Đề kiểm tra Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 5
22 câu hỏi
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số
\(y = {x^3} - 3{x^2} - 2\).
\(y = - {x^3} + 3{x^2} + 2\).
\(y = - {x^3} + 3{x^2} - 2\).
\(y = {x^3} + 3{x^2} - 2\).
Từ hình vẽ cho ta thấy đồ thị hình vẽ là hình dạng của đồ thị hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có \(a < 0,\,\,d = - 2\). Do đó, chọn câu C.
Đồ thị của hàm số cho bởi hình sau có tâm đối xứng là \[I\left( {a\,;\,b} \right)\]. Giá trị của biểu thức \[T = 2a - 3b\]là![Đồ thị của hàm số cho bởi hình sau có tâm đối xứng là \[I\left( {a\,;\,b} \right)\]. Giá trị của biểu thức \[T = 2a - 3b\] là A. \(T = 1\). B. \(T = 5\). C. \(T = 4\). D.\(T = - 4\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/2-1759205139.png)
\(T = 1\).
\(T = 5\).
\(T = 4\).
\(T = - 4\).
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có : tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\), tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = - 1\). Vậy \[I\left( {1\,;\, - 1} \right)\] suy ra \[T = 2a - 3b = 5\].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) > 0,\,\forall x \in \left( {0;1} \right),\)\(f'\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên các khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
Chọn câu B
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\]. Mệnh đề nào sau đây sai?
Tâm đối xứng là \[I\left( {1\,;\,3} \right)\].
Tiệm cận đứng là đường thẳng \[x = 1\].
Tiệm cận xiên là đường thẳng \[y = x + 3\].
Đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left( {2\,;\,6} \right)\].
Ta có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là đường thẳng \[x = 1\], \[y = x + 3\] do đó tâmđối xứng là \[I\left( {1\,;\,4} \right)\]
Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 2\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\( - 2\).
Cho \(x = 0\), suy ra \(y = - 2\).
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(a < 0,b < 0,c < 0,d < 0\).
\(a < 0,b > 0,c > 0,d > 0\).
\(a < 0,b > 0,c < 0,d > 0\).
\(a < 0,b > 0,c > 0,d < 0\).
Dựa vào đồ thị hàm số , ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = - \infty \Rightarrow a < 0\).
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm , suy ra \(d < 0\).
(do \(a < 0\)).
Vậy \(a < 0,b > 0,c > 0,d < 0\).
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 2x + 4\) và đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x - 1}}\) là
\(0\).
\(1\).
\(3\).
\(2\).
Phương trình hoành độ giao điểm
\(2x + 4 = \frac{{x - 3}}{{x - 1}} \Rightarrow 2{x^2} + 2x - 4 = x - 3 \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow y = 2\\x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 5.\end{array} \right.\)
Vậy hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:![Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\), \(m \in \left( { - 3\,;\,2024} \right]\) để phư (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/4-1759205479.png)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\), \(m \in \left( { - 3\,;\,2024} \right]\) để phương trình \(2f\left( x \right) - m = 0\) có một nghiệm?
\(2019\).
\(2020\).
\(2018\).
\(2021\).
Ta có \(2f\left( x \right) - m = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{m}{2}\) (*)
Phương trình (*) có một nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{m}{2} < 0\\\frac{m}{2} > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 8\end{array} \right.\].
Mà \(m \in \left( { - 3\,;\,2024} \right],\,m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 2\,;\, - 1\,;\,9\,;\,10\,;...;\,2024} \right\}\).
Vậy có \(2018\)giá trị \(m\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 5m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 10} \right)?\)
\(0\).
\(1\).
\(3\).
\(2\).
ĐKXĐ: \(x \ne - 5m\). Ta có \(y' = \frac{{5m - 2}}{{{{\left( {x + 5m} \right)}^2}}}\). Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 10} \right)\) khi và chỉ khi \(y' > 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 10} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5m - 2 > 0\\ - 5m \ge - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{2}{5}\\m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{2}{5} < m \le 2.\)
Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 1;2\).
Hình dưới đây là mương dẫn nước thủy lợi tại một địa phương phục vụ tưới tiêu cho ruộng đồng. Phần không gian trong mương để nước chảy có mặt cắt ngang là hình chữ nhật \(ABCD\). Với điều kiện lưu lượng nước qua mương cho phép thì diện tích mặt cắt \(ABCD\) là \(0\,,48\,{m^2}\). Để đảm bảo yêu cầu kỹ thuật tốt nhất cho mương, người ta cần thiết kế sao cho tổng độ dài \(T = AB + \,BC + CD\) là ngắn nhất. Khi đó chiều rộng đáy mương bằng bao nhiêu (biết chiều rộng phải dưới 1m , làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
\(0,78\left( m \right)\).
