Bài tập ôn tập Toán 11 Cánh diều Chương 8 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc nào sau đây?
\(\widehat {SDC}\).
\(\widehat {SCD}\).
\(\widehat {DSA}\).
\(\widehat {SDA}\).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AD\) là hình chiếu của \(SD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó \(\left( {SD,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SD,AD} \right) = \widehat {SDA}\). Chọn D.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
\(\frac{a}{3}\).
\(a\).
\(\frac{a}{2}\).
\(a\sqrt 2 \).
\(d\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = AA' = a\). Chọn B.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt đáy. Đường thẳng \(CD\) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\).
\(\left( {SBD} \right)\).
Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\) và \(CD \bot AD\) nên \(CD \bot \left( {SAD} \right)\). Chọn A.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy (tham khảo hình vẽ).
Khi đó một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {S,BD,C} \right]\) là
\(\widehat {SCA}\).
\(\widehat {SOA}\).
\(\widehat {SOC}\).
\(\widehat {SOD}\).
Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\) mà \(AC \bot BD\) nên \(BD \bot \left( {SOA} \right) \Rightarrow BD \bot SO\).
Lại có \(CO \bot BD\).
Do đó một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {S,BD,C} \right]\) là \(\widehat {SOC}\). Chọn C.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right),\left( {SBD} \right)\) cùng vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(AC \bot \left( {SBD} \right)\).
\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(\left. \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\end{array} \right\} \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Chọn B.
Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Đường thẳng \(d\) được gọi là vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu \(d\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là mệnh đề sai. Chọn B.
Cho khối chóp có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\). Thể tích \(V\) của khối chóp đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
\(V = \frac{1}{2}Sh\).
\(V = Sh\).
\(V = \frac{2}{3}Sh\).
\(V = \frac{1}{3}Sh\).
\(V = \frac{1}{3}Sh\). Chọn D.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng vuông góc với nhau.
Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia.
Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Chọn B.
Trong không gian, cho đường thẳng \(d\) và điểm \(O\). Qua \(O\) có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(d\)?
\(3\).
\(2\).
Vô số.
\(1\).
Qua \(O\) có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(d\). Chọn C.
Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước 2, 4, 5. Thể tích của khối hộp đã cho bằng
\(\frac{{40}}{3}\).
\(10\).
40.
\(120\).
Thể tích của khối hộp là \(V = 2 \cdot 4 \cdot 5 = 40\). Chọn C.
Cho hình chóp \(S.MNPQ\) có đáy là hình chữ nhật và \(SM\) vuông góc với đáy.
Khoảng cách giữa \(SM\) và \(PQ\) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
\(SP\).
\(MP\).
\(MN\).
\(MQ\).
Vì \(SM \bot \left( {MNPQ} \right) \Rightarrow SM \bot MQ\) và \(PQ \bot MQ\).
Do đó \(d\left( {SM,PQ} \right) = MQ\). Chọn D.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(AM\) và \(AH\) lần lượt là đường trung tuyến và đường cao của tam giác \(ABC\). Khoảng cách từ \(S\) đến \(BC\) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
\(SA\).
\(SM\).
\(SB\).
\(SH\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot BC\) và \(AH \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\).
Khoảng cách từ \(S\) đến \(BC\) bằng độ dài đoạn thẳng \(SH\). Chọn D.
Cho hình chóp đều \(S.ABC\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(H\) là trung điểm của \(BC\). Khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( {ABC} \right)\) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
\(SA\).
\(SG\).
\(SB\).
\(SH\).
Vì \(S.ABC\) là hình chóp đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\). Do đó \(d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SG\). Chọn B.
Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) là
\(\widehat {AC'A'}\).
\(\widehat {AC'C}\).
\(\widehat {C'CA'}\).
\(\widehat {ACC'}\).
Vì \(AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(A'C'\) là hình chiếu của \(AC'\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\).
Do đó \(\left( {AC',\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {AC',A'C'} \right) = \widehat {AC'A'}\). Chọn A.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), \(O'\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CC'\) và \(B'D'\) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
\(C'D'\).
\(B'C'\).
