Đề kiểm tra Toán 11 Kết nối tri thức Chương 7 có đáp án - Đề 1
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(B\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
\(BC \bot SC\).
\(BC \bot SA\).
\(BC \bot AB\).
\(BC \bot SB\).
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) nên \(BC \bot AB\) (1).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\). Chọn A.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(MN \bot BD\).
\(MN \bot SD\).
\(MN \bot SA\).
\(MN \bot SB\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\) (1).
Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SAC\).
Suy ra \(MN//AC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(MN \bot BD\). Chọn A.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, \(\widehat {SAB} = 60^\circ \). Góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CD\) có số đo là
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD\).
Suy ra \(\left( {SA,CD} \right) = \left( {SA,AB} \right) = \widehat {SAB} = 60^\circ \). Chọn C.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(B\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là
\(SB\).
\(BC\).
\(AB\).
\(AC\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(AC\). Chọn D.
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,b\) và \(a \bot \left( P \right)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(b \bot a \Rightarrow b//\left( P \right)\).
\(b \bot \left( P \right) \Rightarrow b \bot a\).
\(b \bot a \Rightarrow b \subset \left( P \right)\).
\(b \subset \left( P \right) \Rightarrow b \bot a\).
\(a \bot \left( P \right),b \subset \left( P \right) \Rightarrow b \bot a\). Chọn D.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(AB \bot \left( {SBC} \right)\).
\(BC \bot \left( {SAC} \right)\).
\(AB \bot \left( {SAC} \right)\).
\(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\). Chọn D.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Gọi \(H,K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên các cạnh \(SB,SC\). Khi đó:
Tam giác \(SBC\) cân tại \(B\).
\(AH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SC,HK} \right) = 90^\circ \).
Giả sử \(HK\) cắt \(BC\) tại \(D\). Khi đó \(\left( {AC,AD} \right) = 90^\circ \).
a) Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\)
\( \Rightarrow \Delta SBC\) là tam giác vuông tại \(B\).
b) Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SB\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
c) Vì \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(AH \bot SC\) mà \(AK \bot SC\)\( \Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\) hay \(\left( {SC,HK} \right) = 90^\circ \).
d) Vì \(HK \bot SC\) và \(AK \bot SC\) nên \(SC \bot \left( {ADK} \right) \Rightarrow AD \bot SC\) (1).
Mà \(SA \bot \left( {ADC} \right) \Rightarrow SA \bot AD\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(AD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow AD \bot AC\) hay \(\left( {AC,AD} \right) = 90^\circ \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\).
Thể tích của khối lập phương là \(3{a^3}\).
Độ dài đường chéo \(A'C = a\sqrt 2 \).
Góc giữa \(AC\) và \(A'D'\) bằng \(45^\circ \).
Khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {A'BD} \right)\) bằng \(3\sqrt 3 \).
a) \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {a^3}\).
b) \(A'C = a\sqrt 3 \).
c) Có \(ACC'A'\) là hình bình hành nên \(AC//A'C'\).
Khi đó \(\left( {AC,A'D'} \right) = \left( {A'C',A'D'} \right) = \widehat {D'A'C'} = 45^\circ \).
d) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
Ta có \(AO \bot BD\) mà \(AA' \bot BD\) nên \(BD \bot \left( {AOA'} \right)\).
Hạ \(AH \bot A'O\) và \(AH \bot BD\left( {BD \bot \left( {AOA'} \right)} \right)\) nên \(AH \bot \left( {A'BD} \right)\).
Suy ra \(d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right) = AH\).
Ta có \(AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét \(\Delta A'AO\) vuông tại \(A\), ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), cạnh bên \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 2 ,AD = 2AB = 2BC = 2a\). Tính côsin của góc nhị diện \(\left[ {A,SD,C} \right]\) (lấy kết quả đến hàng phần chục).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\). Khi đó \(ABCM\) là hình vuông.
Hạ \(MH \bot SD\).
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CM\) mà \(CM \bot AD\) nên \(CM \bot \left( {SAD} \right)\). Suy ra \(CM \bot SD\).
Lại có \(MH \bot SD\) nên \(SD \bot \left( {MHC} \right)\). Suy ra \(CH \bot SD\).
Do đó \(\left[ {A,SD,C} \right] = \left[ {M,SD,C} \right] = \widehat {MHC}\).
Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra \(\sin \widehat {SDA} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Xét \(\Delta MHD\) vuông tại \(H\), có \(\sin \widehat {SDA} = \frac{{MH}}{{MD}} \Rightarrow MH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vì \(CM \bot \left( {SAD} \right)\) nên \(CM \bot MH\). Do đó \(\Delta CMH\) vuông tại \(M\).
Có \(CH = \sqrt {C{M^2} + M{H^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{9}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
\(\cos \widehat {MHC} = \frac{{MH}}{{CH}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}:\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \frac{1}{2} = 0,5\).
Trả lời: 0,5.
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng 6. Mặt bên \(SAB\) tạo với đáy góc \(45^\circ \). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
Gọi \[O\] là tâm của hình vuông \(ABCD\).
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\).
Khi đó ta có \(OI \bot AB\) và \(OI = 3\).
Lại có \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AB\) mà \(OI \bot AB\) nên \(AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow AB \bot SI\).
Suy ra \(\left( {\left( {SAB} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {OI,SI} \right) = \widehat {SIO} = 45^\circ \).
Xét \(\Delta SOI\) vuông tại \(O\), \(\tan \widehat {SIO} = \frac{{SO}}{{OI}} \Rightarrow SO = OI = 3\).
Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {6^2} = 36\).
Trả lời: 36.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật có \(AB = 1,AD = 2\). Tam giác \(SAD\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\).
Vì \(\Delta SAD\) đều nên \(SH \bot AD\) mà \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Hạ \(HI \bot BD\) và \(SH \bot BD\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BD \bot \left( {SHI} \right)\).
Hạ \(HK \bot SI\) và \(HK \bot BD\left( {BD \bot \left( {SHI} \right)} \right)\) nên \(HK \bot \left( {SBD} \right)\).
Suy ra \(d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = HK\).
Có \(\Delta DIH\) đồng dạng \(DAB\) nên \(\frac{{DH}}{{DB}} = \frac{{IH}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{IH}}{{AB}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow IH = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Có \(\Delta SAD\) đều cạnh bằng 2 nên \(SH = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).
Xét \(\Delta SHI\) vuông tại \(H\), có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{3} + 5 = \frac{{16}}{3} \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\).
Lại có \(\frac{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{AD}}{{HD}} = 2 \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} \approx 0,87\).
Trả lời: 0,87.
