Đề kiểm tra Toán 11 Cánh diều Chương 8 có đáp án - Đề 2
11 câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\). Góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng nào sau đây?
\(SC\) và \(AB\).
\(SC\) và \(AC\).
\(SC\) và \(SA\).
\(SC\)và \(SB\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Do đó \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right)\). Chọn B.
Qua điểm \(O\) cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng D cho trước?
\(1\).
3.
2.
Vô số.
Qua điểm \(O\) cho trước, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng D cho trước. Chọn A.
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) (tham khảo hình vẽ).
Góc giữa hai đường thẳng \(BA'\) và \(CD\) bằng
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(\left( {BA',CD} \right) = \left( {BA',BA} \right) = \widehat {A'BA} = 45^\circ \). Chọn A.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hình hộp có các cạnh bằng nhau gọi là hình lập phương.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy.
Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật.
Hình hộp có các cạnh bằng nhau gọi là hình lập phương là mệnh đề sai. Chọn A.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB,SC\) (tham khảo hình vẽ).
Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là điểm nào?
\(H\).
\(B\).
\(C\).
\(K\).
Lời giải
Có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\).
Lại có \(AH \bot SB\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Do đó \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Chọn A.
Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\) và chiều cao bằng \(2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(B'C'\) bằng
\(2a\).
\(a\sqrt 3 \).
\(a\).
\(a\sqrt 2 \).
Do \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đều nên \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow AA' \bot B'C'\\AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AM\end{array} \right.\).
Do đó \(d\left( {AM,B'C'} \right) = AA' = 2a\). Chọn A.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\).
\(SA \bot BC\).
\(SD \bot \left( {ABCD} \right)\).
Góc giữa đường thẳng \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SCA}\).
Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là \(a\sqrt 2 \).
a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).
b) \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).
c) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SA\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).
d) Hạ \(AH \bot SB\) (1).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a;AA' = a\sqrt 3 \).
\(BD \bot \left( {ACC'A'} \right)\).
\(\left( {ADD'} \right) \bot \left( {ACC'A'} \right)\).
Khoảng cách giữa đường thẳng \(BC\) và mặt phẳng \(\left( {ADC'B'} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
a) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lăng trụ đều nên \(BD \bot AC\) và \(BD \bot AA'\). Do đó \(BD \bot \left( {ACC'A'} \right)\).
b) Ta có \(\left( {ADD'} \right) \cap \left( {ACC'A'} \right) = AA'\) mà \(AC \bot AA',AD \bot AA'\) nên
\(\left( {\left( {ADD'} \right),\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \left( {AD,AC} \right) = \widehat {DAC} = 45^\circ \).
c) Ta có \(AC' = \sqrt {{a^2} + {a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt 5 \); \(AB' = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\); \(B'C' = a\). Suy ra \(\Delta AB'C'\) vuông tại \(B'\).
Vì \(BC//B'C'\) nên \(BC//\left( {ADC'B'} \right)\).
Khi đó \(d\left( {BC,\left( {ADC'B'} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\).
Ta có \({V_{B.AB'C'}} = \frac{1}{3}d \cdot {S_{AB'C'}} = {V_{A.BB'C'}} = \frac{1}{3}AB \cdot \frac{1}{2}BB' \cdot B'C' = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot a\sqrt 3 \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
\(d = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{{S_{AB'C'}}}} = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
d) \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(BB'\) vuông góc với đáy, \(BB' = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(A'M\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\). Tính \(\tan \varphi \) (làm tròn đến hàng phần trăm).
Từ giả thiết suy ra \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng.
Gọi \(M'\) là trung điểm của \(B'C'\).
Suy ra \(MM'//BB'\) mà \(BB' \bot \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(MM' \bot \left( {A'B'C'} \right)\).
Do đó \(A'M'\) là hình chiếu của \(A'M\) lên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\).
Do đó \(\left( {A'M,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {A'M,A'M'} \right) = \widehat {MA'M'}\).
Ta có \(\Delta A'B'C'\) đều cạnh \(a\) nên \(A'M' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(MM' = BB' = 2a\).
Vì \(MM' \bot \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(MM' \bot A'M'\).
Xét \(\Delta A'M'M\) vuông tại \(M'\) , có \(\tan \widehat {MA'M'} = \frac{{MM'}}{{A'M'}} = \frac{{2a}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{4}{{\sqrt 3 }} \approx 2,31\).
Trả lời: 2,31.
Diện tích ba mặt của hình hộp chữ nhật lần lượt là \(15\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}},24\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}},40\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Tính thể tích của khối hộp đó theo đơn vị cm3.
Gọi độ dài cạnh của hình hộp chữ nhật như hình vẽ.
Theo đề ta có: \(ab = 15;bc = 24;ac = 40\).
Suy ra \[{\left( {abc} \right)^2} = 15 \cdot 24 \cdot 40 = 14400 \Rightarrow abc = 120\].
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là 120 cm3.
Trả lời: 120.
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2\sqrt 3 \). Góc nhị diện \(\left[ {A,CD,S} \right]\) bằng \(60^\circ \). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow SO \bot CD\) (1).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\). Khi đó \(OI \bot CD\) (2) và \(OI = \frac{{AD}}{2} = \sqrt 3 \).
Từ (1) và (2), suy ra \(CD \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow CD \bot SI\).
Khi đó \(\left[ {A,CD,S} \right] = \widehat {SIO} = 60^\circ \).
Xét \(\Delta SOI\) vuông tại \(O\), có \(SO = OI \cdot \tan 60^\circ = \sqrt 3 \cdot \tan 60^\circ = 3\).
Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 12\).
Trả lời: 12.