\(0,97\left( m \right)\).
\(0,98\left( m \right)\).
\(0,83\left( m \right)\).
Đặt \(BC = x\,\left( m \right)\,,\,0 < x < 1\). Theo đề bài, ta có \(AB.BC = 0\,,48 \Rightarrow AB = \frac{{0\,,48}}{{BC}} = \frac{{0\,,48}}{x}\).
\(T = f\left( x \right) = AB + \,BC + CD = x + 2.AB = x + \frac{{0\,,96}}{x}\).
\(f'\left( x \right) = 1 - \frac{{0\,,96}}{{{x^2}}}.\,\)Khi đó \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 0\,,96 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 6 }}{5} \simeq 0,98\,\left( m \right)\).
Vậy chiều rộng đáy mương \(BC = 0,98\,\left( m \right)\,\)thỏa ycbt.
Có bao nhiêu giátrị nguyên dương của m để hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 5x + {m^2} + 6}}{{x + 3}}\] đồng biến trên khoảng \[\left( {1; + \infty } \right)\].
\(4\).
\(5\).
\(9\).
\(3\).
Ta có \[y' = \frac{{{x^2} + 6x + 9 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\].
Hàm số đồng biến trên \[\left( {1; + \infty } \right)\] khi và chỉ khi
\[y' \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow {m^2} \le {x^2} + 6x + 9,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow {m^2} \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} g\left( x \right)\]
Xét hàm \(g\left( x \right) = {x^2} + 6x + 9\) liên tục trên \[\left[ {1; + \infty } \right)\]
Ta có \[g'\left( x \right) = 2x + 6 > 0,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\] nên \[g\left( x \right) \ge g\left( 1 \right) = 16,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\].
Do đó \[{m^2} \le 16 \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\] (do \(m\) là số nguyên).
Trong tiết học Toán, giáo viên phát cho \(4\) tổ một tấm bìa hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(10\,cm\). Giáo viên yêu cầu \(4\) tổ sử dụng tấm bìa này và cắt tấm bìa theo các tam giác cân \(AEB,\,BFC,\,CGD\,,\,DHA\) để sau đó gấp các tam giác \(AEH,\,BEF,\,CFG\,,\,DGH\) sao cho bốn đỉnh \(A\,,\,B\,,\,C\,,\,D\) trùng nhau tạo thành khối chóp tứ giác đều . Khi đó thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng là
\(\frac{{32\sqrt {10} }}{3}\,\left( {c{m^3}} \right)\).
\(\frac{{16\sqrt {10} }}{3}\,\left( {c{m^3}} \right)\).
\(\frac{{32\sqrt 2 }}{3}\,\left( {c{m^3}} \right)\).
\(\frac{{28\sqrt {10} }}{3}\,\left( {c{m^3}} \right)\).
Đặt cạnh hình vuông \(EFGH\)là \(x\,\left( {x > 0} \right)\). \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD,\,EFGH\).
Khi đó \(OM = \frac{x}{2}\), \(CM = CO - OM = \frac{{10\sqrt 2 - x}}{2}\,\,(0 < x < 10\sqrt 2 )\).
Khi gò các tam giác thành hình chóp tứ giác đều \(A.EFGH\) thì \(A \equiv C\) nên \(AM = CM\). Suy ra \(AO = \sqrt {A{M^2} - O{M^2}} = \sqrt {50 - 5\sqrt 2 x} \).
Thể tích khối chóp \(A.EFGH\)là \({V_{A.EFGH}} = \frac{1}{3}{S_{EFGH}}.AO = \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {50 - 5\sqrt 2 x} = \frac{1}{3}\sqrt {50{x^4} - 5\sqrt 2 {x^5}} \).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 50{x^4} - 5\sqrt 2 {x^5}\) với \(0 < x < 5\sqrt 2 \) ta tìm được max\(f\left( x \right) = \frac{{32\sqrt {10} }}{3}\) khi \(x = 4\sqrt 2 \).
