Vì \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) nên \(\cos \alpha < 0\).

Có \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\) \( \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{4}{5}\). Chọn B.

Lời giải

\(\sin \frac{\pi }{5}.\cos \frac{\pi }{{30}} + \sin \frac{\pi }{{30}}\cos \frac{{4\pi }}{5}\)\( = \sin \frac{\pi }{5}.\cos \frac{\pi }{{30}} + \sin \frac{\pi }{{30}}\cos \left( {\pi - \frac{\pi }{5}} \right)\)\( = \sin \frac{\pi }{5}.\cos \frac{\pi }{{30}} - \cos \frac{\pi }{5}\sin \frac{\pi }{{30}}\)\( = \sin \left( {\frac{\pi }{5} - \frac{\pi }{{30}}} \right)\)\( = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\). Chọn B.

\(A = \frac{{\sin \frac{\pi }{9} + \sin \frac{{5\pi }}{9}}}{{\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9}}}\)\( = \frac{{2\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{{2\pi }}{9}}}{{2\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{{2\pi }}{9}}}\)\( = \sqrt 3 \). Chọn C.

\(A = \frac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\sin x + \cos x}}\)\( = \frac{{\cos 2x}}{{\sin x + \cos x}}\)\( = \frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}\)\( = \cos x - \sin x\). Chọn B.

\(P = \sin \left( {\pi + \alpha } \right)\cos \left( {\pi - \alpha } \right)\)\( = \sin \alpha \cos \alpha \).

\(Q = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\)\( = - \cos \alpha \sin \alpha \).

Suy ra \(P + Q = 0\). Chọn A.

\(\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = - \tan \alpha < 0\) vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) \( \Rightarrow \tan \alpha > 0\).

Có \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\)\( \Rightarrow \frac{{5\pi }}{2} < \frac{{3\pi }}{2} + \alpha < 3\pi \)\( \Rightarrow \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + \alpha } \right) < 0\).

Ta có \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\)\( \Rightarrow - \frac{{3\pi }}{2} < - \alpha < - \pi \)\( \Rightarrow 0 < \frac{{3\pi }}{2} - \alpha < \frac{{3\pi }}{2} - \pi \)\( \Rightarrow 0 < \frac{{3\pi }}{2} - \alpha < \frac{\pi }{2}\).

Do đó \(\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) > 0;\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) > 0 \Rightarrow \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) > 0\). Chọn B.

\(Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\)\( = \frac{{3\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 4}}{{1 + 2\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}\)\( = \frac{{3\tan x - 4}}{{1 + 2\tan x}}\)\( = \frac{{3.5 - 4}}{{1 + 2.5}} = 1\). Chọn A.

Phương trình \(\sin x = m\)có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\). Chọn D.

\(\sin 2x = 1\)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Chọn A.

\(\cos x = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \). Chọn A.

Điều kiện: \(\cos 2x \ne 0\)\( \Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).

\(\sqrt 3 \tan 2x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \tan 2x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\).

Kết hợp điều kiện ta có \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\). Chọn C.

Điều kiện: \(\sin \left( {x + 45^\circ } \right) \ne 0\)\( \Leftrightarrow x + 45^\circ \ne k180^\circ \)\( \Leftrightarrow x \ne - 45^\circ + k180^\circ \).

\(\cot \left( {x + 45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Leftrightarrow \cot \left( {x + 45^\circ } \right) = \cot 60^\circ \)\( \Leftrightarrow x + 45^\circ = 60^\circ + k180^\circ \)\( \Leftrightarrow x = 15^\circ + k180^\circ \).

\(2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in \left[ {\pi ;2\pi } \right]\) nên \(\pi \le - \frac{\pi }{3} + k\pi \le 2\pi \)\( \Leftrightarrow \frac{4}{3} \le k \le \frac{7}{3}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên k = 2.

Do đó phương trình \(2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\) có 1 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\pi ;2\pi } \right]\). Chọn B.

Điều kiện: \(\cos x \ne 0\)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

\(\tan x = \tan \frac{{3\pi }}{8}\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \).

