Đề kiểm tra Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số bậc ba\(y = f\left( x \right)\)có đồ thị là đường cong nhưtrong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {0;2} \right)\).
\(\left( { - \infty ;0} \right)\).
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
Từ đồ thị hàm số ta thấy trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\)\(x\) tăng, \(y\)giảm (đồ thị hàm số đi xuống). Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng\(\left( { - 1;1} \right).\)
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong dưới đây?
\[y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\].
\[y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\].
\[y = - {x^3} + 3x + 1\].
\[y = {x^3} - 3x + 1\].
Đồ thị trên là đồ thị hàm bậc \(3\) có \(a < 0\). Suy ra chọn đáp án C.
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
\(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).
Ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 1\), nên loại A, B.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 1\) nên chọn D.
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) = - \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) = + \infty \].
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
\(y = \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x + 2}}\).
\(y = \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{x - 4}}{{x + 2}}\).
\[y = {x^3} - 3x + 1\].
Ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = - 2\), nên loại B; D là hàm số bậc \(3\)nên loại D; đồ thị của C có tiệm cận đứng, không có tiệm cận xiên nên loại C.
Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(y = - x - 1\) nên chọn#A.
Vì \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{{x^2} + 2x}} = - 1\).
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ( - 1)x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x + 2}} - ( - 1)x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 4}}{{x + 2}} = - 1\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = - x - 1\).
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 3}}\) là đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
\(y = - 3\).
\(y = - 1\).
\(x = - 3\).
\(x = 2\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 3}}\)\( = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} y\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} = + \infty \).
\( \Rightarrow x = - 3\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Khẳng định nào sau đây đúng về tính đơn điệu của hàm số \[y = \frac{{2x + 4}}{{1 - x}}\]?
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\]và \[\left( {1; + \infty } \right)\].
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\]\[ \cup \]\[\left( {1; + \infty } \right)\].
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\]và \[\left( {1; + \infty } \right)\].
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\] và \[\left( { - 1; + \infty } \right)\].
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có \[y = \frac{{2x + 4}}{{1 - x}} \Rightarrow y' = \frac{6}{{{{(1 - x)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1\].
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\]và \[\left( {1; + \infty } \right)\].
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x - 7}}{{x + 2}}\] là
\(y = x + 2\).
\(y = x + 4\).
\(y = x - 3\).
\(y = x - 5\).
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 3x - 7}}{{{x^2} + 2x}} = 1\).
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 3x - 7}}{{x + 2}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 5x - 7}}{{x + 2}} = - 5\)
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x - 5\).
Giá trị cực tiểu của hàm số \[y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}}\] là
\({y_{CT}} = - 5\).
\({y_{CT}} = 3\).
\({y_{CT}} = 1\).
\({y_{CT}} = - 3\).
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Ta có: \[f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x + 4} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\].
\[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 3\] hoặc \[x = 1\].
Bảng biến thiên của hàm số:
![Giá trị cực tiểu của hàm số \[y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}}\] là A. \({y_{CT}} = - 5\). B. \({y_{CT}} = 3\). C. \({y_{CT}} = 1\). D. \({y_{CT}} = - 3\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/4-1759200049.png)
Hàm số đạt cực đại tại \[x = - 3\] và \[{y_{CD}} = - 5\].
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1\] và \[{y_{CT}} = 3\].
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right){\left( {x + 4} \right)^3},\,\forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
\(2\).
\(3\).
\(4\).
\(1\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right){\left( {x + 4} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 4\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có \(2\) điểm cực tiểu.
Cho hàm số\[y = \sqrt {2{x^2} + 1} \]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,1} \right)\).
Ta có \(D = \mathbb{R}\), \(y' = \frac{{2x}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }}\); \(y' > 0 \Leftrightarrow x > 0\).
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).
Từ một tấm bìa hình vuông có độ dài cạnh bằng \(60\,\)cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau cạnh \(x\) ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (hình minh họa). Cạnh hình vuông bị cắt có giá trị bao nhiêu thì thể tích của chiếc hộp là lớn nhất?
\(x = 10\)cm.
\(x = 12\)cm.
\(x = 15\)cm.
\(x = 20\)cm.
