Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Chương 3. Hàm số bậc hai và đồ thị
51 câu hỏi
Tập xác định của hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\] là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện xác định: \[x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\].
Vậy tập xác định của hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\] là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \sqrt {3x - 1} \) là
\(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
\(D = \left[ {0; + \infty } \right)\).
\(D = \left[ {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\).
\(D = \left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\).
Lời giải
Chọn C.
Hàm số \(y = \sqrt {3x - 1} \) xác định \( \Leftrightarrow 3x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{3}\).
Vậy \(D = \left[ {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\).
Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {2x - 3} - 3\sqrt {2 - x} \) là
\(\emptyset \).
\(\left( {\frac{3}{2};2} \right)\).
\[{\rm{[}}2; + \infty )\].
\(\left[ {\frac{3}{2};2} \right]\).
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{3}{2}\\x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left[ {\frac{3}{2};2} \right]\).
Xét sự biến thiên của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{3}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số vừa đồng biến, vừa nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số không đồng biến, không nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Lời giải
Chọn A.
\(\begin{array}{l}\forall {x_1},\,{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right):\,{x_1} \ne {x_2}\\f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \frac{3}{{{x_2}}} - \frac{3}{{{x_1}}} = \frac{{ - 3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2}{x_1}}} \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = - \frac{3}{{{x_2}{x_1}}} < 0\end{array}\)
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau.
Hàm số nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - \infty ;0} \right)\).
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 2;2} \right)\).
\(\left( {0;1} \right)\).
Lời giải
Chọn D.
Ta thấy trong khoảng \(\left( {0;1} \right)\), mũi tên có chiều đi xuống. Do đó hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;3} \right)\].
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\].
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\].
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;3} \right)\].
Lời giải
Chọn C.
Trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\], đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến.
Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2}\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
Lời giải
Chọn C.
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
\(\forall {x_1},{x_2} \in \mathbb{R},{x_1} \ne {x_2}\) ta có
\(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( {x_2^4 - x_1^4} \right) - 2\left( {x_2^2 - x_1^2} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( {x_2^2 - x_1^2} \right)\left( {x_2^2 + x_1^2} \right) - 2\left( {x_2^2 - x_1^2} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\)
\( = \left( {{x_2} + {x_1}} \right)\left( {x_2^2 + x_1^2 - 2} \right)\).
Ta thấy với \({x_1},{x_2} \in \left( {0;1} \right)\) thì \({x_1} + {x_2} > 0\) và \(0 < x_1^2,x_2^2 < 1\)
\( \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 < 2 \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2 < 0\), do đó \(\left( {{x_2} + {x_1}} \right)\left( {x_2^2 + x_1^2 - 2} \right) < 0\).
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + {\left( {x - 3} \right)^2}\).
0.
\(\frac{9}{2}\).
\(\frac{{ - 9}}{2}\).
\(\frac{3}{2}\).
Lời giải
Chọn B.
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
+ \(\forall x \in \mathbb{R}:f\left( x \right) = 2{x^2} - 6x + 9 = 2\left( {{x^2} - 3x + \frac{9}{4}} \right) + \frac{9}{2} = 2{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{9}{2} \ge \frac{9}{2}\).
+ \(f\left( x \right) = \frac{9}{2} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).
Vậy \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = \frac{9}{2}\).
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \). Tìm \(M + m\).
\(M + m = 2 + \sqrt 2 \).
\(M + m = 2\).
\(M + m = 4\).
\(M + m = 4 + \sqrt 2 \).
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện xác định: \(D = \left[ { - 1;1} \right]\).
Dễ thấy \(y \ge 0,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Ta có \({y^2} = 2 + 2\sqrt {1 - {x^2}} \) nên suy ra: \(2 \le {y^2} \le 4 \Rightarrow \sqrt 2 \le y \le 2\).
\(y = \sqrt 2 \Leftrightarrow 1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\);
\(y = 2 \Leftrightarrow 1 - {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
Vậy \(m = \sqrt 2 \) và \(M = 2\). Do đó \(M + m = 2 + \sqrt 2 \).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\). Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số đã cho?
\(\left( { - 2;0} \right)\).
\(\left( {1;1} \right)\).
\(\left( { - 2; - 12} \right)\).
\(\left( {1; - 1} \right)\).
Lời giải
Chọn A.
Thay tọa độ điểm vào hàm số ta thấy chỉ có điểm \(\left( { - 2;0} \right)\) thỏa mãn.
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{2\sqrt {x - 2} - 3}}{{x - 1}}}&{\user2{khi}}&{x \ge 2}\\{{x^2} + 2}&{\user2{khi}}&{x < 2}\end{array}} \right.\]. Tính \(P = f\left( 2 \right) + f\left( { - 2} \right)\).
