Đề kiểm tra Toán 11 Cánh diều Chương 1 có đáp án - Đề 1
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Đường cong trong hình sau đây là đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) trên đoạn \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\):
Khẳng định nào dưới đây sai?
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \).
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
Hàm số \(y = \sin x\) có tập giá trị là \(\left[ { - 1;1} \right]\).
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ. Chọn D.
Cho góc lượng giác α thỏa mãn \(\sin \alpha = - \frac{4}{5}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Giá trị của \(\cos \alpha \)bằng
\( - \frac{3}{5}\).
\( - \frac{3}{{25}}\).
\(\frac{9}{{25}}\).
\(\frac{3}{5}\).
Có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{ - 4}}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\).
Mà \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{3}{5}\). Chọn A.
Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{5}\). Khi đó \(\cos 2\alpha \) bằng
\(\frac{{17}}{{25}}\).
\(\frac{{17}}{5}\).
\( - \frac{3}{5}\).
\(\frac{3}{5}\).
\(\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} = \frac{{17}}{{25}}\). Chọn A.
Trong các công thức lượng giác dưới đây, công thức nào đúng.
\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\).
\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{\tan a\tan b}}\).
\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{\tan a + \tan b}}\).
\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\). Chọn A.
Tập xác định của hàm số \(y = \cot x\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Điều kiện: \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Tập xác định của hàm số \(y = \cot x\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\). Chọn C.
Nghiệm của phương trình \(\sin x = 1\) là
\(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(\sin x = 1\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Chọn D.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho góc lượng giác α thỏa mãn \(\tan \alpha = 3\).
\(\cot \alpha = \frac{1}{3}\).
\(\tan \left( {\alpha + 3\pi } \right) = 3 + 3\pi \).
\(\tan \left( { - \alpha } \right) = - 3\).
\(\cot 2\alpha = - \frac{4}{3}\).
a) \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\).
b) \(\tan \left( {\alpha + 3\pi } \right) = \tan \alpha = 3\).
c) \(\tan \left( { - \alpha } \right) = - \tan \alpha = - 3\).
d) \(\cot 2\alpha = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}{{2\tan \alpha }} = \frac{{1 - {3^2}}}{{2.3}} = - \frac{4}{3}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \cos \left( { - x} \right)\) xác định trên tập D.
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\},k \in \mathbb{Z}\).
\(y = - \cos x,\forall x \in D\).
\(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Tổng các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 1\) trên khoảng \(\left[ { - \pi ;6\pi } \right]\) là \(12\pi \).
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
b) \(y = f\left( x \right) = \cos x,\forall x \in D\).
c) \(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( { - x} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \cos x = 1\)\( \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
d) Vì \(x \in \left[ { - \pi ;6\pi } \right]\) nên \( - \pi \le k2\pi \le 6\pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le k \le 3\). Mà k Î ℤ nên \(k = 0;k = 1;k = 2;k = 3\).
Khi đó ta có các nghiệm \(x = 0;x = 2\pi ;x = 4\pi ;x = 6\pi \).
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là \(12\pi \).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều, độ sâu L (tính theo đơn vị mét) của mực mước trong kênh theo thời gian t (giờ) được cho bởi công thức \(L = 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) + 14\). Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất là \(t = \frac{a}{b}\) (giờ) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của \(a \cdot b\).
Ta có \( - 3 \le 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) \le 3\)\( \Leftrightarrow 11 \le 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) + 14 \le 17\).
Do đó mực nước của kênh cao nhất khi \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + 8k\).
Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất thì k = 0.
Do đó \(t = \frac{2}{3}\). Suy ra \(a = 2;b = 3 \Rightarrow ab = 6\).
Trả lời: 6.
Cho góc lượng giác \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) và có \(\sin x = \frac{1}{3}\). Tính giá trị biểu thức \(A = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\) (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Vì \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) nên \(\cos x < 0\).
Mà \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\) \( \Rightarrow \cos x = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(A = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\cos x + \sin \frac{\pi }{4}\sin x\)\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{3} \approx - 0,4\).
Trả lời: −0,4.
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) + 1 = 0\) có dạng \(x = \frac{a}{b}\pi \) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(T = a + b\).
\(\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x = \pi + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3\pi }}{4} + k2\pi \).
Vì nghiệm của phương trình là nghiệm dương nhỏ nhất nên \(k = 1\).
Do đó \(x = \frac{{5\pi }}{4}\). Suy ra \(a = 5;b = 4\). Vậy T = 5 + 4 = 9.
Trả lời: 9.
