Đề kiểm tra Toán 12 Cánh diều Chương 1 có đáp án - Đề 1
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào dưới đây là sai?
Hàm số không đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2\).
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - 1\).
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(\left( { - 1;2} \right)\).
Giá trị cực đại của hàm số là \(y = 2\).
Chọn A
Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( {0;1} \right)\).
Chọn B
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\).
Cho hàm số\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\). Mệnh đề nào sau đây sai?
Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận.
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hàm số không có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.
Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
Chọn D
Hàm số đã cho có:
Tập xác định:\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
Đạo hàm \(y' = \frac{5}{{{{(x + 2)}^2}}} > 0\,,\,\forall x \ne - 2\).
Nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó và hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Tiệm cận đứng \(x = - 2\), tiệm cận ngang \(y = 2\).
Đối chiếu với các phương án ta thấy A đúng, B đúng, C đúng, D sai.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình dưới?
\(y = {x^3} - 3x + 1\).
\(y = - {x^3} + 3x + 1\).
\(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).
\(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\).
Chọn B
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {1\,;\,3} \right)\) nên hàm số cần tìm là \(y = - {x^3} + 3x + 1\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị như hình vẽ.
Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\).
\(m = - 5,M = 0\).
\(m = - 1,M = 0\).
\(m = - 5,M = - 1\).
\(m = - 2,M = 2\).
Chọn C
Từ đồ thị ta thấy trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) có \(m = - 5,M = - 1\).
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{x - 1}}\) là
\[x = 1\].
\[y = 1\].
\[y = 0\].
\[x = 0\].
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{x}{{x - 1}} = + \infty \Rightarrow x = 1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:
(a)Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - 3\)và đạt cực tiểu tại \(x = - 1\).
(b)Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = - 2\)làm tiệm cận đứng.
(c)Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\).
(d)Đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành.
a) Đúng. Từ bảng biến thiên có: Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - 3\)và đạt cực tiểu tại \(x = - 1\).
b) Đúng. Từ bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} f(x) = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} f(x) = - \infty \) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = - 2\)làm tiệm cận đứng.
c) Sai.Từ bảng biến thiên ta có: Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right)\)và \(\left( { - 2; - 1} \right)\). Hàm số không xác định tại\(x = - 2\).
d) Đúng.Từ bảng biến thiên ta có: \(f(x) = 0\) vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành.
Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao \[250\]km so với bề mặt của Mặt Trăng. Trong khoảng \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao \(h\) của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm \(h\left( t \right) = - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250\) trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây và \(h\) là độ cao tính bằng kilomet.
(a)Trong \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao lớn nhất mà con tàu đạt được là \(250\)(km).
(b)Trong \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao thấp nhất mà con tàu đạt được tại thời điểm \(t \approx 25\)(s).
(c)Trong \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, vận tốc của con tàu lớn nhất mà con tàu đạt được là \(10,33\,\)(km/s).
(d)Trong \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao con tàu đạt được khi vận tốc của con tàu lớn nhất là \(139,37\,\)(km).
a) Đúng.
\(h\left( t \right) = - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250 \Rightarrow h'\left( t \right) = - 0,03{t^2} + 2,2t - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 55 \notin \left( {0;50} \right)\\t = 18 \in \left( {0;50} \right)\end{array} \right.\)
b) Sai. Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy trong \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao thấp nhất mà con tàu đạt được tại thời điểm \(t \approx 18\left( {\rm{s}} \right)\).
c) Đúng.\(h\left( t \right) = - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250 \Rightarrow v\left( t \right) = h'\left( t \right) = - 0,03{t^2} + 2,2t - 30\)
\( \Rightarrow a\left( t \right) = v'\left( t \right) = - 0,06t + 2,2 = 0 \Leftrightarrow t \approx 37\).
Vận tốc của con tàu lớn nhất mà con tàu đạt được là \(10,33\,\,\left( {{\rm{km/s}}} \right)\).
d) Sai.\(h\left( t \right) = - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250 \Rightarrow v\left( t \right) = h'\left( t \right) = - 0,03{t^2} + 2,2t - 30\)
\( \Rightarrow a\left( t \right) = v'\left( t \right) = - 0,06t + 2,2 = 0 \Leftrightarrow t \approx 37\).
Khi đó: \({v_{{\rm{max}}}} = 10,33 \Leftrightarrow t \approx 37;\,\,\,\,h\left( {37} \right) = 139,37\)km.
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S\left( t \right) = 6{t^2} - {t^3}\). Vận tốc \(v\)(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm \(t\)(s) bằng bao nhiêu giây?
Ta có \(v = S'\left( t \right) = 12t - 3{t^2}\) suy ra \(v'\left( t \right) = 12 - 6t\) nên \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
Bảng biến thiên:
Do vậy \({v_{\max }} = 12\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) tại \(t = 2\,\left( {\rm{s}} \right)\).
Đáp án: 2.
Giả sử chi phí đặt hàng và vận chuyển \[C\] (đơn vị: triệu đồng) của một linh kiện được sử dụng trong sản xuất một sản phẩm được xác định theo công thức
\(C = \frac{{19200000}}{{{x^2}}} + \frac{{27x}}{{x + 3000}},\,\,x \ge 1\).
Trong đó \(x\) là số linh kiện được đặt hàng và vận chuyển. Tìm \(x\) để chi phí đặt hàng và vận chuyển cho mỗi linh kiện trên là nhỏ nhất.
Xét hàm số \(C = \frac{{19200000}}{{{x^2}}} + \frac{{27x}}{{x + 3000}},\,\,\left( {x \ge 1} \right)\) là chi phí đặt hàng và vận chuyển một linh kiện
Ta có \(C' = - \frac{{38400000}}{{{x^3}}} + \frac{{81000}}{{{{\left( {x + 3000} \right)}^2}}}\).
Cho \(C' = 0 \Leftrightarrow 12800{\left( {x + 3000} \right)^2} - 27{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 2400\).
Lập BBT cho hàm số trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\) ta thu được \({C_{\min }}\) khi \(x = 2400\).
Đáp án: 2400.
Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) vượt khoảng cách \[300\,{\rm{km}}\]để tới nơi sinh sản. Vận tốc dòng nước là \[6\,{\rm{km/h}}\]. Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là \[v{\rm{ km/h}}\] thì năng lượng tiêu hao của cả trong \(t\) giờ cho bởi công thức \(E\left( v \right) = c{v^3}t\) trong đó \(c\) là hàng số cho trước. \(E\) tính hằng Jun. Tình vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên (đơn vị: km/h), để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất?
Theo đề bài, vận tốc của cá khi bơi trên sông là \(v - 6\), khi đó thời gian để cá bơi đến nơi sinh sản là \(t = \frac{{300}}{{v - 6}}\).
Khi đó, \(E\left( v \right) = c{v^3}\frac{{300}}{{v - 6}}\) với \(v > 6\). Đặt \(x = v - 6\).
Bài năng lượng tiêu hao của cá được tính bởi hàm số:
\[f\left( x \right) = 300c\frac{{{{\left( {x + 6} \right)}^3}}}{x} = 300c\left( {{x^2} + 18x + 108 + \frac{{216}}{x}} \right)\] với \(x > 0\).
Ta có: \[f'\left( x \right) = 300c\left( {2x + 18 - \frac{{216}}{{{x^2}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + 18{x^2} - 216 = 0 \Rightarrow x = 3\].
Bảng biến thiên:
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\) hay khi vận tốc của cá khi nước đứng yên là \(v = 9\,{\rm{km/h}}\) thì cá ít tốn năng lượng nhất.
Đáp án: 9.
