Đề kiểm tra Bài tập cuối chương IV lớp 10 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho \(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \) là các vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) với \(\overrightarrow a \) là vectơ đối của \(\;\overrightarrow b \). Khẳng định nào sau đây sai?Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) cùng phương.
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) ngược hướng.
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) cùng độ dài.
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) chung điểm đầu.
Chọn D
Ta có \(\overrightarrow a = - \overrightarrow b \). Do đó, \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.
\[\overrightarrow {AM} ,{\rm{ }}\overrightarrow {MB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {ND} \].
\[\overrightarrow {MA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {MB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {ND} \].
\[\overrightarrow {MB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AM} \].
\[\overrightarrow {AM} ,{\rm{ }}\overrightarrow {BM} ,{\rm{ }}\overrightarrow {ND} \].
Chọn A
Nhìn hình ta thấy vectơ đối của vectơ \[\overrightarrow {DN} \] là:\[\overrightarrow {AM} ,{\rm{ }}\overrightarrow {MB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {ND} \].
\(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {NB} \)
\(\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {QB} \)
Cả A, B đều đúng
Cả A, B đều sai
Chọn C
Ta có tứ giác \(DMBN\) là hình bình hành vì \(DM = NB = \frac{1}{2}AB,\,\,DM//NB\). Suy ra \(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {NB} \).
Xét tam giác \(CDQ\) có \(M\) là trung điểm của \(DC\) và \(MP//QC\) do đó \(P\) là trung điểm của \(DQ\). Tương tự xét tam giác \(ABP\) suy ra được \(Q\) là trung điểm của \(PB\)
Vì vậy \(DP = PQ = QB\) từ đó suy ra \(\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {QB} \).
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {IC} \)
\[\overrightarrow {DI} = \overrightarrow {CB} \]
Cả A, B đều đúng
A đúng, B sai
Chọn C
Ta có \[\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {DA} \] suy ra \(AICD\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {IC} \)
Ta có \(DC = AI\) mà \(AB = 2CD\) do đó \(AI = \frac{1}{2}AB \Rightarrow \)\(I\)là trung điểm \(AB\)
Ta có \(DC = IB\) và \[DC//IB \Rightarrow \]tứ giác \(BCDI\) là hình bình hành
Suy ra \[\overrightarrow {DI} = \overrightarrow {CB} \]
\(\overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CH} \).
\(\overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {HC} \).
\[\overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} \] và \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CH} \].
\(\overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {HC} \) và \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} \).
Chọn B
Ta có \(AH \bot BC\) và \(DC \bot BC\) (do góc \(\widehat {DCB}\) chắn nửa đường tròn). Suy ra \(AH\parallel DC.\)
Tương tự ta cũng có \(CH\parallel AD.\)
\(\overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CH} \)
\(\overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {HC} \)
\(\overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {HC} \)
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {HC} \) và \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} \)
Chọn C
Ta có BD là đường kính \( \Rightarrow \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {DO} \).
\(AH \bot BC,DC \bot BC \Rightarrow AH//DC\) (1)
Ta lại có \(CH \bot AB,DA \bot AB \Rightarrow CH//DA\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) tứ giác HADC là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {HC} \).
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} } \right)\)
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} \)
\(2\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} \)
\(2\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = 3\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} } \right)\)
Chọn B
VT\( = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \)
\( = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {PC} \) Mà \[\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \]\( \Rightarrow \) VT \( = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} \)
\(\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MN} \)
\(\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {MQ} \)
\(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MQ} \)
\(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {QP} = \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MQ} \)
Chọn B
Ta có:
\[{\rm{ }}\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NQ} + \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {QN} = \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {MQ} + \left( {\overrightarrow {NQ} + \overrightarrow {QN} } \right) = \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {MQ} = {\rm{VP}}\]
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {FA} = \overrightarrow 0 \)
\(\overrightarrow {BE} - \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CF} - \overrightarrow {BF} = \overrightarrow 0 \)
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \)
\(\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CF} \)
Chọn D
+ Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {FA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {FA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \Rightarrow A\) đúng.
+ \(\overrightarrow {BE} - \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CF} - \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \Rightarrow B\) đúng.
+ \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {BF} \Leftrightarrow \overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AF} \)
\( \Rightarrow \) C đúng.
+ \(\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {FC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {FC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow F \equiv C\) (mâu thuẫn giả thiết)
\( \Rightarrow \) D sai.
Cho \[n\] điểm phân biệt trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là \[{A_1},{A_2},...,{A_n}\].\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CM} \).
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {ED} \).
\(M\) là trung điểm \(BC\).
\(\overrightarrow {EM} = \overrightarrow {BD} \).
Chọn D
\[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow O \]
Suy ra \[M\] là trung điểm \[AC\]. Suy ra \(BEMD\)là hình bình hành nên \(\overrightarrow {EM} = \overrightarrow {BD} \).
\(M\) là trung điểm \(AB\).
\(M\) là trung điểm \(BC\).
\(D\) là trung điểm \(BM\).
\(M\)là trung điểm \(DC\).
Chọn D
\[\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {CD} \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {CD} \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {CD} \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {DM} = \overrightarrow {BD} \].
Điểm N là trung điểm cạnh AB
Điểm C là trung điểm cạnh BN
Điểm C là trung điểm cạnh AM
Điểm B là trung điểm cạnh NC
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} - \overrightarrow {NA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} \)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {NC} - \overrightarrow {NA} } \right) + \overrightarrow {ND} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \overrightarrow {AC} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DN} \)
\( \Rightarrow ACND\) là hình bình hành \( \Rightarrow C\) là trung điểm cạnh BN.
