Đề kiểm tra Bài tập cuối chương IV lớp 10 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho \(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \) là các vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) với \(\overrightarrow a \) là vectơ đối của \(\;\overrightarrow b \). Khẳng định nào sau đây sai?
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) cùng phương.
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) ngược hướng.
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) cùng độ dài.
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) chung điểm đầu.
Chọn D
Ta có \(\overrightarrow a = - \overrightarrow b \). Do đó, \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.
Cho tam giác \[ABC\]có \[M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}D\]lần lượt là trung điểm của\[AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}BC\]. Khi đó, các vectơ đối của vectơ \[\overrightarrow {DN} \] là:
\[\overrightarrow {AM} ,{\rm{ }}\overrightarrow {MB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {ND} \].
\[\overrightarrow {MA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {MB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {ND} \].
\[\overrightarrow {MB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AM} \].
\[\overrightarrow {AM} ,{\rm{ }}\overrightarrow {BM} ,{\rm{ }}\overrightarrow {ND} \].
Chọn A
Nhìn hình ta thấy vectơ đối của vectơ \[\overrightarrow {DN} \] là:\[\overrightarrow {AM} ,{\rm{ }}\overrightarrow {MB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {ND} \].
Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(DC,\,AB\); \(P\) là giao điểm của \(AM,\,\,DB\) và \(Q\) là giao điểm của \(CN,\,\,DB\).Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.
\(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {NB} \)
\(\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {QB} \)
Cả A, B đều đúng
Cả A, B đều sai
Chọn C
Ta có tứ giác \(DMBN\) là hình bình hành vì \(DM = NB = \frac{1}{2}AB,\,\,DM//NB\). Suy ra \(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {NB} \).
Xét tam giác \(CDQ\) có \(M\) là trung điểm của \(DC\) và \(MP//QC\) do đó \(P\) là trung điểm của \(DQ\). Tương tự xét tam giác \(ABP\) suy ra được \(Q\) là trung điểm của \(PB\)
Vì vậy \(DP = PQ = QB\) từ đó suy ra \(\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {QB} \).
Cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy là \(AB\)và \(CD\)với \(AB = 2CD\). Từ C vẽ \[\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {DA} \]. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {IC} \)
\[\overrightarrow {DI} = \overrightarrow {CB} \]
Cả A, B đều đúng
A đúng, B sai
Chọn C
Ta có \[\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {DA} \] suy ra \(AICD\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {IC} \)
Ta có \(DC = AI\) mà \(AB = 2CD\) do đó \(AI = \frac{1}{2}AB \Rightarrow \)\(I\)là trung điểm \(AB\)
Ta có \(DC = IB\) và \[DC//IB \Rightarrow \]tứ giác \(BCDI\) là hình bình hành
Suy ra \[\overrightarrow {DI} = \overrightarrow {CB} \]
Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm H. Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CH} \).
\(\overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {HC} \).
\[\overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} \] và \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CH} \].
\(\overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {HC} \) và \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} \).
Chọn B
Ta có \(AH \bot BC\) và \(DC \bot BC\) (do góc \(\widehat {DCB}\) chắn nửa đường tròn). Suy ra \(AH\parallel DC.\)
Tương tự ta cũng có \(CH\parallel AD.\)
Cho tam giác ABC với trực tâm H. D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CH} \)
\(\overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {HC} \)
\(\overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {HC} \)
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {HC} \) và \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} \)
Chọn C
Ta có BD là đường kính \( \Rightarrow \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {DO} \).
\(AH \bot BC,DC \bot BC \Rightarrow AH//DC\) (1)
Ta lại có \(CH \bot AB,DA \bot AB \Rightarrow CH//DA\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) tứ giác HADC là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {HC} \).
Cho \(\Delta ABC\), các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Với O là điểm bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} } \right)\)
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} \)
\(2\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} \)
\(2\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = 3\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} } \right)\)
Chọn B
VT\( = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \)
\( = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {PC} \) Mà \[\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \]\( \Rightarrow \) VT \( = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} \)
Cho 4 điểm M, N, P, Q bất kì. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng.