\(C'O'\).
\(A'O'\).
Có \(CC' \bot C'O'\) và \(C'O' \bot B'D'\) nên \(d\left( {CC',B'D'} \right) = C'O'\). Chọn C.
Cho tứ diện \(S.ABC\) có cạnh \(SA,SB,SC\) đôi một vuông góc và \(SA = SB = SC = 1\). Gọi \(\varphi \) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\). Tính \(\tan \varphi \).
\(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
\(\sqrt 2 \).
\(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
\(\frac{1}{{2\sqrt 3 }}\).
Có \(SA \bot SB,SA \bot SC\) nên \(SA \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (1).
Gọi \(M\)là trung điểm của \(BC\).
Vì \(\Delta SBC\) cân tại \(S\) nên \(SM \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AM\).
Suy ra \(\widehat {SMA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện\(\left[ {S,BC,A} \right]\).
Xét \(\Delta SBC\), có \(SM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + S{B^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(S\), có \(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{SM}} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 \). Chọn B.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu hình hộp có bốn mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
Nếu hình hộp có ba mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
Nếu hình hộp có năm mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
Nếu hình hộp có hai mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
Nếu hình hộp có năm mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật là mệnh đề đúng. Chọn C.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), \(AB = BC = 1,AD = 2\). Cạnh bên \(SA = 2\) và vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là
\(V = 1\).
\(V = \frac{1}{3}\).
\(V = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(V = 2\).
Ta có \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot \frac{{\left( {AD + BC} \right) \cdot AB}}{2} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{{\left( {2 + 1} \right) \cdot 1}}{2} = 1\). Chọn A.
Cho khối lăng trụ có chiều cao bằng \(a\) và đáy là hình vuông có cạnh bằng \(3a\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
\(27{a^3}\).
\(9{a^3}\).
\(6{a^3}\).
\(3{a^3}\).
Thể tích của khối lăng trụ là \(V = Sh = {\left( {3a} \right)^2} \cdot a = 9{a^3}\). Chọn B.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, cạnh bên \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AB = a,AD = 2a\). Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).
\(a\sqrt 3 \).
\(a\sqrt 5 \).
\(2a\).
\(a\).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot AB\) và \(AB \bot AD\) nên \(AB \bot \left( {SAD} \right)\).
Do đó \(d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right) = AB = a\). Chọn D.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\)?
\(\left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\).
\(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD \bot AC\) và \(SA \bot BD\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\).
Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\). Chọn B.
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a\sqrt 2 ;AD = a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\).
\(a\sqrt 5 \).
\(a\sqrt {30} \).
\(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
\(\frac{{a\sqrt {30} }}{5}\).
Có \(BO \bot AC,BO \bot AA' \Rightarrow BO \bot \left( {ACC'A'} \right)\).
Do đó \(d\left( {B,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = BO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{\sqrt {2{a^2} + 3{a^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\). Chọn C.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
Song song với nhau.
Trùng nhau.
Không song với nhau.
Hoặc song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì hoặc song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba. Chọn D.
Khẳng định nào sau đây đúng?
Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước.
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước.
Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó là mệnh đề đúng. Chọn D.
Cho khối lập phương có độ dài đường chéo bằng \(6\sqrt 3 \). Thể tích của khối lập phương đã cho bằng
\(216\).
\(18\).
\(36\).
\(72\).
Khối lập phương có độ dài đường chéo bằng \(6\sqrt 3 \). Suy ra cạnh của khối lập phương là 6.
Thể tích của khối lập phương là \({6^3} = 216\). Chọn A.
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng \({a^2}\sqrt 3 \) và chiều cao bằng \(2a\). Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
\(2{a^3}\sqrt 3 \).
\(\frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
Thể tích khối lăng trụ là \(V = {a^2}\sqrt 3 \cdot 2a = 2\sqrt 3 {a^3}\). Chọn A.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
Có\(SA \bot \left( {ABC} \right)\) mà \(SA \subset \left( {SAB} \right),SA \subset \left( {SAC} \right)\) nên \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\); \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
Có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\). Chọn D.
