Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
18 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Cặp số \(\left( {x\,;y} \right)\) nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y > - 3}\\{ - x + 2y < 3}\end{array}} \right.\)?
\(\left( {1\,;0} \right)\).
\(\left( { - 5\,;0} \right)\).
\(\left( { - 2\,;3} \right)\).
\(\left( {0\,; - 5} \right)\).
Thay cặp số \(\left( {1\,;0} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + 0 > - 3}\\{ - 1 + 2.0 < 3}\end{array}} \right.\) (luôn đúng).
Do đó cặp số \(\left( {1\,;0} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y > - 3}\\{ - x + 2y < 3}\end{array}} \right.\). Chọn A.
\(\left( {0\,;0} \right)\).
\(\left( {1\,;1} \right)\).
\(\left( { - 1\,;1} \right)\).
\(\left( { - 1\,;0} \right)\).
Thay \(\left( { - 1\,;1} \right)\) vào bất phương trình thứ hai của hệ ta được \( - 1 - 2.1 = - 3 > - 2\) (vô lí).
Do đó cặp số \(\left( { - 1\,;1} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \le 3}\\{x - 2y > - 2}\end{array}} \right.\). Chọn C.
\(N\left( { - 1\,;1} \right)\).
\(Q\left( { - 1\,;0} \right)\).
\(P\left( {1\,; - 3} \right)\).
\(M\left( {0\,;1} \right)\).
Thay tọa độ điểm \(M\left( {0\,;1} \right)\) vào hệ bất phương trình ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}0 + 3.1 - 2 \ge 0\\2.0 + 1 + 1 > 0\end{array} \right.\] (luôn đúng).
Do đó điểm \(M\left( {0\,;1} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Chọn D.
Miền không bị gạch chéo (kể cả các đường thẳng) là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 \ge 0\\2x - y + 4 \le 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 \ge 0\\2x - y + 4 \ge 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 \le 0\\2x - y + 4 \ge 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 \le 0\\2x - y + 4 \le 0\end{array} \right.\).
Đường thẳng d1 đi qua điểm (1; 0) và (0; 1) có phương trình là \(x + y - 1 = 0\).
Vì O(0; 0) không thuộc d1 thuộc vào miền nghiệm nên thay (0; 0) vào d1 ta có \( - 1 < 0\).
Suy ra \(x + y - 1 \le 0\).
Đường thẳng d2 đi qua điểm (−2; 0) và (0; 4) có phương trình \(2x - y + 4 = 0\).
Vì O(0; 0) không thuộc d2 thuộc miền nghiệm nên thay (0; 0) vào d2 ta có 4 > 0.
Suy ra \(2x - y + 4 \ge 0\).
Vậy miền không bị gạch chéo là miền nghiệm của bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 \le 0\\2x - y + 4 \ge 0\end{array} \right.\). Chọn C.
Trong hình vẽ dưới, phần mặt phẳng không bị gạch sọc (kể cả biên) là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây?
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \le - 2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge 0\\x + 3y \le - 2\end{array} \right.\).
Ta chọn điểm (−1; 1) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình thay vào lần lượt các phương trình đường thẳng ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 - 2.1 = - 3 < 0\\ - 1 + 3.1 + 2 = 4 > 0\end{array} \right.\).
Suy ra hệ bất phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right.\). Chọn A.
Phần không gạch chéo ở hình sau đây (kể cả biên) là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn đáp án \[A\,,\,\,B\,,\,\,C\,,\,\,D\]?
![Phần không gạch chéo ở hình sau đây (kể cả biên) là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn đáp án \[A\,,\,\,B\,,\,\,C\,,\,\,D\]? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/3-1758596492.png)
\(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\3x + 2y < - 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\3x + 2y < 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\3x + 2y \le 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\3x + 2y \ge - 6\end{array} \right.\).
Ta thấy miền nghiệm nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên loại B, D.
Đường thẳng d đi qua điểm (2; 0) và (0; 3) nên ta có phương trình \(3x + 2y - 6 = 0\).
Lấy điểm (0; 1) thuộc miền nghiệm thay vào phương trình đường thẳng d ta được \(2.1 - 6 = - 4 < 0\).
Suy ra \(3x + 2y - 6 \le 0\) hay \(3x + 2y \le 6\).