\(P = 3\).
\(P = 2\).
\(P = \frac{7}{3}\).
\(P = 6\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có \(f\left( 2 \right) + f\left( { - 2} \right) = \frac{{2\sqrt {2 - 2} - 3}}{{2 - 1}} + {\left( { - 2} \right)^2} + 2\)\( \Rightarrow P = 3\).
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 1\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \le - 3\\\frac{{x + 7}}{2}\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x > - 3\end{array} \right.\]. Biết \[f\left( {{x_0}} \right) = 5\] thì \[{x_0}\] là
\[ - 2\].
\[3\].
\[0\].
\[1\].
Lời giải
Chọn B.
Với \[x \le - 3\] ta có: \[ - 2x + 1 = 5 \Leftrightarrow x = - 2\] (loại).
Với \[x > - 3\] ta có: \[\frac{{x + 7}}{2} = 5 \Leftrightarrow x = 3\] (nhận).
Vậy \[{x_0} = 3\].
Hàm số \(f\left( x \right)\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ
Mệnh đề nào sau đây sai?
\(f\left( { - 1} \right) = f\left( 1 \right) = 1\).
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1;\,5} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 6;\, - 1} \right)\).
Lời giải
Chọn B.
Nhìn đồ thị ta có: \(f\left( { - 1} \right) = f\left( 1 \right) = 1\, \Rightarrow \,\)A đúng.
Đồ thị không có tâm đối xứng nên B sai.
Trên khoảng \(\left( {1;\,5} \right)\) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1;\,5} \right)\, \Rightarrow \)C đúng.
Trên khoảng \(\left( { - 6;\, - 1} \right)\) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 6;\, - 1} \right)\, \Rightarrow \) D đúng.
Cho hàm số \[y = - {x^2} + 4x + 1\]. Khẳng định nào sau đây sai?
Trên khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\] hàm số đồng biến.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;2} \right)\].
Trên khoảng \[\left( {3; + \infty } \right)\]hàm số nghịch biến.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {4; + \infty } \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;4} \right)\].
Lời giải
Chọn D.
Đỉnh của parabol: \[{x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 2\].
Bảng biến thiên của hàm số:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra khẳng định D sai.
Khoảng đồng biến của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) là
\(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right)\).
\(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
Lời giải
Chọn D.
Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\)có \(a = 1 > 0\) nên đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\).
Vì vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hàm số \[y = - 3{x^2} + x - 2\] nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {\frac{1}{6}; + \infty } \right).\)
\(\left( { - \infty ; - \frac{1}{6}} \right).\)
\(\left( { - \frac{1}{6}; + \infty } \right).\)
\(\left( { - \infty ;\frac{1}{6}} \right).\)
Lời giải
Chọn A.
\[\left( P \right):y = f\left( x \right) = - 3{x^2} + x - 2\], TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].
Có \[a = - 3\] và \[ - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{6}\].
Nên hàm số \[y = f\left( x \right)\] nghịch biến trong khoảng \(\left( {\frac{1}{6}; + \infty } \right).\)
Cho hàm số \(y = - {x^2} + 6x - 1\). Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - \infty ;3} \right)\).
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;6} \right)\).
\(\left( {6; + \infty } \right)\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có \(a = - 1 < 0,\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 6}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 3\). Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\).
Hàm số \[y = - {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 3\] nghịch biến trên \[\left( {1; + \infty } \right)\] khi giá trị m thỏa mãn:
\[m \le 0\].
\[m > 0\].
\[m \le 2\].
\[0 < m \le 2\].
Lời giải
Chọn C.
Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường \[x = m - 1\]. Đồ thị hàm số đã cho có hệ số \[{x^2}\] âm nên sẽ đồng biến trên \[\left( { - \infty ;m - 1} \right)\] và nghịch biến trên \[\left( {m - 1; + \infty } \right)\]. Theo đề, cần: \[m - 1 \le 1 \Leftrightarrow m \le 2\].
Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số \[y = {x^2} - 2x - 3\]?
|
|
|
|
Hình \[1\].
Hình \[2\].
Hình \[3\].
Hình \[4\].
Lời giải
Chọn D.
Dựa vào đồ thị có:
\[\left( P \right):y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\] có \[a = 1 > 0\] nên \[\left( P \right)\] có bề lõm hướng lên (loại hình \[2\]).
\[\left( P \right)\] có đỉnh \[I\] có \[{x_I} = 1\] (loại hình \[1\] và \[3\]).
Vậy \[\left( P \right):y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\] có đồ thị là hình \[4\].
Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c,\,\left( {a \ne 0} \right)\] có bảng biến thiên trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\) như hình vẽ dưới đây:
Xác định dấu của \[a\], \[b\], \[c\].
\(a < 0,b < 0,c > 0\)
\(a > 0,b > 0,c > 0\).
\(a < 0,b > 0,c > 0\).
\(a < 0,b > 0,c < 0\).
Lời giải
Chọn D.
Dựa vào bảng biến thiên ta có: Parabol \[\left( P \right)\] có bề lõm quay xuống dưới; hoành độ đỉnh dương; cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –1 nên \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\frac{{ - b}}{{2a}} > 0\\c = - 1 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\b > 0\\c < 0\end{array} \right.\).
Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] có đồ thị là parabol trong hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[a > 0;{\rm{ }}b > 0;{\rm{ }}c > 0\].
\[a > 0;{\rm{ }}b < 0;{\rm{ }}c > 0\].
\[a > 0;{\rm{ }}b < 0;{\rm{ }}c < 0\].
\[a > 0;{\rm{ }}b > 0;{\rm{ }}c < 0\].
Lời giải
Chọn D.
Vì Parabol hướng bề lõm lên trên nên \(a > 0\).
Đồ thị hàm số cắt \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;c} \right)\) ở dưới \(Ox \Rightarrow c < 0\).
Hoành độ đỉnh Parabol là \( - \frac{b}{{2a}} < 0\), mà \(a > 0 \Rightarrow b > 0\).
Bảng biến thiên sau là của hàm số nào trong các phương án A; B; C; D sau đây?
\(y = {x^2} - 4x\).
\(y = {x^2} + 4x\).
\(y = - {x^2} + 4x\).
\(y = - {x^2} - 4x\).
Lời giải
Chọn A.
Từ bảng biến thiên suy ra hệ số \(a > 0\). Loại C, D.
Toạ độ đỉnh \(I\left( {2\,; - 4} \right)\) loại B.
Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào trong các phương án A; B; C; D sau đây?
\(y = {x^2} + 2x - 1\).
\(y = {x^2} + 2x - 2\).
\(y = 2{x^2} - 4x - 2\).
\(y = {x^2} - 2x - 1\).
Lời giải
Chọn D.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \[ - 1\] nên loại B và C.
Hoành độ của đỉnh là \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 1\) nên ta loại A và chọn D.
Cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình dưới. Khi đó \(2a + b + 2c\) có giá trị là
\( - 9\).
\(9\).
\( - 6\).
\(6\).
Lời giải
Chọn C.
Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua các điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\), \(B\left( {1; - 4} \right)\), \(C\left( {3;0} \right)\) nên có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a - b + c = 0\\a + b + c = - 4\\9a + 3b + c = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = - 3\end{array} \right.\).
Khi đó: \(2a + b + 2c = 2 \cdot 1 - 2 + 2 \cdot \left( { - 3} \right) = - 6\).
Cho hàm số \[y = {x^2} - 2x + 4\] có đồ thị \[\left( P \right)\]. Tìm mệnh đề sai.
\[\left( P \right)\] có đỉnh \[I\left( {1;\,3} \right)\].
\[\min y = 4,\,\forall x \in \left[ {0;\,3} \right]\].
\[\left( P \right)\] có trục đối xứng \[x = 1\].
\[\max y = 7,\,\forall x \in \left[ {0;\,3} \right]\].
Lời giải
Chọn B.
Dựa vào đồ thị của hàm số \[y = {x^2} - 2x + 4\]: \[\left( P \right)\], ta nhận thấy:
\[\left( P \right)\] có đỉnh \[I\left( {1;\,3} \right)\] nên A đúng.
\[\min y = 3,\,\forall x \in \left[ {0;\,3} \right]\], đạt được khi \[x = 1\] nên B sai.
\[\left( P \right)\] có trục đối xứng \[x = 1\] nên C đúng.
\[\max y = 7,\,\forall x \in \left[ {0;\,3} \right]\], đạt được khi \[x = 3\] nên D đúng.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{25}}{{12}}\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{25}}{{12}}\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{25}}{3}\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{25}}{3}\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có \(\Delta = {1^2} - 4.\left( { - 3} \right).2 = 25\)
Vì \(a = - 3 < 0\) nên hàm số có giá trị lớn nhất là: \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{25}}{{12}}\).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - 3{x^2} + 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) là:
\(\frac{4}{5}\).
0.
\(\frac{1}{3}\).
\( - 20\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có \( - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\) và \(a = - 3 < 0\). Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\). Mà \(\left[ {1;3} \right] \subset \left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\). Do đó trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(x = 1\), tức là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 0\).