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) không đi qua \(S\), song song với mặt phẳng đáy \(ABCD\) cắt các cạnh bên \(SA,SB,SC,SD\) lần lượt tại \(M,N,P,Q\). Hình \(ABCD.MNPQ\) là hình gì?
Hình lăng trụ.
Hình chóp.
Hình chóp đều.
Hình chóp cụt đều.
\(ABCD.MNPQ\) là hình chóp cụt đều. Chọn D.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(AB \bot BC\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\) là góc nào sau đây?
\(\widehat {SBA}\).
\(\widehat {SCA}\).
\(\widehat {SCB}\).
\(\widehat {SIA}\).
Có \(BC \bot AB\) và \(SA \bot BC\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SB\).
Do đó \(\widehat {SBA}\) là góc phằng nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\). Chọn A.
Cho các đường thẳng \(a,b\) và các mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\\a \subset \left( \alpha \right)\\b \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \subset \left( \alpha \right)\\b \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\a \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\a \bot b\end{array} \right. \Rightarrow b//\left( \alpha \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\a \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\). Chọn C.
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh bên bằng \(2a\), cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
Diện tích đáy của khối chóp là \(2{a^3}\).
Chiều cao của khối chóp \(S.ABCD\) là \(SO\).
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt {14} }}{6}\).
Gọi \(P\) là trung điểm của \(SA\), khi đó \({V_{P.OAB}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\).
a) \({S_{ABCD}} = {a^2}\).
b) Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
c) Ta có \(AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét \(\Delta SOA\) vuông tại \(O\), \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {4{a^2} - \frac{{2{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\).
Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt {14} }}{2} \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt {14} }}{6}\).
d) Vì \(P\) là trung điểm của \(SA\) nên \(d\left( {P,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}SO\).
\({S_{AOB}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}}\).
Do đó \({V_{P.AOB}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}SO \cdot \frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\), cạnh bên \(AA' = a\sqrt 3 \), \(M\) là trung điểm của \(BC\).
\(AM\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AA'\) và \(BC\).
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) là \(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) bằng \(a\sqrt 2 \).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) là \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
a) Vì \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AM\).
Vì \(\Delta ABC\) đều, \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AM \bot BC\).
Suy ra \(AM\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AA'\) và \(BC\).
b) Hạ \(AH \bot A'M\) (1).
Vì \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot BC\) mà \(AM \bot BC\) nên \(AM\)\(BC \bot \left( {AMA'} \right) \Rightarrow BC \bot AH\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\).
Khi đó \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\).
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét \(\Delta AMA'\) vuông tại \(A,\)có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{5}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
c) \(d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA' = a\sqrt 3 \).
d) \(d\left( {AA',BC} \right) = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hình chóp đều.
Tất cả những cạnh của hình chóp đều bằng nhau.
Đáy của hình chóp đều là một đa giác đều.
Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân.
Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy.
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Hình chiếu của đỉnh trên mặt phẳng đáy là tâm của mặt đáy.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Góc tạo bởi \(SC\) và mặt phẳng đáy bằng \(45^\circ \).
\(d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = a\sqrt 2 \).
\(\widehat {SCA} = 45^\circ \).
\(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA\).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Khi đó \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA} = 45^\circ \).
Có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), \(SA = AC \cdot \tan \widehat {SCA} = a\sqrt 2 \cdot \tan 45^\circ = a\sqrt 2 \).
b) Theo câu a, \(\widehat {SCA} = 45^\circ \).
c) Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
d) \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\) mà \(BD \bot AC\) (do \(ABCD\) là hình vuông) nên \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a;BC = a\sqrt 3 ,SA = a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
\(SA \bot AB\).
\(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
Đặt \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\). Giá trị của \(\tan \alpha = \frac{1}{2}\).
a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\).
b) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
c) Có \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\) mà \(AB \bot SA,AC \bot SA\) nên \(\left( {\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)} \right) = \widehat {BAC}\).
d) Ta có \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) nên \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).
Có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), ta có \(\tan \alpha = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a,AC = \sqrt 3 a,SA = 2a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(\alpha \)là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).