Vậy miền nghiệm trên là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\3x + 2y \le 6\end{array} \right.\). Chọn C.
\(A\left( {0;7} \right)\).
\(B\left( {2;3} \right)\).
\(C\left( {2; - 3} \right)\).
\(Q\left( { - 1;2} \right)\).
Thay điểm (2; 3) vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 6 < 0\\x + 3y - 5 > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l} - 5 < 0\\6 > 0\\1 > 0\end{array} \right.\) luôn đúng. Chọn B.
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2 < 0\\x + y < 2\\6x - y + 2 > 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2 < 0\\x + y < 2\\6x - y + 2 < 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2 > 0\\x + 2y < 2\\6x - y + 2 > 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2 > 0\\x + y > 2\\x - y + 2 > 0\end{array} \right.\).
Quan sát đồ thị, nhận thấy các đường thẳng có mặt trên trục tọa độ bao gồm:
\(2x - y - 2 = 0;x + y - 2 = 0;6x - y + 2 = 0\).
Thay điểm O(0; 0) vào các hệ ở đáp án A, B, C thấy thỏa mãn đáp án A. Chọn A.
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y \ge 70\\x + y \le 30\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \ge 35\\x + y \le 30\end{array} \right.\].
\[3x + 4y \ge 70\].
\(3x + 2y \ge 35\).
\(x\) phút Thảo đọc được \(\frac{{3x}}{2}\) trang sách A.
\(y\) phút Thảo đọc được \(2y\) trang sách B.
Vì thời gian đọc không quá 30 phút và số trang ít nhất Thảo đọc được là 35 trang.
Do đó ta có hệ Chọn A.
Biết rằng hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - x - 2y \ge - 10\\2x + y \le 8\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) có miền nghiệm là một đa giác không bị gạch chéo như hình vẽ bên dưới:
![Giá trị lớn nhất của biểu thức \[F\left( {x\,;y} \right) = 3x - 2y + 1\] với \[\left( {x\,;y} \right)\] thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho ở trên bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/5-1758596658.png)
Giá trị lớn nhất của biểu thức \[F\left( {x\,;y} \right) = 3x - 2y + 1\] với \[\left( {x\,;y} \right)\] thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho ở trên bằng
31.
\[ - 1\].
1.
13.
Giá trị lớn nhất của biểu thức \[F\left( {x\,;y} \right) = 3x - 2y + 1\] với \[\left( {x\,;y} \right)\] thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho đạt được tại 1 trong 4 điểm (0; 0), (0; 5), (2; 4), (4; 0).
Ta có \[F\left( {0;0} \right) = 3.0 - 2.0 + 1 = 1\];
\[F\left( {0;5} \right) = 3.0 - 2.5 + 1 = - 9\];
\[F\left( {2;4} \right) = 3.2 - 2.4 + 1 = - 1\];
\[F\left( {4;0} \right) = 3.4 - 2.0 + 1 = 13\].
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 13. Chọn D.
Biết rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y - 100 \le 0}\\{2x + y - 80 \le 0}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\) là một đa giác được cho như hình vẽ bên dưới (phần không gạch sọc). Diện tích đa giác đó bằng
\[1200\].
\[1300\].
\[1100\].
\[1400\].
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 100 = 0\\2x + y - 80 = 0\end{array} \right.\)
Ta có \(S = {S_{ABCD}} + {S_{BFC}} + {S_{AEB}}\)\( = OF.OE + \frac{1}{2}BF.FC + \frac{1}{2}AE.BE\)\( = 20.40 + \frac{1}{2}.40.20 + \frac{1}{2}.10.20\)
\( = 800 + 400 + 100 = 1300\). Chọn B.
Biểu thức \(F\left( {x\,;y} \right) = 3x - y\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu trên miền nghiệm đa giác không gạch chéo trong hình vẽ bên dưới?
\(11\).
\( - 1\).
\( - 5\).
\(8\).
Biểu thức \(F\left( {x\,;y} \right) = 3x - y\) đạt giá trị nhỏ nhất tại 1 trong 3 đỉnh của tam giác ABC với \(A\left( {0;1} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {3; - 2} \right)\).
