \cdot GQ = 8\sqrt {13} \) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Diện tích lợp tôn mái nhà là \(2{S_{FGQP}} = 16\sqrt {13} \) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là

\(16\sqrt {13}  \cdot 130\,000 \approx 7\,500\,000\) (đồng).

a) Sai. Tàu thám hiểm ở vị trí \(A\left( {25; - 15; - 10} \right)\).

Khoảng cách từ tàu thám hiểm đến radar là \(OA = \sqrt {{{25}^2} + {{15}^2} + {{10}^2}}  = 5\sqrt {38}  \approx 30,8\;{\rm{km}}\).

b) Đúng. Radar đặt tại \(O\) có phạm vi theo dõi là 30 km, mà khoảng cách từ tàu thám hiểm đến radar là 30,8 \( > 30\) nên radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí \(A\).

c) Đúng. Khoảng cách từ tàu đánh cá đến radar là

\(OB = \sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}}  = 25\;{\rm{km}} < 30\;{\rm{km}}\).

Vậy radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí \(B\).

d) Đúng. Giả sử chiếc tàu của cảnh sát biển ở vị trí \(C\left( {15;y;0} \right)\).

Khoảng cách từ tàu của cảnh sát biển đến radar là \(OC = \sqrt {{{15}^2} + {y^2}} \).

Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển thì: \(OC < 30 \Leftrightarrow {15^2} + {y^2} < {30^2} \Leftrightarrow  - 15\sqrt 3  < y < 15\sqrt 3 \).

Vậy để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách \(O\) tối đa \(15\sqrt 3 \;{\rm{km}}{\rm{.}}\)

a) Sai. \(\overrightarrow {AB}  = \left( {20;\,30;\,30} \right)\); \(\overrightarrow {AD}  = \left( {4;\,6;\,6} \right)\).

Ta có \(\frac{{20}}{4} = \frac{{30}}{6} = \frac{{30}}{6}\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AD} \) cùng phương.

\( \Rightarrow \) 3 điểm \(A\), \(B\), \(D\) thẳng hàng.

Do đó flycam bay qua vị trí \[D\left( {5;\,8;\,9} \right)\].

b) Sai. Flycam ở vị trí \(A\left( {1;\,2;\,3} \right)\) và sau 10 phút nó ở vị trí \(B\left( {21;\,32;\,33} \right)\).

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AB}  = 10\overrightarrow v \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow v  = \frac{{\overrightarrow {AB} }}{{10}} = \left( {2;\,3;\,3} \right)\).

c) Đúng. Độ lớn của vận tốc flycam là \(\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {3^2}}  = \sqrt {22} \) (m/phút).

d) Đúng. Tại thời điểm \(t = 0\), flycam ở vị trí \(A\) và sau 15 phút flycam ở vị trí \(C\).

Suy ra \(\overrightarrow {AC}  = 15\overrightarrow v \)\( \Leftrightarrow \left( {{x_C} - 1;\,{y_C} - 2;\,{z_C} - 3} \right) = 15\left( {2;\,3;\,3} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 31\\{y_C} = 47\\{z_C} = 48\end{array} \right.\).

Vậy \(C\left( {31;\,47;\,48} \right)\).

Đặt \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 25\) N, \(\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 25\) N, \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 4\) N.

Theo giả thiết ta có

\({\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \overrightarrow {{F_2}}  = {25^2} + {12^2} + {4^2} + 2.25.12\cos 100^\circ \)

nên \(\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 5{\rm{,}}1\) N.

Đáp án: 5,1.

Gán các lực \[\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {SB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {SC} .\]

Vì \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\) và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ với mặt đất bằng \(60^\circ \) nên \(S.ABC\) là hình chóp đều.