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm \(AB,N\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(D\). Khi đó:
a) \(M{D^2} = A{D^2} + A{M^2}\)
b) \(MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)
c) \(MD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
d) \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{{12}}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Xét \(\Delta MAD\) vuông tại \(A\), ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{M{D^2}}&{ = A{D^2} + A{M^2}}\\{}&{ = {a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.}\end{array}\)
Qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(AB\) tại \(P\).
Khi đó tứ giác \(ADNP\) là hình vuông và \(PM = PA + AM = a + \frac{a}{2} = \frac{{3a}}{2}\).
Xét tam giác \(NPM\) vuông tại \(P\), ta có: \(M{N^2} = P{M^2} + P{N^2} = {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} + {a^2} = \frac{{13{a^2}}}{4} \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)
Vậy các độ dài vectơ cần tìm là: \(|\overrightarrow {MD} | = MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},|\overrightarrow {MN} | = MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\).
Cho \(\Delta ABC\) có \({A^\prime },{B^\prime },{C^\prime }\) lần lượt là các trung điểm của các cạnh \(BC,CA,AB\). Khi đó:
a) \(B{C^\prime } = {C^\prime }A = {A^\prime }{B^\prime } = \frac{{AB}}{2}{\rm{. }}\)
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {B{C^\prime }} ,\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} \) ngược hướng
c) \(\overrightarrow {B{C^\prime }} = \overrightarrow {{C^\prime }A} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} \).
d) \(\overrightarrow {{B^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {C{A^\prime }} \).
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có \({C^\prime }\) là trung điểm của \(AB\) và \({A^\prime }{B^\prime }\) là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh đáy \(AB\) nên: \(B{C^\prime } = {C^\prime }A = {A^\prime }{B^\prime } = \frac{{AB}}{2}{\rm{. }}\)
Mặt khác, ba vectơ \(\overrightarrow {B{C^\prime }} ,\overrightarrow {{C^\prime }A} ,\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} \) cùng hướng. Do đó \(\overrightarrow {B{C^\prime }} = \overrightarrow {{C^\prime }A} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} \).
Ta xác định được: \(\overrightarrow {{B^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {C{A^\prime }} = \overrightarrow {{A^\prime }B} ,\overrightarrow {{C^\prime }{A^\prime }} = \overrightarrow {A{B^\prime }} = \overrightarrow {{B^\prime }C} \).
Cho ba điểm phân biệt \(A,B,C\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \).
b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \).
c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CB} \).
d) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \).
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Xét các khẳng định:
a) Ta có \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {BC} \). Vậy a) sai.
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow {BC} \) (với \(D\) là điểm thỏa mãn \(ABDC\) là hình bình hành). Vậy b) sai.
c) Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \). Vậy c) đúng.
d) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} \). Vậy d) sai.
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {CD} \).
b) \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} \)
c) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \).
d) \(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} \)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Xét các khẳng định:
a) Ta có \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \). Vậy a) đúng.
b) Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {AD} }\\{\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AD} }\end{array}} \right.\). Vậy b) sai.
c) Ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \). Vậy c)đúng.
d) Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AC} }\end{array}} \right.\). Vậy d) đúng.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có và \(BC = a\sqrt 5 \).
Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \).
Gọi \(D\) là điểm sao cho tứ giác \(ABDC\) là hình bình hành.
Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)
Vì tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) nên tứ giác \(ABDC\) là hình chữ nhật
suy ra \(AD = BC = a\sqrt 5 \)
Vậy \(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {AD} | = AD = a\sqrt 5 \)
Cho hình vuông \(ABCD\) có tâm là \(O\) và cạnh \(a.\) Tính \(|\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {CB} |,|\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} |\)
+ Vì O là tâm của hình vuông nên \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CO} \) suy ra \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CO} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BO} \)
Vậy \(|\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {CB} | = \overrightarrow {BO} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
+ Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \) suy ra \(\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \)
Mà \(|\overrightarrow {BD} | = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2 \) suy ra \(|\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} | = a\sqrt 2 \)
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\), tâm \(O\) và \(M\) là trung điểm \(AB\). Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \).
Gọi \(E\) là điểm sao cho tứ giác \(OBEA\) là hình bình hành khi đó nó cũng là hình vuông
Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OE} \Rightarrow |\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} | = OE = AB = a\)
Cho \(\Delta ABC\). Gọi J là điểm trên cạnh \(AC\) sao cho \(JA = \frac{2}{3}JC\). Tính \(\overrightarrow {BJ} \) theo 2 vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \). Tính \(\overrightarrow {BJ} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
Cách 1. \(JA = \frac{2}{3}JC \Leftrightarrow 3JA = 2JC\) mà \(\overrightarrow {JA} \) và \(\overrightarrow {JC} \) ngược hướng
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {JA} = - 2\overrightarrow {JC} \Leftrightarrow 3(\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BJ} ) + 2(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BJ} ) = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow 5\overrightarrow {BJ} = 3\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BJ} = \frac{3}{5}\overrightarrow {BA} + \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} \).
Cách 2: J thuộc cạnh AC và \(JA = \frac{2}{3}JC \Rightarrow \frac{{AJ}}{{AC}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow AJ = \frac{2}{5}AC\)
\(\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AJ} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} ) = \frac{3}{5}\overrightarrow {BA} + \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} \)
Cho hình bình hành \(ABCD\). Tính vectơ \(\overrightarrow {AD} \) theo \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} \).
Gọi \(O\) là tâm hình bình hnh \(ABCD\)
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} .\)
\(\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} = \vec 0 \Leftrightarrow - \overrightarrow {AI} + 3(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} ) - 2(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AI} ) = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow - \overrightarrow {AI} + 3\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AI} ) - 2\overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {AI} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \)
\(3\overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow 3(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} ) = 2(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} ) \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AD} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} }\end{array} \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AI} } \right.} \right.\)