Thể tích khối chóp đã cho bằng \(\frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
\(SB \bot AC\).
Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \).
\(\tan \alpha = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
a) \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt 3 a = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
b) Có \[SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC\] mà \(AB \bot AC\) nên \(AC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AC \bot SB\).
c) Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Khi đó \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 a}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {SCA} \approx 49,1^\circ \).
d) Hạ \(AH \bot BC\) (1).
Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\] (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\).
Do đó \(\widehat {SHA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\).
Xét \(\Delta SHA\) vuông tại \(A\), \(\tan \alpha = \tan \widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{2a}}{{\frac{{\sqrt 3 a}}{2}}} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(BA = a,BC = \sqrt 3 a,AA' = 2a\).
Góc giữa \(AC'\) và \(\left( {ABB'A'} \right)\) là \(\widehat {B'AC'}\).
Thể tích lăng trụ đã cho bằng \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
Hai mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) vuông góc nhau.
Khoảng cách giữa \(AA'\) và \(BC'\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
a) Ta có \(B'C' \bot A'B'\) và \(BB' \bot B'C'\) nên \(B'C' \bot \left( {ABB'A'} \right)\).
Do đó \(AB'\) là hình chiếu của \(AC'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\).
Suy ra \(\left( {AC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \left( {AC',AB'} \right) = \widehat {B'AC'}\).
b) \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA' \cdot {S_{ABC}} = 2a \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt 3 = {a^3}\sqrt 3 \).
c) Do \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(\left( {BCC'B'} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
d) Có \(AA' \bot AB\) và \(AB \bot BC'\)(do \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right)\)).
Suy ra \(d\left( {AA',BC'} \right) = AB = a\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \).
\(BC \bot SA\).
\(BD \bot \left( {SAB} \right)\).
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}\).
a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot BC\).
b) Có \(DA \bot AB\) và \(SA \bot AD\) nên \(AD \bot \left( {SAB} \right)\).
Suy ra \(\left( {BD,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {BD,BA} \right) = \widehat {ABD} = 45^\circ \).
Do đó \(BD\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
c) \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3 \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
d) \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau.
\(AC \bot AD\).
\(AB \bot \left( {ACD} \right)\).
\(AB \bot AC\).
\(AB \bot \left( {ABC} \right)\).
a) \(AC \bot AD\).
b) Ta có \(AB \bot AC,AB \bot AD\) nên \(AB \bot \left( {ACD} \right)\).
c) \(AB \bot AC\).
d) \(AB \subset \left( {ABC} \right)\) nên \(AB\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 2 \)
Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) bằng \(45^\circ \).
\(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
a) Hạ \(AH \bot SD\) (1).
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\) mà \(CD \bot AD\) nên \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(AH \bot \left( {SCD} \right)\).
Ta có \(d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).
Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A\), có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
b) Có \(AB \bot BC\) mà \(BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).
Suy ra \(\widehat {SBA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {SBA} \approx 54,7^\circ \).
c) Theo câu b, \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
d) \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 2 \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) cạnh bằng 2, \(SO = \sqrt {11} ,SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
\(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(2\) nên \(AO = \frac{{AC}}{2} = \sqrt 2 \).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AO\).
Xét tam giác vuông \(SAO\), có \(SA = \sqrt {S{O^2} - A{O^2}} = \sqrt {11 - 2} = 3\).
Thể tích \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {2^2} = 4\).
Trả lời: 4.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh bằng 3, tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\). Tính khoảng cách từ điểm \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\). Suy ra \(MH \bot CD\) (1).
Hạ \(MK \bot SH\) (3).
Vì \(\Delta SAB\) đều, \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(SM \bot AB\).
Vì \(\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SM \bot AB\\SM \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot CD\)(2).
Từ (1) và (2), suy ra \(CD \bot \left( {SMH} \right)\)\( \Rightarrow CD \bot MK\) (4).
Từ (3) và (4), suy ra \(MK \bot \left( {SCD} \right)\).
Khi đó \(d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = MK\).
Ta có \(SM = \frac{{3\sqrt 3 }}{2},MH = 3\).
