Đề kiểm tra Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto lớp 12 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;1;2} \right),\,\overrightarrow b = \left( {3;0; - 1} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) có tọa độ là
\(\left( {4;\,0;\,1} \right)\).
\(\left( { - 4;\,1;\,1} \right)\).
\(\left( { - 2;\, - 1;\,1} \right)\).
\(\left( {4;\,1;\,1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {1;1;2} \right) + \,\left( {3;0; - 1} \right) = \left( {4;\,1;\,1} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;1; - 1} \right),\,\overrightarrow b = \left( {2;2; - 2} \right),\overrightarrow c = \left( {3;\, - 3;\,3} \right)\,\). Vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \)
có tọa độ là
\(\left( {6;\,0;\,0} \right)\).
\(\left( { - 4;\,1;\,1} \right)\).
\(\left( { - 2;\, - 1;\,1} \right)\).
\(\left( {4;\,1;\,1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \left( {1;1; - 1} \right) + \left( {2;2; - 2} \right) + \left( {3;\, - 3;\,3} \right)\, = \left( {6;\;0;\,0} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\,\overrightarrow k \) là các vectơ đơn vị. Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \) và
\(\overrightarrow b = - 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \) , vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) có tọa độ là
\(\left( {6;\,0;1\,0} \right)\).
\(\left( {0;\,6;\,10} \right)\).
\(\left( { - 2;\, - 1;\,1} \right)\).
\(\left( {4;\,1;\,1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = 3\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 5\overrightarrow k - 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 5\overrightarrow k = 6\overrightarrow j + 10\overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {0;\,6;\,10} \right)\).
Trong hệ toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\], cho \(\overrightarrow m = \left( {2;4;1} \right)\) và \(\overrightarrow n = \left( {0;7;6} \right)\). Xác định toạ độ của véctơ \(\overrightarrow t = \overrightarrow m - \overrightarrow n \)?
\(\overrightarrow t = \left( {2; - 3; - 5} \right)\).
\(\overrightarrow t = \left( { - 2;3;5} \right)\).
\(\overrightarrow t = \left( {3; - 3; - 5} \right)\).
\(\overrightarrow t = \left( {5; - 3; - 5} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow t = \overrightarrow m - \overrightarrow n \) \( \Rightarrow \overrightarrow t = \left( {2; - 3; - 5} \right)\).
Trong hệ toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\], cho \(\overrightarrow u = \left( { - 2;0;5} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {3;2;1} \right)\). Xác định toạ độ của véctơ \(\overrightarrow a = \overrightarrow v - \overrightarrow u \)?
\(\overrightarrow a = \left( {1;2;4} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( {5;2; - 4} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( { - 5;2; - 4} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( {3;2; - 4} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow v - \overrightarrow u \Rightarrow \overrightarrow a = \left( {5;2; - 4} \right)\).
Trong hệ toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\], cho \(\overrightarrow m = \left( {2; - 4;1} \right)\) và \(\overrightarrow n = \left( {10;1;6} \right)\). Xác định toạ độ của véctơ \(\overrightarrow t = 2\overrightarrow m - \overrightarrow n \)?
\(\overrightarrow t = \left( { - 6; - 9; - 4} \right)\).
\(\overrightarrow t = \left( { - 2; - 3; - 4} \right)\)
\(\overrightarrow t = \left( { - 9; - 6; - 4} \right)\).
\(\overrightarrow t = \left( { - 2; - 9; - 4} \right)\).
Ta có: \(2\overrightarrow m = \left( {4; - 8;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow t = \left( { - 6; - 9; - 4} \right)\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho \(\overrightarrow a = \,\left( { - 2;\,\,\,3;\,\,1} \right)\), \(\,\overrightarrow b \left( {2;\,\,\, - 3;\,\,5} \right)\). Tìm tọa độ của \(\overrightarrow x = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b \)
\(\overrightarrow x = \left( { - 10;\,\,15;\,\, - 13} \right)\).
\[\overrightarrow x = \left( {10;\,\, - 15;\,\,13} \right)\].
\(\overrightarrow x = \left( {2;\,\, - 3;\,\,17} \right)\).