Tìm giá trị thực của tham số \(m \ne 0\) để hàm số \(y = m{x^2} - 2mx - 3m - 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 10\) trên \(\mathbb{R}.\)
\(m = 1.\)
\(m = 2.\)
\(m = - 2.\)
\(m = - 1.\)
Lời giải
Chọn B.
Ta có \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2m}}{{2m}} = 1\), suy ra \(y = - 4m - 2\).
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 10\) khi và chỉ khi
\[\frac{m}{2} > 0 \Leftrightarrow m > 0\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 4m - 2 = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\).
Cho parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\). Điểm nào sau đây là đỉnh của \(\left( P \right)\)?
\(I\left( {0;1} \right)\).
\(I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).
\(I\left( { - \frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).
\(I\left( {\frac{1}{3};\, - \frac{2}{3}} \right)\).
Lời giải
Chọn B.
Hoành độ đỉnh của \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\) là \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow y = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\).
Vậy \(I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).
Xác định các hệ số \(a\) và \(b\) để Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + 4x - b\) có đỉnh \(I\left( { - 1; - 5} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 3\end{array} \right..\)
Lời giải
Chọn C.
Ta có: \({x_I} = - 1 \Rightarrow - \frac{4}{{2a}} = - 1 \Rightarrow a = 2.\)
Hơn nữa \(I \in \left( P \right)\) nên \( - 5 = a - 4 - b \Rightarrow b = 3.\)
Biết đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\), \(\left( {a,\,b,\,c\, \in \mathbb{R};\,a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và có đỉnh \(I\left( {1\,;\, - 1} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = {a^3} + {b^2} - 2c\).
\[T = 22\].
\[T = 9\].
\[T = 6\].
\[T = 1\].
Lời giải
Chọn A.
Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và có đỉnh \(I\left( {1\,;\, - 1} \right)\) nên có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 1\\ - \frac{b}{{2a}} = 1\\a + b + c = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 1\\b = - 2a\\a + b + c = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\b = - 2a\\ - a + c = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\b = - 4\\a = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(T = {a^3} + {b^2} - 2c = 22\).
Cho Parabol (P): \(y = a{x^2} + bx + c\) có đỉnh \(I(2;0)\) và \((P)\) cắt trục \(Oy\) tại điểm \(M(0; - 1)\). Khi đó Parabol (P) có hàm số là
Lời giải
Chọn C.
Parabol đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};c - \frac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)\)
Theo bài ra, ta có (P) có đỉnh \(I\left( {2;0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\c - \frac{{{b^2}}}{{4a}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\{b^2} = 4ac\end{array} \right. & \left( 1 \right)\)
Lại có (P) cắt Oy tại điểm \(M\left( {0; - 1} \right)\) suy ra \(y\left( 0 \right) = - 1 \Leftrightarrow c = - 1 & \left( 2 \right)\)
Từ (1), (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\{b^2} = - a\\c = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\{b^2} = b\\c = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{4}\\b = 1;\,\,c = - 1\end{array} \right.\) (vì \(b = 0 \Rightarrow a = 0\) loại).
Parabol\(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua \(A\left( {0; - 1} \right)\), \(B\left( {1; - 1} \right)\), \(C\left( { - 1;1} \right)\)có phương trình là
\(y = {x^2} - x + 1\).
\(y = {x^2} - x - 1\).
\(y = {x^2} + x - 1\).
\(y = {x^2} + x + 1\).
Lời giải
Chọn B.
Vì \(A,B,C \in (P)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - 1 = a.{\left( 1 \right)^2} + b.(1) + c\\1 = a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.( - 1) + c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\\c = - 1\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - x - 1\).
Gọi \[A\left( {a;b} \right)\] và \[B\left( {c;d} \right)\] là tọa độ giao điểm của \[\left( P \right):y = 2x - {x^2}\] và \[\Delta :y = 3x - 6\]. Giá trị của \[b + d\] bằng.
7.
\[ - 7\].
15.
\[ - 15\].
Lời giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm: \[2x - {x^2} = 3x - 6 \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow y = 0\\x = - 3 \Rightarrow y = - 15\end{array} \right.\]
Vậy \[b + d = - 15\].
Cho hàm số \[y = {x^2} + 3x\] có đồ thị \[\left( P \right)\]. Gọi \[S\] là tập hợp các giá trị của tham số \[m\] để đường thẳng \[d:y = x + {m^2}\] cắt đồ thị \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt \[A,B\] sao cho trung điểm I của đoạn \[AB\] nằm trên đường thẳng \[d':y = 2x + 3\]. Tổng bình phương các phần tử của \[S\] là
\(6\).
\(4\).
\(2\).
\(1\).
