a) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lăng trụ đều nên \(BD \bot AC\) và \(BD \bot AA'\). Do đó \(BD \bot \left( {ACC'A'} \right)\).

b) Ta có \(\left( {ADD'} \right) \cap \left( {ACC'A'} \right) = AA'\) mà \(AC \bot AA',AD \bot AA'\) nên

\(\left( {\left( {ADD'} \right),\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \left( {AD,AC} \right) = \widehat {DAC} = 45^\circ \).

c) Ta có \(AC' = \sqrt {{a^2} + {a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt 5 \); \(AB' = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\); \(B'C' = a\). Suy ra \(\Delta AB'C'\) vuông tại \(B'\).

Vì \(BC//B'C'\) nên \(BC//\left( {ADC'B'} \right)\).

Khi đó \(d\left( {BC,\left( {ADC'B'} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\).

Ta có \({V_{B.AB'C'}} = \frac{1}{3}d \cdot {S_{AB'C'}} = {V_{A.BB'C'}} = \frac{1}{3}AB \cdot \frac{1}{2}BB' \cdot B'C' = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot a\sqrt 3 \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

\(d = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{{S_{AB'C'}}}} = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

d) \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.

Từ giả thiết suy ra \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng.

Gọi \(M'\) là trung điểm của \(B'C'\).

Suy ra \(MM'//BB'\) mà \(BB' \bot \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(MM' \bot \left( {A'B'C'} \right)\).

Do đó \(A'M'\) là hình chiếu của \(A'M\) lên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\).

Do đó \(\left( {A'M,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {A'M,A'M'} \right) = \widehat {MA'M'}\).

Ta có \(\Delta A'B'C'\) đều cạnh \(a\) nên \(A'M' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(MM' = BB' = 2a\).

Vì \(MM' \bot \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(MM' \bot A'M'\).

Xét \(\Delta A'M'M\) vuông tại \(M'\) , có \(\tan \widehat {MA'M'} = \frac{{MM'}}{{A'M'}} = \frac{{2a}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{4}{{\sqrt 3 }} \approx 2,31\).

Trả lời: 2,31.

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow SO \bot CD\) (1).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\). Khi đó \(OI \bot CD\) (2) và \(OI = \frac{{AD}}{2} = \sqrt 3 \).

Từ (1) và (2), suy ra \(CD \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow CD \bot SI\).

Khi đó \(\left[ {A,CD,S} \right] = \widehat {SIO} = 60^\circ \).

Xét \(\Delta SOI\) vuông tại \(O\), có \(SO = OI \cdot \tan 60^\circ = \sqrt 3 \cdot \tan 60^\circ = 3\).

Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 12\).

Trả lời: 12.

Gọi độ dài cạnh của hình hộp chữ nhật như hình vẽ.

Theo đề ta có: \(ab = 15;bc = 24;ac = 40\).

Suy ra \[{\left( {abc} \right)^2} = 15 \cdot 24 \cdot 40 = 14400 \Rightarrow abc = 120\].

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là 120 cm³.

Trả lời: 120.