\(\overrightarrow x = \left( { - 2;\,\,3;\,\, - 17} \right)\).
Ta có: \(2\overrightarrow a = \left( { - 4;\,\,6;\,\,2} \right)\), \( - 3\overrightarrow b = \left( { - 6;\,\,\,9;\,\, - 15} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow x = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b = \)\(\left( { - 10;\,\,15;\,\, - 13} \right)\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho \(\overrightarrow a = - 6\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 2\overrightarrow k \). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow x \) thỏa \(2\overrightarrow x = \overrightarrow a \).
\[\overrightarrow x = \left( {12;\, - \,8;\, - \,4} \right)\].
\[\overrightarrow x = \left( { - 12;\,\,8;\,\,4} \right)\].
\(\overrightarrow x = \left( { - 3;{\rm{ }}2;{\rm{ }}1} \right)\).
\(\overrightarrow x = \left( {3;{\rm{ }} - 2;{\rm{ }} - 1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow a = \left( { - 6;\,\,4;\,\,2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow x = \frac{1}{2}\overrightarrow a = \left( { - 3;{\rm{ }}2;{\rm{ }}1} \right)\).
Trong hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 4} \right),{\rm{ }}B\left( { - 2;3;0} \right)\). Tìm tọa độ đỉểm \(I\) sao cho
\(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 .\)
\(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{5}{2}; - 2} \right)\).
\(I\left( {\frac{1}{2}; - \frac{5}{2};2} \right)\).
\(I\left( {1; - \frac{8}{3};\frac{4}{3}} \right)\).
\(I\left( { - 1;\frac{8}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\).
Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\).
Khi đó \[\overrightarrow {IA} \left( {1 - x;2 - y; - 4 - z} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {IB} \left( { - 2 - x;3 - y; - z} \right)\]\[ \Rightarrow 2\overrightarrow {IB} \left( { - 4 - 2x;6 - 2y; - 2z} \right)\].
\(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x - 3 = 0\\ - 3y + 8 = 0\\ - 3z - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = \frac{8}{3}\\z = - \frac{4}{3}\end{array} \right.\). Vậy \(I\left( { - 1;\frac{8}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai véc tơ \(\overrightarrow a \left( {2; - 1;3} \right)\) và \(\overrightarrow b \left( {1;3;2} \right)\). Khi đó tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \)bằng:
\( - 5\).
\(3\).
\(5\).
\( - 3\).
Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.1 + \left( { - 1} \right).3 + 3.2 = 5\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai véc tơ \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - \overrightarrow j + 3\overrightarrow k \) và \(\overrightarrow b = 5\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - 2\overrightarrow k \). Khi đó \(\overrightarrow {2a} .\left( { - 3\overrightarrow b } \right)\) bằng:
\(6\).
\(3\).
\( - 6\).
\( - 3\).
Ta có: \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;3} \right) \Rightarrow \) \(2\overrightarrow a = \left( {4; - 2;6} \right)\).
\(\overrightarrow b = \left( {5;3; - 2} \right) \Rightarrow \)\( - 3\overrightarrow b = \left( { - 15; - 9;6} \right)\).
Vậy \(\overrightarrow {2a} .\left( { - 3\overrightarrow b } \right) = 4.\left( { - 15} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 9} \right) + 6.6 = - 6\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {5;2;1} \right)\) và \(C\left( {2;0;3} \right)\). Tìm điểm \(M\) trên trục \(Ox\) sao cho \(AM \bot BC\).
\(x = - 5\).
\(x = 1\).
\(x = 2\).
\(x = - 1\).
Do \(M\) nằm trên trục \(Ox\)suy ra \(M\left( {x;0;0} \right)\).
\(\overrightarrow {AM} \left( {x - 1;1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BC} \left( { - 3; - 2;2} \right)\).