Vì \(x \in \left( {\frac{\pi }{4};2\pi } \right)\) nên \(\frac{\pi }{4} < \frac{{3\pi }}{8} + k\pi < 2\pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{8} < k < \frac{{13}}{8}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên k = 0; k = 1.

Suy ra các nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{3\pi }}{8};x = \frac{{11\pi }}{8}\).

Khi đó tổng các nghiệm của phương trình là \(\frac{{3\pi }}{8} + \frac{{11\pi }}{8} = \frac{{7\pi }}{4}\). Chọn A.

\(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\)\( \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \sin x\)\( \Leftrightarrow \cos x = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Chọn A.

\(\sin x = \sqrt 3 \cos x\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0\)\( \Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{3} - \cos x\sin \frac{\pi }{3} = 0\)\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k\pi \]\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].

Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \[0 < \frac{\pi }{3} + k\pi < \pi \]\[ \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{2}{3}\] mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\).

Suy ra phương trình có 1 nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\). Chọn D.

Khoảng đồng biến của hàm số là \(\left( { - \pi ;0} \right)\). Chọn B.

Điều kiện: \(\tan x \ne 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\)\( \Rightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\frac{\pi }{2}\). Chọn C.

Chu kì của hàm số \(y = 3\sin \frac{x}{2}\) là \(T = \frac{{2\pi }}{{\frac{1}{2}}} = 4\pi \). Chọn C.

Điều kiện: \(1 + \cos x \ne 0\)\( \Leftrightarrow \cos x \ne - 1\)\( \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Suy ra tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\). Chọn C.

Ta có \(0 \le {\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{{12}}} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow 0 \le 3{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{{12}}} \right) \le 3\)\( \Leftrightarrow 4 \le 3{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{{12}}} \right) + 4 \le 7\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 3{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{{12}}} \right) + 4\) bằng 7. Chọn A.

Ta có \( - 1 \le \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow - 2 \le 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2\).

Suy ra \(M = 2;m = - 2\). Do đó \(P = M - m = 4\). Chọn B.

Điều kiện \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \).

Ta có \(\sqrt 3 \cot x = 1\)\( \Leftrightarrow \cot x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \).

Vì nghiệm âm lớn nhất nên \(k = - 1\). Suy ra \(x = - \frac{{2\pi }}{3}\). Chọn A.

\(y = f\left( x \right) = 2{\sin ^2}x - 5\)\( = 2.\frac{{1 - \cos 2x}}{2} - 5\)\( = - 4 - \cos 2x\).

a) Hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \).

b) Ta có \(f\left( { - x} \right) = - 4 - \cos \left( { - 2x} \right) = - 4 - \cos 2x = f\left( x \right)\). Do đó hàm số là hàm số chẵn.

c) Có \( - 1 \le - \cos 2x \le 1\)\( \Leftrightarrow - 5 \le - 4 - \cos 2x \le - 3\).

Giá trị lớn nhất của hàm số là −3 khi \(\cos 2x = - 1\)\( \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là −5.

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

a) \(f\left( x \right) = \tan \left( { - x} \right) = - \tan x\).

Điều kiện \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

b) \(f\left( x \right) = \tan \left( { - x} \right) = - \tan x\).

c) \(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow - \tan x = 1\)\( \Leftrightarrow \tan x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

d) Vì \(x \in \left[ { - \pi ;2\pi } \right]\) nên \( - \pi \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 2\pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{3}{4} \le k \le \frac{9}{4}\) mà k Î ℤ nên k = 0; k = 1; k = 2.

Khi đó phương trình có các nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{4};x = \frac{{3\pi }}{4};x = \frac{{7\pi }}{4}\).

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là \( - \frac{\pi }{4} + \frac{{3\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} = \frac{{9\pi }}{4}\).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) \(f\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = \tan \left( {2.\frac{\pi }{8}} \right) - 1 = 1 - 1 = 0\).

b) Ta có \(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - 2x} \right) - 1 = - \tan 2x - 1 \ne f\left( x \right)\).

Do đó hàm số f(x) không là hàm số chẵn.

c) Điều kiện \(\cos 2x \ne 0\)\( \Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).

Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\) và tập giá trị là ℝ.

d) Hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{\pi }{2}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) Số lượng bướm ban đầu ứng với t = 0. Khi đó \(P\left( 0 \right) = 3 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{6}.0} \right) = 3\) nghìn con.

b) Ta có \( - 1 \le \sin \left( {\frac{\pi }{6}t} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin \left( {\frac{\pi }{6}t} \right) \le 2\)\( \Leftrightarrow 1 \le 3 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{6}t} \right) \le 5\).

Suy ra số lượng bướm nhỏ nhất là 1 nghìn con.

c) Theo câu b, ta có số lượng bướm luôn dao động từ 1 nghìn con đến 5 nghìn con.

d) Ta có $3+2\sin \left(\frac{\pi }{6}t\right)=4$ $\iff \sin \left(\frac{\pi }{6}t\right)=\frac{1}{2}$ $\iff \left[\begin{array}{l}\frac{\pi }{6}t=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{\pi }{6}t=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.$ $\iff \left[\begin{array}{l}t=1+12k\\ t=5+12k\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai. 

a) Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\sin \alpha < 0,\cos \alpha < 0\).

b) Ta có \({\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right)}^2}}}{2} = \frac{{15}}{{32}}\)\( \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{\sqrt {30} }}{8}\).

c) Ta có \({\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2} = \frac{{1 + {{\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right)}^2}}}{2} = \frac{{17}}{{32}}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt {34} }}{8}\).

d) \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = - \frac{{\sqrt {34} }}{8}: - \frac{{\sqrt {30} }}{8} = \frac{{\sqrt {255} }}{{18}}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Sai.

a) b) Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < x < 2\pi \) nên \(\sin x < 0;\cos x > 0\).

Ta có \(1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)\( \Rightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} = 4\)\( \Rightarrow {\sin ^2}x = \frac{1}{4}\)\( \Rightarrow \sin x = - \frac{1}{2}\).

Ta có \(\cos x = \cot x.\sin x = \left( { - \sqrt 3 } \right).\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

c) \(\sin \left( {\frac{{4\pi }}{3} - x} \right) = \sin \frac{{4\pi }}{3}\cos x - \cos \frac{{4\pi }}{3}\sin x\)\( = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \frac{1}{2}} \right)\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{ - 3}}{4} - \frac{1}{4} = - 1\).

d) Vì \(\cot x = - \sqrt 3 \)\( \Rightarrow \tan x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

\(\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\tan x + \tan \frac{\pi }{3}}}{{1 - \tan x\tan \frac{\pi }{3}}}\)\( = \frac{{ - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3 }}{{1 - \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\sqrt 3 }}\)\( = \frac{2}{{2\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Ta có \( - 4 \le 4\sin x \le 4\)\( \Leftrightarrow - 6 \le 4\sin x - 2 \le 2\).

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số là 2; giá trị nhỏ nhất của hàm số là −6.

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là −4.

b) \(f\left( { - x} \right) = 4\sin \left( { - x} \right) - 2 = - 4\sin x - 2 \ne f\left( x \right)\).

Do đó hàm số không là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = 4\sin x - 2\) là \(D = \mathbb{R}\).

d) \(f\left( {150^\circ } \right) = 4\sin 150^\circ - 2 = 0\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) Chu kì tuần hoàn của hàm số là \(T = 2\pi \).

b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

c) Tập giá trị của hàm số là \(T = \left[ { - 1;1} \right]\).

d) \(\sin x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Tập nghiệm của phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) là \(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Sai.

a) \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ; - \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

b) Vì \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) nên \(\left[ \begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} \le \frac{\pi }{3} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2}\\ - \frac{\pi }{2} \le - \frac{\pi }{3} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{{13}}{{12}}\\ - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{17}}{{12}}\end{array} \right.\).

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(\left[ \begin{array}{l}k = 0;k = 1\\k = 0;k = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3};x = \frac{{7\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{3};x = \frac{{5\pi }}{3}\end{array} \right.\).