Gọi \(x\)(cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa. Điều kiện \(0 < x < 30\). Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh \(x\) (cm) ở bốn góc và gập lên thì ta được một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng \(\left( {60 - 2x} \right)\) (cm) và chiều cao bằng \(x\)(cm). Thể tích của chiếc hộp này là \(V\left( x \right) = {\left( {60 - 2x} \right)^2}.\,x = 4{x^3} - 240{x^2} + 3600x\,\,\,\)(cm3).
Ta có \(V'\left( x \right) = 12{x^2} - 480x + 3600\).
\(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10\)(thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x = 30\)(loại).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy để thể tích của chiếc hộp là lớn nhất thì độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là \(10\)cm.
Trong một nhà hàng, mỗi tuần để chế biến \(x\) phần ăn (\(x\) lấy giá trị trong khoảng từ \(30\) đến \(120\)) thì chi phí trung bình (đơn vị nghìn đồng) của một phần ăn được cho bởi công thức: \(\overline C \left( x \right) = 2x - 230 + \frac{{7200}}{x}\). Số phần ăn \(x\) là bao nhiêu thì chi phí trung bình của mỗi phần ăn là thấp nhất?
\(x = 40\).
\(x = 50\).
\(x = 60\).
\(x = 70\).
Ta có \(\overline C '\left( x \right) = 2 - \frac{{7200}}{{{x^2}}}\).
\(\overline C '\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 60\).
Bảng biến thiên
Vậy số phần ăn \(x = 60\)thì chi phí trung bình của mỗi phần ăn là thấp nhất.
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + mx + 1\].
a) Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\] khi \[m = 5\].
b) Hàm số có cực trị khi \[m = 5\].
c) Để hàm số có \[2\] cực trị thì \[m < 4\].
d) Khi \[m \ge 4\]thì hàm số đồng biến trên \[\left( {1,4} \right)\].
Câu 1 | Giải chi tiết( giải thích) |
a) Đ | Khi \[m = 5\] thì \[y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 5x + 1\]. Ta có \[y' = {x^2} - 4x + 5 = {(x - 2)^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\]. Vậy hàm đồng biến trên \[\mathbb{R}\]. |
b) s | Dựa vào câu a, hàm số trên không có cực trị khi \[m = 5\]. |
c) Đ | Ta có \[y' = {x^2} - 4x + m\]. Để hàm số có \[2\]cực trị thì\[y' = 0\]có \[2\]nghiệm đơn hay \[\Delta ' = 4 - m > 0 \Leftrightarrow m < 4\]. |
d) Đ | Ta có \[y' = {x^2} - 4x + m\]. Để hàm số đồng biến trên \[\left( {1,4} \right)\] thì. \[\begin{array}{l}y' = {x^2} - 4x + m \ge 0,\forall x \in \left( {1,4} \right)\\ \Leftrightarrow m \ge - {x^2} + 4x\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{[1,4]} g(x) = - {x^2} + 4x\\ \Leftrightarrow m \ge g(2)\\ \Leftrightarrow m \ge 4\end{array}\] |
Cho hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\].
a) Hàm số đồng biến trên \[( - \infty ;3)\].
b) Hàm số có tiệm cận ngang \[y = 1\].
c) Tỉ số giữa GTLN và GTNN của hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\] trên \[{\rm{[4}};7]\]là \[\frac{5}{4}\].
d) Đường thẳng \[y = x - m\] cắt \[y = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\] tại \[2\]điểm phân biệt \[\forall m \in \mathbb{R}\].
Câu 2 | Giải chi tiết( giải thích) |
a) s | Tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\]. \[y' = \frac{{ - 4}}{{{{(x - 3)}^2}}} < 0;\forall x \in D\] Hàm số nghịch biến trên \[( - \infty ;3)\] và \[(3; + \infty )\]. |
b) Đ | Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 3}} = 1\] Nên hàm số có tiệm cận ngang \[y = 1\] |
c) s | \[\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\\y' = \frac{{ - 4}}{{{{(x - 3)}^2}}} < 0;\forall x \in D\end{array}\] Nên \[\mathop {\max }\limits_{[4;7]} y = y(4) = 5 = M\] \[\mathop {\min }\limits_{[4;7]} y = y(7) = 2 = m\] Vậy \[\frac{M}{m} = \frac{5}{2}\] |
d) Đ | Hoành độ giao điểm của \[y = x - m\]và \[y = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\] là nghiệm của phương trình \[x - m = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\] \[ \Leftrightarrow {x^2} - (m + 4)x + 3m - 1 = 0\] Ta có \[\Delta = {(m + 4)^2} - 4(3m - 1) = {m^2} - 4m + 20 > 0;\forall m \in \mathbb{R}\] Khi \[x = 3\] thì \[9 - (m + 4)3 + 3m - 1 = 0\] \[ \Leftrightarrow 0m = 4\] ( Vô lý) Nên \[x = 3\] không là nghiệm Nên phương trình luôn có \[2\]nghiệm khác \[3\]. Hay luôn tồn tại \[2\]giao điểm \[\forall m \in \mathbb{R}\]. |
Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\).