Xét \(\Delta SMK\) vuông tại \(M\), ta có \(\frac{1}{{M{K^2}}} = \frac{1}{{S{M^2}}} + \frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{4}{{27}} + \frac{1}{9} = \frac{7}{{27}} \Rightarrow MK = \frac{{3\sqrt {21} }}{7}\).
Có \(\frac{{d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{GS}}{{MS}} = \frac{2}{3}\)\( \Rightarrow d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{3\sqrt {21} }}{7} \approx 1,31\).
Trả lời: 1,31.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\), cạnh bằng \(4a\), góc \(\widehat {ABC} = 60^\circ \), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 7 \). Tính tan của góc nhị diện \(\left[ {S,BD,A} \right]\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AO \bot BD\) (1).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra\(BD \bot \left( {SAO} \right) \Rightarrow BD \bot SO\).
Do đó \(\left[ {S,BD,A} \right] = \widehat {SOA}\).
Xét \(\Delta ABC\) có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}\)\( = 16{a^2} + 16{a^2} - 2 \cdot 4a \cdot 4a \cdot \cos 60^\circ = 16{a^2}\).
Suy ra \(AC = 4a \Rightarrow AO = \frac{{AC}}{2} = 2a\).
Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{AO}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{{2a}} \approx 1,32\).
Trả lời: 1,32.
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\), đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB = 2,AC = 2\sqrt 2 \). Đường thẳng \(C'B\) tạo với mặt phẳng đáy bằng một góc \(45^\circ \). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Ta có \(BB' \bot \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(B'C'\) là hình chiếu của \(BC'\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\).
Khi đó \(\left( {C'B,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {C'B,B'C'} \right) = \widehat {BC'B'} = 45^\circ \).
Tam giác \(A'B'C'\) vuông tại \(A'\) nên \(B'C' = \sqrt {4 + 8} = 2\sqrt 3 \).
Xét \(\Delta BB'C'\) vuông tại \(B'\), ta có \(BB' = B'C' \cdot \tan 45^\circ = 2\sqrt 3 \).
Khi đó \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB' \cdot {S_{ABC}} = 2\sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt 2 \approx 9,8\).
Trả lời: 9,8.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = a,BC = 2a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa \(SB\) và mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ \). Giả sử thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\frac{{\sqrt k {a^3}}}{k}\). Tìm giá trị \(k\).
Có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AB\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Khi đó \(\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), có \(SA = AB \cdot \tan 60^\circ = a\sqrt 3 \).
Khi đó \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\). Suy ra \(k = 3\).
Trả lời: 3.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng 1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BB'\) và \(A'C'\) bằng \(\frac{{\sqrt a }}{b}\). Tính tổng \(a + b\).
Gọi \(O'\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\). Suy ra \(B'O' \bot A'C'\).
Lại có \(BB' \bot B'O'\).
Suy ra \(d\left( {BB',A'C'} \right) = B'O'\).
Có \(B'O' = \frac{{B'D'}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Suy ra \(a + b = 4\).
Trả lời: 4.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = \sqrt 5 \). Gọi \(M,N\) là trung điểm của \(SA\) và \(CD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(SC\) (làm tròn đến hàng phần trăm).
Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SD,AB\).
Ta có \(NP\) đường trung bình của \(\Delta SCD\) nên \(NP//SC\)\( \Rightarrow SC//\left( {MPN} \right)\).
Khi đó \(d\left( {SC,MN} \right) = d\left( {SC,\left( {MPN} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {MPN} \right)} \right)\).
Lại có \(\left( {MPN} \right) \equiv \left( {MPNQ} \right)\). Do đó \(d\left( {S,\left( {MPN} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {MPNQ} \right)} \right)\).
Kẻ \(AH \bot MQ\) (1).
Ta có \(SA \bot QN,QN \bot AB \Rightarrow QN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow QN \bot AH\) (2).
Từ (1) và (2), ta có \(AH \bot \left( {MPNQ} \right)\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {MPNQ} \right)} \right) = AH\).
Ta có \(AM = \frac{{SA}}{2} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};AQ = \frac{{AB}}{2} = 1\).
