Đề kiểm tra Tính đơn điệu và cực trị của hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phướng án.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới
Mệnh đề nào sau đây sai?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) .
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2\,;\,5\,} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\,2} \right)\).
Từ bảng biến thiên ta thấy mệnh đề: “ Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,;\,2} \right)\)” là sai vì hàm số \(y = f\left( x \right)\) không xác định tại \(x = 0\).
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị là đường cong hình bên
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\((1; + \infty )\).
\((0;1)\).
\(( - 1;0)\).
\(( - \infty ;0)\).
Dễ thấy B là phương án đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {1 - x} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^3}\left( {3 - x} \right),\,\forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
\(\left( { - 1;3} \right)\).
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^3}\left( {3 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1\,\,\,}\\{x = - 1}\\{x = 3\,\,\,}\end{array}} \right.\).
Bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,3} \right)\).
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\)có đồ thị như hình vẽ
Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {0\,;1} \right)\).
\(\left( {0\,;\,2} \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( {1\,;\,2} \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta có:
\(f'\left( x \right) > 0\) ,\(\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).
\(f'\left( x \right) \le 0\) , \(\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right)\) .
Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Cho hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đã cho nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;\,1} \right)\] và \[\left( {1;\, + \infty } \right)\].
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;\,1} \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( {1;\, + \infty } \right)\].
Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\].
Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\].
\[y' = - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\forall x \in D\] nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\].
Cho hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( { - 1;\,1} \right)\).
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {1;\, + \infty } \right)\).
Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\,1} \right)\).
Hàm số đã cho đồng biến trên \[\left( { - 1;\,1} \right)\].
Chọn D
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đạt cực tiểu tại
\(x = 2\).
\(x = - 2\).
\(x = 4\).
\(x = 3\).
Dựa vào BBT ta thấy hàm số đã cho có điểm cực tiểu là \(x = 4\).
Cho hàm số bậc ba \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình bên dưới
Hàm số có giá trị cực đại bằng
\(1\).
\(2\).
\( - 1\).
\(3\).
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng 3
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:
Tìm số điểm cực trị của hàm số đã cho.
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(0\).
Ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \[\mathbb{R}\].
Dựa vào bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)\) đổi dấu 2 lần.
Vậy số điểm cực trị của hàm số là \(2\).
Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
\(y = - {x^3} + x\).
\(y = {x^4}\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
\(y = \left| x \right|\).
Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có \[y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall x \ne - 1\] nên không có cực trị.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^3}\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Hỏi hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực đại?
\(2\).
\(1\).
\(0\).
\(3\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\x + 1 = 0\\{\left( {x - 2} \right)^3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\) .
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có \(1\) điểm cực đại.
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 2\).
Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 1\).
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 0\).
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = - 1\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Đạo hàm: \(y' = 4{x^3} - 4x\).
Xét \(y' = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(4{x^3} - 4x = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên dưới
a)\(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2\,;\,0} \right)\).
b)\(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\).
c)\(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {2\,;\, + \infty } \right),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
d)\[\forall {x_1},{x_2} \in \mathbb{R},\,f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right) \Rightarrow {x_1} = {x_2}\].
a) Đúng.
b) Sai.
c) Đúng. Vì trên khoảng \(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\)hàm số đồng biến nên:
\(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {2\,;\, + \infty } \right),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
d) Sai. Vì theo BBT ta có \(f\left( { - 2} \right) = f\left( 2 \right) = - 2\).
Cho hàm số bậc bốn \[y = f\left( x \right)\]. Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới đây
![Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,;\,0} \right)\), (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/screenshot-3626-1759133053.png)
a)Hàm số\[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng\(\left( { - \infty \,;\,0} \right)\),
b)Hàm số đồng biến trên khoảng\(\left( { - 1\,;\,1} \right)\).
c)Hàm số\[y = f\left( x \right)\] nghịch biến trên khoảng\(\left( { - \infty \,;\,0} \right)\).
d) Hàm số\[y = f\left( x \right)\] nghịch biến trên khoảng\(\left( {1\,;\,2} \right)\).
a)Sai, vì dựa vào đồ thị thì \[f'\left( x \right) > 0\]\(\forall x \in \left( { - 1\,;\,1} \right) \cup \left( {2\,;\, + \infty } \right)\).
b)Đúng, vì dựa vào đồ thị thì \[f'\left( x \right) > 0\]\(\forall x \in \left( { - 1\,;\,1} \right)\).