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\) có đồ thị như hình bên dưới
Phát biểu | Đúng | Sai |
a. Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\). |
|
|
b. Hàm số \(f\left( x \right)\)đạt cực tiểu tại\(x = 2\). |
|
|
c. Đồ thị hàm số\(f\left( x \right)\)có hai điểm cực trị thuộc đường thẳng \(y = - 2x + 2\). |
|
|
| d. Có 1 giá trị nguyên m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} + 2 - 2m = 0\)có 3 nghiệm phân biệt. |
|
|
a. Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng\(\left( { - \infty ;2} \right)\). Là phát biểu sai Vì quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\). |
b. Hàm số \(f\left( x \right)\)đạt cực tiểu tại\(x = 2\). Là phát biểu đúng Vì quan sát đồ thị hàm số trên ta thấy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là\(\left( {2; - 2} \right)\) |
c. Đồ thị hàm số\(f\left( x \right)\)có hai điểm cực trị thuộc đường thẳng \(y = - 2x + 2\). Là phát biểu đúng . Vì thay toạ độ của 2 điểm cực trị \(\left( {0;2} \right)\)và \(\left( {2; - 2} \right)\)vào phương trình đường thẳng trên ta thấy đúng. Nên 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng\(y = - 2x + 2\). |
d. Có 1 giá trị nguyên m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} + 2 - 2m = 0\)có 3 nghiệm phân biệt. Là phát biểu đúng. Vì số nghiệm của phương trình \({x^3} - 3{x^2} + 2 - 2m = 0\)(1) được viết lại \({x^3} - 3{x^2} + 2 = 2m\) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) và đường thẳng \(y = 2m\). Để phương trình (1) có 3 nghiệm. Theo đồ thị hàm số trên thì đường thẳng\(y = 2m\)(song song với trục \[Ox\]) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)tại 3 điểm phân biệt khi \( - 2 < 2m < 2\,\, \Leftrightarrow \, - 1 < m < 1\); \(m \in \mathbb{Z}\, \Rightarrow \,m = 0\). Vậy có 1 giá trị nguyên m thoả mãn yêu cầu đề. |
Cho hàm số \[y = \frac{{2x}}{{x + 2}}\] có đồ thị \[\left( C \right)\] và điểm \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\] \[\left( {{x_0} \ne 0} \right)\]. Xét tính đúng - sai của các phát biểu sau:
a) Tập xác định của hàm số trên là \(\mathbb{R}\).
b) Đồ thị hàm số \[\left( C \right)\] nhận đường thẳng \[y = 2\] là tiệm cận ngang.
c) Hàm số nghịch biến trên \[\left( { - \infty ; - 2} \right)\] và \[\left( { - 2; + \infty } \right)\].
d) Khi khoảng cách từ \[I\left( { - 2;2} \right)\] đến tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại \[M\] là lớn nhất thì \[2{x_0} + {y_0} = - 4\].
a) Tập xác định của hàm số trên là \(\mathbb{R}\). Mệnh đề sai.
Vì tập xác định của hàm số là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\].
b) Đồ thị hàm số \[\left( C \right)\] nhận đường thẳng \[y = 2\] là tiệm cận ngang. Mệnh đề đúng.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2\) nên \(y = 2\)là phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
c) Hàm số nghịch biến trên \[\left( { - \infty ; - 2} \right)\] và \[\left( { - 2; + \infty } \right)\]. Mệnh đề sai.
Ta có: \(y' = \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
\(y' > 0,\,\forall x \ne - 2\) nên hàm số đồng biến trên \[\left( { - \infty ; - 2} \right)\] và \[\left( { - 2; + \infty } \right)\].
d) Khi khoảng cách từ \[I\left( { - 2;2} \right)\] đến tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại \[M\] là lớn nhất thì \[2{x_0} + {y_0} = - 4\]. Mệnh đề đúng.
Phương trình tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại \[M\] có dạng \[d:y = y'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\].
Ta có \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\]\[ \Rightarrow {y_0} = \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 2}}\]
Lại có \[y' = \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\]\[ \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\].
Do đó \[d:y = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 2}}\]
\[ \Rightarrow d:y{\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 4x - 4{x_0} + 2{x_0}\left( {{x_0} + 2} \right)\]\[ \Rightarrow d:4x - {\left( {{x_0} + 2} \right)^2}y + 2x_0^2 = 0\]
\[ \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| { - 8 - 2{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2} + 2x_0^2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( {{x_0} + 2} \right)}^4}} }}\]\[ = \frac{{\left| { - 16 - 8{x_0}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^4} + 16} }}\]\[ = \frac{8}{{\sqrt {{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}} }}\].
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
\[{\left( {{x_0} + 2} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} \ge 2\sqrt {{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}.\frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}} = 8 > 0\]\[ \Rightarrow d\left( {I;d} \right) \le 1\].