Suy ra phương trình có 4 nghiệm trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).

c) Tổng các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\)trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) là \(\frac{\pi }{3} + \frac{{7\pi }}{3} + \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{{5\pi }}{3} = 4\pi \).

d) \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow \cos x = \sin 5x\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 5x = x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 5x = - x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\\x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Suy ra tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(f\left( { - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = 1\).

b) Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ trên đoạn \(\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\).

c) Trên đoạn \(\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\) đường thẳng \(y = - \frac{1}{3}\) cắt đồ thị hàm số \(y = \sin x\) tại 6 điểm phân biệt.

Do đó trên đoạn \(\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\) phương trình \(\sin x = - \frac{1}{3}\) có 6 nghiệm phân biệt.

d) Hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

\(A = {\left( {\cos \alpha + \cos \beta } \right)^2} + {\left( {\sin \alpha + \sin \beta } \right)^2}\)\( = {\cos ^2}\alpha + 2\cos \alpha \cos \beta + {\cos ^2}\beta + {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha \sin \beta + {\sin ^2}\beta \)

\( = 2 + 2\left( {\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta } \right)\)\( = 2 + 2\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\)\( = 2 + 2\cos \frac{\pi }{3} = 3\).

Trả lời: 3.

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in \left[ {0;2025\pi } \right]\) nên \(0 \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 2025\pi \)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{{8101}}{4}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {1;2;..;2025} \right\}\).

Khi đó \(S = \frac{{3\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} + \frac{{11\pi }}{4} + ... + \frac{{8099\pi }}{4}\)\( = \frac{\pi }{4}\left( {3 + 7 + 11 + ... + 8099} \right)\)\( = \frac{\pi }{4}.\frac{{\left( {3 + 8099} \right).2025}}{2} = \frac{{4051.2025\pi }}{4}\).

Khi đó \(\frac{{4S}}{{2025\pi }} = \frac{4}{{2025\pi }}.\frac{{4051.2025\pi }}{4} = 4051\).

Trả lời: 4051.

Ta có \( - 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 1\)\( \Leftrightarrow - 4 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 4\)\( \Leftrightarrow 6 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10 \le 14\).

Số giờ có ánh sáng mặt trời nhiều nhất là 14 khi \(\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow t = 149 + 356k\).

Vì \(0 < t \le 365\) nên ngày có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất là ngày 149.

Số giờ có ít ánh sáng mặt trời nhất là 6 khi \(\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = - 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow t = - 29 + 356k\).

Vì \(0 < t \le 365\) nên ngày có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất là ngày 327.

Suy ra \(a = 149;b = 327\). Do đó \(a + b = 476\).

Trả lời: 476.

\(\sin 2x - \cos 2x - 5\sin x - \cos x + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \cos x + 2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x - 1} \right) + \left( {\sin x - 2} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + \sin x - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos x + \sin x - 2 = 0\end{array} \right.\).

TH1: \(\sin x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in \left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\) nên \(x = \frac{\pi }{6};x = - \frac{{11\pi }}{6}\); \(x = \frac{{5\pi }}{6};x = - \frac{{7\pi }}{6}\).

TH2: \(\cos x + \sin x - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \) (vô nghiệm).

Tổng các nghiệm là \(\frac{\pi }{6} + \left( { - \frac{{11\pi }}{6}} \right) + \frac{{5\pi }}{6} + \left( { - \frac{{7\pi }}{6}} \right) = - 2\pi \).

Suy ra \(a = - 2;b = 1\). Do đó \(a - b = - 3\).

Trả lời: −3.

\(P = {\sin ^2}x + 5{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 4{\cos ^2}x\)\( = 1 + 4.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{{13}}{9} \approx 1,4\).

Trả lời: 1,4.

Tốc độ góc của quạt trần là \(\frac{{45}}{{60}}.2\pi = \frac{{3\pi }}{2}\left( {rad/s} \right)\).

Sau 5 giây quạt quay được một góc có số đo là \(\frac{{3\pi }}{2}.5 = \frac{{15\pi }}{2}\).

Suy ra a = 15; b = 2. Do đó b – a = −13.

Trả lời: −13.

\(\sin 2x + 2 = m\)\( \Leftrightarrow \sin 2x = m - 2\).

Để phương trình có nghiệm thì \( - 1 \le m - 2 \le 1\)\( \Leftrightarrow 1 \le m \le 3\).

Suy ra \(a = 1;b = 3\). Do đó \(a + b = 4\).

