Đề kiểm tra Đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} =  - \infty .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} =  + \infty .\)

Vậy đường thẳng \(x =  - 1\)là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy chọn đáp án A.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2 + \frac{5}{{x - 1}}} \right) = 2,\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2 + \frac{5}{{x - 1}}} \right) = 2.\)

Vậy đường thẳng \(y = 2\)là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy chọn đáp án B.

Từ đồ thị hàm số ta có:

+) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) nên đáp án A, C bị loại.

+) Tiệm cận ngang \(y = 2\)nên đáp án B bị loại.

Vì: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {e^x} =  + \infty .\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {e^x} = 0.\end{array} \right. \Rightarrow y = 0\)là TCN của đồ thị hàm số \(y = {e^x}\).

+) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2}}\) có đường tiệm cận ngang \(y = 2\)vì

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2 - \frac{6}{{{x^2} + 2}}} \right) = 2.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2 - \frac{6}{{{x^2} + 2}}} \right) = 2.\end{array}\)

Vậy chọn đáp án D.

Từ đồ thị hàm số ta có:

+) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) nên đáp án A, B, D bị loại.

+) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} + 1}}\) có đường tiệm cận ngang \(y = 1\) vì

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {1 + \frac{{2x - 2}}{{{x^2} + 1}}} \right) = 1.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {1 + \frac{{2x - 2}}{{{x^2} + 1}}} \right) = 1.\end{array}\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  - 5 \Rightarrow y =  - 5\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có \(x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\).

Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận \( \Leftrightarrow m( - 2) - 8 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 4\).

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2\]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2\] nên đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} =  - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y =  + \infty  \Rightarrow \] đường thẳng \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta suy ra

- Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: \(x = 1\).

- Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: \(y = 1\).

TXĐ: \(D = R\;\backslash {\mkern 1mu} \{ 1\} \)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 3}}{{2x - 2}} =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 3}}{{2x - 2}} =  - \infty \)

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 1\).

TXĐ: \(D = R\;\backslash {\mkern 1mu} \{  - 2\} \) . Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 =  - {2^ + }} \frac{{2x + 5}}{{2x + 4}} =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{2x + 5}}{{2x + 4}} =  - \infty \)

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x =  - 2\).

Ta có  Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là \(y =  - 1\), và đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\), suy ra đó là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 2x - 1}}{{ - 2{x^2} - 1}}\).

Ta có Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là \(y = 1\), và đi qua điểm \(\left( {0; - 0.5} \right)\), suy ra đó là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} + 2}}\).

a) Đúng

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) =  + \infty \]. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \[x = 2\]

b) Sai

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f(x) =  - 1\]. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \[y =  - 1\]

c) Đúng

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \[x = 2\] và tiệm cận ngang \[y =  - 1\]. Vậy tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là \[2\].

d) Sai

Hàm số đồng biến trên hai khoảng \[( - \infty ;2)\] và \[(2; + \infty )\].

a) Sai

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 2\]. Vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

b) Đúng

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = 6;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  - \infty \]. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \[y = 6\]

c) Sai

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang \[y = 6\]. Vậy tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là \[1\].

d) Sai

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{f(x) + 2}} = \frac{1}{8};\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{f(x) + 2}} = 0\].

Vậy đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{f(x) + 2}}\] có hai đường tiệm cận ngang là \[y = \frac{1}{8}\] và \[y = 0\].

Xét hàm số \[y = f\left( x \right)\].Từ bảng biến thiên ta có:

+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  + \infty \], \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 10\]. Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] có một tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 10\).

+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f\left( x \right) =  - 3\],\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f\left( x \right) =  + \infty \]. Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 2\).

+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) =  + \infty \],\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) =  - \infty \]. Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\]có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\).

Từ đó: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng.

Xét hàm số\[y = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}\].Đặt \[g\left( x \right) = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}\], ta có hàm số xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 2;a} \right\}\], trong đó \[f\left( a \right) =  - 3\] và \[a \in \left( {2; + \infty } \right)\]. Khi đó ta có

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) + 6}} = 0\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) + 6}} = \frac{1}{{26}}\] nên \[y = 0\] và \[y = \frac{1}{{26}}\] là hai đường tiệm cận ngang.

Mặt khác ta có

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) + 6}} =  + \infty  \Rightarrow x =  - 2\] là tiệm cận đứng;

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ \pm }} g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ \pm }} f\left( x \right) + 6}} = 0 \Rightarrow x = 2\] không là tiệm cận đứng;

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) + 6}} =  + \infty  \Rightarrow x = a\] là tiệm cận đứng;

Vậy đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}\] có \[4\] đường tiệm cận.

Từ đó: d) Đúng.

+) Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}} = 0\] nên đồ thị hàm số         luôn có 1 tiệm cận ngang là \[y = 0\]với mọi \(m\)

Từ đó: a) Sai; b) Đúng.

+) Với \(m =  - 1\) thì đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + x - 2}}\].

Xét \({x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\). Vì \(x = 1\)cũng là nghiệm của tử thức nên đồ thị hàm số \(y\) chỉ nhận \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng. Nên mệnh đề c) Sai.

+) Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\] có 1 tiệm cận ngang là \[y = 0\].

Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\] có đúng hai đường tiệm cận.

\( \Leftrightarrow \) Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\] có đúng 1 tiệm cận đứng.

\( \Leftrightarrow \)Phương trình \[{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\] có nghiệm kép hoặc phương trình \[{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\] có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1.

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta  = 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta  > 0}\\{1 - \left( {2m + 1} \right) + {m^2} - 3 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) = 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) > 0}\\{{m^2} - 2m - 3 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m =  - \frac{{13}}{4}}\\\begin{array}{l}m = 3\\m =  - 1\end{array}\end{array}} \right.\].

Vậy có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Nên mệnh đề d) Đúng.

Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2}}\] có đúng hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \[f\left( x \right) = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2 = 0\] có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 1\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2} \right) > 0\\1 + 2\left( {m - 1} \right) + {m^2} - 2 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + 3 > 0\\{m^2} + 2m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m \ne 1\\m \ne  - 3\end{array} \right.\].

Do \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 2025;2025} \right]\end{array} \right.\) nên \(m \in \left\{ { - 2025, - 2024..., - 4, - 2, - 1,0} \right\}\)

Vậy có 2025 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án: 2025

Xét \({f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 4\end{array} \right.\).

- Xét \(f\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm \({x_1} <  - 1\) và \({x_2} = 1\) là nghiệm bội 2 (do đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tiếp xúc với trục hoành tại \(x = 1\)). Trường hợp này đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có 2 đường tiệm cận đứng.

- Xét \(f\left( x \right) = 4\) có 2 nghiệm \({x_3} > 1\) và \({x_4} =  - 1\) là nghiệm bội 2 (do đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\]tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại \(x =  - 1\)). Trường hợp này đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có 2 đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 4 tiệm cận đứng.

Đáp án: 4

Đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) được vẽ từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục \(Oy\), phần đồ thị phía bên trái trục \(Oy\) bỏ đi, rồi lấy đối xứng phần đồ thị phía bên phải sang qua \(Oy\). Ta được đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) như hình vẽ bên dưới.

Vậy đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có tổng số 3 đường tiệm cận

Đáp án: 3

Đồ thị hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] được vẽ từ đồ đi hàm số \[y = f\left( x \right)\] bằng cách giữ nguyên phần đồ thị phía trên của trục \(Ox\), phần đồ thị phía dưới trục\(Ox\)thì lấy đối xứng lên qua \(Ox\), rồi bỏ phần đồ thị phía dưới \(Ox\)đi.

Ta có đồ thị hàm \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] như hình vẽ.

Suy ra đồ thị hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\]có hai đường tiệm cận ngang là \[y = 1\] và \[y = 2\].

Vậy \(m + n = 2 + 1 = 3\).

Đáp án: 3

Trả lời: 2.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{4 - {x^2}}} =  - 1\) nên đường thẳng \(y =  - 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{4 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}} =  - \frac{1}{4}\)nên đường thẳng \(x = 2\) không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{4 - {x^2}}} =  + \infty \)nên đường thẳng \(x =  - 2\)là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

Trả lời: 3.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = \frac{2}{{3.\left( { - 1} \right) - 2}} =  - \frac{2}{5}\]

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = \frac{2}{{3.1 - 2}} = 2\)

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang.

Xét phương trình \(3f\left( x \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{2}{3}\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: phương trình \(f\left( x \right) = \frac{2}{3}\) có duy nhất một nghiệm.

Vậy hàm số có 3 đường tiệm cận.

Trả lời: 1.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sin x}}{{{x^3} - 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{\sin x}}{x}} \right] =  - \frac{1}{2}\)

Lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sin x}}{{{x^3} - 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{\sin x}}{x}} \right] =  - \frac{1}{2}\)

\(3\)

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sin x}}{{{x^3} - 4x}} =  + \infty \] ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sin x}}{{{x^3} - 4x}} =  - \infty \)

Vậy đồ thị hàm số chỉ có \(1\) tiệm cận đứng là \(x =  - 2\)

Trả lời: 6.

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình \[3f(x) - 2 = 0\](hay \[f(x) = \frac{2}{3}\]) có 4 nghiệm \[{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\]thỏa \[{x_1} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\], \[{x_2} \in \left( { - 1;0} \right)\], \[{x_3} \in \left( {0;1} \right)\], \[{x_4} \in \left( {1; + \infty } \right)\]. Suy ra đồ thị hàm số \[y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}\]có 4 tiệm cận đứng là \[x = {x_1}\], \[x = {x_2}\], \[x = {x_3}\], \[x = {x_4}\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{2}{{3f(x) - 2}} = 0\]nên \[y = 0\]là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{2}{{3f(x) - 2}} = 2\]nên \[y = 2\]là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}\].

Do đó đồ thị hàm số \[y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}\]có 2 tiệm cận ngang là \[y = 0\], \[y = 2\].

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}\]là 6.