Đề kiểm tra Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto lớp 12 (có lời giải) - Đề 5
22 câu hỏi
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho \[\vec a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \]. Tọa độ của vectơ \[\vec a\] là
\[\left( { - 1;2; - 3} \right)\].
\(\left( {2; - 3; - 1} \right)\).
\(\left( {2; - 1; - 3} \right)\).
\[\left( { - 3;2; - 1} \right)\].
\[\vec a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \Rightarrow \vec a\left( { - 1;2; - 3} \right)\].
Trong không gian \[Oxyz\], cho \[\vec a = \left( {1;2;1} \right)\] và \[\vec b = \left( { - 1;3;0} \right)\]. Vectơ \[\vec c = 2\vec a + \vec b\] có tọa độ là
\[\left( {1;7;2} \right)\].
\[\left( {1;5;2} \right)\].
\[\left( {3;7;2} \right)\].
\[\left( {1;7;3} \right)\].
Có \[\vec c = 2\vec a + \vec b\], gọi \[\vec c = \left( {{c_1};{c_2};{c_3}} \right)\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} = 2.1 + \left( { - 1} \right) = 1\\{c_2} = 2.2 + 3 = 7\\{c_3} = 2.1 + 0 = 2\end{array} \right.\]
Vậy \[\vec c = \left( {1;7;2} \right)\]
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba vecto \(\vec a\left( {1;2;3} \right);\vec b\left( {2;2; - 1} \right);\vec c\left( {4;0; - 4} \right)\). Tọa độ của vecto \(\vec d = \vec a - \vec b + 2\vec c\) là
\(\vec d\left( { - 7;0; - 4} \right)\)
\(\vec d\left( { - 7;0;4} \right)\)
\(\vec d\left( {7;0; - 4} \right)\)
\(\vec d\left( {7;0;4} \right)\)
Ta có: \(\vec d = \vec a - \vec b + 2\vec c = \left( {1 - 2 + 2.4;2 - 2 + 2.0;3 + 1 + 2.( - 4)} \right) = \left( {7;0; - 4} \right)\).
Cho \(\vec a = \left( { - 2;3;2} \right),\vec b = \left( {2;1; - 1} \right)\). Tọa độ của vectơ \[\overrightarrow u = \vec a - \vec b\] là:
\[\overrightarrow u = \left( { - 4;2;3} \right)\].
\[\overrightarrow u = \left( {4; - 2; - 3} \right)\].
\[\overrightarrow u = \left( { - 4;2;1} \right)\].
\[\overrightarrow u = \left( {4; - 2; - 1} \right)\].
Ta có: \[\overrightarrow u = \left( { - 2 - 2;3 - 1;2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 4;2;3} \right)\].
Cho \(\vec a = \left( {2; - 1;3} \right),\vec b = \left( {1;1; - 1} \right)\). Tọa độ của vectơ \[\overrightarrow v = 2\vec a - \vec b\] là:
\[\overrightarrow v = \left( {3;3;7} \right)\].
\[\overrightarrow v = \left( {3; - 3;7} \right)\].
\[\overrightarrow v = \left( {5; - 1;5} \right)\].
\[\overrightarrow v = \left( { - 3;3; - 7} \right)\].
Ta có: \(2\vec a = \left( {4; - 2;6} \right)\) nên \[\overrightarrow v = 2\vec a - \vec b = \left( {3; - 3;7} \right)\].
Cho \(\vec a = \left( { - 1; - 1;2} \right),\vec b = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow c = \left( {2;4;7} \right)\). Tọa độ của vectơ \[\overrightarrow u = \vec a - 3\vec b + 2\overrightarrow c \] là:
\[\overrightarrow u = \left( {0;10;13} \right)\].
\[\overrightarrow u = \left( {6; - 4;19} \right)\].
\[\overrightarrow u = \left( {6;4;19} \right)\].
\[\overrightarrow u = \left( { - 6;4;19} \right)\].
Ta có: \(3\overrightarrow b = \left( { - 3;3; - 3} \right)\); \(2\overrightarrow c = \left( {4;8;14} \right)\)
nên \[\overrightarrow u = \vec a - 3\vec b + 2\overrightarrow c = \left( {6;4;19} \right)\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3; - 4;1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {2; - 1;0} \right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) bằng
\(11\).
\(10\).
\(9\).
\(8\).
Ta có \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 3 \cdot 2 + \left( { - 4} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot 0 = 10\).
Trong không gian \(Oxyz\), tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow m = \left( {a;b;c} \right)\) và \(\overrightarrow n = \left( {x;y;z} \right)\) được xác định bởi công thức nào sau đây?.
\(\overrightarrow m \cdot \overrightarrow n = ax + by + cz\).
