Đề kiểm tra Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng nào dưới đây?
\(\left( {0;2} \right)\).
\[\left( { - \infty ;0} \right)\].
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 1;3} \right)\).
Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\).
Hàm số y = x3 - 3 x2 + 1 có điểm cực đại là
x=0
y=-3
x=2
y=1
Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) có \(y' = 3{x^2} - 3x,\,\,\,\,\,\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có: điểm cực đại của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) là \(x = 0.\)
Tìmgiá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \[y = {x^3} + 3x\] trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\] bằng
\[M = 0\].
\[M = 4\]
\[M = 14\].
\[M = - 2\].
Ta có \(y' = 3{x^2} + 3 > 0\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Khi đó \(y\left( 0 \right) = 0\) ; \(y\left( 2 \right) = 14\)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = 14 = M\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số có giá trị cực tiểu bằng \(2\).
Hàm số có ba điểm cực trị.
Hàm số có giá trị cực đại bằng \(0\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số có giá trị cực tiểu bằng \( - 2\). Suy ra đáp án A sai.
Hàm số có hai điểm cực trị. Suy ra đáp án B sai.
Hàm số có giá trị cực đại bằng \(2\). Suy ra đáp án C sai.
Hàm số có đạt cực đại tại \(x = 0\). Suy ra đáp án D đúng.
Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\)với \[a\],\[b\],\[c\],\[d\] là các số thực.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(y' > 0\),\(\forall x \ne 2\).
\(y' > 0\),\(\forall x \ne 3\).
\(y' < 0\),\(\forall x \ne 2\).
\(y' < 0\),\(\forall x \ne 3\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị là đường đi xuống từ trái qua phải trên các khoảng \(\left( { - \infty \,;\,2} \right)\) và \(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\) nên \(y' < 0\,,\,\,\forall x \ne 2\).
Bảng biến thiên trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\(y = \frac{{x + 3}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{ - x - 2}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{ - x - 3}}{{x - 1}}\).
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ngay tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận ngang \(y = - 1\). suy ra loại đáp án#A.
Nhìn vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(y = \frac{{ - x - 2}}{{x - 1}}\) có \(ad - bc = 3 > 0\). Loại đáp án B
\(y = \frac{{ - x - 3}}{{x - 1}}\) có \(ad - bc = 4 > 0\). Loại đáp án D
\(y = \frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}\) có \(ad - bc = - 2 < 0\). Chọn đáp án C
Bảng biến thiên sau là của hàm số nào dưới đây?
\(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\).
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\). Suy ra loại B và D.
Ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;2} \right)\) nên loại C.
Vậy bảng biến thiên đề bài cho là của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\).
Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số
\(y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{x + 1}}\).
\[y = \frac{{{x^2} - 4x + 5}}{{x - 2}}\].
Ta thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 1} \right)\) và có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x\).
Vì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\) nên loại đáp án C và D
Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 1} \right)\) nên ta loại đáp án#A.
Vậy đường cong trên là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\).
Giá trị cực tiểu của hàm số \(y = {x^2}\ln x\) là
\(\frac{1}{e}\).
\( - \frac{1}{e}\).
\( - \frac{1}{{2e}}\).
\(\frac{1}{{2e}}\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \left( {0\,;\, + \infty } \right)\).
Ta có: \(y' = 2x\ln x + x = x\left( {2\ln x + 1} \right)\), \(y' = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin D\\2\ln x + 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \ln x = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\).
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có thể suy ra hàm số có giá trị cực tiểu là \( - \frac{1}{{2e}}\) tại \(x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\)
Cho hàm số \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Tập xác định: \(D = \left[ {0;2} \right]\).
Đạo hàm: \(y\prime = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }};y\prime = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong \(t\) giờ được cho bởi công thức \[c\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 1}}\]\(\left( {{\rm{mg}}/L} \right)\). Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?
4 giờ.
1 giờ.
3 giờ.
2 giờ.
Xét hàm số \(c\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 1}}\), \((t > 0)\).
\(c'\left( t \right) = \frac{{1 - {t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}\).
