Bài tập cuối chương IV có đáp án
13 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vecto nào sau đây có cùng phương?
A. u→2;3 và v→12;6.
B. a→2;6 và b→1;32.
C. i→0;1 và j→1;0.
D. c→1;3 và d→2;−6.
+) Xét hai vectơ u→=2;3 vàv→=12;6 :
Ta có: 212≠36suy ra hai vectơ u⇀ và v⇀ không cùng phương.
Do đó A sai.
+) Xét hai vectơ a→=2;6 và b→=1;32:
Ta có: 21=632=2 suy ra hai vectơ a⇀và b⇀ cùng phương.
Do đó B đúng.
+) Xét hai vectơ i→=0;1 và j→=1;0 :
Đây là hai vectơ đơn vị nên chúng vuông góc với nhau suy ra hai vectơ i⇀ và j⇀ không cùng phương.
Do đó C sai.
+) Xét hai vectơ c→=1;3 và d→=2;−6:
Ta có: 12≠3−6 suy ra hai vectơ c⇀và d⇀ không cùng phương.
Do đó D sai.
Vậy ta chọn phương án B.
Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vecto nào sau đâu vuông góc với nhau?
A. u→2;3 và v→4;6.
B. a→1;−1 và b→−1;1.
C. za;b và t→−b;a.
D. n→1;1 và k→2;0.
Ta có: u→.v→=2.4+3.6=8+18=26≠0. Suy ra hai vecto u→,v→ không vuông góc. Do đó A sai.
Ta có: a→.b→=1.−1+−1.1=−1+−1=−2≠0. Suy ra hai vecto a→,b→ không vuông góc với nhau. Do đó B sai.
Ta có: z→.t→=a.−b+b.a=−ab+ab=0. Suy ra hai vecto z→,t→ vuông góc với nhau. Do đó C đúng.
Ta có: n→.k→=1.2+1.0=2+0=2≠0. Suy ra hai vecto n→,k→ không vuông góc. Do đó D sai.
Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ, vecto nào sau đây có độ dài bằng 1?
A. a→1;1
B. b→1;−1
C. c→2;12
D. d→12;−12
Vì a→1;1⇒a→=12+12=2≠1. Do đó A sai.
Vì b→1;−1⇒b→=12+−12=2≠1. Do đó B sai.
Vì c→2;12⇒c→=22+122=174≠1. Do đó C sai.
Vì d→12;−12⇒d→=122+−122=1. Do đó D đúng.
Chọn D
Góc giữa vecto a→1;−1 và vecto b→−2;0 có số đo bằng:
A. 900.
B. 00.
C. 1350.
D. 450.
Ta có: a→.b→=1.−2+−1.0=−2,a→=12+−12=2,b→=−22+02=2.
Do đó cosa→.b→=a→.b→a→.b→=−222=−12⇒a→.b→=1350.
Vậy ta chọn phương án C
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a→.b→c→=a→b→.c→.
B. a→.b→2=a→2.b→2.
C. a→.b→=a→.b→.sina→,b→.
D. a→b→−c→=a→.b→−a→.c→.
+) Xét phương án A:
a→.b→c→=a→.b→.cosa→, b→c→;
a→b→.c→=a→b→.c→.cosb→, c→.
Suy ra a→.b→c→≠a→b→.c→.Do đó A sai.
+) Xét phương án B:
a→.b→2=a→.b→.cosa→,b→2=a→2.b→2.cos2a→,b→
a→2.b→2=a→2.b→2.
Suy ra a→.b→2=a→2.b→2 chỉ đúng khi cos2a→,b→=1 . Do đó B sai.
+) Xét phương án C:
a→.b→=a→.b→.cosa→,b→≠a→.b→.sina→,b→.
Do đó C sai.
+)Xét phương án D:
Theo tính chất của tích vô hướng ta có:
a→b→−c→=a→.b→−a→.c→ (tính chất phân phối đối với phép trừ).
Vậy ta chọn phương án D.
Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AB→,BD→=450.
B. AC→,BC→=450 và AC→.BC→=a2.
C. AC→.BD→=a22.
D. BA→.BD→=−a2.
Lấy các điểm E, F sao cho ABDE, ABFC là các hình bình hành.
Vì ABDE là hình bình hành nên BD→=AE→
⇒AB→,BD→=AB→,AE→=BAE^=1350.
Do đó A sai.
Vì ABFC là hình bình hành nên AC→=BF→
⇒AC→,BC→=BF→,BC→=CBF^=450
⇒AC→.BC→=AC.BC.cosCBF^=2a.a.cos450=a2. Do đó B đúng.
Ta có AC⊥BD⇒AC→.BD→=0. Do đó C sai.
Ta có: BA→.BD→=BA.BD.cosBA→,BD→=BA.BD.cosBAD^=a.a2.cos450=a2. Do đó D sai.
Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3MC.
a) Tìm mối liên hệ giữa hai vecto MB→ và MC→.
b) Biểu thị vecto AM→ theo hai vecto AB→ và AC→.
a) Vì điểm M nằm trên cạnh BC nên hai vectơ MB⇀ và MC⇀ là hai vectơ ngược hướng.
Lại có MB = 3MC nên MB→=−3MC→.
Vậy MB→=−3MC→
b) Theo câu a: MB→=−3MC→⇒MB→=3CM→=34CB→=−34BC→.