Lời giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của \[d\] và \[\left( P \right)\] là:
\[{x^2} + 3x = x + {m^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2x - {m^2} = 0\] (1).
Đề d cắt \[\left( P \right)\] tại 2 điểm phân biệt \[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 + {m^2} > 0,\forall m \in \mathbb{R}\].
Gọi \[{x_1};{\rm{ }}{x_2}\] là 2 nghiệm của phương trình (1), khi đó \[A\left( {{x_1};{x_1} + {m^2}} \right)\], \[B\left( {{x_2};{x_2} + {m^2}} \right)\] \[ \Rightarrow I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\frac{{{x_1} + {x_2} + 2{m^2}}}{2}} \right)\]
Theo Vi ét ta có \[{x_1} + {x_2} = - 2;{\rm{ }}{x_1}.{x_2} = - {m^2}\] nên \[I\left( { - 1;{m^2} - 1} \right)\].
Vì \[I\] thuộc \(d'\) nên \[{m^2} - 1 = 1 \Leftrightarrow {m^2} = 2 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 \].
Cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Tìm \(a - b + c\), biết rằng đường thẳng \(y = - 2,5\) có một điểm chung duy nhất với \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(y = 2\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm có hoành độ là \( - 1\) và 5.
\(a - b - c = - 2\).
\(a - b - c = 2\).
\(a - b - c = 1\).
\(a - b - c = - 1\).
Lời giải
Chọn D.
Vì đường thẳng \(y = - 2,5\) có một điểm chung duy nhất với \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(y = 2\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm có hoành độ là \( - 1\) và 5 nên suy ra tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là:
\(\left( {\frac{{ - 1 + 5}}{2};2,5} \right) = \left( {2;2,5} \right)\).
Vậy \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(\left( {2;2,5} \right)\), \(\left( { - 1;2} \right)\) và \(\left( {5;2} \right)\).
Từ đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a - b + c = 2\\25a + 5b + c = 2\\4a + 2b + c = 2,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{10}}\\b = \frac{{ - 4}}{{10}}\\c = \frac{{15}}{{10}}\end{array} \right.\).
Vậy \(a - b - c = - 1\).
Khi một quả bóng được đá lên nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất. Biết quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng tọa độ \(Oth\) có phương trình \(h = a{t^2} + bt + c\) \(\left( {a < 0} \right)\), trong đó \(t\) là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên, \(h\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao \(1,2\,\,m\) và sau 1 giây thì nó đạt độ cao \(8,5m\), sau 2 giây nó đạt độ cao \(6m\). Tính tổng \(a + b + c\).
\(a + b + c = 18,3\).
\(a + b + c = 6,1\).
\(a + b + c = 8,5\).
\(a + b + c = - 15,9\).
Lời giải
Chọn C.
Từ giả thiết của bài toán ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a + b + c = 8,5\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{49}}{{10}}\\b = \frac{{61}}{5}\\c = 1,2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow a + b + c = \frac{{17}}{2}\).
Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng parabol là 4 m còn kích thước cửa ở giữa là 3m × 4m. Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\). (xem hình vẽ bên dưới)
5 m.
8,5 m.
7,5 m.
8 m.
Lời giải
Chọn D.
Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\).
Do parabol \(\left( P \right)\) đối xứng qua trục tung nên có trục đối xứng \(x = 0 \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\).
Chiều cao của cổng parabol là 4m nên \(G\left( {0;4} \right)\) \( \Rightarrow c = 4\).
\( \Rightarrow \left( P \right)\): \(y = a{x^2} + 4\)
Lại có, kích thước cửa ở giữa là 3m × 4m nên \(E\left( {2;3} \right),\;F\left( { - 2;3} \right)\)\( \Rightarrow 3 = 4a = 4 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{4}\).
Vậy \(\left( P \right)\): \(y = - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).
Ta có \( - \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 4\end{array} \right.\) nên \(A\left( { - 4;0} \right)\), \(B\left( {4;0} \right)\) hay \(AB = 8\)(m).
Cô Tình có \(60m\) lưới muốn rào một mảng vườn hình chữ nhật để trồng rau, biết rằng một cạnh là tường, cô Tình chỉ cần rào \(3\) cạnh còn lại của hình chữ nhật để làm vườn. Em hãy tính hộ diện tích lớn nhất mà cô Tình có thể rào được?
\(400{m^2}\).
\(450{m^2}\).
\(350{m^2}\).
\(425{m^2}\).
Lời giải
Chọn B.
Gọi hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài là \(x,\,y\,\)(như hình vẽ); \(0 < x,\,y < 60\).
Ta có \(2x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2x\).