\(c'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \in \left( {0;\, + \infty } \right)\\t = - 1 \notin \left( {0;\, + \infty } \right)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Với \(t = 1\) giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng \(150\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là \(x - 2\,\left( {\rm{m}} \right)\). Biểu thức tính chu vi của mảnh vườn là \(P\left( x \right)\) (mét). Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(P\left( x \right)\) là:
\(y = 2x - 4\).
\(y = 2x\).
\(y = 2x + 4\).
\(y = x - 2\).
Cạnh còn lại của hình chữ nhật là: \(\frac{{150}}{{x - 2}}\left( {\rm{m}} \right)\).
Chu vi của mảnh vườn là:
\(P\left( x \right) = \left( {x - 2 + \frac{{150}}{{x - 2}}} \right).2 \Rightarrow P\left( x \right) = 2x - 4 + \frac{{300}}{{x - 2}}\,\left( {\rm{m}} \right)\) với \(x > 2\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {P\left( x \right) - \left( {2x - 4} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{300}}{{x - 2}} = 0\). Vậy đồ thị hàm số \(P\left( x \right)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = 2x - 4\).
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị trong hình dưới đây.
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau
a) Hệ số \(a > 0\).
b) Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\).
c) Phương trình \(3f\left( x \right) - 5 = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.
d) \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 2\).
Câu 1 | Giải chi tiết( giải thích) |
a) Đ | Từ đồ thị suy ra \(a > 0\) |
b) s | Từ đồ thị ta có hàm số đạt cực đại tại \(x = - 2\) |
c) Đ | Ta có \(3f\left( x \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{5}{3}\) Từ đồ thị ta có đường thẳng \(y = \frac{5}{3}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt nên PT \(3f\left( x \right) - 5 = 0\) có 3 nghiệm phân biệt. |
d) s | Từ đồ thị ta có: Đồ thị giao với \(Oy\)tại điểm có tung độ \( - 2 \Rightarrow d = - 2\) Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua các điểm \(\left( { - 2;\,\,2} \right),\,\,\left( { - 1;\,\,0} \right),\,\,\left( {1;\,\,2} \right)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 8a + 4a - 2c - 2 = 2\\ - a + b - c - 2 = 0\\a + b + c - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\\c = 0\end{array} \right.\,\, \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 2\) |
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ax + 3}}{{bx + c}}\) \(\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau
a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = 2\).
b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là \(y = 2\).
c) \(f\left( { - 5} \right) < 0\).
d) Trong các số \(a,b\) và \(c\) chỉ có một số âm.
Câu 2 | Giải chi tiết( giải thích) |
a) Đ | Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = 2\). |
b) s | Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là \(y = 1\). |
c) s | Từ bảng biến thiên suy ra trên khoảng\(\left( { - \infty ;\,2} \right)\) đồ thị hàm số luôn nằm phía trên so với đường thẳng \(y = 1 \Rightarrow f\left( x \right) > 1\,\,\forall \,\,x \in \left( { - \infty ;\,2} \right) \Rightarrow f\left( { - 5} \right) > 1 > 0\). |
d) s | Từ BBT ta có: Đường tiệm cận ngang là \(y = 1 \Rightarrow \frac{a}{b} = 1 \Leftrightarrow a = b\). Đường tiệm cận đứng là \(x = 2 \Rightarrow \frac{{ - c}}{b} = 2 \Leftrightarrow c = - 2b = - 2a\). Mặt khác: \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{ac - 3b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}} > 0\,\,\,\forall \,\,\,x \ne 2\\ \Rightarrow ac - 3b > 0 \Leftrightarrow - 2{a^2} - 3a > 0 \Rightarrow \frac{{ - 3}}{2} < a < 0 \Rightarrow b < 0,\,\,c > 0\end{array}\) Vậy trong các số \(a,b\) và \(c\) có hai số âm. |
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Khi đó
a) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
b) Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
c) Đường thẳng \(y = x + 2\) là đường tiệm cận xiên của \(\left( C \right)\).
d) Số điểm trên \(\left( C \right)\) có tọa độ nguyên là \(3\).
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) Đúng.
Điều kiện: \(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\).
Vậy tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
b) Sai.
Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \in D\).
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
c) Đúng.
Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}} = x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)
Và: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = 0\]
Suy ra: đường thẳng \(y = x + 2\) là đường tiệm cận xiên của \(\left( C \right)\).
d) Sai.
Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}} = x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)
Ta thấy: với \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(y \in \mathbb{Z}\) khi và chỉ khi 1 chia hết cho \(\left( {x + 1} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 1\\x + 1 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\,\left( n \right)\\x = - 2 \Rightarrow y = 1\,\left( n \right)\end{array} \right.\)
Vậy có \(2\) điểm trên \(\left( C \right)\) có tọa độ nguyên là \(\left( {0\,;\,1} \right)\) và \(\left( { - 2\,;\,1} \right)\).
Anh B chế tạo một bể cá có dạng khối hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích \(0,096\,{{\rm{m}}^3}\), chiều cao \(h = 0,6\,{\rm{m}}\), chiều rộng \(x\), chiều dài \(y\), với \(x > 0,\,y > 0\). Anh B dùng loại kính để làm các mặt bên có giá \(70.000\) đồng/\({{\rm{m}}^2}\) và loại kính để làm mặt đáy có giá \(100.000\) đồng/\({{\rm{m}}^2}\). Mọi chi phí khác xem như không đáng kể. Khi đó
a) Hàm số biểu thị \(y\) theo \(x\) là \(y = \frac{{0,16}}{x}\).
b) Chi phí mua kính để làm đáy bể là \(11200\) đồng.
c) Biểu thức tính chi phí làm các mặt xung quanh là \({C_{{\rm{xq}}}} = 84000.\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right)\).
d) Chi phí làm bể cá thấp nhất là \(100000\) đồng.
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) Đúng.
Thể tích khối hộp hình chữ nhật: \(V = xyh = 0,6xy = 0,096 \Rightarrow y = \frac{{0,16}}{x}\)
Vậy \(y = \frac{{0,16}}{x}\)
b) Sai.
Diện tích đáy bể là \({S_{\rm{d}}} = xy = 0,16\,{{\rm{m}}^2}\).
Chi phí mua kính để làm đáy bể là \({C_{\rm{d}}} = 10000.{S_{\rm{d}}} = 16000\) đồng
c) Đúng.
Diện tích các mặt xung quanh: \({S_{{\rm{xq}}}} = 2\left( {0,6x + 0,6y} \right) = 1,2.\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right)\)
Biểu thức tính chi phí làm các mặt xung quanh là \({C_{{\rm{xq}}}} = 84000.\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right)\).
d) Sai.
Chi phí làm bể cá: \(C\left( x \right) = {C_{{\rm{xq}}}} + {C_{\rm{d}}} = 84000.\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right) + 16000,\,x > 0\)
Chi phí làm bể cá thấp nhất khi và chỉ khi \(\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất
Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{{0,16}}{x} = \frac{{{x^2} + 0,16}}{x},\,x > 0\)
Bảng biến thiên:
Suy ra: \(\mathop {{\rm{M}}{\mathop{\rm in}\nolimits} f\left( x \right)}\limits_{x \in \left( {0\,;\, + \infty } \right)} = f\left( {\frac{2}{5}} \right) = \frac{4}{5}\)
Vậy chi phí thấp nhất để làm bể cá là: \(C = \frac{{84000.4}}{5} + 16000 = 83200\) đồng.
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho hàm số \(y = - {x^3} - m{x^2} + \left( {4m + 9} \right)x + 5\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Ta có:
\[\begin{array}{l}y = - {x^3} - m{x^2} + \left( {4m + 9} \right)x + 5\\y' = - 3{x^2} - 2mx + \left( {4m + 9} \right)\end{array}\]
Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) khi \(y' \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1 < 0\\\Delta ' = {m^2} + 12m + 27 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 9 \le m \le - 3\end{array}\).
Vì \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3} \right\}\).
Vậy có \(7\) giá trị.
Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\), để đường thẳng \(d:y = mx + 1\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt?