\(\overrightarrow m \cdot \overrightarrow n = ax - by + cz\).
\(\overrightarrow m \cdot \overrightarrow n = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \cdot \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \).
\(\overrightarrow m \cdot \overrightarrow n = {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2}\).
Ta có \(\overrightarrow m \cdot \overrightarrow n = ax + by + cz\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;0; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {3; - 5;6} \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng
\({30^ \circ }\).
\({120^ \circ }\).
\({90^ \circ }\).
\({60^ \circ }\).
Vì \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 2 \cdot 3 + 0 \cdot \left( { - 5} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 6 = 0\) nên góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng \({90^ \circ }\).
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\] cho ba điểm \(M\left( {2;\,3;\, - 1} \right)\), \(N\left( { - 1;1;1} \right)\) và \(P\left( {1;m - 1;\,2} \right)\). Tìm \(m\) để tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\).
m=2
m=- 6
m=0
m=4
\(\overrightarrow {MN} \left( { - 3; - 2;2} \right);\overrightarrow {NP} \left( {2;\,m - 2;1} \right)\).
Tam giác \(MNP\) vuông tại \(N \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NP} = 0 \Leftrightarrow - 6 - 2\left( {m - 2} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow m - 2 = - 2 \Leftrightarrow m = 0\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3\,;\,1\,;\, - 2} \right)\), \(B\left( {2\,;\, - 3\,;\,5} \right)\). Điểm \(M\) thuộc đoạn \(AB\)sao cho \(MA = 2MB\), tọa độ điểm \(M\)là
\(\left( {\frac{7}{3}\,; - \,\frac{5}{3}\,;\,\frac{8}{3}} \right)\).
\(\left( {4\,;5\,;\, - 9} \right)\).
\(\left( {\frac{3}{2}\,; - \,5\,;\,\frac{{17}}{2}} \right)\).
\(\left( {1\,; - 7\,;\,12} \right)\).
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\). Vì M thuộc đoạn AB nên:
\(\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = - 2\left( {2 - x} \right)\\1 - y = - 2\left( { - 3 - y} \right)\\ - 2 - z = - 2\left( {5 - z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{3}\\y = - \frac{5}{3}\\z = \frac{8}{3}\end{array} \right.\)
Trong không gian \[Oxyz\], cho các vec tơ \[\overrightarrow a = \left( {5;3; - 2} \right)\] và \[\overrightarrow b = \left( {m; - 1;m + 3} \right)\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \[m\] để góc giữa hai vec tơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] là góc tù?
\[2.\]
\[3.\]
\[1.\]
\[5.\]
Ta có \[\cos \left( {\overrightarrow a ;{\rm{ }}\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .{\rm{ }}\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{3m - 9}}{{\sqrt {38} .\sqrt {2{m^2} + 6m + 10} }}\].
Góc giữa hai vec tơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] là góc tù khi và chỉ khi \[\cos \left( {\overrightarrow a ;{\rm{ }}\overrightarrow b } \right) < 0 \Leftrightarrow 3m - 9 < 0 \Leftrightarrow m < 3\].
Vì \[m\] nguyên dương nên \[m \in \left\{ {1;{\rm{ }}2} \right\}\]. Vậy có 2 giá trị \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho\[\vec a = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \]và b→=mi→+2j→+nk→ với m và n là hai số thực.
a) Vec tơ \[\vec a\] có tọa độ là a→=1;2;−3
b) Khi \[m = 1,n = 0\] thì tọa độ của vec tơ b→=1;2
c) Khi \[m = 1,n = 0\] thì tọa độ vec tơ a→+b→=2;4;−3
d) Khi \[m = 1,n = 0\] thì tọa độ vec tơ 2a→−b→=1;2;−3
a) Đúng, vì theo định nghĩa vec tơ \[\vec a\] có tọa độ là \[\vec a = \left( {1;2; - 3} \right)\].
b) Sai, vì khi \[m = 1,n = 0\] thì \[\mathop b\limits^ \to = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 0.\overrightarrow k \] nên tọa độ của vec tơ \[\mathop b\limits^ \to = \left( {1;2;0} \right)\].
c) Đúng, vì khi \[m = 1,n = 0\] thì \[\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\mathop k\limits^ \to + \overrightarrow i + 2\overrightarrow j = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j - 3\mathop k\limits^ \to \] nên \[\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to = \left( {2;4; - 3} \right)\]
d) Đúng, vì khi \[m = 1,n = 0\] thì \[2\mathop a\limits^ \to - \mathop b\limits^ \to = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j - 3\mathop k\limits^ \to - \overrightarrow i - 2\overrightarrow j = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \] nên \[2\mathop a\limits^ \to - \mathop b\limits^ \to = \left( {1;2; - 3} \right)\].