Ta có \(F\left( {0;1} \right) = 3.0 - 1 = - 1\); \(F\left( {3;1} \right) = 3.3 - 1 = 8\); \(F\left( {3; - 2} \right) = 3.3 + 2 = 11\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là −1. Chọn B.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y - 2x \le 2\\2y - x \ge 4\\x + y \le 5\end{array} \right.\) (I).
a) \(\left( {0;3} \right)\) là một nghiệm của (I).
b) Miền nghiệm của (I) chứa điểm (1; 3).
c)\(M\left( {x;y} \right)\) thuộc miền nghiệm của (I) thì \(2y - x \le 7\).
d) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = y - x\) trên miền xác định là 1.
a) Thay \(\left( {0;3} \right)\) vào bất phương trình thứ nhất ta được 3 < 2 vô lý. Do đó (0; 3) không là nghiệm của hệ (I).
b) Thay (1; 3) vào hệ thỏa mãn nên (1; 3) là một nghiệm của hệ (I).
c) Từ bất phương trình thứ nhất và bất phương trình thứ ba của (I), cộng trừ vế ta được \(y - 2x + x + y \le 2 + 5\)\( \Leftrightarrow 2y - x \le 7\).
Do đó \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc miền nghiệm của (I) thì \(2y - x \le 7\).
d) Miền nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y - 2x \le 2\\2y - x \ge 4\\x + y \le 5\end{array} \right.\) là miền trong của tam giác ABC kể cả biên
Ta thấy \(F = y - x\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C.
Tại\(A\left( {0;2} \right)\) thì \(F = 2\).
Tại \(B\left( {1;4} \right)\) thì \(F = 3\).
Tại \(C\left( {2;3} \right)\)thì \(F = 1\).
Vậy minF = 1 khi \(x = 2;y = 3\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Một công ty trong một đợt quảng cáo và bán hàng khuyến mại hàng hóa cho một sản phẩm mới của công ty cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B. Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe lại A cho thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng; xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng. Gọi \(x,y\) lần lượt là số xe loại A và loại B mà công ty thuê.
a) Số tiền thuê xe là \(4x + 3y\).
b) \(2x + y < 14\).
c) \(2x + 5y \ge 30\).
d) Số tiền thuê xe thấp nhất là 32 triệu.
Gọi \(x;y\) lần lượt là số xe loại A và loại B cần phải thuê (\(x,y \in \mathbb{N}\)). Khi đó số tiền thuê xe là \(T = 4x + 3y\) (triệu đồng).
Theo bài ra ta có hệ phương trình
Miền nghiệm của hệ là miền đa giác ABCD kể cả biên (phần tô màu)
Ta thấy \(T = 4x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C, D.
Với \(A\left( {\frac{5}{2};9} \right)\) thì T = 37.
Với \(B\left( {10;9} \right)\) thì T = 67.
Với \(C\left( {10;2} \right)\) thì T = 46.
Với \(D\left( {5;4} \right)\) thì T = 32.
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 32 đạt tại \(x = 5;y = 4\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Một hộ nông dân định trồng ngô và khoai lang trên diện tích 4 ha. Trên diện tích mỗi ha, nếu trồng ngô thì cần 10 công và thu 2 triệu đồng, nếu trồng khoai lang thì cần 15 công và thu 2,5 triệu đồng. Biết tổng số công không quá 45 công. Gọi \(x;y\) lần lượt là số ha trồng ngô và khoai lang của hộ nông dân đó.
a) Tổng số công cần sử dụng là \(15x + 10y\).
b) Tổng số tiền thu được là \(F\left( {x;y} \right) = 2x + 2,5y\) triệu đồng.
c) Theo bài ra ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 4\\10x + 15y \le 45\end{array} \right.\).
d) Hộ nông dân đó thu được số tiền nhiều nhất là 8 triệu đồng.
a) Tổng số công cần sử dụng là \(10x + 15y\).
b) Tổng số tiền thu được là \(F\left( {x;y} \right) = 2x + 2,5y\).
c) Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 4\\10x + 15y \le 45\end{array} \right.\).
d) Miền nghiệm của hệ đã cho là miền trong của tứ giác OABD kể cả biên (phần tô màu) như hình.
Ta thấy \(F = 2x + 2,5y\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm O, A, B, D.