Diện tích hình chữ nhật là \(S = xy = x\left( {60 - 2x} \right) = \frac{1}{2}.2x\left( {60 - 2x} \right) \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{2x + 60 - 2x}}{x}} \right) = 450\).
Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là \(450\,\left( {{m^2}} \right)\), đạt được khi \(x = 15,\,y = 30\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}1&{{\rm{ khi }}\,x = 2}\\{\frac{1}{{x - 2}}}&{{\rm{ khi }}\,x \ne 2}\end{array}} \right.\).
Tập xác định hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
\[f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\].
\(f\left( 2 \right) = 1,f\left( 3 \right) = \frac{1}{{3 - 2}} = 1\).
Phương trình \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ 0 \right\}\).
Lời giải
a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng
Khi \(x = 2\) thì \(f\left( x \right) = 1\) luôn xác định. Khi \(x \ne 2\) thì \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 2}}\) luôn xác định.
Vậy, tập xác định hàm số là \(D = \left\{ 2 \right\} \cup \left( {\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}} \right) = \mathbb{R}\).
Ta có: \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{{0 - 2}} = - \frac{1}{2},f\left( 2 \right) = 1,f\left( 3 \right) = \frac{1}{{3 - 2}} = 1\).
Xét phương trình \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\). Điều kiện \(x \ne 2\), khi đó \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 2}}\). Ta có phương trình: \(\frac{1}{{x - 2}} = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} \Leftrightarrow x + 1 = 1\,\,\left( {x \ne 2} \right) \Leftrightarrow x = 0\). Vậy tập nghiệm phương trình: \(S = \left\{ 0 \right\}\).
Biểu đồ dưới đây cho biết số người bị nhiễm Covid-19 của một tỉnh trong một tháng của năm 2021.
Số người bị nhiễm Covid-19 trong mỗi tháng tương ứng là một hàm số.
Gọi \(y\) là số người bị nhiễm Covid-19 theo tháng, \(x\) là tháng tương ứng \((x,y\) nguyên dương). Hàm số theo biểu đồ trên có dạng \(y = f\left( x \right)\). Khi đó tập giá trị của hàm số là \(D = \left\{ {10;32;35;42;57;58;60;77;78;90} \right\}\).
\(f\left( 1 \right) = 42\).
Với \(y = 58\) thì \(x = 9\), ta có điểm \(\left( {9;58} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng
Ứng với mỗi tháng trong năm, ta chỉ có đúng một số lượng người nhiễm Covid-19 trong tỉnh đó. Vì vậy mối liên hệ này chính là một hàm số.
Tập xác định hàm số: \(D = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12} \right\}\).
Tập giá trị hàm số là: \(D = \left\{ {10;32;35;42;57;58;60;77;78;90} \right\}\).
Ta có: \(f\left( 1 \right) = 10\).
Với \(y = 58\) thì \(x = 9\), ta có điểm \[\left( {9;58} \right)\] thuộc đồ thị hàm số.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường gấp khúc như hình dưới.
Tập giá trị hàm số \(T = \left[ { - 4;7} \right]\).
Ta thấy điểm \(\left( { - 4;2} \right),\left( {4;1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số, điểm \(\left( {2;3} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số.
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = 3,f\left( 5 \right) = 2\).
Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng: \(\left( { - 3;0} \right),\left( {4;7} \right)\); hàm số nghịch biến trên các khoảng: \(\left( { - 4; - 3} \right),\left( {0;4} \right)\).
Lời giải
a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng
Tập xác định hàm số: \(D = \left[ { - 4;7} \right]\). Tập giá trị hàm số: \(T = \left[ {0;5} \right]\)
Ta thấy điểm \(\left( { - 4;2} \right),\left( {4;1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số, điểm \(\left( {2;3} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số.
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = 3,f\left( 5 \right) = 2\).
Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng: \(\left( { - 3;0} \right),\left( {4;7} \right)\) (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên các khoảng này); hàm số nghịch biến trên các khoảng: \(\left( { - 4; - 3} \right),\left( {0;4} \right)\) (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên các khoảng này).
Một công ty dịch vụ cho thuê xe hơi vào dịp Tết với giá thuê mỗi chiếc xe hơi như sau: khách thuê tối thiểu phải thuê trọn ba ngày Tết (mùng \(1,2,3\)) với giá 1 triệu đồng/ngày; những ngày còn lại (nếu khách còn thuê) sẽ được tính giá thuê là 700 000 đồng/ngày. Giả sử \(T\) là tổng số tiền mà khách phải trả khi thuê một chiếc xe hơi của công ty (đơn vị: đồng) và \(x\) là số ngày thuê của khách.
Hàm số \(T\) theo \(x\) là \(T = 900000 + 700000x\).