\(\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MN} \)
\(\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {MQ} \)
\(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MQ} \)
\(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {QP} = \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MQ} \)
Chọn B
Ta có:
\[{\rm{ }}\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NQ} + \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {QN} = \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {MQ} + \left( {\overrightarrow {NQ} + \overrightarrow {QN} } \right) = \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {MQ} = {\rm{VP}}\]
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F phân biệt. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {FA} = \overrightarrow 0 \)
\(\overrightarrow {BE} - \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CF} - \overrightarrow {BF} = \overrightarrow 0 \)
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \)
\(\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CF} \)
Chọn D
+ Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {FA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {FA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \Rightarrow A\) đúng.
+ \(\overrightarrow {BE} - \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CF} - \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \Rightarrow B\) đúng.
+ \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {BF} \Leftrightarrow \overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AF} \)
\( \Rightarrow \) C đúng.
+ \(\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {FC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {FC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow F \equiv C\) (mâu thuẫn giả thiết)
\( \Rightarrow \) D sai.
Cho \[n\] điểm phân biệt trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là \[{A_1},{A_2},...,{A_n}\].
Cho \[\Delta ABC\], \(D\) là trung điểm \(AB\), \(E\) là trung điểm \(BC\), điểm \(M\) thỏa \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CM} \).
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {ED} \).
\(M\) là trung điểm \(BC\).
\(\overrightarrow {EM} = \overrightarrow {BD} \).
Chọn D
\[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow O \]
Suy ra \[M\] là trung điểm \[AC\]. Suy ra \(BEMD\)là hình bình hành nên \(\overrightarrow {EM} = \overrightarrow {BD} \).
Cho tứ giác\[ABCD\], điểm \(M\) thỏa \[\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {CD} \]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(M\) là trung điểm \(AB\).
\(M\) là trung điểm \(BC\).
\(D\) là trung điểm \(BM\).
\(M\)là trung điểm \(DC\).
Chọn D
\[\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {CD} \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {CD} \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {CD} \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {DM} = \overrightarrow {BD} \].
Cho hình bình hành ABCD. Tìm vị trí điểm N thỏa mãn: \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} - \overrightarrow {NA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} \).
Điểm N là trung điểm cạnh AB
Điểm C là trung điểm cạnh BN
Điểm C là trung điểm cạnh AM
Điểm B là trung điểm cạnh NC
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} - \overrightarrow {NA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} \)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {NC} - \overrightarrow {NA} } \right) + \overrightarrow {ND} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \overrightarrow {AC} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DN} \)
\( \Rightarrow ACND\) là hình bình hành \( \Rightarrow C\) là trung điểm cạnh BN.
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm \(AB,N\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(D\). Khi đó:
a) \(M{D^2} = A{D^2} + A{M^2}\)
b) \(MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)
c) \(MD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
d) \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{{12}}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Xét \(\Delta MAD\) vuông tại \(A\), ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{M{D^2}}&{ = A{D^2} + A{M^2}}\\{}&{ = {a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.}\end{array}\)
Qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(AB\) tại \(P\).
Khi đó tứ giác \(ADNP\) là hình vuông và \(PM = PA + AM = a + \frac{a}{2} = \frac{{3a}}{2}\).
Xét tam giác \(NPM\) vuông tại \(P\), ta có: \(M{N^2} = P{M^2} + P{N^2} = {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} + {a^2} = \frac{{13{a^2}}}{4} \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)
Vậy các độ dài vectơ cần tìm là: \(|\overrightarrow {MD} | = MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},|\overrightarrow {MN} | = MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\).
Cho \(\Delta ABC\) có \({A^\prime },{B^\prime },{C^\prime }\) lần lượt là các trung điểm của các cạnh \(BC,CA,AB\). Khi đó:
a) \(B{C^\prime } = {C^\prime }A = {A^\prime }{B^\prime } = \frac{{AB}}{2}{\rm{. }}\)
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {B{C^\prime }} ,\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} \) ngược hướng
c) \(\overrightarrow {B{C^\prime }} = \overrightarrow {{C^\prime }A} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} \).
d) \(\overrightarrow {{B^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {C{A^\prime }} \).
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có \({C^\prime }\) là trung điểm của \(AB\) và \({A^\prime }{B^\prime }\) là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh đáy \(AB\) nên: \(B{C^\prime } = {C^\prime }A = {A^\prime }{B^\prime } = \frac{{AB}}{2}{\rm{. }}\)
Mặt khác, ba vectơ \(\overrightarrow {B{C^\prime }} ,\overrightarrow {{C^\prime }A} ,\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} \) cùng hướng. Do đó \(\overrightarrow {B{C^\prime }} = \overrightarrow {{C^\prime }A} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} \).