\(\begin{array}{l}AM \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( { - 3} \right) + 1.\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).2 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow - 3\left( {x - 1} \right) - 6 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow - 3\left( {x - 1} \right) = 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x - 1 = - 2 \Leftrightarrow x = - 1.\end{array}\)
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\vec a\left( {1;2;3} \right);\vec b\left( {2;2; - 1} \right);\vec c\left( {4;0; - 4} \right)\).
a) Tọa độ của vectơ\[\overrightarrow x = \overrightarrow a + \overrightarrow b \] là \(\overrightarrow x = (3;4;2)\).
b) Tọa độ của vectơ\[\overrightarrow y = \overrightarrow a + \overrightarrow c \] là \(\overrightarrow y = (5;2;1)\).
c) Tọa độ của vectơ\[\overrightarrow z = \overrightarrow b + \overrightarrow c \] là \(\overrightarrow z = (6; - 2; - 5)\).
d) Vectơ\(\overrightarrow k = (7;4; - 2)\) thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow k = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \).
a) Đúng.
Ta có \[\overrightarrow x = \overrightarrow a + \overrightarrow b = (3;4;2)\] .
b) Sai.
Ta có \[\overrightarrow y = \overrightarrow a + \overrightarrow c = (5;2; - 1)\].
c) Sai.
Ta có \[\overrightarrow z = \overrightarrow b + \overrightarrow c = (6;2; - 5)\].
d) Đúng.
Ta có \(\overrightarrow k = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = (7;4; - 2)\).
Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\], cho hai vectơ \[\overrightarrow a \left( {1\,; - 1\,;5} \right);\,\,\,\overrightarrow b \left( {3\,;2\,; - 1} \right)\].
a) \[\overrightarrow a - \overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \].
b) \[\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( { - 2; - 3;4} \right)\].
c) \[\overrightarrow v = \overrightarrow b - \overrightarrow a \] có tung độ âm.
d) Xét \[\overrightarrow x \] thỏa \[\overrightarrow a - \overrightarrow x = \overrightarrow b \]. Hoành độ của vectơ \[\overrightarrow x \] thuộc khoảng \[\left( { - 3;1} \right)\].
Ta có: \[\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( { - 2; - 3;6} \right)\]
a) Đúng.
b) Sai.
c) Sai vì \[\overrightarrow b - \overrightarrow a = \left( {2;\,3\,; - 4} \right)\].
d) Đúng vì \[\overrightarrow a - \overrightarrow x = \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow x = \overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( { - 2; - 3;6} \right)\].
Suy ra hoành độ của vectơ \[\overrightarrow x \] là \[ - 2 \in \left( { - 3;1} \right)\].
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(\vec a = \left( {2; - 3;3} \right)\), \(\vec b = \left( {0;2; - 1} \right)\), \(\vec c = \left( {3; - 1;5} \right)\).
a) Tọa độ của vectơ \[\overrightarrow x = \overrightarrow a - 3\overrightarrow b \] là \(\overrightarrow x = (2; - 9;6)\) .
b) Tọa độ của vectơ \[\overrightarrow y = 2\overrightarrow a + \overrightarrow c \] là \(\overrightarrow y = (7; - 4;8)\).
c) Tọa độ của vectơ \[\overrightarrow z = 2\overrightarrow b + \overrightarrow c \] là \(\overrightarrow z = (3;3;3)\) .
d) Vecto \(\overrightarrow k = (1;1; - 2)\) thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow k = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b - \overrightarrow c \).
a) Đúng.
Ta có \[\overrightarrow x = \overrightarrow a - 3\overrightarrow b = (2; - 9;6)\] .
b) Sai.
Ta có \[\overrightarrow y = 2\overrightarrow a + \overrightarrow c = (7; - 7;11)\].
c) Đúng.
Ta có \[\overrightarrow z = 2\overrightarrow b + \overrightarrow c = (3;3;3)\].
d) Đúng.
Ta có \(\overrightarrow k = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b - \overrightarrow c = (1;1; - 2)\).
Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\], cho điểm \[D\left( {4; - 1;3} \right)\] và các điểm \[M,N,P\] lần lượt thuộc các trục \[{\rm{Ox}},\,Oy,Oz\] sao cho \[DM,DN,DP\] đôi một vuông góc với nhau
a) Tung độ của điểm \[N\] bằng \[13\].
b) Cao độ của điểm \[P\] bằng \[\frac{{13}}{4}\].
c) \[{V_{DMNP}} > 29\].
d) Gọi \[\overrightarrow x \] là vectơ thỏa \[\overrightarrow x .\overrightarrow {DM} = 1;\,\,\overrightarrow x .\overrightarrow {DN} = 2;\,\,\overrightarrow x .\overrightarrow {DP} = - 3\] thì tổng hoành độ, tung độ và cao độ của vectơ \[\overrightarrow x \] thuộc khoảng \[\left( {3;7} \right)\].
