Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ
11 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Cho tam giác ABC đều. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng
\(60^\circ .\)
\(120^\circ .\)
\(150^\circ .\)
\(30^\circ .\)
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 60^\circ \). Chọn A.
\(\widehat {BAC}.\)
\(\widehat {ADC}.\)
\(\widehat {BAD}.\)
\(\widehat {ABC}.\)
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAD}\). Chọn C.
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - \frac{1}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{4.5}} = \frac{1}{2}\). Chọn D.
\(20\).
\(20\sqrt 3 \).
\(20\sqrt 2 \).
\(40\sqrt 3 \).
Ta có \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = BA.BC.\cos \widehat {ABC} = 5.8.\cos 30^\circ = 20\sqrt 3 \). Chọn B.
\( - 2{a^2}\).
\(2{a^2}\).
\(3{a^2}\).
\( - 3{a^2}\).
Ta có \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
Có \(AC = AB.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \); \(BC = \frac{{AB}}{{\cos 60^\circ }} = 2a\).
\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = - \left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos C = - a\sqrt 3 .2a.\cos 30^\circ = - 3{a^2}\). Chọn D.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm AB và O là tâm hình vuông.
a) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} = a\).
b) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \).
c) \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \).
d) \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OM} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
a) \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = a\).
b) Gọi N là trung điểm của DC.
Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\)\( = 2\overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {ON} = \overrightarrow 0 \).
c) Vì AB ^ AD nên \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = 0\).
d) \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OM} = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos 45^\circ \)\( = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = 3a, \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm J thuộc đoạn AC thỏa mãn \(12AJ = 7AC\).
a) \(\overrightarrow {AB} .AC = 4{a^2}\).
b) \(\overrightarrow {AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \).
c) \(\overrightarrow {BJ} = - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).
d)\(AI \bot BJ\).
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = 2a.3a.\cos 60^\circ = 3{a^2}\).
b) Có \(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
c) Có \(\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {AJ} - \overrightarrow {AB} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).
d) Có \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{7}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{7}{{24}}\overrightarrow {A{C^2}} - \frac{1}{2}\overrightarrow {A{B^2}} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
\( = - \frac{5}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{7}{{24}}{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} - \frac{1}{2}{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2}\)\( = - \frac{5}{{24}}.2a.3a.\cos 60^\circ + \frac{7}{{24}}.9{a^2} - \frac{1}{2}.4{a^2} = 0\).
Suy ra \(AI \bot BJ\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho \(\overrightarrow {MC} = - 2\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {NA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NC} \) và \(\overrightarrow {AP} = \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} \).
a) Diện tích tam giác ABC là \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
b) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = a\).
c)\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
d) \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {PN} = 2{a^2}\).
a) Diện tích tam giác ABC đều cạnh a là \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
b) \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a\).
c) Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\).
d) Ta có \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {PN} = \left( {\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CB} } \right).\left( { - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} } \right).\left( { - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = - \frac{4}{{45}}.\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{9}\overrightarrow {A{C^2}} - \frac{8}{{45}}\overrightarrow {A{B^2}} + \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho tứ giác ABCD có AC = 5, BD = 4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC, P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Giá trị của \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {PQ} \) bằng bao nhiêu?
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}NQ//BD,NQ = \frac{1}{2}BD\\PM//BD,PM = \frac{1}{2}BD\end{array} \right.\)\( \Rightarrow NQ//PM,NQ = PM\) Þ PNQM là hình bình hành.
Suy ra \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} \).
Ta có
Trả lời: 2,25.
Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 4, BC = 5 và \(\widehat {ABC} = 120^\circ \). Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)\( = 4.5.\cos 120^\circ = - 10\).
Trả lời: −10.
Hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) có độ lớn \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 10{\rm{N}},\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 20{\rm{N}}\) và tạo với nhau một góc \(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 60^\circ \) cùng tác dụng lên một vật đặt tại điểm O làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến B (như hình vẽ). Biết OB = 100 m và chỉ có hai lưc \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) tác động lên vật.
Tính công A của hợp lực \(\overrightarrow F \) của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) khi di chuyển vật từ O đến B?
Vì \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \) nên
\({\left( {\overrightarrow F } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} \)\( = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 700\).
Do đó \(\left| {\overrightarrow F } \right| = 10\sqrt 7 \)(N).
Xét tam giác ODE ta có \(\cos \widehat {DOE} = \frac{{O{D^2} + O{E^2} - D{E^2}}}{{2OD.OE}} = \frac{{5\sqrt 7 }}{{14}}\).
Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {OB} } \right) = \frac{{5\sqrt 7 }}{{14}}\).
Vậy công của lực \(\overrightarrow F \) là \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow {OB} = \left| {\overrightarrow F } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {OB} } \right) = 2500\) J.
Trả lời: 2500.