Ta xác định được: \(\overrightarrow {{B^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {C{A^\prime }} = \overrightarrow {{A^\prime }B} ,\overrightarrow {{C^\prime }{A^\prime }} = \overrightarrow {A{B^\prime }} = \overrightarrow {{B^\prime }C} \).
Cho ba điểm phân biệt \(A,B,C\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \).
b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \).
c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CB} \).
d) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \).
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Xét các khẳng định:
a) Ta có \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {BC} \). Vậy a) sai.
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow {BC} \) (với \(D\) là điểm thỏa mãn \(ABDC\) là hình bình hành). Vậy b) sai.
c) Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \). Vậy c) đúng.
d) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} \). Vậy d) sai.
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {CD} \).
b) \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} \)
c) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \).
d) \(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} \)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Xét các khẳng định:
a) Ta có \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \). Vậy a) đúng.
b) Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {AD} }\\{\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AD} }\end{array}} \right.\). Vậy b) sai.
c) Ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \). Vậy c)đúng.
d) Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AC} }\end{array}} \right.\). Vậy d) đúng.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có ABC^=30° và \(BC = a\sqrt 5 \).
Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \).
Gọi \(D\) là điểm sao cho tứ giác \(ABDC\) là hình bình hành.
Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)
Vì tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) nên tứ giác \(ABDC\) là hình chữ nhật
suy ra \(AD = BC = a\sqrt 5 \)
Vậy \(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {AD} | = AD = a\sqrt 5 \)
Cho hình vuông \(ABCD\) có tâm là \(O\) và cạnh \(a.\) Tính \(|\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {CB} |,|\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} |\)
+ Vì O là tâm của hình vuông nên \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CO} \) suy ra \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CO} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BO} \)
Vậy \(|\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {CB} | = \overrightarrow {BO} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
+ Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \) suy ra \(\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \)
Mà \(|\overrightarrow {BD} | = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2 \) suy ra \(|\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} | = a\sqrt 2 \)
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\), tâm \(O\) và \(M\) là trung điểm \(AB\). Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \).
Gọi \(E\) là điểm sao cho tứ giác \(OBEA\) là hình bình hành khi đó nó cũng là hình vuông
Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OE} \Rightarrow |\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} | = OE = AB = a\)
Cho \(\Delta ABC\). Gọi J là điểm trên cạnh \(AC\) sao cho \(JA = \frac{2}{3}JC\). Tính \(\overrightarrow {BJ} \) theo 2 vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \). Tính \(\overrightarrow {BJ} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
Cách 1. \(JA = \frac{2}{3}JC \Leftrightarrow 3JA = 2JC\) mà \(\overrightarrow {JA} \) và \(\overrightarrow {JC} \) ngược hướng
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {JA} = - 2\overrightarrow {JC} \Leftrightarrow 3(\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BJ} ) + 2(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BJ} ) = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow 5\overrightarrow {BJ} = 3\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BJ} = \frac{3}{5}\overrightarrow {BA} + \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} \).
Cách 2: J thuộc cạnh AC và \(JA = \frac{2}{3}JC \Rightarrow \frac{{AJ}}{{AC}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow AJ = \frac{2}{5}AC\)
\(\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AJ} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} ) = \frac{3}{5}\overrightarrow {BA} + \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} \)
Cho hình bình hành \(ABCD\). Tính vectơ \(\overrightarrow {AD} \) theo \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} \).
Gọi \(O\) là tâm hình bình hnh \(ABCD\)
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} .\)
Cho \(\Delta ABC\) có điểm \(D\), I thỏa \(3\overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} = \vec 0\). Khi đó \(\overrightarrow {AD} = k\overrightarrow {AI} \). Vậy \(k = ?\)
\(\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} = \vec 0 \Leftrightarrow - \overrightarrow {AI} + 3(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} ) - 2(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AI} ) = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow - \overrightarrow {AI} + 3\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AI} ) - 2\overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {AI} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \)
\(3\overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow 3(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} ) = 2(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} ) \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AD} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} }\end{array} \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AI} } \right.} \right.\)
