Đề kiểm tra Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.1 + \left( { - 1} \right).3 + 3.2 = 5\).

Ta có:  \(\overrightarrow a  = \left( {2; - 1;3} \right) \Rightarrow \) \(2\overrightarrow a  = \left( {4; - 2;6} \right)\).

             \(\overrightarrow b  = \left( {5;3; - 2} \right) \Rightarrow \)\( - 3\overrightarrow b  = \left( { - 15; - 9;6} \right)\).

Vậy  \(\overrightarrow {2a} .\left( { - 3\overrightarrow b } \right) = 4.\left( { - 15} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 9} \right) + 6.6 =  - 6\).

Do \(M\) nằm trên trục \(Ox\)suy ra \(M\left( {x;0;0} \right)\).

\(\overrightarrow {AM} \left( {x - 1;1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BC} \left( { - 3; - 2;2} \right)\).

\(\begin{array}{l}AM \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( { - 3} \right) + 1.\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).2 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow  - 3\left( {x - 1} \right) - 6 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow  - 3\left( {x - 1} \right) = 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x - 1 =  - 2 \Leftrightarrow x =  - 1.\end{array}\)

a) Đúng.

Ta có \[\overrightarrow x  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = (3;4;2)\] .

b) Sai.

Ta có \[\overrightarrow y  = \overrightarrow a  + \overrightarrow c  = (5;2; - 1)\].

c) Sai.

Ta có \[\overrightarrow z  = \overrightarrow b  + \overrightarrow c  = (6;2; - 5)\].

d) Đúng.

Ta có \(\overrightarrow k  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  = (7;4; - 2)\).

Ta có:  \[\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( { - 2; - 3;6} \right)\]

a) Đúng.

b) Sai.

c) Sai vì \[\overrightarrow b  - \overrightarrow a  = \left( {2;\,3\,; - 4} \right)\].

d) Đúng vì \[\overrightarrow a  - \overrightarrow x  = \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow x  = \overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( { - 2; - 3;6} \right)\].

    Suy ra hoành độ của vectơ \[\overrightarrow x \] là \[ - 2 \in \left( { - 3;1} \right)\].

a) Đúng.

Ta có \[\overrightarrow x  = \overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  = (2; - 9;6)\] .

b) Sai.

Ta có \[\overrightarrow y  = 2\overrightarrow a  + \overrightarrow c  = (7; - 7;11)\].

c) Đúng.

Ta có \[\overrightarrow z  = 2\overrightarrow b  + \overrightarrow c  = (3;3;3)\].

d) Đúng.

Ta có \(\overrightarrow k  = 2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  - \overrightarrow c  = (1;1; - 2)\).

Gọi \[M\left( {a\,;0\,;0} \right),N\left( {0\,;b\,;0} \right),P\left( {0\,;0\,;\,c} \right)\].

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {DM}  = \left( {a - 4;1; - 3} \right)\\\overrightarrow {DN}  = \left( { - 4;b + 1; - 3} \right)\\\overrightarrow {DP}  = \left( { - 4;1;c - 3} \right)\end{array}\]

Ta có \[DM,DN,DP\] đôi một vuông góc với nhau nên

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {DM} .\overrightarrow {DN}  = 0\\\overrightarrow {DM} .\overrightarrow {DP}  = 0\\\overrightarrow {DN} .\overrightarrow {DP}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4\left( {a - 4} \right) + b + 1 + 9 = 0\\ - 4\left( {a - 4} \right) + 1 - 3\left( {c - 3} \right) = 0\\16 + b + 1 - 3\left( {c - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a + b =  - 26\\ - 4a - 3c =  - 26\\b - 3c =  - 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{13}}{4}\\b =  - 13\\c = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.\].

a) Sai.

b) Sai.

c) Đúng vì: \[{V_{DMNP}} = \frac{1}{6}DM.DN.DP = \frac{1}{6}.\frac{{13}}{4}.13.\frac{{13}}{3} = \frac{{2197}}{{72}} > 29\].