Điều kiện \(x \ne 1\). Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\):
\[\begin{array}{l}\frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}} = mx + 1 \Leftrightarrow \left( {mx + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = - 2x + 1\\ \Leftrightarrow m{x^2} + \left( {3 - m} \right)x - 2 = 0\end{array}\]
Đặt \[g\left( x \right) = m{x^2} + \left( {3 - m} \right)x - 2 = 0\].
\(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt khi phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1.
\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {3 - m} \right)^2} + 8m > 0\\m + 3 - m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} + 2m + 9 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\m \in \left[ { - 5;5} \right]\end{array} \right.\) nên \(m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;1;2;3;4;5} \right\}\).
Vậy có \(10\) giá trị.
Gọi \[m\] là giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 2x + 5}}{{x - 1}}\] trên khoảng \[\left( {1;\infty } \right)\]. Giá trị của \[m\] bằng bao nhiêu?
Đáp án: \(4.\)
Xét hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 2x + 5}}{{x - 1}}\] trên khoảng \[\left( {1;\infty } \right)\].
Ta có \[\begin{array}{l}y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\\\end{array}\]
Bảng biến thiên
![Gọi \[m\] là giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 2x + 5}}{{x - 1}}\] trên khoảng \[\left( {1;\infty } \right)\]. Giá trị của \[m\] bằng bao nhiêu? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/14-1759202156.png)
Suy ra \[m = \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = 4\] khi \(x = 3\).
Một công ty chuyên sản xuất dụng cụ thể thao nhận được đơn đặt hàng sản xuất \(8000\) quả bóng rổ. Công ty có một số máy móc, mỗi máy có khả năng sản xuất \(30\) bóng rổ trong một giờ. Chi phí thiết lập mỗi máy là\(200\) nghìn đồng. Sau khi thiết lập, quá trình sản xuất sẽ diễn ra hoàn toàn tự động và chỉ cần có người giám sát. Chi phí trả cho người giám sát là \(192\) nghìn đồng mỗi giờ. Công ty cần sử dụng bao nhiêu máy móc để chi phí hoạt động đạt mức thấp nhất?
Đáp án: \(16.\)
Gọi số máy móc công ty sử dụng để sản xuất là \(x\left( {x \in {\rm N},\,\,x > 0} \right)\).
Thời gian cần để sản xuất hết \(8000\) quả bóng là: \(\frac{{8000}}{{30x}}\).
Tổng chi phí để sản xuất là: \(P\left( x \right) = 200x + \frac{{8000}}{{30x}}.192 = 200x + \frac{{51200}}{x}\)
Ta có: \(P'\left( x \right) = 200 - \frac{{51200}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 256 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\\x = - 16\left( L \right)\end{array} \right.\).
Vậy công ty nên sử dụng \(16\) máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.
Một vật chuyển động theo quy luật \[s\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} - 9t + 2\]. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất?
Đáp án: 1
Ta có \[v\left( t \right) = {\left[ {s\left( t \right)} \right]^\prime } = 3{t^2} - 6t - 9\]
Cách 1: Phương trình \[v\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 9\]là một Parabol có đỉnh thấp nhất \[I\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{ - b}}{{2a}} = 1\\{y_I} = v\left( 1 \right) = - 12\end{array} \right.\].
Vậy vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất khi \[{t_{\min }} = {x_I} = 1\].
Cách 2: Nhập phương trình bậc hai vào máy tính 580VNX, ta được:
Vậy \[\left\{ \begin{array}{l}v\left( t \right) = {y_{\min }} = - 12\\{t_{\min }} = {x_{\min }} = 1\end{array} \right.\].
Trong phòng thí nghiệm người ta xác định được số lượng vi khuẩn được nuôi cấy tính theo công thức \[N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}\] (con vi khuẩn). Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi nuôi cấy.
Đáp án: 1005
Xét hàm số \[N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}},\,\left( {t > 0} \right)\]
\[N'\left( t \right) = \frac{{100\left( {100 + {t^2}} \right) - 2t.100t}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}} = \frac{{100\left( {100 - {t^2}} \right)}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}\]
\[N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 100 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\,\,\left( N \right)\\t = - 10\,\left( L \right)\end{array} \right.\].
Ta có bảng biến thiên
Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất nuôi cấy được là 1005 con.