Trả lời: 4.

Điều kiện: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

\(\tan x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) (thỏa mãn điều kiện).

Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(x = \frac{\pi }{3}\).

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Trả lời: 1.

Ta có \(0 \le \left| {3\cos \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3}} \right| \le 3\) hay \(0 \le h \le 3\).

Đẳng thức \(h = 3\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {\cos \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3}} \right| = 1\) \( \Leftrightarrow \sin \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3} = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3} = k\pi \)\( \Leftrightarrow 2t - 1 = 3k\)\( \Leftrightarrow t = \frac{{3k + 1}}{2}\left( {k \in \mathbb{Z},3k + 1 \ge 0} \right)\).

Ta thấy \(0 \le \frac{{3k + 1}}{2} \le 10\)\( \Leftrightarrow 0 \le 3k + 1 \le 20\)\( \Leftrightarrow - 1 \le 3k \le 19\)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le k \le \frac{{19}}{3}\).

Mà k Î ℤ nên \(k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\).

Các giá trị tương ứng của t là \(t \in \left\{ {\frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{{13}}{2};8;\frac{{19}}{2}} \right\}\).

Vậy trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, có 7 lần người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.

Trả lời: 7.

\(y = \cos 2x - 2\cos x + 4\)\( = 2{\cos ^2}x - 1 - 2\cos x + 4\)\[ = 2{\cos ^2}x - 2\cos x + 3\].

Đặt \(\cos x = t, - 1 \le t \le 1\). Khi đó \[y = 2{t^2} - 2t + 3\].

Hàm số \[y = 2{t^2} - 2t + 3\] là một parabol có bề lõm hướng lên.

Hoành độ đỉnh của parabol là \({t_0} = \frac{1}{2}\).

Vì \(\frac{1}{2} \in \left[ { - 1;1} \right]\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại \({t_0}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(y\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 2.\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}\).

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) đạt được tại một trong hai đầu mút.

Ta có \(y\left( { - 1} \right) = 7;y\left( 1 \right) = 3\). Vậy giá trị lớn nhất là 7.

Suy ra \(M = 7;m = \frac{5}{2}\). Do đó \(M \cdot m = \frac{{35}}{2} = 17,5\).

Trả lời: 17,5.

\(A = {\sin ^2}10^\circ + {\sin ^2}20^\circ + ... + {\sin ^2}80^\circ \)\( = {\sin ^2}10^\circ + {\sin ^2}20^\circ + ... + {\cos ^2}20^\circ + {\cos ^2}10^\circ \)\( = {\sin ^2}10^\circ + {\cos ^2}10^\circ + {\sin ^2}20^\circ + {\cos ^2}20^\circ + {\sin ^2}30^\circ + {\cos ^2}30^\circ + {\sin ^2}40^\circ + {\cos ^2}40^\circ \)

\( = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\).

a) \(E = \frac{{1 - {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {\cos ^2}\alpha \)\( = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha \)\( = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1\)\( = \frac{{1 - {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha \).

b) \(F = 2\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) + 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)\( = 2\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x + 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)\)

\( = 2{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = 2\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\).

Ta có \({\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \cos a = - \frac{4}{5}\).

Có \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin a\cos \frac{\pi }{4} + \cos a\sin \frac{\pi }{4}\)\( = \frac{3}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\).

a) \(\sin \left( {3x - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) = \sin \left( { - x + \frac{\pi }{4}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{{7\pi }}{{12}} = - x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x - \frac{{7\pi }}{{12}} = \pi - \left( { - x + \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

b) \(\sin 3x - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right) = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 3x = \frac{{3\pi }}{4} - x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 3x = - \frac{{3\pi }}{4} + x + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{16}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

a) \( - 1 \le \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow - 20 \le 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 20\)\( \Leftrightarrow 10 \le 30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 50\).

Vậy Cabin đạt độ cao tối đa là 50 m.

b) Ta có \(30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 40\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{{25}}{6} + 50k\\t = \frac{{25}}{2} + 50k\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Thời điểm đầu tiên cabin đạt độ cao 40 m thì k = 0. Suy ra t = 12,5 giây.