Đề kiểm tra Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Chọn B

\(\overrightarrow a  = 2\overrightarrow i  + \overrightarrow k  - 3\overrightarrow j  = 2\overrightarrow i  - 3\overrightarrow j  + \overrightarrow k \) nên \(\overrightarrow a  = \left( {2; - 3;1} \right)\).

Chọn A

Theo quy tắc hình hộp ta có\(\overrightarrow {DB'}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DD'}  + \overrightarrow {DC} \)

Chọn B

Ta có: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 6 \).

Chọn đáp án D theo định nghĩa.

Chọn B

Vì trung điểm của đoạn thẳng\(AB\) là \(\left( {\frac{{3 + 0}}{2};\frac{{1 - 2}}{2};\frac{{ - 3 + 1}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}; - 1} \right)\).

Chọn B

Vì \(\vec c = \vec a - \vec b = \left( { - 2; - 2;4} \right)\).

Chọn  D

Ta có  \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 1.0 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).3 = 0\) nên \(\overrightarrow u \, \bot \,\overrightarrow v \,\, \Rightarrow \) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) bằng \(90^\circ \).

Chọn A

Vì \(AB\, = \,\sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}}  = 5\).

    Chọn  B

Ta có  \(\left[ {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}0\,\,\,\,\,3\,\\2\,\,\, - 1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}3\,\,\,\,\, - 1\,\\ - 1\,\,\,\,\,\,1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 1\,\,\,\,\,0\,\\\,1\,\,\,\,\,\,\,\,2\end{array} \right|} \right) = \left( { - 6\,;\,2\,;\, - 2} \right) =  - 2\left( {3;\, - 1;\,1} \right)\).

Chọn \(\vec d\left( {3; - 1;1} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).

Chọn A

Ta có: \(2\overrightarrow a  = \left( {8; - 6; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \vec i + 2\vec j + \vec k \Rightarrow \overrightarrow b  = \left( {1;2;1} \right) \Rightarrow 3\vec b = \left( {3;6;3} \right)\)

Do đó: \(2\vec a + 3\vec b = \left( {8 + 3; - 6 + 6; - 2 + 3} \right) = \left( {11;0;1} \right)\)

Chọn B

Gọi  \(D = \left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC}  = \left( {5 - x; - 2 - y;1 - z} \right)\)

\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - x = 1\\ - 2 - y = 3\\1 - z =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  - 5\\z = 4\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {4; - 5;4} \right)\).

Chọn B

Ta có:

 \(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {19} \\AC = \sqrt {{6^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {41} \\BC = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt {42} \end{array}\)

Vậy chu vi của tam giác \(ABC\) bằng \(\sqrt {19}  + \sqrt {41}  + \sqrt {42} \).

a) Tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) là \(G\left( {x;y;z} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - 2 + 0}}{3} =  - \frac{1}{3}\\y = \frac{{ - 1 + 0 + 1}}{3} = 0\\z = \frac{{2 + 3 - 2}}{3} = 1\end{array} \right.\).

Nên \(G\left( {\frac{{ - 1}}{3};0;1} \right)\)

Khẳng định a.đúng.

b) \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;1;1} \right)\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt {11} \)

Khẳng định b. đúng.

c) \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;1;1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;2; - 4} \right)\).

Nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&{ - 4}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\{ - 4}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\{ - 1}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 6; - 13; - 5} \right)\).

Khẳng định c sai.

d) Vì \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow c = 0.\)

Ta có: \[\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - a; - 1 - b;2} \right)\]; \[\overrightarrow {MB}  = \left( { - 2 - a; - b;3} \right)\]; \[\overrightarrow {MC}  = \left( { - a;1 - b; - 2} \right)\].

