Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Tự luận
18 câu hỏi
Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}\sqrt[6]{x}}}{{\sqrt[4]{x}}}\) với \(x > 0\).
Hướng dẫn giải
\(P = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}\sqrt[6]{x}}}{{\sqrt[4]{x}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} = {x^{\frac{1}{4}}}.\)
Cho \({4^x} + {4^{ - x}} = 7\). Tính giá trị biểu thức \(P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - {{4.2}^x} - {{4.2}^{ - x}}}}\).
Hướng dẫn giải
Có \({4^x} + {4^{ - x}} = 7\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} - {2.2^x}{.2^{ - x}} = 7\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 3\).
Khi đó \(P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - {{4.2}^x} - {{4.2}^{ - x}}}}\)\( = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - 4.\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}\)\( = \frac{{5 + 3}}{{8 - 4.3}} = - 2\).
Một người gửi số tiền 300 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất kép 6% một năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi suất sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Hỏi sau 3 năm không rút tiền gốc và lãi, số tiền trong ngân hàng của người đó là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tính lãi suất theo hình thức lãi kép: \(P = A{\left( {1 + r} \right)^n}\).
Trong đó: P là số tiền gồm vốn lẫn lãi tại thời điểm n tính từ thời điểm gửi, A là số tiền gửi vào ban đầu, r (%) là lãi suất.
Vậy sau 3 năm, người đó có số tiền là: \(P = 300\;000\;000.{\left( {1 + 6\% } \right)^3} \approx 357\;305\;000.\)
Xét các số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _5}a = 5\) và \({\log _3}b = \frac{2}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(I = 2{\log _6}\left[ {{{\log }_5}\left( {5a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{9}}}{b^3}\).
Hướng dẫn giải
\(I = 2{\log _6}\left[ {{{\log }_5}\left( {5a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{9}}}{b^3}\)\( = 2{\log _6}\left[ {1 + {{\log }_5}a} \right] - \frac{3}{2}{\log _3}b\)\( = 2 - \frac{3}{2}.\frac{2}{3}\)\( = 2 - 1 = 1\).
Biết \(x\) và \(y\) là hai số thực thỏa mãn \({\log _4}x = {\log _9}x = {\log _6}\left( {x - 2y} \right)\). Tính giá trị của \(\frac{x}{y}\).
Hướng dẫn giải
Đặt \({\log _4}x = {\log _9}x = {\log _6}\left( {x - 2y} \right) = t\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {4^t}\\y = {9^t}\\x - 2y = {6^t}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \frac{x}{y} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2t}}\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}x = {4^t}\\y = {9^t}\\x - 2y = {6^t}\end{array} \right. \Rightarrow {4^t} - {2.9^t} = {6^t}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2t}} - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = - 1\\{\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = 2\end{array} \right.\).
Do đó \(\frac{x}{y} = 4\).
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \({\log _3}\frac{9}{{10}} + {\log _3}30\).
b) \({\log _3}\frac{5}{9} - 2{\log _3}\sqrt 5 \).
c) \(2{\log _5}2 - {\log _5}4\sqrt {10} + {\log _5}\sqrt 2 \)
Hướng dẫn giải
a) \({\log _3}\frac{9}{{10}} + {\log _3}30\)\( = {\log _3}9 - {\log _3}10 + {\log _3}3 + {\log _3}10\)\( = 2{\log _3}3 + {\log _3}3\)\( = 3\).
b) \({\log _3}\frac{5}{9} - 2{\log _3}\sqrt 5 \)\( = {\log _3}\frac{5}{9} - {\log _3}5\)\( = {\log _3}\left( {\frac{5}{9}:5} \right)\)\( = {\log _3}{3^{ - 2}} = - 2\).
c) \(2{\log _5}2 - {\log _5}4\sqrt {10} + {\log _5}\sqrt 2 \)\( = {\log _5}4 + {\log _5}\sqrt 2 - {\log _5}4\sqrt {10} \)\( = {\log _5}4\sqrt 2 - {\log _5}4\sqrt {10} \)
\( = {\log _5}\frac{{4\sqrt 2 }}{{4\sqrt {10} }}\)\( = {\log _5}\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( = {\log _5}{5^{\frac{{ - 1}}{2}}}\)\( = \frac{{ - 1}}{2}\).
