Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ
16 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Cho hình bình hành \(ABCD\),với giao điểm hai đường chéo là \(I\). Khi đó:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {BI} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \vec 0\).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \vec 0\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \) , \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \vec 0\).Chọn C.
Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm \(O\) là trung điểm của đoạn \(AB\).
\(OA = OB\).
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} \).
\(\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {BO} \).
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \vec 0\).
Điều kiện cần và đủ để điểm \(O\) là trung điểm của đoạn \(AB\) là \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \vec 0\).Chọn D.
Cho tam giác đều \[ABC\] cạnh \[a\]. Khi đó \[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \]
\[a\sqrt 3 \].
\[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
\[2a\].
\[a\].
![Cho tam giác đều \[ABC\] cạnh \[a\]. Khi đó \[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \] A. \[a\sqrt 3 \]. B. \[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]. C. \[2a\]. D. \[a\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/9-1758599586.png)
Dựng hình bình hành \(ABCD\)vàgọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có\[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = 2AM = a\sqrt 3 \].Chọn A.
Kết quả bài toán tính\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BC} \] là
\[\overrightarrow {D\,B} \].
\[2\,\overrightarrow {BD} \].
\[\overrightarrow 0 \].
\[ - \,\overrightarrow {AD} \].
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \vec 0\].Chọn C.
Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O\). Khi đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} = \)
\(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OB} \).
\(\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {DO} \).
\(\overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \).Chọn D.
Cho 4 điểm bất kỳ\[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}O\]. Đẳng thức nào sau đây là đúng:
\[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CO} \].
\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} \].
\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} \].
\[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {BA} \].
Ta có: \[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CO} \] (qui tắc 3 điểm). Chọn A.
Gọi \[G\]là trọng tâm tam giác vuông \[ABC\;\]với cạnh huyền\[BC = 12\]. Vectơ \[\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} \] có độ dài bằng bao nhiêu?
\[2\].
\[4\].
\[8\].
\[2\sqrt 3 \].
![Gọi \[G\]là trọng tâm tam giác vuông \[ABC\;\]với cạnh huyền \[BC = 12\]. Vectơ \[\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} \] có độ dài bằng bao nhiêu? A.\[2\]. B.\[4\]. C. \[8\]. D.\[2\sqrt 3 \]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/10-1758599752.png)
Ta có: \[\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GE} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AE} \]
\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \frac{2}{3}\left| {\overrightarrow {AE} } \right| = \frac{2}{3}.\frac{{BC}}{2} = \frac{{BC}}{3} = 4\]. Chọn B.
Cho hình vuông \[ABCD\]cạnh\[a\], độ dài vectơ \[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \]bằng:
\[a\].
\[3a\].
\[a\sqrt 2 \].
\[2a\sqrt 2 \].
Ta có: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CD} \).
\(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right| = CD = a\). Chọn A.
Cho đường tròn \(O\) và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OB} .\)
\(\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {OB} .\)
\(OA = - OB.\)
\(AB = - BA.\)
Do hai tiếp tuyến song song và \(A,\;B\) là hai tiếp điểm nên \(AB\) là đường kính. Do đó \(O\) là trung điểm của \(AB\). Suy ra \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OB} \). Chọn A.
Cho hình bình hành \(ABCD.\) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {BD} .\)
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {CD} .\]
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow O .\]
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {CD} .\]
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow O .\]
Do đó \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \left( {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \]
\[ = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} \]. Chọn A.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ dài bằng 5 và \(\widehat {ABC} = 120^\circ \). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó:
a) \(\overrightarrow {BO} \) và \(\overrightarrow {DO} \) là hai vectơ đối nhau.
b)\(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} \).
c) Với M là điểm bất kì, ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \).
d) \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = 5\sqrt 3 \).
a) Có BO = DO và \(\overrightarrow {BO} \) và \(\overrightarrow {DO} \) là hai vectơ ngược hướng nên \(\overrightarrow {BO} \) và \(\overrightarrow {DO} \) là hai vectơ đối nhau.
b) \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {DC} \).
mà \(\overrightarrow {BA} \)và \(\overrightarrow {DC} \) là hai vectơ ngược hướng nên \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} \ne \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} \).
c) Có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BC} \) (Vô lí).
d) Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (theo quy tắc hình bình hành).
Xét DABC, ta có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \widehat {ABC}\)\( = {5^2} + {5^2} - 2.5.5.\cos 120^\circ = 75\).
Suy ra \(AC = \sqrt {75} = 5\sqrt 3 \). Do đó \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = 5\sqrt 3 \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
a) \(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {NM} \).
b)\(\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {MP} \).
c) \(\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MP} \).
d) \(\overrightarrow {BP} - \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {PC} \).
Ta có tứ giác AMPN, MNCP là hình bình hành.
a) \(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {NM} \).
b) \(\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {MN} - \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {PN} \) (do \(\overrightarrow {NC} = \overrightarrow {MP} \)).
c) \(\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \).
d) \(\overrightarrow {BP} - \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {BP} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow {BC} \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, có O là giao điểm hai đường chéo. Khi đó:
a) O là trung điểm AC, BD.
b) \(\left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {CB} } \right| = a\sqrt 2 \).
c)\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right| = a\).
d) \(\left| {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right| = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
a) O là giao điểm hai đường chéo nên O là trung điểm của AC, BD.
b) Có \(\left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CO} - \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BO} } \right| = BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
c) \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 2a\).
d) \(\left| {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = a\sqrt 2 \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Hai người đứng hai bên bờ kênh, cùng kéo một chiếc thuyền xuôi trên kênh. Người A kéo với một lực bằng 60 N, người B kéo với một lực bằng 80 N, hai lực hợp nhau một góc bằng 90°. Vậy hợp lực mà hai người đã tác động lên thuyền có độ lớn bằng bao nhiêu?
Hình trên biểu diễn hai lực tác động lên chiếc thuyền xuôi trên kênh hai lực \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) và \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 60N,\left| {\overrightarrow {OB} } \right| = 80N\). Khi đó hợp lực mà hai người đã tác động lên thuyền có độ lớn bằng \(\left| {\overrightarrow {OC} } \right|\).
Xét DOAC ta có \(\left| {\overrightarrow {OC} } \right| = \sqrt {{{60}^2} + {{80}^2}} = 100\).
Trả lời: 100.
Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng 100 và \(\widehat {AMB} = 60^\circ \). Tính cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Dựng hình bình hành MADB.
Vì vật đứng yên nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MC} = - \overrightarrow {MD} \)\[ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = \left| { - \overrightarrow {MD} } \right| = \left| {\overrightarrow {MD} } \right|\].
Xét DMAD, có \(M{D^2} = M{A^2} + A{D^2} - 2.MA.AD.\cos \widehat {MAD}\)\( = {100^2} + {100^2} - 2.100.100.\cos 120^\circ = 30000\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MC} } \right| = 100\sqrt 3 \approx 173\) N.
Trả lời: 173.
Cho hình vuông ABCD cạnh 2, M là trung điểm BC. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right|\) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = AM.\)
Theo định lý pytago: \(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} = {2^2} + {1^2} = 5 \Rightarrow AM = \sqrt 5 \approx 2\).
Trả lời: 2.
