Đề kiểm tra Toán 12 Cánh diều Chương 1 có đáp án - Đề 2
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
\(\left( { - 2; - 1} \right)\).
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right)\).
Vậy chọn đáp án D.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Hàm số có giá trị cực tiểu bằng \( - 1\).
Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 1\).
Hàm số có đúng một cực trị.
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên, nhận thấy đạo hàm \(y'\) của hàm số chỉ đổi dấu một lần khi \(x\) đi qua \({x_0} = 1\) nên hàm số chỉ có một cực trị duy nhất, do đó phương án D sai.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau.
Giá trị lớn nhất của \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;5} \right]\) bằng
\(2\).
\(4\).
\(3\).
\(1\).
Chọn C
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;5} \right]\) bằng \(3\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau:
Số nghiệm phương trình \(2f\left( x \right) - 5 = 0\) là:
\(2\).
\(1\).
\(3\).
\(0\).
Chọn B
Ta có: \[2f\left( x \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{5}{2}\].
Từ bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) suy ra số nghiệm phương trình \(2f\left( x \right) - 5 = 0\) là \(1\).
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 5}}{{x + 1}}\) là:
\(y = 2\).
\(y = 3\).
\(y = - 1\).
\(x = 1\).
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2 \Rightarrow y = 2\) là tiệm cận ngang.
Đường cong dưới là đồ thị của hàm số nào trong các đáp án A, B, C, D?
\(y = - {x^3} + 12x + 2\).
\(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).
\(y = {x^3} - 3x - 2\).
\(y = {x^3} - 12x + 2\).
Chọn D
Đồ thị đã cho là đồ thị hàm bậc ba có hệ số \(a > 0\)
(do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right) = + \infty \) nếu \(a > 0\) ). Loại A, B.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên chọn D.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)và hàm số \(y = f'\left( x \right)\)là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.
(a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
(b) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.
(c)\(f'\left( 2 \right) = 4\).
(d) Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{2}{x^2} + x + 2024\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).
a) Sai. Vì từ đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\)ta thấy \(f'\left( x \right) \ge 0\) với \(\forall x \ge 1\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
b) Sai. Vì từ đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\)ta thấy \(f'\left( x \right)\) chỉ đổi dấu một lần qua \(x = 1\) nên hàm số có một điểm cực trị.
c) Sai. Từ đồ thị ta có hàm số \(f'\left( x \right)\) có dạng: \(f'\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\).
Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\)đi qua \(\left( {0; - 4} \right)\) nên: \( - 4 = a{\left( {0 + 2} \right)^2}\left( {0 - 1} \right) \Leftrightarrow a = 1\).
Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right) \Rightarrow f'\left( 2 \right) = {\left( {2 + 2} \right)^2}\left( {2 - 1} \right) = 16\).
d) Đúng. Ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1\).
Vẽ đường thẳng \(y = x - 1\) trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\).
Khi đó: \(f'\left( x \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\).
Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) nên \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).
Chi phí nhiên liệu của một chiếc tàu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng \(480\) nghìn đồng trên \(1\) giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi \(v = 10\) (km/giờ) thì phần thứ hai bằng \(30\)nghìn đồng/giờ.
(a)Khi vận tốc \(v = 10\)(km/giờ) thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên \(1\)km đường sông là 48000 đồng.
(b)Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên \(1\)km đường sông với vận tốc \(x\)(km/h) là\(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^3}\).
(c)Khi vận tốc \(v = 30\)(km/giờ) thì tổng chi phí nguyên liệu trên \(1\)km đường sông là 43000 đồng.
(d)Vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên \(1\)km đường sông nhỏ nhất là \(v = 20\)(km/giờ).
a) Đúng.Thời gian tàu chạy quãng đường \(1\)km là: \(\frac{1}{{10}}\) (giờ).
Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: \(\frac{1}{{10}} \cdot 480000 = 48000.\) (đồng).
b) Sai.Gọi \(x\)(km/h) là vận tốc của tàu, \(x > 0\).
Thời gian tàu chạy quãng đường \(1\)km là: \(\frac{1}{x}\) (giờ).
Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: \(\frac{1}{x} \cdot 480 = \frac{{480}}{x}\)(nghìn đồng).
Hàm chi phí cho phần thứ hai là \(p = k{x^3}\) (nghìn đồng/ giờ).
Khi \(x = 10 \Rightarrow p = 30 \Rightarrow k = 0,03\) nên \(p = 0,03{x^3}\) (nghìn đồng/ giờ).
Do đó chi phí phần 2 để chạy \(1\)km là: \(\frac{1}{x} \cdot 0,03{x^3} = 0,03{x^2}\)(nghìn đồng).
Vậy tổng chi phí: \(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^2}\).
c) Đúng.Tổng chi phí: \(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^2}\).