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC,\,\,G\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right).\)

Ta có \(\widehat {SBG} = 60^\circ  \Rightarrow SG = SA.\sin 60^\circ  = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = \frac{{2SG}}{{\sqrt 3 }}.\)

Đặt \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 30\left( {\rm{N}} \right).\)

Vì \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = 3\overrightarrow {SG}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 3\left| {\overrightarrow {SG} } \right| \Rightarrow SG = \frac{{\left| {\overrightarrow F } \right|}}{3} = 10.\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| = 2\frac{{SG}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,5\left( {\rm{N}} \right).\)

Đáp án: 11,5.

\(\overrightarrow {OA}  = \left( { - 16; - 10;10} \right) \Rightarrow OA = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 2\sqrt {114}  \approx 21,35\,\,{\rm{(km)}}.\)

Khinh khí cầu bay theo hướng của vectơ \(\overrightarrow v \left( {4;3; - 1} \right)\), do đó vị trí của máy bay ở vị trí \(M\) thì \(\overrightarrow {OM}  = t\overrightarrow v ,(0 \le t \le 10)\). Suy ra \(M\left( {4t - 16;3t - 10; - t + 10} \right),(0 \le t \le 10),\) \(t\;\)(giờ).

Theo bài ra, ta có:

\(OM \le 12 \Leftrightarrow {\left( {4t - 16} \right)^2} + {\left( {3t - 10} \right)^2} + {\left( { - t + 10} \right)^2} \le 144 \Leftrightarrow 26{t^2} - 208t + 312 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le t \le 6.\)

Thời gian kể từ khi trạm kiểm soát không lưu phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là 4 (giờ) = 240 (phút).

Đáp án: 240.

Ta có: \[\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 60;y - 20} \right),\overrightarrow {AB}  = \left( { - 40;30} \right)\].

Vì xe thiết giáp chuyển động thẳng đều nên \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

Do đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 60 =  - \frac{{40}}{3}}\\{y - 20 = 10}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{140}}{3}}\\{y = 30.}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy vị trí của xe thiết giáp tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ là \(M\left( {\frac{{140}}{3};30} \right){\rm{.\;}}\)

Đáp án: 30.

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = 10\vec k \Rightarrow A\left( {0;0;10} \right)\) và \(OH = OB.\cos 30^\circ  = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\); \(OK = OB.\cos \left( {90^\circ  - 30^\circ } \right) = \frac{{15}}{2}\)

\[ \Rightarrow {\rm{ }}B\left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)\]. Vậy \(a + c = 2,5\).

Đáp án: 2,5.

Ta có Toạ độ cầu Hiền Lương là

\(C\left( {\cos 17,0045^\circ \cos 107,0517^\circ ;\cos 17,0045^\circ \sin 107,0517^\circ ;\sin 17,0045^\circ } \right)\).

Toạ độ Dinh Độc Lập Là \(D\left( {\cos 10,777^\circ \cos 106,695^\circ ;\cos 10,777^\circ \sin 106,695^\circ ;\sin 10,777^\circ } \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {OC}  = \left( {\cos 17,0045^\circ \cos 107,0517^\circ ;\cos 17,0045^\circ \sin 107,0517^\circ ;\sin 17,0045^\circ } \right)\);

\(\overrightarrow {OD}  = \left( {\cos 10,777^\circ \cos 106,695^\circ ;\cos 10,777^\circ \sin 106,695^\circ ;\sin 10,777^\circ } \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OD}  \approx 0,9941\), vì C, D thuộc mặt đất nên ta có \(\left| {\overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {OD} } \right| = 1\).

Do đó \(\cos \widehat {COD} = \frac{{\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OD} }}{{\left| {\overrightarrow {OC} } \right|.\left| {\overrightarrow {OD} } \right|}} \approx 0,9941\), suy ra \(\widehat {COD} \approx 6,2298^\circ \).

Khoảng cách giữa hai điểm C và D là \(l \approx \frac{{3,14159.6,2298^\circ }}{{180^\circ }}.6371 \approx 692,7\,{\rm{(km)}}\); làm tròn đến hàng chục được kết quả là \(690\,\,{\rm{(km)}}\).

Đáp án: 690.