b) Đồ thị của hàm số đã cho có tiệm cận đứng \(x = - 1\).
c) Đồ thị của hàm số đã cho có tiệm cận xiên \(y = x + 1\).
d) Gọi \(A,B\) là 2 điểm cực trị của hàm số đã cho, diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(\sqrt 5 \).
Câu 3 | Giải chi tiết( giải thích) |
a) s | TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right)\). |
b) Đ | Dựa vào đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(x = - 1\). |
c) Đ | Dựa vào đồ thị, ta thấy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua 2 điểm là \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\) nên có phương trình là \(\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{1} = 1 \Rightarrow y = x + 1\). |
d) s | Giả sử \(A\left( { - 2; - 2} \right)\) là điểm cực đại, \(B\)\(\left( {0;2} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho, ta có: \(OA = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \), \(OB = 2\), \(AB = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \). \(p = \frac{{OA + OB + AB}}{2} = \frac{{2\sqrt 2 + 2 + 2\sqrt 5 }}{2} = 1 + \sqrt 2 + \sqrt 5 \) \({S_{\Delta OAB}} = \sqrt {p\left( {p - 2\sqrt 2 } \right)\left( {p - 2} \right)\left( {p - 2\sqrt 5 } \right)} = 2\). |
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
a) Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
b) Đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đã cho có tiệm cận đứng \(x = - 2\).
c) Đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đã cho có tiệm cận xiên \(y = x - 3\).
d) Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị \(\left( C \right)\). Khi đó, số phần tử của \(S\) là \(3\).
Câu 4 | Giải chi tiết( giải thích) |
a) Đ | TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\). Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\). Vậy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\). |
b) Đ | Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} = - \infty \) Vậy \(x = - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. |
c) s | Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x - 3}}{{{x^2} + 2x}} = 1\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x - 3}}{{x + 2}} = - 1\). Vậy \(y = x - 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. |
d) s | Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} + 2x - \left( {x + 2} \right) - 1}}{{x + 2}} = x - 2 - \frac{1}{{x + 2}}\). Để \(x \in \mathbb{Z}\) và \(y \in \mathbb{Z}\) thì suy ra \(\frac{1}{{x + 2}} \in \mathbb{Z}\) suy ra \(\left[ \begin{array}{l}x + 2 = 1\\x + 2 = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\). Với \(x = - 1 \Rightarrow y = - 3\). Với \(x = - 3 \Rightarrow y = - 3\). Vậy có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị \(\left( C \right)\), số phần tử của \(S\) là \(2\). |
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + x - 1\) đến trục hoành là
Đáp số: 1.
Ta có \(y' = 3{x^2} - 4x + 1\). \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{3}\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên của hàm số đã cho:
Vậy đồ thị hàm số đã cho có điểm cực tiểu là \(A\left( {1; - 1} \right)\). Khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho đến trục hoành bằng 1.
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 2}}{{cx + b}}\) có đồ thị như hình vẽ sau. Tính giá trị của biểu thức \(S = a + b + c\).
Đáp số: 0.
Đồ thị có đường tiệm cận đứng là \(x = 2\) suy ra \( - \frac{b}{c} = 2 \Leftrightarrow b = - 2c\).
Đồ thị có đường tiệm cận ngang là \(y = 1\) suy ra \(\frac{a}{c} = 1 \Leftrightarrow a = c\).
Khi đó \(y = \frac{{cx + 2}}{{cx - 2c}}\). Đồ thị của hàm số đi qua điểm \[\left( { - 2\;;0} \right)\] nên ta có \(c = 1\). Từ đó ta được \(a = 1;b = - 2;c = 1\) suy ra \(S = a + b + c = 0\).