Trong không gian \[Oxyz,\] cho \(\vec a = \left( {1; - 4;3} \right)\) và \(\vec b = \left( {m - n;4m - 6n;{n^2} - 3m + 2} \right)\), với \(m,n\)là tham số.
a) Với \(m = 1;n = 2\) thì \(\overrightarrow b = \left( { - 1; - 8; - 3} \right)\)
b) Với \(m = 1;n = 0\) thì \(2\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {1; - 12;7} \right)\).
c) Tồn tại giá trị của \(m\) và \(n\) để \(\vec b = \vec 0\).
d) Nếu \(\vec a = \vec b\) thì \(m + n = 9\).
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) Với \(m = 1;n = 2\) thì \(\overrightarrow b = \left( { - 1; - 8;3} \right)\) nên a) sai.
b) Với \(m = 1;n = 0\) thì \(\overrightarrow b = \left( {1;4; - 1} \right)\) nên \(2\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {1; - 12;7} \right)\) nên b) đúng.
c) Để \(\vec b = \vec 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m - n = 0\\4m - 6n = 0\\{n^2} - 3m + 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\n = 0\\{n^2} - 3m + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\n = 0\\2 = 0\end{array} \right.\) vô lý. Vậy c) sai.
d) Để \(\vec a = \vec b\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m - n = 1\\4m - 6n = - 4\\{n^2} - 3m + 2 = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\\{n^2} - 3m + 2 = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\\16 - 15 + 2 = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow m + n = 9\).
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( { - 2;0;2} \right)\), \(B\left( {3; - 2;4} \right)\), \(C\left( {1;5; - 5} \right)\), \(A'\left( {3;5;7} \right)\), \(B'\left( {8;3;9} \right)\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau?
a) Trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) có tọa độ là \(M\left( {2;\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\).
b) Trọng tâm tam giác \(A'BC\) có tọa độ là \[G\left( {\frac{7}{3};\frac{8}{3};2} \right)\].
c) \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB'} } \right) = \frac{{58}}{{\sqrt {33} \cdot \sqrt {58} }}\).
d) Khi\(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ tam giác thì tọa độ trọng tâm \(G'\) của tam giác \[A'B'C'\] là \[G'\left( {\frac{{17}}{3};6;\frac{{17}}{3}} \right)\].
a) Sai vì trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) có tọa độ
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = 2\\{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{3}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_B} + {z_C}}}{2} = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)
b) Đúng vì trọng tâm tam giác \(A'BC\) có tọa độ là
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_{A'}} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{7}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_{A'}} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{8}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_{A'}} + {z_B} + {z_C}}}{3} = 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{7}{3};\frac{8}{3};2} \right)\]
c) Sai vì
\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB'} } \right) = \frac{{5 \cdot 10 + \left( { - 2} \right) \cdot 3 + 2 \cdot 7}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{10}^2} + {3^2} + {7^2}} }} = \frac{{58}}{{\sqrt {33} \cdot \sqrt {158} }}\)
d) Sai.
Tam giác \(ABC\) có trọng tâm \[G\left( {\frac{2}{3};1;\frac{1}{3}} \right)\], tam giác \[A'B'C'\] có trọng tâm \[G'\].
Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ nên \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {GG'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} - {x_G} = {x_{A'}} - {x_A}\\{y_{G'}} - {y_G} = {y_{A'}} - {y_A}\\{z_{G'}} - {z_G} = {z_{A'}} - {z_A}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} = \frac{{17}}{3}\\{y_{G'}} = 6\\{z_{G'}} = \frac{{16}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G'\left( {\frac{{17}}{3};6;\frac{{16}}{3}} \right)\].
Trong không gian Oxyz cho các điểm \[A\left( {5;1;5} \right);{\rm{ }}B\left( {4;3;2} \right);{\rm{ }}C\left( { - 3; - 2;1} \right)\]. Trong các khẳng định sau, hãy chọn tính đúng sai.
a) Tọa độ trọng tâm của tam giác \[ABC\]là \[G\left( {3;\,1;\,\frac{8}{3}} \right)\].
b) \[AB = \sqrt {14} ;\,\,BC = 5\sqrt 3 \]
c) Tam giác \[ABC\] là một ram giác vuông
d) Gọi \[I\left( {a;b;c} \right)\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Khi đó \[a + 2b + c = 3.\]
a) Sai.
Tọa độ trọng tâm của tam giác \[ABC\]là \[G\left( {2;\,\frac{2}{3};\,\frac{8}{3}} \right)\].
b) Đúng
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2; - 3} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - 7; - 5; - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \sqrt {14} \\BC = \sqrt {75} = 5\sqrt 3 \end{array} \right.\]
c) Đúng
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2; - 3} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - 7; - 5; - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow \] tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\].
d) Đúng
Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\].
\[ \Rightarrow \] tâm \[I\] của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] là trung điểm của cạnh huyền \[AC\].
\[ \Rightarrow \]\[I\left( {1; - \frac{1}{2};3} \right)\]. Vậy \[a + 2b + c = 3.\]
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\); \(D\left( {0;2;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;2} \right)\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AC'\) ?