Điều kiện của \(x\) là \(x \in \mathbb{N}\).
Một khách hàng thuê một chiếc xe hơi công ty trong 7 ngày Tết thì sẽ trả khoản tiền thuê là \(5\,800\,000\)đồng.
Anh Bình định dành ra một khoản tối đa là 10 triệu đồng cho phí thuê xe đi chơi trong dịp tết, khi đó anh Bình có thể thuê xe của công ty trên tối đa 12 ngày.
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng
Ta có \(T = 3\,000\,000 + 700\,000\left( {x - 3} \right) = 900\,000 + 700\,000x\) với \(x \ge 3,x \in \mathbb{N}\).
Với \(x = 7\) thì \(T = 900\,000 + 700\,000 \cdot 7 = 5\,800\,000\) (đồng).
Vậy một khách hàng thuê một chiếc xe hơi công ty trong 7 ngày Tết thì sẽ trả khoản tiền thuê là \(5\,800\,000\)đồng.
Xét bất phương trình \(900\,000 + 700\,000x \le 10\,000\,000 \Leftrightarrow 9 + 7x \le 100 \Leftrightarrow x \le \frac{{91}}{7} = 13.\)
Vậy với khoản tiền 10 triệu đồng, anh Bình có thể thuê một chiếc xe tối đa 13 ngày.
Cho hàm số \(y = 2{x^2} + 4x + 1\) có đồ thị \(\left( P \right)\).
\(\left( P \right)\) có tọa độ đỉnh \(I\left( { - 1; - 1} \right)\).
\(\left( P \right)\) có trục đối xứng là \(x = 1\).
Giao điểm của \(\left( P \right)\) với trục tung là \(M\left( {0;1} \right)\).
\(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(Q\left( {1;6} \right)\) và \(P\left( { - 3;6} \right)\).
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai
Ta có \(a = 2 > 0\) nên parabol \(\left( P \right)\) quay bề lõm lên trên.
Có \( - \frac{b}{{2a}} = - 1\) nên \(\left( P \right)\) có tọa độ đỉnh \(I\left( { - 1; - 1} \right)\) và trục đối xứng là \(x = - 1\).
Với \(x = 0\) thì \(y = 1\) nên giao điểm của \(\left( P \right)\) với trục tung là \(M\left( {0;1} \right)\).
\(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(Q\left( {1;7} \right)\) và \(P\left( { - 3;7} \right)\).
Cho đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có dạng như hình sau:
Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = - 2\).
Đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số có tọa độ là \(\left( {2; - 2} \right)\).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\).
Hàm số đã cho là \(y = 2{x^2} - 2x + 6\).
Lời giải
a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai
Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = 2\). Đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số có tọa độ là \(\left( {2; - 2} \right)\).
Hàm số bậc hai có dạng \[y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne {\rm{0}}} \right)\]. Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\) nên \(a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c = 6 \Rightarrow c = 6\).
Mặt khác, đồ thị có toạ độ đỉnh là \[I\left( {2; - 2} \right)\] nên ta có:
\(\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + 6 = - 2\end{array} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}4a + b = 0\\4a + 2b = - 8\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\end{array}\end{array}{\rm{. }}} \right.} \right.\)
Vậy hàm số đã cho là \(y = 2{x^2} - 8x + 6\).
Cho hàm số \(y = {x^2} + 2x - 3\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
Đồ thị của hàm số có đỉnh \(I\left( {2; - 4} \right)\).
Đồ thị của hàm số có trục đối xứng là đường thẳng \(x = - 1\).
Ta có đồ thị hàm số đã cho như hình bên.
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\), đỉnh \(I\left( { - 1; - 4} \right)\), trục đối xứng là đường thẳng \(x = - 1\).
Giao điểm với trục \(Oy\) là \(A\left( {0; - 3} \right)\), giao điểm với trục \(Ox\) là \(B\left( {1;0} \right),C\left( { - 3;0} \right)\).
Ta có đồ thị như hình dưới đây.
Cho hàm số \(y = - {x^2} + 3\).
Tọa độ đỉnh \(I\) của parabol \(I\left( {0;3} \right)\).
Bề lõm parabol hướng lên.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Giá trị lớn nhất của hàm số là \({y_{\max }} = 3\) khi \(x = 0\).
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng
Ta có \(y = - {x^2} + 3\,\,\,\left( {a = - 1,b = 0,c = 3} \right)\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). Tọa độ đỉnh \(I\) của parabol: \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 0,{y_I} = - {0^2} + 3 = 3\) hay \(I\left( {0;3} \right)\).
Do \(a = - 1 < 0\) nên bề lõm parabol hướng xuống.