c)Sai, vì dựa vào đồ thị thì \[f'\left( x \right) < 0\]\(\forall x \in \left( { - \infty \,;\, - 1} \right) \cup \left( {1\,;\,2} \right)\).
d) Đúng, vì dựa vào đồ thị thì \[f'\left( x \right) < 0\]\(\forall x \in \left( {1\,;\,2} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\) dưới đây
a) Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = - 2\).
b) Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là \(f\left( 1 \right)\).
c) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là \(x = 1\).
d) Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 2\).
a) | b) | c) | d) |
Đúng | Đúng | Sai | Đúng |
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = - 2\) và \(x = 2\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\). Do đó, giá trị cực tiểu của hàm số là \(f\left( 1 \right)\).
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \(M\left( {1\,;\,f\left( 1 \right)} \right)\).
Tại \(x = 2\) ta thấy \(f'\left( x \right)\) không xác định nhưng hàm số \(y = f\left( x \right)\) vẫn xác định, do đó \(x = 2\) là điểm cực đại của hàm số.
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên
a) Hàm số đã cho có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.
b) Hàm số đã cho có \(4\) điểm cực trị.
c) Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) là \(7\).
d) Số điểm cực trị của hàm số \(h\left( x \right) = \left| {f\left( x \right)} \right|\) là \(7\).
a) | b) | c) | d) |
Đúng | Sai | Sai | Đúng |
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy, hàm số có \(3\) điểm cực trị, trong đó có \(1\) điểm cực đại và \(2\)điểm cực tiểu.
Ta thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có một điểm cực trị có hoành độ dương nên hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có \(2.1 + 1 = 3\) điểm cực trị.
Ta thấy \(f\left( x \right) = 0\) có \(4\)nghiệm phân biệt, hàm số có \(3\)điểm cực trị nên số điểm cực trị của hàm số \(h\left( x \right) = \left| {f\left( x \right)} \right|\) là \(3 + 4 = 7\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\).
Tập xác định: \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\].
Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\).
Bảng xét dấu của \(y'\):
Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 2\,;\, - 1} \right)\) và \(\left( { - 1\,;\,0} \right)\).
Cho hàm số bậc ba \[y = f\left( x \right)\]. Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới đây
![Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số \[y = f\left( {2 - {x^2}} \right)\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/13-1759133388.png)
Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số \[y = f\left( {2 - {x^2}} \right)\].
Ta có \[y = f\left( {2 - {x^2}} \right)\], suy ra \[y' = - 2xf'\left( {2 - {x^2}} \right)\].
Xét \[y' = - 2xf'\left( {2 - {x^2}} \right) > 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\1 < 2 - {x^2} < 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}2 - {x^2} < 1\\2 - {x^2} > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\ - 1 < x < 1,x \ne 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < 1\\x < - 1\end{array} \right.\].
Vậy hàm số đồng biến trên \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\] và \[\left( {0;1} \right)\].
Hằng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) của mực nước trong kênh tại thời điểm \(t\,\,\left( {\rm{h}} \right)\,\,\left( {0 \le t \le 24} \right)\) trong ngày được xác định bởi công thức \(h = 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 5\). Gọi \(\left( {a\,;\,b} \right)\) là khoảng thời gian trong ngày mà độ sâu của mực nước trong kênh tăng dần. Tính giá trị của \(a + b\).
Ta có \(h\left( t \right) = 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 5\)\( \Rightarrow h'\left( t \right) = - \frac{\pi }{6}\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right)\).
\(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3} = k\pi \)\( \Leftrightarrow t = - 4 + 12k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Mà \(0 \le t \le 24\) nên \(0 \le - 4 + 12k \le 24 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le k \le \frac{7}{3}\)\( \Rightarrow k \in \left\{ {1\,;\,2} \right\}\).
Do đó \(h'\left( t \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\\t = 20\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow h\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {8\,;\,20} \right)\) hay trong khoảng từ \(8\,{\rm{h}}\) đến \(20\,{\rm{h}}\)độ sâu của mực nước trong kênh tăng dần.
Vậy \(a = 8\,;\,b = 20\) và \(a + b = 28\).
Xí nghiệp \(A\) sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất là \(TC = {x^3} - 77{x^2} + 1000x + 40000\) và hàm doanh thu là \(TR = - 2{x^2} + 1312x\), với \(x\) là số sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp \(A\) được xác định bằng hàm số \(f\left( x \right) = TR - TC\), cực đại lợi nhuận của xí nghiệp \(A\) khi đó đạt bao nhiêu sản phẩm?