d) Gọi \[\overrightarrow x  = \left( {m\,;n\,;p} \right)\]

\[\overrightarrow {DM}  = \left( { - \frac{3}{4};\,1\,; - 3} \right);\,\,\overrightarrow {DN}  = \left( { - 4; - 12; - 3} \right);\,\,\,\overrightarrow {DP}  = \left( { - 4;1\,;\,\frac{4}{3}} \right)\]

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow x .\overrightarrow {DM}  = 1\\\overrightarrow x .\overrightarrow {DN}  = 2\\\overrightarrow x .\overrightarrow {DP}  =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{4}m + n - 3p = 1\\ - 4m - 12n - 3p = 2\\ - 4m + n + \frac{4}{3}p =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{{88}}{{169}}\\n =  - \frac{{35}}{{169}}\\p =  - \frac{{90}}{{169}}\end{array} \right.\]

\[m\, + n\, + p = \frac{{ - 37}}{{169}}\].

Suy ra d) sai.

Trả lời: \(z = 3.\)

Ta có: \(\vec a + \vec b = \left( {0;0;z - 3} \right).\)

\(\vec a + \vec b = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow z - 3 = 0 \Leftrightarrow z = 3.\)

Vậy \(z = 3.\)

Trả lời: \[\left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right| \approx 15,7\].

Ta có: \[\overrightarrow a  = 2\overrightarrow i  - 3\overrightarrow j  + 6\overrightarrow k \] \( \Rightarrow \overrightarrow a  = \left( {2; - 3;6} \right)\)

\[\overrightarrow b  = 6\overrightarrow j  + \overrightarrow k \]\( \Rightarrow \overrightarrow b  = \left( {0;6;1} \right)\)

Khi đó: \[\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b  = \left( {2; - 15;4} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right| = 7\sqrt 5  \approx 15,7.\]

Trả lời: \(m = 0.\)

Ta có: \(\vec b = \left( {2; - 2;1} \right) \ne \overrightarrow 0 .\)

\(m\vec b = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow m = 0.\)

Vậy \(m = 0.\)

Trả lời: \(T = 1.\)

Ta có: \(m.\overrightarrow a  + n.\overrightarrow b  + p\overrightarrow c  = \left( {m - 2n + 3p;\,n + 2p;\, - 2m + 3n - p} \right)\), \(\overrightarrow d  = \left( {9;\,0;\, - 11} \right).\)

\(m.\overrightarrow a  + n.\overrightarrow b  + p\overrightarrow c  = \overrightarrow d \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2n + 3p = 9\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n + 2p = 0\\ - 2m + 3n - p =  - 11\end{array} \right..\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n =  - 2\\p = 1\end{array} \right..\)

Vậy \(T = m + n + p = 1.\)

Trả lời: \(m = 0.\)

Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;2;2} \right)\] và \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;m; - 1} \right)\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\) hay \(2 + 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 0.\)

Trả lời : \(1,15\)

Gọi \(a = {H_1}{H_2}\) là khoảng cách giữa hai nguyên tử hydrogen , khi đó độ dài \(O{H_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{H_1}{H_2} \Leftrightarrow \sqrt 3  = \frac{{\sqrt 3 a}}{2} \Rightarrow a = 2\).

Giả sử góc tạo bởi liên kết \(H - N - H,\) có hai cạnh là hai đoạn thẳng nối \(N\) với hai trong ba điểm \({H_1},\,{H_2},\,{H_3}\)  là góc \(\widehat {{H_2}N{H_3}} = {120^ \circ }\)

Gọi \(x\) là khoảng cách giữa nguyên tử nitrogen với mỗi nguyên tử hydrogen, khi đó \(N{H_2} = x\)

Áp dụng định lý cosin ta có:

\({H_2}{H_3} = N{H_2}^2 + N{H_3}^2 - 2.N{H_2}.N{H_3}.\cos \widehat {{H_2}N{H_3}}\)\( \Leftrightarrow 4 = {x^2} + {x^2} - 2{x^2}\cos {120^ \circ } \Rightarrow {x^2} = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \approx 1,15 \cdot \)