Thay \(x = v = 30\)(km/giờ) vào ta có \(f\left( {30} \right) = \frac{{480}}{{30}} + 0,{03.30^2} = 43\)(nghìn đồng).
d) Đúng.\(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,03{x^2} = \frac{{240}}{x} + \frac{{240}}{x} + 0,03{x^2} \ge 3\sqrt[3]{{1728}} = 36.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 20\).
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Hình dưới đây là mương dẫn nước thủy lợi tại một địa phương phục vụ tưới tiêu cho ruộng đồng. Phần không gian trong mương để nước chảy có mặt cắt ngang là hình chữ nhật \(ABCD\). Với điều kiện lưu lượng nước qua mương cho phép thì diện tích mặt cắt \(ABCD\) là \(0\,,48\,{{\rm{m}}^2}\). Để đảm bảo yêu cầu kỹ thuật tốt nhất cho mương, người ta cần thiết kế sao cho tổng độ dài \(T = AB + \,BC + CD\) là ngắn nhất. Khi đó chiều rộng đáy mương bằng bao nhiêu mét (biết chiều rộng phải dưới 1 m, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đặt \(BC = x\,\left( {\rm{m}} \right)\,\)với \(0 < x < 1\).
Theo đề bài ta có : \(AB.BC = 0\,,48 \Rightarrow AB = \frac{{0\,,48}}{{BC}} = \frac{{0\,,48}}{x}\).
Xét hàm số \(T = f\left( x \right) = AB + \,BC + CD = x + 2.AB = x + \frac{{0\,,96}}{x}\).
Đạo hàm \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{{0\,,96}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 0\,,96 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 6 }}{5} \simeq 0,98\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Vậy chiều rộng đáy mương \(BC = 0,98\,\left( {\rm{m}} \right)\,\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: 0,98.
Một nhà máy sản xuất \[{\rm{ }}x\] sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất \(x\) sản phẩm được cho bởi hàm chi phí \(C\left( x \right) = 16\,000 + 500x - 1,6{x^2} + 0,004{x^3}\) (nghìn đồng). Biết giá bán của của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm \(x\) và được cho bởi công thức \(p\left( x \right) = 1700 - 7x\) (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\1700 - 7x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < \frac{{1700}}{7}\).
Doanh thu được khi công ty sản xuất và tiêu thụ hết \(x\) sản phẩm là \(R\left( x \right) = xp\left( x \right) = 1700x - 7{x^2}\).
Do đó, lợi nhuận thu được là
\(P\left( x \right) = xp\left( x \right) - C\left( x \right)\)\( = 1700x - 7{x^2} - \left( {16\,000 + 500x - 1,6{x^2} + 0,004{x^3}} \right)\)
\(P\left( x \right) = - 0,004{x^3} - 5,4{x^2} + 1200x - 16\,000\), \(0 < x < \frac{{1700}}{7}\).
\(P'\left( x \right) = - 0,012{x^2} - 10,8x + 1200\); \(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,012{x^2} + 10,8x + 1200 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1000\\x = 100\end{array} \right.\).
Đối chiếu điều kiện ta có \(x = 100\).
Lập bảng biến thiên của hàm số, ta thu được kết quả là
\(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{{1700}}{7}} \right)} P\left( x \right) = P\left( {100} \right) = 46\,000\) (nghìn đồng).
Vậy công ty cần sản xuất 100 sản phẩm thì lợi nhuận thu được là cao nhất.
Đáp án: 100.
Ông Nam cần xây dựng một bể nước mưa có thể tích \(V = 8\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\) dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp \(\frac{4}{3}\) lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi phí trung bình là 980.000đ/m2 và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng \(\frac{2}{9}\) diện tích nắp bể. Tính chi phí thấp nhất mà ông Nam phải chi trả (làm tròn đến hàng triệu đồng).
Gọi chiều rộng của bể là \(3x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\). Ta có chiều dài bể là \(4x{\rm{ (m)}}\) và chiều cao của bể là \(\frac{2}{{3{x^2}}}\left( {\rm{m}} \right).\)
Khi đó tổng diện tích bề mặt xây là:
\(T = \left( {3x + 4x} \right).2.\frac{2}{{3{x^2}}} + 2.3x.4x - \frac{2}{9}.3x.4x = \frac{{28}}{{3{x^2}}} + \frac{{64{x^2}}}{3} \ge 2.\sqrt {\frac{{28}}{{3{x^2}}}.\frac{{64{x^2}}}{3}} = \frac{{32\sqrt 7 }}{3}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Chi phí \(C\)(tính theo đồng) xây dựng là: \(C = T.980000 \ge \frac{{32\sqrt 7 }}{3}.980000 \approx 27657000\) (đồng).
Vậy chi phí thấp nhất mà ông Nam phải chi trả là \(28\) triệu đồng.
Đáp án: 28.