Trong nuôi trồng thủy sản, độ pH của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khỏe và sự phát triển của thủy sản. Độ pH thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú là từ 7,2 đến 8,8 và tốt nhất là trong khoảng từ 7,8 đến 8,5. Phân tích nồng độ [H+] (mol/L) trong một đầm nuôi tôm sú ta thu được [H+] = 8.10-8. Hỏi độ pH của đầm đó có thích hợp cho tôm sú phát triển không? Biết \(pH = - \log \left[ {{H^ + }} \right]\)
Hướng dẫn giải
Độ pH của đầm đó là \(pH = - \log \left[ {{H^ + }} \right]\)\( = - \log \left( {{{8.10}^{ - 8}}} \right) \approx 7,097\).
Vì \(7,097 < 7,2\) nên đầm đó không thích hợp cho tôm sú phát triển.
Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) \(y = {12^x}\).
b) \(y = {\log _5}\left( {2x - 3} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định của hàm số \(y = {12^x}\) là \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số \(y = {\log _5}\left( {2x - 3} \right)\) xác định khi \(2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\).
Vậy tập xác định của hàm số \(y = {\log _5}\left( {2x - 3} \right)\) là \(D = \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(a\) để hàm số \(y = {\log _{{a^2} - 2a + 1}}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn giải
Hàm số \(y = {\log _{{a^2} - 2a + 1}}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow 0 < {a^2} - 2a + 1 < 1\)\( \Leftrightarrow 0 < a < 2;a \ne 1\).
Giải các phương trình
a) \({4^{2x - 1}} = {8^{x + 3}}\).
b) \({9^{2x}}{.27^{{x^2}}} = \frac{1}{3}\).
c) \({5^{2x - 1}} = 20\).
Hướng dẫn giải
a) \({4^{2x - 1}} = {8^{x + 3}}\)\( \Leftrightarrow {2^{4x - 2}} = {2^{3x + 9}}\)\( \Leftrightarrow 4x - 2 = 3x + 9\)\( \Leftrightarrow x = 11\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 11\).
b) \({9^{2x}}{.27^{{x^2}}} = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow {3^{4x}}{.3^{3{x^2}}} = {3^{ - 1}}\)\( \Leftrightarrow {3^{4x + 3{x^2}}} = {3^{ - 1}}\)\( \Leftrightarrow 4x + 3{x^2} = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = - \frac{1}{3}\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - \frac{1}{3}\);\(x = - 1\).
c) \({5^{2x - 1}} = 20\)\( \Leftrightarrow 2x - 1 = {\log _5}20\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{1 + {{\log }_5}20}}{2}\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{1 + {{\log }_5}20}}{2}\).
Giải các phương trình
a) \({\log _{16}}\left( {3x - 5} \right) = \frac{1}{2}\).
b) \({\log _3}x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện \(x > \frac{5}{3}\)
\({\log _{16}}\left( {3x - 5} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 3x - 5 = \sqrt {16} \)\( \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\).
b) Điều kiện \(x > 0\).
\({\log _3}x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {x\left( {x + 1} \right)} \right] = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)\)\( \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 5x + 12\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 2\)(loại) hoặc \(x = 6\)(thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 6.\)
Giải các bất phương trình
a) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2}}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{5x - 6}}\).
b) \({25^x} \le {5^{4x - 3}}\).
Hướng dẫn giải
a) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2}}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{5x - 6}}\)\( \Leftrightarrow {x^2} \le 5x - 6\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \le 0\)\( \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {2;3} \right]\).
b) \({25^x} \le {5^{4x - 3}}\)\( \Leftrightarrow {5^{2x}} \le {5^{4x - 3}}\)\( \Leftrightarrow 2x \le 4x - 3\)\( \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\).
Giải các bất phương trình
a) \({\log _5}\left( {{x^2} - 24x} \right) \ge 2\).
b) \(2{\log _3}\left( {x + 1} \right) \le 1 + {\log _3}\left( {x + 7} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện \({x^2} - 24x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 24\end{array} \right.\).
\({\log _5}\left( {{x^2} - 24x} \right) \ge 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 24x \ge {5^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 24x - 25 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 25\end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {25; + \infty } \right)\).
b) Điều kiện \(x > - 1\).
\(2{\log _3}\left( {x + 1} \right) \le 1 + {\log _3}\left( {x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^2} \le {\log _3}\left[ {3\left( {x + 7} \right)} \right]\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \le 3\left( {x + 7} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 20 \le 0\)\( \Leftrightarrow - 4 \le x \le 5\).
