Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giá trị lớn nhất của biểu thức \[F\left( {x\,;y} \right) = 3x - 2y + 1\] với \[\left( {x\,;y} \right)\] thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho đạt được tại 1 trong 4 điểm (0; 0), (0; 5), (2; 4), (4; 0).

Ta có \[F\left( {0;0} \right) = 3.0 - 2.0 + 1 = 1\];

\[F\left( {0;5} \right) = 3.0 - 2.5 + 1 = - 9\];

\[F\left( {2;4} \right) = 3.2 - 2.4 + 1 = - 1\];

\[F\left( {4;0} \right) = 3.4 - 2.0 + 1 = 13\].

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 13. Chọn D.

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 100 = 0\\2x + y - 80 = 0\end{array} \right.\)$\iff \left\{\begin{array}{l}x=20\\ y=40\end{array}\right.$

Ta có \(S = {S_{ABCD}} + {S_{BFC}} + {S_{AEB}}\)\( = OF.OE + \frac{1}{2}BF.FC + \frac{1}{2}AE.BE\)\( = 20.40 + \frac{1}{2}.40.20 + \frac{1}{2}.10.20\)

\( = 800 + 400 + 100 = 1300\). Chọn B.

Biểu thức \(F\left( {x\,;y} \right) = 3x - y\) đạt giá trị nhỏ nhất tại 1 trong 3 đỉnh của tam giác ABC với \(A\left( {0;1} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {3; - 2} \right)\).

Ta có \(F\left( {0;1} \right) = 3.0 - 1 = - 1\); \(F\left( {3;1} \right) = 3.3 - 1 = 8\); \(F\left( {3; - 2} \right) = 3.3 + 2 = 11\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là −1. Chọn B.

a) Thay \(\left( {0;3} \right)\) vào bất phương trình thứ nhất ta được 3 < 2 vô lý. Do đó (0; 3) không là nghiệm của hệ (I).

b) Thay (1; 3) vào hệ thỏa mãn nên (1; 3) là một nghiệm của hệ (I).

c) Từ bất phương trình thứ nhất và bất phương trình thứ ba của (I), cộng trừ vế ta được \(y - 2x + x + y \le 2 + 5\)\( \Leftrightarrow 2y - x \le 7\).

Do đó \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc miền nghiệm của (I) thì \(2y - x \le 7\).

d) Miền nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y - 2x \le 2\\2y - x \ge 4\\x + y \le 5\end{array} \right.\) là miền trong của tam giác ABC kể cả biên

Ta thấy \(F = y - x\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C.

Tại\(A\left( {0;2} \right)\) thì \(F = 2\).

Tại \(B\left( {1;4} \right)\) thì \(F = 3\).

Tại \(C\left( {2;3} \right)\)thì \(F = 1\).

Vậy minF = 1 khi \(x = 2;y = 3\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng; d) Đúng.

Gọi \(x;y\) lần lượt là số xe loại A và loại B cần phải thuê (\(x,y \in \mathbb{N}\)). Khi đó số tiền thuê xe là \(T = 4x + 3y\) (triệu đồng).

Theo bài ra ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\\ 20x+10y\ge 140\\ 0,6x+1,5y\ge 9\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\\ 2x+y\ge 14\\ 2x+5y\ge 30\end{array}\right.$

Miền nghiệm của hệ là miền đa giác ABCD kể cả biên (phần tô màu)

Ta thấy \(T = 4x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C, D.

Với \(A\left( {\frac{5}{2};9} \right)\) thì T = 37.

Với \(B\left( {10;9} \right)\) thì T = 67.

Với \(C\left( {10;2} \right)\) thì T = 46.

Với \(D\left( {5;4} \right)\) thì T = 32.

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 32 đạt tại \(x = 5;y = 4\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng; d) Đúng.

a) Tổng số công cần sử dụng là \(10x + 15y\).

b) Tổng số tiền thu được là \(F\left( {x;y} \right) = 2x + 2,5y\).

c) Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 4\\10x + 15y \le 45\end{array} \right.\).

d) Miền nghiệm của hệ đã cho là miền trong của tứ giác OABD kể cả biên (phần tô màu) như hình.

Ta thấy \(F = 2x + 2,5y\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm O, A, B, D.

Tại O(0; 0) thì F = 0;

Tại A(0; 3) thì F = 7,5;

Tại B(3; 1) thì F = 8,5.

Tại D(4; 0) thì F = 8.

Vậy hộ nông dân đó thu được số tiền nhiều nhất là 8,5 triệu đồng.

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng; d) Sai.

Miền nghiệm của hệ là miền tam giác ABC với \(A\left( { - 5; - 1} \right);B\left( { - 1; - 2} \right);C\left( {5;4} \right)\).

Ta có \(T = 3x - 2y - 4\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C.

Với \(A\left( { - 5; - 1} \right)\) thì T = −17.

Với \(B\left( { - 1; - 2} \right)\) thì T = −3.

Với \(C\left( {5;4} \right)\) thì T = 3.

Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng −17 khi \(x = - 5;y = - 1\).

Do đó \({x_0} = - 5;{y_0} = - 1\). Do đó \(x_0^2 + y_0^2 = 26\).

Trả lời: 26.

Gọi \(x\) là số tấn sản phẩm I sản xuất trong một ngày, \(y\) là số tấn sản phẩm II sản xuất trong một ngày thì ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + y \le 6\\x + y \le 4\end{array} \right.\).

Tổng số tiền lãi thu được là \(L = 2x + 1,6y\) triệu đồng.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là phần tô đậm ở hình vẽ

Ta có \(L = 2x + 1,6y\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể ở các điểm O, A, B, C.

Với O(0; 0) thì L = 0.

Với A(2; 0) thì L = 4.

Với B(1; 3) thì L = 6,8.

Với C(0; 4) thì L = 6,4.

Vậy giá trị lớn nhất của \(L = 2x + 1,6y\) là 6,8.

Trả lời: 6,8.

Gọi số xe lớn và số xe nhỏ mà chủ trang trại cần thuê lần lượt là \(x;y\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\).

Theo đề ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}15x + 12y \ge 120\\5x + 2y \ge 30\\0 \le x \le 9\\0 \le y \le 10\end{array} \right.\)$\iff \left\{\begin{array}{l}5x+4y\ge 40\\ 5x+2y\ge 30\\ 0\le x\le 9\\ 0\le y\le 10\end{array}\right.$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của ngũ giác ABCDE (kể cả bờ) với \(A\left( {2;10} \right),B\left( {9;10} \right),C\left( {9;0} \right),D\left( {8;0} \right),E\left( {4;5} \right)\).

Theo đề bài ta có biểu thức biểu thị số tiền thuê xe là \(F = 500x + 350y\)(nghìn đồng).

Với A(2; 10) thì F = 4500;

Với B(9; 10) thì F = 8000;

Với C(9; 0) thì F = 4500;

Với D(8; 0) thì F = 4000;

Với E(4; 5) thì F = 3750.

Vậy số tiền thuê thấp nhất để chở 120 con bò sữa và 30 tấn thức ăn cho bò là 3750000 đồng khi thuê 4 xe lớn và 5 xe nhỏ.

Trả lời: 3750.