Đề kiểm tra Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Tập xác định: \(D = \left[ {0;2} \right]\).

Đạo hàm: \(y\prime  = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }};y\prime  = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).

Xét hàm số \(c\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 1}}\), \((t > 0)\).

\(c'\left( t \right) = \frac{{1 - {t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}\).

\(c'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \in \left( {0;\, + \infty } \right)\\t =  - 1 \notin \left( {0;\, + \infty } \right)\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Với \(t = 1\) giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.

Cạnh còn lại của hình chữ nhật là: \(\frac{{150}}{{x - 2}}\left( {\rm{m}} \right)\).

Chu vi của mảnh vườn là:

\(P\left( x \right) = \left( {x - 2 + \frac{{150}}{{x - 2}}} \right).2 \Rightarrow P\left( x \right) = 2x - 4 + \frac{{300}}{{x - 2}}\,\left( {\rm{m}} \right)\) với \(x > 2\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {P\left( x \right) - \left( {2x - 4} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{300}}{{x - 2}} = 0\). Vậy đồ thị hàm số \(P\left( x \right)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = 2x - 4\).

 a) Đúng.

Điều kiện: \(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 1\).

Vậy tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

b) Sai.

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \in D\).

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

c) Đúng.

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}} = x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)

Và: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = 0\]

Suy ra: đường thẳng \(y = x + 2\) là đường tiệm cận xiên của \(\left( C \right)\).

d) Sai.

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}} = x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)

Ta thấy: với \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(y \in \mathbb{Z}\) khi và chỉ khi 1 chia hết cho \(\left( {x + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 1\\x + 1 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\,\left( n \right)\\x =  - 2 \Rightarrow y = 1\,\left( n \right)\end{array} \right.\)

Vậy có \(2\) điểm trên \(\left( C \right)\) có tọa độ nguyên là \(\left( {0\,;\,1} \right)\) và \(\left( { - 2\,;\,1} \right)\).

 a) Đúng.

Thể tích khối hộp hình chữ nhật: \(V = xyh = 0,6xy = 0,096 \Rightarrow y = \frac{{0,16}}{x}\)

Vậy \(y = \frac{{0,16}}{x}\)

b) Sai.

Diện tích đáy bể là \({S_{\rm{d}}} = xy = 0,16\,{{\rm{m}}^2}\).

Chi phí mua kính để làm đáy bể là \({C_{\rm{d}}} = 10000.{S_{\rm{d}}} = 16000\) đồng

c) Đúng.

Diện tích các mặt xung quanh: \({S_{{\rm{xq}}}} = 2\left( {0,6x + 0,6y} \right) = 1,2.\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right)\)

Biểu thức tính chi phí làm các mặt xung quanh là \({C_{{\rm{xq}}}} = 84000.\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right)\).

d) Sai.

Chi phí làm bể cá: \(C\left( x \right) = {C_{{\rm{xq}}}} + {C_{\rm{d}}} = 84000.\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right) + 16000,\,x > 0\)

Chi phí làm bể cá thấp nhất khi và chỉ khi \(\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{{0,16}}{x} = \frac{{{x^2} + 0,16}}{x},\,x > 0\)

  Bảng biến thiên:

 Suy ra: \(\mathop {{\rm{M}}{\mathop{\rm in}\nolimits} f\left( x \right)}\limits_{x \in \left( {0\,;\, + \infty } \right)}  = f\left( {\frac{2}{5}} \right) = \frac{4}{5}\)

Vậy chi phí thấp nhất để làm bể cá là: \(C = \frac{{84000.4}}{5} + 16000 = 83200\) đồng.

Ta có:

\[\begin{array}{l}y =  - {x^3} - m{x^2} + \left( {4m + 9} \right)x + 5\\y' =  - 3{x^2} - 2mx + \left( {4m + 9} \right)\end{array}\]

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) khi \(y' \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1 < 0\\\Delta ' = {m^2} + 12m + 27 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - 9 \le m \le  - 3\end{array}\).

Vì \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3} \right\}\).

Vậy có \(7\) giá trị.

Điều kiện \(x \ne 1\). Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\):

\[\begin{array}{l}\frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}} = mx + 1 \Leftrightarrow \left( {mx + 1} \right)\left( {x - 1} \right) =  - 2x + 1\\ \Leftrightarrow m{x^2} + \left( {3 - m} \right)x - 2 = 0\end{array}\]

Đặt \[g\left( x \right) = m{x^2} + \left( {3 - m} \right)x - 2 = 0\].

\(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt khi phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {3 - m} \right)^2} + 8m > 0\\m + 3 - m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} + 2m + 9 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\m \in \left[ { - 5;5} \right]\end{array} \right.\) nên \(m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;1;2;3;4;5} \right\}\).

Vậy có \(10\) giá trị.

Đáp án: \(4.\)

Xét hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 2x + 5}}{{x - 1}}\] trên khoảng \[\left( {1;\infty } \right)\].

Ta có \[\begin{array}{l}y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\\\end{array}\] 

Bảng biến thiên

Suy ra \[m = \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = 4\] khi \(x = 3\).

Đáp án: \(16.\)

Gọi số máy móc công ty sử dụng để sản xuất là \(x\left( {x \in {\rm N},\,\,x > 0} \right)\).

Thời gian cần để sản xuất hết \(8000\) quả bóng là: \(\frac{{8000}}{{30x}}\).

Tổng chi phí để sản xuất là: \(P\left( x \right) = 200x + \frac{{8000}}{{30x}}.192 = 200x + \frac{{51200}}{x}\)

Ta có: \(P'\left( x \right) = 200 - \frac{{51200}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 256 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\\x =  - 16\left( L \right)\end{array} \right.\).

Vậy công ty nên sử dụng \(16\) máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.

Đáp án: 1

Ta có \[v\left( t \right) = {\left[ {s\left( t \right)} \right]^\prime } = 3{t^2} - 6t - 9\]

Cách 1: Phương trình \[v\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 9\]là một Parabol có đỉnh thấp nhất \[I\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{ - b}}{{2a}} = 1\\{y_I} = v\left( 1 \right) =  - 12\end{array} \right.\].

Vậy vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất khi \[{t_{\min }} = {x_I} = 1\].

Cách 2: Nhập phương trình bậc hai vào máy tính 580VNX, ta được:

Vậy \[\left\{ \begin{array}{l}v\left( t \right) = {y_{\min }} =  - 12\\{t_{\min }} = {x_{\min }} = 1\end{array} \right.\].

Đáp án: 1005

Xét hàm số \[N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}},\,\left( {t > 0} \right)\]

\[N'\left( t \right) = \frac{{100\left( {100 + {t^2}} \right) - 2t.100t}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}} = \frac{{100\left( {100 - {t^2}} \right)}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}\]

\[N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 100 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\,\,\left( N \right)\\t =  - 10\,\left( L \right)\end{array} \right.\].

Ta có bảng biến thiên

Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất nuôi cấy được là 1005 con.