\[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \left( {1 - a} \right).\left( { - 2 - a} \right) + \left( { - 1 - b} \right).\left( { - b} \right) + 2.3\]\[ = {a^2} + {b^2} + a + b + 4\]\[\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  = \left( { - 2 - a} \right).\left( { - a} \right) + \left( { - b} \right).\left( {1 - b} \right) + 3.\left( { - 2} \right)\]\[ = {a^2} + {b^2} + 2a - b - 6\]\[\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA}  = \left( { - a} \right).\left( {1 - a} \right) + \left( {1 - b} \right).\left( { - 1 - b} \right) + \left( { - 2} \right).2\]\[ = {a^2} + {b^2} - a - 5\]\[S = 2.\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \]

\[ = 4{a^2} + 4{b^2} + 3a + b - 3\] \[ = 4\left( {{a^2} + \frac{3}{4}a} \right) + 4\left( {{b^2} + \frac{1}{4}b} \right) - 3\]

\[ = 4{\left( {a + \frac{3}{8}} \right)^2} + 4{\left( {b + \frac{1}{8}} \right)^2} - \frac{{29}}{8} \ge  - \frac{{29}}{8}\].

\[ \Rightarrow {S_{\min }} =  - \frac{{29}}{8} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + \frac{3}{8} = 0\\b + \frac{1}{8} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{3}{8}\\b =  - \frac{1}{8}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow T = a - b + c =  - \frac{1}{4}\].

Khẳng định d sai.

 Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt 3 \)

\(\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 1;0} \right) \Rightarrow AC = \sqrt 2 \)

\(\overrightarrow {BC}  = \left( {2;0; - 1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt 5 \)

a) Đúng

Xét \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1} \right).1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 1.0 = 0 \Rightarrow AB \bot AC\]

Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\)

b) Sai

Chu vi tam giác\(ABC\)là \(AB + AC + BC = \sqrt 3  + \sqrt 2  + \sqrt 5 .\)

c) Sai

Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}\sqrt 3 .\sqrt 2  = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.\)

d) Đúng

Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là trung điểm cạnh huyền \(BC\).

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là tọa độ của tâm đường tròn ngoại tiếp \(ABC\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{0 + 2}}{2}\\y = \frac{{1 + 1}}{2}\\z = \frac{{1 + 0}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(I\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right).\)

a) Đúng

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;1;2} \right),\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2; - 4;4} \right)\)

\( \Rightarrow \cos A = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{4}{9} > 0 \Rightarrow A\) là góc nhọn.

b) Đúng

\(D\) đối xứng với \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của \(AD\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_D}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_D}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_D}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2{x_B} - {x_A}\\{y_D} = 2{y_B} - {y_A}\\{z_D} = 2{z_B} - {z_A}\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 6;2;1} \right)\)

c) Sai

Ta có: \[AB = 3;AC = 6\]\[ \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \overrightarrow {DC}  =  - 2\overrightarrow {DB} \]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - {x_D} =  - 2\left( {{x_B} - {x_D}} \right)\\{y_C} - {y_D} =  - 2\left( {{y_B} - {y_D}} \right)\\{z_C} - {z_D} =  - 2\left( {{z_B} - {z_D}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 4; - \frac{2}{3}; - \frac{1}{3}} \right) \Rightarrow AD = \frac{{2\sqrt {26} }}{3}\].

d) Sai

Vì \(M \in \left( {Oyz} \right) \Rightarrow a = 0 \Rightarrow M\left( {0;b;c} \right)\)

Ta có: \(A,\,B\) nằm cùng phía đối với \(\left( {Oyz} \right)\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(\left( {Oyz} \right) \Rightarrow A'\left( {2;0; - 3} \right)\)

Khi đó: \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\)

Do đó: \(MA + MB\) đạt GTNN khi \(A',M,B\) thẳng hàng.

\(\overrightarrow {A'B}  = \left( { - 6;1;2} \right),\,\overrightarrow {A'M}  = \left( { - 2;b;c + 3} \right)\)

\(A',\,B,\,M\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {A'B} ,\,\overrightarrow {A'M} \) cùng phương\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{ - 6}} = \frac{b}{1} = \frac{{c + 3}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{3}\\c =  - \frac{7}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( {0;\frac{1}{3}; - \frac{7}{3}} \right) \Rightarrow a + b + c =  - 2\).

a) Đúng

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1;1} \right),\,\overrightarrow {DC}  = \left( {1 - x; - 2 - y;3 - z} \right)\)

\(ABCD\) là hình bình hành khi \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x =  - 2\\ - 2 - y =  - 1\\3 - z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 1\\z = 2\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {3; - 1;2} \right)\).

b) Đúng

Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \]

c) Sai

Gọi \(E\left( {0;m;0} \right) \in Oy\)