Bảng biến thiên:
Kết luận:
- Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
- Giá trị lớn nhất của hàm số là \({y_{\max }} = 3\), khi \(x = 0\). (Hàm số không có giá trị nhỏ nhất).
Một người nông dân thả 1 000 con cá giống vào hồ nuôi vừa mới đào. Biết rằng sau mỗi năm thì số lượng cá trong hồ tăng thêm \(x\) lần số lượng cá ban đầu và \(x\) không đổi.
Bằng cách thay đổi kĩ thuật nuôi và thức ăn cho cá. Hỏi sau hai năm để số cá trong hồ là 36 000 con thì tốc độ tăng số lượng cá trong hồ là bao nhiêu? Biết tốc độ tăng mỗi năm là không đổi.
Lời giải
Trả lời: 5.
Sau một năm số lượng cá trong hồ là \(1000 + 1000x = 1000\left( {1 + x} \right)\) (con).
Sau hai năm số lượng cá trong hồ là \(1000\left( {1 + x} \right) + 1000\left( {1 + x} \right)x = 1000{\left( {1 + x} \right)^2}\) (con).
Điều kiện \(x > 0\). Để số lượng cá trong hồ sau hai năm là 36 000 thì ta có:
\(1000{\left( {1 + x} \right)^2} = 36\,000 \Leftrightarrow {\left( {1 + x} \right)^2} = 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{x = - 7\left( l \right)}\end{array}} \right.\) .
Vậy tốc độ tăng thêm số lượng cá trong hồ sau mỗi năm là 5 lần số lượng cá ban đầu.
Một cửa hàng kinh doanh giày và giá để nhập một đôi giày là 40 đô la. Theo nghiên cứu của bộ phận kinh doanh thì nếu cửa hàng bán mỗi đôi giày với giá \(x\) đô la thì mỗi tháng sẽ bán được \(120 - x\) đôi giày. Hỏi cửa hàng bán giá bao nhiêu đô la cho một đôi giày để có thể thu lãi cao nhất trong tháng?
Lời giải
Trả lời: 80.
Gọi \(x\) (đô la) là giá mỗi đôi giày bán ra thì số tiền lãi tương ứng là \(x - 40\) (đô la).
Số tiền lãi thu được mỗi tháng là \(f\left( x \right) = \left( {x - 40} \right)\left( {120 - x} \right) = - {x^2} + 160x - 4\,800\).
Đây là hàm số bậc hai với \(a = - 1,b = 160,c = - 4800 \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = 80\).
Vì \(a = - 1 < 0\) nên hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(f\left( {80} \right) = - {80^2} + 160 \cdot 80 - 4\,800 = 1\,600\), ứng với \(x = 80\).
Vậy, để tối ưu hóa lợi nhuận, cửa hàng cần đưa ra giá bán 80 đô la mỗi đôi giày, khi đó lợi nhuận tối đa trong tháng là 1 600 đô la.
Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ hai bên như hình vẽ dưới dây.
Biết chiều cao cổng parabol là \(4\;{\rm{m}}\), cửa chính (ở giữa parabol) cao \(3\;{\rm{m}}\) và rộng 4 m. Khoảng cách giữa hai chân cổng parabol đó (đoạn \(AB\) trên hình vẽ) bằng bao nhiêu mét?
Lời giải
Trả lời: \(8\).
Dựng trục \(Oxy\) như hình vẽ.
Gọi parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
Ta có \(\left( P \right)\) qua các điểm \(I\left( {0;4} \right),E\left( {2;3} \right),F\left( { - 2;3} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 4}\\{4a + 2b + c = 3}\\{4a - 2b + c = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{1}{4}}\\\begin{array}{l}b = 0\\c = 4\end{array}\end{array}} \right.\).
Khi đó, \(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).
Hai điểm \(A,B\) là giao điểm của \[\left( P \right)\] với \(Ox\) nên hoành độ thỏa mãn \( - \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 4\).
Do vậy \(A\left( { - 4;0} \right),B\left( {4;0} \right) \Rightarrow AB = 8\).
Một vật chuyển động có vận tốc (mét/giây) được biểu diễn theo thời gian \(t\) (giây) bằng công thức \(v\left( t \right) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 10\). Trong 10 giây đầu tiên, vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu mét/giây?
Lời giải
Trả lời: 2.
Xét \(v\left( t \right) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 10\) với \( - \frac{b}{{2a}} = 4,a = \frac{1}{2} > 0\) nên bề lõm parabol hướng lên.
Bảng biến thiên của \(v\left( t \right)\):
Vậy ở giây thứ tư trong 10 giây đầu thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất là \(v{\left( t \right)_{\min }} = 2\).