Cho hàm số hữu tỉ \[y = ax + 2 + \frac{b}{{x + c}}\] có đồ thị như hình bên dưới. Tính\(P = a + b + c.\)
![Cho hàm số hữu tỉ \[y = ax + 2 + \frac{b}{{x + c}}\] có đồ thị như hình bên dưới. Tính\(P = a + b + c.\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/12-1759200440.png)
Đáp án: -3
Ta có: \[y = ax + 2 + \frac{b}{{x + c}}\].
- Nên đồ thị của hàm số có đường tiệm cận xiên là \(y = ax + 2\), mà như hình vẽ đường tiệm cận xiên đi qua điểm \(\left( {1;1} \right)\) suy ra \(1 = a.1 + 2 \Leftrightarrow a = - 1\).
- Đồ thị của hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = 1\) nên \(1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 1\).
Khi đó hàm số đã cho có dạng \(y = - x + 2 + \frac{b}{{x - 1}}\).
- Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;3} \right)\) nên \( - 0 + 2 + \frac{b}{{0 - 1}} = 3 \Leftrightarrow 2 - b = 3 \Leftrightarrow b = - 1\).
Vậy \(P = a + b + c = - 1 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 3.\)
Giả sử chi phí cho xuất bản \(x\) cuốn tạp chí (gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in,...) được cho bởi công thức:
\(C(x) = 0,0001{x^2} - 0,2x + 10000,\)
trong đó \(C(x)\) được tính theo đơn vị là vạn đồng (1 vạn đồng \( = \) 10000 đồng). Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Tỉ số \(M(x) = \frac{{T(x)}}{x}\) được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản \(x\) cuốn và tổng chi phí \(T(x)\) (xuất bản và phát hành) cho \(x\) cuốn tạp chí. Tìm chi phí trung bình thấp nhất cho một cuốn tạp chí là bao nhiêu vạn đồng, biết rằng nhu cầu hiện tại xuất bản không quá 30000 cuốn?
Đáp án: 2,2
Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng, tức là 0,4 vạn đồng.
Suy ra chi phí phát hành cho \(x\) cuốn là \(0,4x\)(vạn đồng).
Theo đề bài, ta có tổng chi phí xuất bản và phát hành cho \(x\) cuốn tạp chí là:
\(T\left( x \right) = C\left( x \right) + 0,4x = 0,0001{x^2} + 0,2x + 10000,\)với \(x > 0.\)
Ta có \(f\left( x \right) = M(x) = \frac{{T(x)}}{x} = 0,0001x + 0,2 + \frac{{10000}}{x}\).
Xét hàm số \(f(x) = 0,0001x + 0,2 + \frac{{10000}}{x}\), với \(0 < x \le 30000\).
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0,0001 - \frac{{10000}}{{{x^2}}} = \frac{{0,0001{x^2} - 10000}}{{{x^2}}};\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10000\,\,\left( {{\rm{do }}x > 0} \right).\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty .\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị của \(M(x)\) nhỏ nhất khi \(x = 10000\).
Do đó, số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình thấp nhất là \(x = 10000\) (cuốn).
Vậy chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản 10000 cuốn là:\(M(10000) = 2,2\) (vạn đồng).
Một thành phố nằm trên một con sông chảy qua hẻm núi. Hẻm có chiều ngang 80m, một bên cao \[40{\rm{ m}}\] và một bên cao \[30{\rm{ m}}\]. Một cây cầu sẽ được xây dựng bắc qua sông và hẻm núi. Sơ đồ thiết kế của cây cầu được gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây.
![Hai cột đỡ dọc \[MN\] và \[PQ\] ( song song với trục \[Oy\]) là đoạn nối giữa khung của Parabol và đường \[XY\]. Tính tổng độ d (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/14-1759200516.png)
Con đường \[XY\] xuyên qua hẻm núi được mô hình hóa bằng phương trình: \[y = \frac{{{x^3}}}{{25600}} - \frac{{3x}}{{16}} + 35\].
Hai cột đỡ dọc \[MN\] và \[PQ\] ( song song với trục \[Oy\]) là đoạn nối giữa khung của Parabol và đường \[XY\]. Tính tổng độ dài đoạn \[MN\]và \[PQ\] biết rằng \[N\]và \[Q\] là hai điểm đối xứng qua \[Oy\]; \[MN\] là đoạn có độ dài lớn nhất ( làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Đáp án: 49,5
Theo bài ra ta có: phương trình của Parabol là \[y = 60 - \frac{3}{{80}}{x^2}\].