Tam giác \(BCE\) vuông tại \(E\) thì \(\overrightarrow {EB} .\overrightarrow {EC}  = 0.\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \[\overrightarrow {EB}  = \left( { - 1; - m;1} \right),\,\overrightarrow {EC}  = \left( {1; - m - 2;3} \right)\]

Khi đó \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 2 = 0\,\,\left( {VN} \right).\]

Vậy không có điểm \(E\) thỏa mãn.

d) Đúng

Điểm M thuộc đoạn thẳng AB và \[MA = 2MB\]

Nên \[\overrightarrow {MA}  =  - 2\overrightarrow {MB} \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - {x_M} =  - 2\left( {{x_B} - {x_M}} \right)\\{y_A} - {y_M} =  - 2\left( {{y_B} - {y_M}} \right)\\{z_A} - {z_M} =  - 2\left( {{z_B} - {z_M}} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_M} =  - 2\left( { - 1 - {x_M}} \right)\\1 - {y_M} =  - 2\left( { - {y_M}} \right)\\ - {z_M} =  - 2\left( {1 - {z_M}} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_M} =  - 1\\3{y_M} = 1\\3{z_M} = 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{ - 1}}{3}\\{y_M} = \frac{1}{3}\\{z_M} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 1}}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{2}{3}} \right)\].

Độ dài đoạn thẳng \[OM = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\].

Đặt hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ. Khi đó, ta có:

 \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {a;0;0} \right)\), \(C\left( {a;a\sqrt 2 ;0} \right)\), \(D\left( {0;a\sqrt 2 ;0} \right)\), \(S\left( {0;0;a\sqrt 3 } \right)\).

\[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABD\]\( \Rightarrow G\left( {\frac{a}{3};\frac{{a\sqrt 2 }}{3};0} \right)\)

Độ dài \[SG\] là: \[SG = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{3} - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{3} - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {30} }}{3}\]

Khối đa diện tạo ra mái nhà được tách thành 3 khối là 2 khối chóp có đáy là hình chữ nhật và khối lăng trụ đứng tam giác nên

\(V = {V_{S.ADMN}} + {V_{SAD.KBC}} + {V_{K.BCFE}}\)

Mà \({V_{S.ADMN}} = {V_{K.BCFE}}\)

Theo hình vẽ hệ trục có \(N\left( {2;2;0} \right)\)suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}MN = 4\\AN = 2\\AB = 8\end{array} \right.\)

Khi đó, \(V = 2{V_{S.ADMN}} + {V_{SAD.KBC}} = 2.\frac{1}{3}.4.2.3 + \frac{1}{2}.4.3.8 = 64\)(đvtt).

Đáp án: \(\left( {BA',AC'} \right) = {60^0}\)

              Gọi \(H\)là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow BC \bot AH\).

              Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ với \(H\left( {0;0;0} \right)\).

              Khi đó: \(A\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\), \(A'\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0;a\sqrt 2 } \right)\), \(B\left( {0; - \frac{a}{2};0} \right)\), \(C'\left( {0;\frac{a}{2};a\sqrt 2 } \right)\)

              \[ \Rightarrow \,\overrightarrow {AC'}  = \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2};a\sqrt 2 } \right)\], \[\overrightarrow {BA'}  = \left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2};a\sqrt 2 } \right)\]

              \(\cos \left( {BA',AC'} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {BA'} .\overrightarrow {AC'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}}\)

              \( = \frac{{\left| {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) + \frac{a}{2}.\frac{a}{2} + a\sqrt 2 .a\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }}\)\( = \frac{1}{2}\).

              \( \Rightarrow \left( {BA',AC'} \right) = {60^0}\).

Đáp án: \(\left| {\overrightarrow F } \right| = 5\sqrt 2 \) .

Gọi tứ diện là \(S.ABC\) và \(M,\,G,\,G'\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), trọng tâm của \(\Delta ABC\)và vị trí đặt đèn.

              \(S.ABC\) là tứ diện đều \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều nên \(G\)là tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

              \( \Rightarrow S,\,G',\,G\) thẳng hàng và \(SG' = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ sao cho \(M\left( {0;0;0} \right)\)

Có: \(AM = 5\sqrt 3 \), \(MG = \frac{1}{3}AM = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\),

\(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\), \(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \frac{{10\sqrt 6 }}{3}\) .