Tại O(0; 0) thì F = 0;
Tại A(0; 3) thì F = 7,5;
Tại B(3; 1) thì F = 8,5.
Tại D(4; 0) thì F = 8.
Vậy hộ nông dân đó thu được số tiền nhiều nhất là 8,5 triệu đồng.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho biểu thức \(T = 3x - 2y - 4\) với \(x\) và \(y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 \le 0\\x + 4y + 9 \ge 0\\x - 2y + 3 \ge 0\end{array} \right.\). Biết T đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\). Tính \(x_0^2 + y_0^2\).
Miền nghiệm của hệ là miền tam giác ABC với \(A\left( { - 5; - 1} \right);B\left( { - 1; - 2} \right);C\left( {5;4} \right)\).
Ta có \(T = 3x - 2y - 4\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C.
Với \(A\left( { - 5; - 1} \right)\) thì T = −17.
Với \(B\left( { - 1; - 2} \right)\) thì T = −3.
Với \(C\left( {5;4} \right)\) thì T = 3.
Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng −17 khi \(x = - 5;y = - 1\).
Do đó \({x_0} = - 5;{y_0} = - 1\). Do đó \(x_0^2 + y_0^2 = 26\).
Trả lời: 26.
Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và II. Một tấn sản phẩm I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất 1 tấn sản phẩm I phải dùng máy M1 trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất 1 tấn sản phẩm II phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M2 chỉ làm việc một ngày không quá 4 giờ. Gọi \(x\) là số tấn sản phẩm I sản xuất trong một ngày, \(y\) là số tấn sản phẩm II sản xuất trong một ngày. Tìm giá trị lớn nhất của \(L = 2x + 1,6y\).
Gọi \(x\) là số tấn sản phẩm I sản xuất trong một ngày, \(y\) là số tấn sản phẩm II sản xuất trong một ngày thì ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + y \le 6\\x + y \le 4\end{array} \right.\).
Tổng số tiền lãi thu được là \(L = 2x + 1,6y\) triệu đồng.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là phần tô đậm ở hình vẽ
Ta có \(L = 2x + 1,6y\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể ở các điểm O, A, B, C.
Với O(0; 0) thì L = 0.
Với A(2; 0) thì L = 4.
Với B(1; 3) thì L = 6,8.
Với C(0; 4) thì L = 6,4.
Vậy giá trị lớn nhất của \(L = 2x + 1,6y\) là 6,8.
Trả lời: 6,8.
Một trang trại cần thuê xe để vận chuyển một lúc 120 con bò sữa và 30 tấn thức ăn cho bò. Nơi cho thuê xẻ chỉ có 9 chiếc xe lớn và 10 chiếc xe nhỏ. Một chiếc xe lớn chỉ có thể chở được 15 con bò và 5 tấn thức ăn. Một chiếc xe nhỏ chỉ có thể chở 12 con bò và 2 tấn thức ăn. Giá thuê của một chiếc xe lớn là 500 nghìn đồng và một chiệc xe nhỏ là 350 nghìn đồng. Hỏi chủ trang trại cần thuê xe với chi phí thấp nhất là bao nhiêu nghìn đồng?
Gọi số xe lớn và số xe nhỏ mà chủ trang trại cần thuê lần lượt là \(x;y\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\).
Theo đề ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}15x + 12y \ge 120\\5x + 2y \ge 30\\0 \le x \le 9\\0 \le y \le 10\end{array} \right.\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của ngũ giác ABCDE (kể cả bờ) với \(A\left( {2;10} \right),B\left( {9;10} \right),C\left( {9;0} \right),D\left( {8;0} \right),E\left( {4;5} \right)\).
Theo đề bài ta có biểu thức biểu thị số tiền thuê xe là \(F = 500x + 350y\)(nghìn đồng).
Với A(2; 10) thì F = 4500;
Với B(9; 10) thì F = 8000;
Với C(9; 0) thì F = 4500;
Với D(8; 0) thì F = 4000;
Với E(4; 5) thì F = 3750.
Vậy số tiền thuê thấp nhất để chở 120 con bò sữa và 30 tấn thức ăn cho bò là 3750000 đồng khi thuê 4 xe lớn và 5 xe nhỏ.
Trả lời: 3750.