Ta có: AM→=AB→+BM→=AB→−MB→
=AB→+34BC→=AB→+34AC→−AB→ (quy tắc ba điểm)
=AB→+34AC→−34AB→=14AB→+34AC→
Vậy AM→=14AB→+34AC^.
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
MA→+MC→=MB→+MD→
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và O cũng là trung điểm của BD.
VT=MA→+MC→=MO→+OA→+MO→+OC→=2MO→;
VP=MB→+MD→=MO→+OB→+MO→+OD→=2MO→;
⇒VT=VP
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2;1), B(-2;5) và C(-5;2).
a) Tìm tọa độ của các vecto BA→ và BC→.
b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.
a) Ta có: BA→4;−4 và BC→−3;−3.
b) Ta có: BA→.BC→=4.−3+−4.−3=−12+12=0
⇒BA⊥BC
⇒ΔABC vuông tại B.
Diện tích tam giác vuông ABC là:
SΔABC=12.AB.BC=12.42+−42.−32+−32=12.42.32=12 (đvdt)
c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
xG=2+−2+−53=−53yG=1+5+23=83⇒G−53;83
Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: G−53;83.
d) Để tứ giác BCAD là hình bình hành thì DA→=BC→
Ta có: DA→2−x;1−y và BC→−3;−3
Khi đó, ta có hệ phương trình: 2−x=−31−y=−3⇔x=5y=4⇒D5;4.
Vậy với D(5;4) thì tứ giác BCAD là một hình bình hành.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;2), B(3;4), C(-1;-2) và D(6;5)
a) Tìm tọa độ của các vecto AB→ và CD→.
b) Hãy giải thích tại sao các vecto AB→ và CD→ cùng phương.
c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a;1). Tìm a để vecto AC→ và BE→cùng phương.
d) Với a tìm được, hãy biểu thị vecto AE→ theo các vecto AB→ và AC→.
a) Ta có: AB→2;2 và CD→7;7.
b) Hai vecto AB→ và CD→ cùng phương vì 72=72.
c) Ta có: AC→−2;−4 và BE→a−3;−3
Để hai vecto AC→ và BE→ cùng phương khi
−2a−3=−4−3⇔−4a−3=6⇔a−3=−32⇔a=32.
Vậy a=32 thì hai vecto AC→ và BE→ cùng phương
d) Với a=32⇒E32;1⇒AE→12;−1,
Ta có: AB→2;2 và AC→−2;−4
Tồn tại hai số thực u, v thỏa mãn: AE→=mAB→+nAC→
⇔12=m.2+n.−21=m.2+n.−4⇔2m−2n=122m−4n=1⇔m=0n=−14
⇒AE→=0.AB→−14AC→
Vậy AE→=−14AC→.
Cho vecto a→≠0→. Chứng minh rằng 1a→.a→ (hay còn được viết là 1a→a⇀) là một vecto đơn vị cùng hướng với a→.
Nhắc lại kiến thức: k.a→ cùng hướng với a→ nếu k > 0.
Ta có: k=1a→>0a→≠0→
Do đó 1a→.a→ cùng hướng với a→ hay a→a→ cùng hướng với a→.
Cho ba vecto a→,b→,u→ với a→=b→=1 và a→⊥b→. Xét một hệ trục Oxy với hệ vecto đơn vị i→=a→,j→=b→. Chứng minh rằng:
a) Vecto u→ có tọa độ là u→.a→,u→.b→.
b) u→=u→.a→.a→+u→.b→.b→.
a) Vì i→=a→⇒a→1;0 và j→=b→⇒b→0;1
Gọi tọa độ của vectơ u→c;d
Khi đó, ta có:
u→.a→=1.c+0.d=c;
u→.b→=0.c+1.d=d;
Vì vậy tọa độ của vectơ u→ là u→.a→,u→.b→.
b) Ta có: u→.a→.a→+u→.b→.b→=c.a→+d.b→=c1;0+d.0;1=c;d=u→.
Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S150E với vận tốc có độ lớn bằng 20km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3km/h.
Ta mô tả bài toán bằng hình vẽ trên, trong đó:
OE⇀là hướng đông, OS⇀ là hướng nam, OW⇀ là hướng tây, ON⇀ là hướng bắc;
OA⇀ biểu diễn vectơ vận tốc của dòng nước v→n và OA=v→n=3;
OB⇀ là hướng S15°E biểu diễn vectơ vận tốc chuyển động của ca nô v→cano tạo với OS⇀ một góc 15° và OB=v→cano=20;
Lấy điểm C sao cho OABC là hình bình hành. Khi đó OC⇀ biểu diễn vectơ vận tốc riêng v→rcủa ca nô.
Vì OB⇀ tạo với OS⇀ một góc 15° nên tạo với một góc là 90° ‒ 15° = 75° tức là AOB^=75°
Xét tam giác OAB có: AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB.cos AOB^
Þ AB2 = 32 + 202 – 2.3.20.cos75°
Þ AB ≈ 19,44
Vì OABC là hình bình hành nên OC = AB ≈ 19,44 (tính chất hình bình hành)
Suy ra v→r=OC→=OC≈19,44 (km/h)
Vậy vận tốc riêng của ca nô khoảng 19,44 km/h.