Gọi \[M\left( {a\,;0\,;0} \right),N\left( {0\,;b\,;0} \right),P\left( {0\,;0\,;\,c} \right)\].
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {DM} = \left( {a - 4;1; - 3} \right)\\\overrightarrow {DN} = \left( { - 4;b + 1; - 3} \right)\\\overrightarrow {DP} = \left( { - 4;1;c - 3} \right)\end{array}\]
Ta có \[DM,DN,DP\] đôi một vuông góc với nhau nên
\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {DM} .\overrightarrow {DN} = 0\\\overrightarrow {DM} .\overrightarrow {DP} = 0\\\overrightarrow {DN} .\overrightarrow {DP} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4\left( {a - 4} \right) + b + 1 + 9 = 0\\ - 4\left( {a - 4} \right) + 1 - 3\left( {c - 3} \right) = 0\\16 + b + 1 - 3\left( {c - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a + b = - 26\\ - 4a - 3c = - 26\\b - 3c = - 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{13}}{4}\\b = - 13\\c = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.\].
a) Sai.
b) Sai.
c) Đúng vì: \[{V_{DMNP}} = \frac{1}{6}DM.DN.DP = \frac{1}{6}.\frac{{13}}{4}.13.\frac{{13}}{3} = \frac{{2197}}{{72}} > 29\].
d) Gọi \[\overrightarrow x = \left( {m\,;n\,;p} \right)\]
\[\overrightarrow {DM} = \left( { - \frac{3}{4};\,1\,; - 3} \right);\,\,\overrightarrow {DN} = \left( { - 4; - 12; - 3} \right);\,\,\,\overrightarrow {DP} = \left( { - 4;1\,;\,\frac{4}{3}} \right)\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow x .\overrightarrow {DM} = 1\\\overrightarrow x .\overrightarrow {DN} = 2\\\overrightarrow x .\overrightarrow {DP} = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{4}m + n - 3p = 1\\ - 4m - 12n - 3p = 2\\ - 4m + n + \frac{4}{3}p = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{{88}}{{169}}\\n = - \frac{{35}}{{169}}\\p = - \frac{{90}}{{169}}\end{array} \right.\]
\[m\, + n\, + p = \frac{{ - 37}}{{169}}\].
Suy ra d) sai.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec a = \left( {1;2; - 3} \right);\vec b = \left( { - 1; - 2;z} \right)\). Tìm giá trị \(z\)sao cho \(\vec a + \vec b = \overrightarrow 0 \).
Trả lời: \(z = 3.\)
Ta có: \(\vec a + \vec b = \left( {0;0;z - 3} \right).\)
\(\vec a + \vec b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow z - 3 = 0 \Leftrightarrow z = 3.\)
Vậy \(z = 3.\)
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai vectơ \[\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 6\overrightarrow k \] và \[\overrightarrow b = 6\overrightarrow j + \overrightarrow k \]. Khi đó độ dài của \[\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \] (làm tròn đến hàng phần mười).
Trả lời: \[\left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right| \approx 15,7\].
Ta có: \[\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 6\overrightarrow k \] \( \Rightarrow \overrightarrow a = \left( {2; - 3;6} \right)\)
\[\overrightarrow b = 6\overrightarrow j + \overrightarrow k \]\( \Rightarrow \overrightarrow b = \left( {0;6;1} \right)\)
Khi đó: \[\overrightarrow a - 2\overrightarrow b = \left( {2; - 15;4} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right| = 7\sqrt 5 \approx 15,7.\]
Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\vec b = \left( {2; - 2;1} \right)\). Tìm giá trị \(m\) sao cho \(m\vec b = \overrightarrow 0 \).