Xét \(\Delta MAQ\) vuông tại \(A\), ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{Q^2}}} = \frac{4}{5} + 1 = \frac{9}{5} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Lại có \(\frac{{d\left( {S,\left( {MPNQ} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {MPNQ} \right)} \right)}} = \frac{{MS}}{{MA}} = 1 \Rightarrow d\left( {S,\left( {MPNQ} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {MPNQ} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \approx 0,75\).
Trả lời: 0,75.
Trong không gian, cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(AB = 2\) và \(SO = 3\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\).
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {2^2} = 4\).
Trả lời: 4.
Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng 5, độ dài cạnh bên bằng \(20\). Biết mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(\widehat {B'BC} = 30^\circ \). Tính thể tích khối chóp \(A.CC'B\)(kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Hạ \(B'H \bot BC\) mà \(\left( {BCC'B'} \right) \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow B'H \bot \left( {ABC} \right)\).
Xét \(\Delta BB'H\), có \(B'H = BB'.\sin \widehat {B'BC} = 20 \cdot \sin 30^\circ = 10\).
Có \(\Delta ABC\) đều cạnh bằng 5 nên \({S_{ABC}} = \frac{{25\sqrt 3 }}{4}\).
Ta có \({V_{A.CC'B}} = {V_{C'.ABC}} = \frac{1}{3}d\left( {C',\left( {ABC} \right)} \right) \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3}d\left( {B',\left( {ABC} \right)} \right) \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot B'H \cdot {S_{ABC}}\)
\( = \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot \frac{{25\sqrt 3 }}{4} = \frac{{125\sqrt 3 }}{6} \approx 36,1\).
Trả lời: 36,1.
Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có \(AB' = 12\), diện tích của tam giác \(A'BC\) bằng 3 và đường thẳng \(AB'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) một góc \(30^\circ \). Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AB'\) và \(A'B\). Suy ra \(AO = \frac{{AB'}}{2} = 6\).
Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = 3{V_{A'.ABC}} = 3{V_{A.A'BC}}\).
Ta có \({V_{A.A'BC}} = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) \cdot {S_{A'BC}}\).
Mà \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AO \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot \sin 30^\circ = 3\).
Khi đó \({V_{A.A'BC}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 = 3\). Do đó \({V_{ABC.A'B'C'}} = 3 \cdot 3 = 9\).
Trả lời: 9.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(H,M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,SA,CD\).
a) Chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) và tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
b) Gọi \(\alpha \) là số đo góc nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\). Tính \(\cos \alpha \).
c) Tính theo \(a\) khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BM\) và \(SN\).
a) Vì \(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB\) mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Vì \(\Delta SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\); \({S_{ABCD}} = AB \cdot BC \cdot \sin \widehat {ABC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{4}\).
b) Dễ thấy \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AC = BC = a\). Suy ra các tam giác \(SAC\) và \(SBC\) lần lượt cân tại \(A\) và \(B\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC\). Suy ra \(AI \bot SC\) và \(BI \bot SC\).
Do đó \(\widehat {AIB}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\).
Ta có \(S{C^2} = S{H^2} + C{H^2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow S{I^2} = I{C^2} = \frac{{3{a^2}}}{8}\).
\(I{A^2} = S{A^2} - S{I^2} = \frac{{5{a^2}}}{8}\).
Tương tự \(I{B^2} = \frac{{5{a^2}}}{8}\).
Khi đó \(\cos \alpha = \cos \widehat {AIB} = \frac{{I{A^2} + I{B^2} - A{B^2}}}{{2IA \cdot IB}} = \frac{1}{5}\).
c) Ta có \(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AN \bot CD \Rightarrow AN \bot AB \Rightarrow AN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SAN} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow BM \bot SA \Rightarrow BM \bot \left( {SAN} \right)\).
Dựng \(MK \bot SN\) tại \(K\)\( \Rightarrow MK\) là đoạn vuông góc chung của \(BM\) và \(SN\).
Khi đó \(d\left( {BM,SN} \right) = MK\).