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right)\); \(\overrightarrow {AD} = \left( {0;2;0} \right)\); \(\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;2} \right)\).
Theo quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC'} = \left( {1;2;2} \right)\).
Suy ra \(AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\)\( = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = 3.\)
Vậy độ dài đoạn thẳng \(AC' = 3.\)
Trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm là \[A\left( {1;3; - 1} \right)\], \[B\left( {3; - 1;5} \right)\]. Điểm \[M(a;b;c)\] thỏa mãn hệ thức \[\overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MB} \]. Tính giá trị biểu thức \(a - b + c\)?
Ta có MA→=1−a; 3−b; −1−c; MB→=3−a; −1−b; 5−c
\[\overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MB} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3.\left( {3 - a} \right)\\3 - b = 3.\left( { - 1 - b} \right)\\ - 1 - c = 3.\left( {5 - c} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 3\\c = 8\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {4; - 3;8} \right)\].
Vậy \(a - b + c = 4 + 3 + 8 = 15\).
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 2} \right),\,\,\overrightarrow v = \left( {1;0;m} \right)\). Giá trị của \(m\) (làm tròn đến hàng phần chục) để góc giữa \(\vec u\), \(\vec v\) bằng 45 độ là bao nhiêu?
Ta có: \[\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 45^\circ \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\] \[ \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]\( \Leftrightarrow \frac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow \sqrt {3\left( {{m^2} + 1} \right)} = 1 - 2m\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 2m \ge 0\\3{m^2} + 3 = 1 - 4m + 4{m^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{1}{2}\\{m^2} - 4m - 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt 6 \approx - 0.4494897\).
Suy ra \(m \approx - 0.4\)
Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 10 m, chiều rộng là 6m và chiều cao là 4 m. Một chiếc quạt được treo trên trần nhà sao cho là điểm chính giữa của phòng học. Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\)có gốc (\(O \equiv A\)) trùng với một góc phòng và mặt phẳng (\(Oxy\)) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét . Gọi \[I(a;b;c)\]là tọa độ của điểm treo quạt. Tính giá trị \(a + b + c\)?
Ta có \(C'(6;10;4)\), \(A'(0;0;4)\).
Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là trung điểm của \(A'C'\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{6 + 0}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{10 + 0}}{2} = 5\\{z_I} = \frac{{4 + 4}}{2} = 4\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ của điểm treo quạt \(I(3;5;4)\)suy ra \(a + b + c = 12\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\), \(C\left( { - 4;7;5} \right)\). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\) là chân đường phân giác trong góc \(B\) của tam giác \(ABC\). Giá trị của \(a + b + 2c\) bằng bao nhiêu?
Ta có \(AB = \sqrt {26} \), \(BC = \sqrt {104} = 2\sqrt {26} \).
Theo tính chất phân giác ta có \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{1}{2}\). Suy ra \(\overrightarrow {DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \;\left( * \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {DA} = \left( {1 - a;2 - b; - 1 - c} \right)\) và \(\overrightarrow {DC} = \left( { - 4 - a;7 - b;5 - c} \right)\).
Do đó \(\left( * \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = - \frac{1}{2}\left( { - 4 - a} \right)\\2 - b = - \frac{1}{2}\left( {7 - b} \right)\\ - 1 - c = - \frac{1}{2}\left( {5 - c} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{3}\\b = \frac{{11}}{3}\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};1} \right) \Rightarrow a + b + 2c = 5\).
Một căn nhà được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác \(OAB.O'A'B'\). Với hệ trục tọa độ \(Oxyz\)thể hiện như hình bên (đơn vị cm ), hai điểm \(A'\)và \(B'\)có tọa độ lần lượt là \(A'(240;420;0)\) và \(B'(120;420;300)\). Hãy tính độ lớn của góc \(\alpha \)(làm tròn đến hàng phần chục)
Ta có \(\overrightarrow {A'B'} = ( - 120;0;300)\)
\(O'(0;420;0) \Rightarrow \overrightarrow {A'O'} = ( - 240;0;0)\)
Do đó \[\cos \alpha = \frac{{\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {O'A'} }}{{\left| {\overrightarrow {A'B'} } \right|.\left| {\overrightarrow {O'A'} } \right|}} = \frac{{120.240}}{{60\sqrt {29} .240}} = \frac{2}{{\sqrt {29} }} \Rightarrow \alpha = 68,{2^0}\]