Dấu “\[ = \]” xảy ra \[ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\]\[ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 4\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = - 4\end{array} \right.\]
Bài ra \[{x_0} \ne 0\] nên \[{x_0} = - 4 \Rightarrow {y_0} = 4 \Rightarrow 2{x_0} + {y_0} = - 4\].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đồ thị hàm số như hình bên dưới
Phát biểu | Đúng | Sai |
a. Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên từng khoảng xác định\(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\). |
|
|
b. Hàm số \(f\left( x \right)\)đạt cực đạitại\(x = - 1\)và đạt cực tiểu tại \(x = 3\). |
|
|
c. Đồ thị hàm số\(f\left( x \right)\)ở hình trên là của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}}\) |
|
|
d. Điểm M trên đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có khoảng cách đến I là nhỏ nhất (với I là giao điểm của hai tiệm cận) với hoành độ dương là\(\sqrt {2\sqrt 2 } + 1\).
|
|
|
a. Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên từng khoảng xác định\(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)là phát biểu sai. Vì quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(f\left( x \right)\)đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\);\(\left( {3; + \infty } \right)\) |
b. Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại\(x = - 1\)và đạt cực tiểu tại \(x = 3\)là phát biểu đúng. Vì quan sát đồ thị hàm số ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) là \(\left( { - 1;0} \right)\)và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) là \(\left( {3;8} \right)\). |
c. Đồ thị hàm số\(f\left( x \right)\)ở hình trên là của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}}\) là phát biểu đúng. Vì quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số có dạng \[y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{px + q}}\]\(\left( {a \ne 0;p \ne 0} \right)\) Xét tính đúng sai bằng cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}}\) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}} = x + 3 + \frac{4}{{x - 1}}\) có \(y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 3\) Trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)và \(\left( {3; + \infty } \right)\), \(y' > 0\)nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này. Trên các khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\)và \(\left( {1;3} \right)\), \(y' < 0\)nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này. Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\)với; hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3\)với \({y_{CT}} = 8\). \[\mathop {Lim}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {Lim}\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {Lim}\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}}} = - \infty \];\[\mathop {Lim}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {Lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {Lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}}} = + \infty \] Tiệm cận: \[\mathop {Lim}\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {Lim}\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {Lim}\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 3 + \frac{4}{{x - 1}}} \right) = - \infty \] \[\mathop {Lim}\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {Lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {Lim}\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 3 + \frac{4}{{x - 1}}} \right) = + \infty \] \[\mathop {Lim}\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {Lim}\limits_{x \to - \infty } \frac{4}{{x - 1}} = 0\]; \[\mathop {Lim}\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {Lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{{x - 1}} = 0\] Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 1\); tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x + 3\) Bảng biến thiên:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm\(\left( {0; - 1} \right)\) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(\left( {1;4} \right)\)của hai tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng. Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai tiệm cận này làm hai trục đối xứng. |
d. Điểm M trên đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có khoảng cách đến I là nhỏ nhất (với I là giao điểm của hai tiệm cận) với hoành độ dương là\(\sqrt {2\sqrt 2 } + 1\). Là phát biểu Đúng. Lời giải: Đồ thị hàm số\(f\left( x \right)\)ở hình câu c là của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}} = x + 3 + \frac{4}{{x - 1}}\) ( C ) Có \(I\left( {1;4} \right)\)là giao điểm của hai đường tiệm cận. Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {IM} = \left( {x - 1;y - 4} \right)\), bình phương khoảng cách IM: \(\begin{array}{l}I{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2}\\I{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x + 3 + \frac{4}{{x - 1}} - 4} \right)^2}\end{array}\) \(\begin{array}{l}I{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 1 + \frac{4}{{x - 1}}} \right)^2}\\I{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + 8 + {\left( {\frac{4}{{x - 1}}} \right)^2}\end{array}\) \[I{M^2} = 2{\left( {x - 1} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + 8\] Theo bất đẳng thức Cauchy (AM – GM) \[\begin{array}{l}I{M^2} \ge 2\sqrt {32} + 8 = 8\sqrt 2 + 8\\IM \ge \sqrt {8\sqrt 2 + 8} \end{array}\] Dấu xảy ra khi \[2{\left( {x - 1} \right)^2} = \frac{{16}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\] \[{\left( {x - 1} \right)^4} = 8\] \[x = \pm \sqrt {2\sqrt 2 } + 1\] Điểm M trên đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có khoảng cách đến I là nhỏ nhất \[Min\,IM = \sqrt {8\sqrt 2 + 8} \](với I là giao điểm của hai tiệm cận) với hoành độ dương là\(\sqrt {2\sqrt 2 } + 1\). |
Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\] với \[a \ne 0\] có đồ thị như hình vẽ sau
Xét tính đúng - sai của các phát biểu sau:
a) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\).
b) Phương trình \[f\left( x \right) = 2\] có \[3\] nghiệm phân biệt.
c) Đồ thị trên là đồ thị của hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\].
d) Điểm cực đại của đồ thị hàm số \[y = f\left( {4 - x} \right) + 1\] là \[\left( {5;4} \right)\].
a) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\). Mệnh đề sai.