Trả lời: \(x = 52\).
Xét hàm số:
\(f\left( x \right) = TR - TC = - 2{x^2} + 1312x - \left( {{x^3} - 77{x^2} + 1000x + 40000} \right)\).
\(f\left( x \right) = - {x^3} + 75{x^2} + 312x - 40000\).
TXĐ: \(D = \left( {0\,;\, + \infty } \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 150x + 312 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 52\left( N \right)\\x = - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt giá trị cực đại tại \(x = 52\).
Vậy lợi nhuận của công ty đạt cực đại khi số sản phẩm \(x = 52\).
Khi loại thuốc A được tiêm vào bệnh nhân, nồng độ \[mg/l\]của thuốc trong máu sau \[x\]phút được xác định bởi công thức: \[C(x) = \frac{{30x}}{{{x^2} + 2}}\].
. Calculus. Cengage Learning)
Để đưa ra những lời khuyên và cách xử lí phù hợp cho bệnh nhân, ta cần tìm khoảng thời gian mà nồng độ của thuốc trong máu đang tăng. Em hãy cho biết hàm nồng độ thuốc trong máu \[C(x)\] đạt giá trị cực đại là bao nhiêu trong khoảng thời gian \[6\] phút sau khi tiêm ?
Trả lời: \[10,6\]\[\left( {mg/l} \right)\].
Xét hàm số \[y = C(x) = \frac{{30x}}{{{x^2} + 2}}\] trên khoảng \[x \in \left( {0\,;6} \right)\].
Ta có: \[y' = \frac{{ - 30{x^2} + 60}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}\].
\[y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 30{x^2} + 60}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = - \sqrt 2 \,\end{array} \right.\]do \[x \in \left( {0\,;6} \right)\]\[ \Rightarrow x = \sqrt 2 \].
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: nồng độ thuốc trong máu \[C\left( x \right)\] đạt giá trị cực đại là \[\frac{{15\sqrt 2 }}{2}\left( {mg/l} \right) \approx 10,6\left( {mg/l} \right)\] trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm.
Một tấm bạt hình vuông cạnh \(20\,m\)như hình vẽ dưới đây. Người ta dự tính cắt phần tô đậm của tấm bạt rồi gập và may lại , nhằm mục đích phủ lên tháp đèn trang trí để tránh hư hại tháp khi trời mưa.
Biết khối chóp hình thành sau khi gập và may lại cần thể tích lớn nhất thì mới phủ kín tháp đèn. Hỏi phần diện tích tấm bạt bị cắt là bao nhiêu để đảm bảo yêu cầu trên.
Gọi cạnh đáy hình vuông của tháp là \(x\left( m \right)\).
Độ dài đường chéo tấm bạt bằng \(20\sqrt 2 \,\left( m \right)\).
Gọi hình chóp tứ giác đều là \(S.ABCD\), Gọi\(M,N\) lần lượt là trung điểm \(AB,CD\).
Khi đó \(MN = x\left( m \right)\), \(SN = \frac{{20\sqrt 2 - x}}{2}\left( m \right)\) với \(0 < x < 10\sqrt 2 \).
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông, ta có
\(SO = \sqrt {S{N^2} - O{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{20\sqrt 2 - x}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {800 - 40\sqrt 2 x} \).
Thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{6}{x^2}\sqrt {800 - 40\sqrt 2 x} \).
Ta có \(V' = \frac{{20x\left( {80 - 5\sqrt 2 x} \right)}}{{6\sqrt {800 - 40\sqrt 2 x} }}\)
\( \Rightarrow V' = 0 \Leftrightarrow x = 8\sqrt 2 \) với \(0 < x < 10\sqrt 2 \).
Xét bảng biến thiên:
Vậy khi \(x = 8\sqrt 2 \) thì thể tích khối chóp lớn nhất \(V = \frac{{256\sqrt {10} }}{3}\left( {{m^3}} \right)\).
Diện tích phần bị cắt của tấm bạt:
\(S = {S_{hv}} - {S_{ABCD}} - 4.{S_{\Delta SAB}} = {20^2} - {\left( {8\sqrt 2 } \right)^2} - 4.\frac{1}{2}.\frac{{20\sqrt 2 - 8\sqrt 2 }}{2}.8\sqrt 2 = 80\left( {{m^2}} \right)\).