Khi đó: \(S\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;\frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)\), \(A\left( {5\sqrt 3 ;0;0} \right)\), \(B\left( {0; - 5;0} \right)\), \(C\left( {0;5;0} \right)\)

\(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow G\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;0} \right)\)\(\)

\( \Rightarrow SG' = \frac{3}{4}SG\) \( \Rightarrow \overrightarrow {SG'}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {SG} \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} - {x_S} = \frac{3}{4}\left( {{x_G} - {x_S}} \right)\\{y_{G'}} - {y_S} = \frac{3}{4}\left( {{y_G} - {y_S}} \right)\\{z_{G'}} - {z_S} = \frac{3}{4}\left( {{z_G} - {z_S}} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\\{y_{G'}} = 0\\{x_{G'}} = \frac{{5\sqrt 6 }}{6}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow G'\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;\frac{{5\sqrt 6 }}{6}} \right)\).

\( \Rightarrow G'A = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).

\(\cos \left( {\overrightarrow {AG'} ,\overrightarrow {SG'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SG'} .\overrightarrow {AG'} }}{{\left| {\overrightarrow {SG'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AG'} } \right|}} =  - \frac{1}{3}\).

Gọi \(\overrightarrow F ,\,\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} \) lần lượt là lực tổng hợp và lực của hai dây tác dụng lên đèn

Có \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {F{}_1}  + \overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {AG'}  + \overrightarrow {SG'} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AG'}  + \overrightarrow {SG'} } \right)}^2}} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {SG{'^2} + AG{'^2} + 2\overrightarrow {AG'} .\overrightarrow {SG'} } \)

 \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {SG{'^2} + AG{'^2} + 2AG'.SG'.\cos \left( {\overrightarrow {AG'} ,\overrightarrow {SG'} } \right)} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + 2.\frac{{5\sqrt 6 }}{2}.\frac{{5\sqrt 6 }}{2}.\left( { - \frac{1}{3}} \right)} \) \( = 5\sqrt 2 \).

Gọi \[M\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 1;y;z} \right)\\\overrightarrow {BM}  = \left( {x;y - 1;z} \right)\\\overrightarrow {CM}  = \left( {x;y;z - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{M^2} = {(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2}\\B{M^2} = {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2}\\C{M^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\]\[ = \left[ {{{(x - 1)}^2} + {y^2} + {z^2}} \right] + 2\left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {z^2}} \right] - \left[ {{x^2} + {y^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right]\]

\[ = 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2x - 4y + 2z + 2\]\[ = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + 2{\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} - 1 \ge  - 1\]

\( \Rightarrow {P_{\min }} =  - 1 \Leftrightarrow \)\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\\z =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow M\left( {\frac{1}{2};1; - \frac{1}{2}} \right)\).

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ (\(O\) là trung điểm của \(BC\)). Ta có: \(A'\left( {0;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right),\) \(B\left( {150;\,0;\,0} \right),\) \(C\left( { - 150;\,0;\,0} \right),\) \(C'\left( { - 150;\,0;\,300} \right),\)\(\overrightarrow {CA'}  = \left( {150;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right)\), \(\overrightarrow {BC'}  = \left( { - 300;\,0;\,300} \right)\)

          Gọi \(m,n\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CM}  = m\overrightarrow {CA'} \\\overrightarrow {BN}  = n\overrightarrow {BC'} \end{array} \right.\)  ta có \(M\left( { - 150 + 150m;\, - 150\sqrt 3 m;\,300m} \right)\), \(N\left( {150 - 300n;\,0;\,300n} \right)\)

           \( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 150m - 300n + 300;\,150\sqrt 3 m;\,300n - 300m} \right)\).

           Đường thẳng \(MN\) là đường vuông góc chung của \(A'C\) và \(BC'\)nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CA'}  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC'}  = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m + n =  - 1\\ - m + 4n = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{2}{5}\\n = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {60;\,60\sqrt 3 ;\,60} \right) \Rightarrow MN = 60\sqrt 5 \)

Số tiền xây cầu là: \(T = 60\sqrt 5 .5 \approx 671\)tỷ đồng.