Vì hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
b) Phương trình \[f\left( x \right) = 2\] có \[3\] nghiệm phân biệt. Mệnh đề đúng.
Vì đường thẳng \[y = 2\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại \[3\] điểm phân biệt.
c) Đồ thị trên là đồ thị của hàm số \[y = f\left( x \right) = \] \[y = f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\]. Mệnh đề sai.
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = 3\\f\left( 0 \right) = 1\\f\left( 1 \right) = - 1\\f'\left( 1 \right) = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b - c + d = 3\\d = 1\\a + b + c + d = - 1\\3a + 2b + c = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = - 3\\d = 1\end{array} \right.\]
Vậy \[y = f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\].
d) Điểm cực đại của đồ thị hàm số \[y = f\left( {4 - x} \right) + 1\] là \[\left( {5;4} \right)\]. Mệnh đề đúng.
Đặt \[g\left( x \right) = f\left( {4 - x} \right) + 1 \Rightarrow g'\left( x \right) = - f'\left( {4 - x} \right)\]
\[g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - f'\left( {4 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - x = - 1}\\{4 - x = 1{\rm{ }}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5}\\{x = 3}\end{array}} \right.\]
Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số \[y = f\left( {4 - x} \right) + 1\] là \[\left( {5;4} \right)\]
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 6x\) với trục \(Ox\) là
Phương trình hoành độ giao điểm: \( - {x^3} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt 6 \\x = - \sqrt 6 \end{array} \right.\quad (1).\)
Số giao điểm của đồ thị hàm số và trục \(Ox\) là số nghiệm của phương trình (1).
Vậy Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 6x\) với trục \(Ox\) là \(3\).
Tìm số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\).
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 2\).
Vậy số điểm cực trị của hàm số là \(0\).
Giá trị lớn nhất của hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 4}}{x}\] trên đoạn \[\left[ {1;3} \right]\] bằng bao nhiêu?
Ta có \[y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}}\].
\[y' = 0\]\[ \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{{x^2}}} = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \in \left[ {1;3} \right]\\x = - 2 \notin \left[ {1;3} \right]\end{array} \right.\].
Khi đó \[y\left( 1 \right) = 5\], \[y\left( 2 \right) = 4\], \[y\left( 3 \right) = \frac{{13}}{3}\].
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = 5\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có bảng biến thiên như hình dưới. Tìm số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) - 2 = 0.\)
Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) - 2 = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)và đường thẳng \(y = 2\).
Từ bảng biến thiên nhận thấy phương trình \(f\left( x \right) = 2\) có 3 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình \(f\left( x \right) - 2 = 0\) có 3 nghiệm.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) có bảng biến thiên như sau.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\)để phương trình \(2f\left( {\sqrt {9 - {x^2}} } \right) = m - 2024\) có nghiệm?
Với \(x \in \left[ { - 3;3} \right] \Rightarrow 0 \le \sqrt {9 - {x^2}} \le 3\), dựa vào đồ thị ta có \( - \frac{1}{2} \le f\left( {\sqrt {9 - {x^2}} } \right) \le \frac{3}{2}\)
Suy ra \( - 1 \le 2f\left( {\sqrt {9 - {x^2}} } \right) \le 3\)
Để \(2f\left( {\sqrt {9 - {x^2}} } \right) = m - 2024\) có nghiệm thì \( - 1 \le m - 2024 \le 3\) hay \(2023 \le m \le 2027\)
Vậy có 5 giá trị nguyên \(m\) thoả điều kiện bài toán.
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \(12\) cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(x\) (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm \(x\) để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
Ta có : \(h = x\,\,\left( {cm} \right)\) là đường cao hình hộp
Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là \(12 - 2x\,\,\left( {cm} \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\12 - 2x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {0;6} \right)\)
Thể tích của hình hộp là: \[V = x{\left( {12 - 2x} \right)^2}\]
Xét hàm số\[y = x{\left( {12 - 2x} \right)^2}\,,\,x \in \left( {0;6} \right)\]
Ta có \(y' = {\left( {12 - 2x} \right)^2} - 4x\left( {12 - 2x} \right) = \left( {12 - 2x} \right)\left( {12 - 6x} \right)\) ;
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left( {12 - 2x} \right).\left( {12 - 6x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\)(nhận) hoặc \(x = 6\)(loại).
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là \(y\left( 2 \right) = 128\).
Vậy \(x = 2\)(cm) thì thể tích hộp là lớn nhất