Khoảng cách giữa khung Parabol và đường xuyên núi là:
\[D = 60 - \frac{3}{{80}}{x^2} - \left( {\frac{{{x^3}}}{{25600}} - \frac{{3x}}{{16}} + 35} \right)\] với \[x \in \left( { - 23,71;27,99} \right)\]
Xét \[D' = - \frac{3}{{40}}x - \frac{{3{x^2}}}{{25600}} + \frac{3}{{16}} = 0 \Leftrightarrow x = 2,49\]
Bảng biến thiên:
![Hai cột đỡ dọc \[MN\] và \[PQ\] ( song song với trục \[Oy\]) là đoạn nối giữa khung của Parabol và đường \[XY\]. Tính tổng độ d (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/15-1759200546.png)
Dựa vào bảng biến thiên, \[MN\] là đoạn có độ dài lớn nhất khi \[x = 2,49\]\[ \Rightarrow MN = {D_{MN}} = 60 - \frac{3}{{80}}.2,{49^2} - \left( {\frac{{2,{{49}^3}}}{{25600}} - \frac{{3.2,49}}{{16}} + 35} \right) \approx 25,23\]
Vì \[N\]và \[Q\] là hai điểm đối xứng qua \[Oy\]\[ \Rightarrow {x_{PQ}} \approx - 2,49\]
\[ \Rightarrow PQ = {D_{PQ}} = 60 - \frac{3}{{80}}.2,{49^2} - \left( {\frac{{ - 2,{{49}^3}}}{{25600}} - \frac{{3. - 2,49}}{{16}} + 35} \right) \approx 24,3\]
Tổng độ dài \[MN + PQ = 49,5\].
Ông Vinh đang ở trong rừng để đào vàng. Anh ta tìm thấy vàng ở \[{\rm{X}}\], cách điểm \[A\]: \[3{\rm{ km}}\]. Điểm \[A\] nằm trên đường bờ biển ( đường bờ biển là đường thẳng). Trại của Ông Vinh nằm ở \[Y\], cách điểm \[B\]: \[3{\rm{ km}}{\rm{.}}\] Điểm \[B\] cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng \[AB = 3{\rm{ km, }}AM = NB = x{\rm{ km}}\]và \[AX = BY = 3{\rm{ km}}{\rm{.}}\] (Như hình vẽ sau)
Khi đang đào vàng, Ông Vinh bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình
\[y = 50\log \left( {t + 2} \right)\]
Trong đó, \[y\]là nồng độ, \[t\] là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn.
Ông Vinh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Ông ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là \[5{\rm{ km/h}}\]và \[13{\rm{ km/h}}{\rm{.}}\]
Để về đến trại Ông Vinh cần chạy từ trong rừng qua điểm M, N trên bãi biển.
Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi ông Vinh về đến trại ( làm tròn đáp án đến hàng phần chục).
Đáp án: 32,6
Để nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi thời gian di chuyển về đến tại thấp nhất.
Vậy nên Quãng đường ông Vinh di chuyển về đến trại phải thấp nhất.
Quãng đường của Ông Vinh
Theo bài ra ta có: ông Vinh sẽ đi qua các quãng đường \[XM + MN + NY.\]
Ta có: \[XM = NY = \sqrt {9 + {x^2}} \]; \[MN = 18 - 2x\]
Thời gian Ông Vinh chạy đến Trại nghỉ là: \[T(x) = 2\left( {\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{5} + \frac{{9 - x}}{{13}}} \right)\] với \[x \in \left( {0;9} \right)\]
Xét \[T'(x) = 2\left( {\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{5} + \frac{{9 - x}}{{13}}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{4}\] ( thỏa mãn)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị của \(T(x)\) nhỏ nhất khi \(x = \frac{5}{4}\).
\[ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{x \in \left( {0,9} \right)} {\rm{ }}T(x) = T(\frac{5}{4}) = \frac{{162}}{{65}}\]
Vậy, nồng độ chất độc trong máu thấp nhất là \[\mathop {\min }\limits_{(0, + \infty )} y = 50\log \left( {\frac{{162}}{{65}} + 2} \right) \approx 32,6\]