Trả lời: \(m = 0.\)
Ta có: \(\vec b = \left( {2; - 2;1} \right) \ne \overrightarrow 0 .\)
\(m\vec b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow m = 0.\)
Vậy \(m = 0.\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1\,;\,0\,;\, - 2} \right)\,,\,{\rm{ }}\overrightarrow b = \left( { - 2\,;\,1\,;\,3} \right)\),\(\,\overrightarrow c = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\), \(\overrightarrow d = \left( {9\,;\,0\,;\, - 11} \right)\) và \(3\) số thực \(m,\,n,\,p\) thỏa \(m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b + p\overrightarrow c = \overrightarrow d \). Tính giá trị biểu thức \(T = m + n + p\).
Trả lời: \(T = 1.\)
Ta có: \(m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b + p\overrightarrow c = \left( {m - 2n + 3p;\,n + 2p;\, - 2m + 3n - p} \right)\), \(\overrightarrow d = \left( {9;\,0;\, - 11} \right).\)
\(m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b + p\overrightarrow c = \overrightarrow d \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2n + 3p = 9\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n + 2p = 0\\ - 2m + 3n - p = - 11\end{array} \right..\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = - 2\\p = 1\end{array} \right..\)
Vậy \(T = m + n + p = 1.\)
Trong không gian \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right)\), \(B\left( {0;1;5} \right)\) và \(C\left( {1;m - 1;2} \right)\) (\(m\) là tham số). Với những giá trị nào của tham số \(m\) thì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Trả lời: \(m = 0.\)
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;2} \right)\] và \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;m; - 1} \right)\)
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\) hay \(2 + 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 0.\)
Trong hóa học cấu tạo của phân tử ammoniac \(\left( {N{H_3}} \right)\) có dạng hình chóp tam giác đều mà đỉnh là nguyên tử nitrogen \(\left( N \right)\) và đáy là tam giác \({H_1}{H_2}{H_3}\) với \({H_1},\,{H_2},\,{H_3}\) là vị trí của ba nguyên tử hydrogen \(\left( H \right)\). Góc tạo bởi liên kết \(H - N - H,\) có hai cạnh là hai đoạn thẳng nối \(N\) với hai trong ba điểm \({H_1},\,{H_2},\,{H_3}\) (chẳng hạn như \(\widehat {{H_1}N{H_2}}\)) , được gọi là góc liên kết của phân tử \(N{H_3}\). Góc này xấp xỉ \[{120^ \circ }\].
Trong không gian \(Oxyz,\) cho một phân tử \(N{H_3}\) được biểu diễn bởi hình chóp tam giác đều \(N.{H_1}{H_2}{H_3}\) với \(O\) là tâm của đáy. Nguyên tử nitrogen được biểu diễn bởi điểm \(N\) thuộc trục \(Oz\), ba nguyên tử hydrogen ở các vị trị \({H_1},\,{H_2},\,{H_3}\) trong đó \({H_1}\left( {0; - \sqrt 3 ;0} \right)\) và \({H_1}{H_2}\) song song với trục \(Ox\). Tính khoảng cách giữa nguyên tử nitrogen với mỗi nguyên tử hydrogen (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Trả lời : \(1,15\)
Gọi \(a = {H_1}{H_2}\) là khoảng cách giữa hai nguyên tử hydrogen , khi đó độ dài \(O{H_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{H_1}{H_2} \Leftrightarrow \sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 a}}{2} \Rightarrow a = 2\).
Giả sử góc tạo bởi liên kết \(H - N - H,\) có hai cạnh là hai đoạn thẳng nối \(N\) với hai trong ba điểm \({H_1},\,{H_2},\,{H_3}\) là góc \(\widehat {{H_2}N{H_3}} = {120^ \circ }\)
Gọi \(x\) là khoảng cách giữa nguyên tử nitrogen với mỗi nguyên tử hydrogen, khi đó \(N{H_2} = x\)
Áp dụng định lý cosin ta có:
\({H_2}{H_3} = N{H_2}^2 + N{H_3}^2 - 2.N{H_2}.N{H_3}.\cos \widehat {{H_2}N{H_3}}\)\( \Leftrightarrow 4 = {x^2} + {x^2} - 2{x^2}\cos {120^ \circ } \Rightarrow {x^2} = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \approx 1,15 \cdot \)