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - 1;5} \right]\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên \[SA \bot (ABCD)\] và \(SA = a\sqrt 2 \).
a) Chứng minh:\[BC \bot (SAB)\].
b) Chứng minh: \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Do \(ABCD\) là hình vuông nên\[AB \bot BC\]
\[SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BC\].
Vậy \[BC \bot (SAB)\]
b) Do ABCD là hình vuông nên\[AC \bot BD\]
\[SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BD\].
\( \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)
Mà \(BD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
c) \[\left. \begin{array}{l}(SBC) \cap (ABCD) = BC\\BC \bot AB\\BC \bot SB\left( {BC \bot (SAB)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow ((SBC),(ABCD)) = \]\(\left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA}\).
Xét tam giác \(SAB\) vuông tại A, có \(tan\widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {SBA} \approx 54^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại A, \(SA \bot (ABC)\)và\(AB = a\) \(\,SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Gọi H là trung điểm cạnh BC.
a) Chứng minh: \(BC \bot (SAH)\),
b) Tính góc giữa đường thẳng SH và mặt phẳng (ABC) .
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(AH \bot BC\). Suy ra \(BC \bot (SAH)\)
b) Vì \(SA \bot (ABC)\)nên hình chiếu của SH trên mặt phẳng (ABC) là AH.
Suy ra \(\left( {SH,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SHA}\)
Có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét \(\Delta SAH\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 3 \).
Vậy \(\left( {SH,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SHA} = 60^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\sqrt 3 \) . Cạnh bên \(SB\) vuông góc với đáy và \(SB = 2a\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\), G là trọng tâm của tam giác \[ABC\] .
a) Chứng minh mặt phẳng \(\left( {SBM} \right)\) vuông góc mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
b) Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
c) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng \[\left( {SAC} \right).\]
Hướng dẫn giải
a) Vì \(SB \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SB \bot AC\)(1).
Vì \(\Delta ABC\) đều,\(M\) là trung điểm của AC nên \(BM \bot AC\)(2).
Từ (1) và (2), ta có \(AC \bot \left( {SBM} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBM} \right)\).
b) Dựng \(AD//BC\) khi đó \(ABCD\) là hình bình hành.
Khi đó \(\left( {BC,SA} \right) = \left( {SA,AD} \right)\).
Ta có \(BM = \frac{{3a}}{2} \Rightarrow BD = 3a\)
\(SD = \sqrt {S{B^2} + B{D^2}} = a\sqrt {13} \)
\(SA = \sqrt {S{B^2} + A{B^2}} = a\sqrt 7 \)
\(\cos \widehat {SAD} = \frac{{S{A^2} + A{D^2} - S{D^2}}}{{2.SA.AD}} = \frac{{7{a^2} + 3{a^2} - 13{a^2}}}{{2.a\sqrt 7 .a\sqrt 3 }} = - \frac{3}{{2\sqrt {21} }} \Rightarrow \widehat {SAD} \approx 109^\circ \).
Do đó \(\left( {BC,SA} \right) = \left( {SA,AD} \right) = 71^\circ \).
c) Dựng \(BI \bot SM\) .
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BI \bot SM\\BI \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BI \bot \left( {SAC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = BI\).
Xét \(\Delta SBM\) vuông tại B, có \(\frac{1}{{B{I^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{B{M^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{4}{{9{a^2}}} = \frac{{25}}{{36{a^2}}} \Rightarrow BI = \frac{{6a}}{5}\)
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
\[{\rm{d}}\left( {G,\,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{2a}}{5}\].
Cho khối chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh \[a\], \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{{3a}}{4}\). Tính thể tích khối chóp đã cho.
Hướng dẫn giải
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SM\).
Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AM \bot BC\) mà \(BC \bot SA\) (do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)) nên \(BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
Mà \(AH \bot SM\)Þ \(AH \bot \left( {SBC} \right)\)
Khi đó ta có \(AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).
Ta có: \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \frac{{3a}}{4}\).
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{3a}}{2}\).
\[V = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{3a}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) và \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo \(a\) thể tích của khối tứ diện \(S.ACD\).
Hướng dẫn giải
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\). Suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\), \(AB = a\), \(SH\) là đường cao vừa là trung tuyến nên \(SH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a.\)
Vậy \({V_{S.ACD}} = \frac{1}{3}{S_{ACD}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}{a^2}.\frac{1}{2}a = \frac{{{a^3}}}{{12}}\).