Ta có \(MK = MS \cdot \sin \widehat {MSK} = MS \cdot \frac{{AN}}{{SN}} = MS \cdot \frac{{AN}}{{\sqrt {S{A^2} + A{N^2}} }} = \frac{a}{2} \cdot \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).
Vậy \(d\left( {BM,SN} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), cạnh bên bằng \(3a\).
a) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\).
a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(ABCD\) là hình vuông và \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Xét \(\Delta ACD\) vuông tại \(D\), có \(AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}} = 2a\sqrt 2 \Rightarrow OC = OD = a\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SOC\) vuông tại \(O\), ta có \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = a\sqrt 7 \).
Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 7 \cdot 4{a^2} = \frac{{4{a^3}\sqrt 7 }}{3}\).
b) Ta có \(\frac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2 \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = 2h\).
Do tứ diện \(S.OCD\) có \(OS,OC,OD\) đôi một vuông góc nên
\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 7 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{8}{{7{a^2}}}\)\( \Rightarrow h = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}\).
Vậy \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) cách điểm \(A\) một khoảng bằng \(2a\) và tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) góc \(30^\circ \). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Do \(\Delta ABC\) đều nên \(AI \bot BC\) mà \(BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\) nên \(BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI\).
Do đó \(\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SIA} = 30^\circ \).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SI\). Suy ra \(AH \bot SI\).
mà \(BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AH\). Do đó \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = 2a\).
Xét \(\Delta AHI\) vuông tại \(H\) suy ra \(AI = \frac{{AH}}{{\sin 30^\circ }} = 4a\).
Xét \(\Delta SAI\) vuông tại \(A\) suy ra \(SA = AI \cdot \tan 30^\circ = \frac{{4a}}{{\sqrt 3 }}\).
Giả sử tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(x\) mà \(AI\) là đường cao suy ra \(4a = x\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{8a}}{{\sqrt 3 }}\).
Diện tích tam giác đều \(ABC\) là \({S_{ABC}} = {\left( {\frac{{8a}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{16{a^2}\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{{16{a^2}\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{4a}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{64{a^3}}}{9}\).
Một miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng chiều cao 5 cm và độ dài các cạnh đáy lần lượt là 7 cm, 7 cm, 4 cm. Tính thể tích của miếng pho mát trên.
Nửa chu vi tam giác đáy của khối lăng trụ là \(P = 9\).
Diện tích đáy \(S = \sqrt {9 \cdot \left( {9 - 7} \right) \cdot \left( {9 - 7} \right) \cdot \left( {9 - 4} \right)} = 6\sqrt 5 \) (cm2).
Thể tích khối pho mát là \(V = 6\sqrt 5 \cdot 5 = 30\sqrt 5 \) cm3.
Người ta mài một phiến đá để được một khối chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn bằng 30 cm, cạnh đáy nhỏ bằng 10 cm và cạnh bên bằng 25 cm. Tính thể tích của khối chóp cụt tạo thành.
Giả sử hình chóp cụt tạo thành có dạng \(ABC.A'B'C'\) như hình vẽ.
Gọi \(G,G'\) lần lượt là trọng tâm của \(\Delta ABC,\Delta A'B'C'\).
Khi đó \(GG'\) là đường cao của hình chóp cụt đều.
Gọi \(H\) là hình chiếu của của \(A'\) trên \(AG\).
Ta có \(A'G' = \frac{2}{3} \cdot \frac{{10\sqrt 3 }}{2} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\); \(AG = \frac{2}{3} \cdot \frac{{30\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 3 \).
Có \(AH = AG - HG = 10\sqrt 3 - \frac{{10\sqrt 3 }}{3} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\).
Xét tam giác vuông \(AHA'\), có \(A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{25}^2} - {{\left( {\frac{{20\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt {177} }}{3}\).
Khi đó \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{A'H}}{3}\left( {{S_1} + {S_2} + \sqrt {{S_1}{S_2}} } \right) = \frac{{5\sqrt {177} }}{9}\left( {\frac{{{{30}^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{{10}^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{300\sqrt 3 }}{4}} \right) = \frac{{1625\sqrt {59} }}{3}\) cm3.
