Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Bài 2: Định lí côsin và định lí sin
18 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Cho tam giác \(ABC\) có có \(a = 8\), \(c = 3\) và \(\widehat B = 60^\circ \). Độ dài cạnh \(b\) bằng
\(49\).
\(\sqrt {{\rm{97}}} \).
\(\sqrt {61} \).
\(7\).
Áp dụng định lí côsin ta có: \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos \widehat B = 64 + 9 - 2.8.3.\cos 60^\circ = 49\).
Suy ra \(b = 7\). Chọn D.
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\].
\[\frac{{\sin A}}{a} = \frac{{\sin B}}{b} = \frac{{\sin C}}{c}\].
\[S = \frac{{abc}}{R}\].
\[S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \].
\[S = \frac{{abc}}{{4R}}\].Chọn C.
\(\widehat A = 45^\circ .\)
\(\widehat A = 30^\circ .\)
\(\widehat A = 60^\circ .\)
\(\widehat A = 135^\circ \).
Ta có \(\cos \widehat A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = - \frac{{\sqrt 2 bc}}{{2bc}} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \widehat A = 135^\circ \).Chọn D.
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi p là nửa chu vi của tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác và S là diện tích tam giác đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(S = p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\).
\(S = 2bc\sin A\).
\(S = pr\).
\(S = \frac{{abc}}{{4r}}\).
Ta có \(S = pr\).Chọn C.
\(6\).
\(3\).
\(6\sqrt 3 \).
\(3\sqrt 3 \).
Có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.4.6.\sin 30^\circ = 6\).Chọn A.
\(42\sqrt 2 \).
\(40\sqrt 2 \).
\(40\sqrt 3 \).
\(41\sqrt 3 \).
Có \(p = \frac{{10 + 12 + 18}}{2} = 20\).
Diện tích tam giác là \(S = \sqrt {20.\left( {20 - 10} \right).\left( {20 - 12} \right).\left( {20 - 18} \right)} = 40\sqrt 2 \).Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(AB = 2\,{\rm{cm}}\), \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) và \(\widehat {BAC} = 75^\circ \)(như hình vẽ bên dưới).
Diện tích tam giác \(ABC\) gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(2,37\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\(0,63\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\(2,45\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\(1,58\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Có \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 60^\circ } \right) = 45^\circ \).
Theo định lí sin ta có: \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB}}{{\sin C}}.\sin B = \frac{2}{{\sin 45^\circ }}.\sin 60^\circ = \sqrt 6 \).
Do đó \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.2.\sqrt 6 .\sin 75^\circ \approx 2,37\) cm2.Chọn A.
\(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\sqrt 6 \).
\(\frac{6}{5}\).
Theo định lí sin ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sin C}}{{\sin B}} = \frac{{\sin 60^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\). Chọn A.
\[R = 2\].
\[R = 3\].
\[R = 4\].
\[R = 5\].
Theo định lí sin, ta có \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{4}{{2\sin 30^\circ }} = 4\).Chọn C.
\[2S\].
\[\frac{3}{2}S\].
\[6S\].
\[\frac{2}{3}S\].
Ta có \(S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B\).
Nếu tăng cạnh BC lên 3 lần và giảm cạnh AB đi 2 lần, đồng thời giữ nguyên góc B thì khi đó diện tích tam giác mới được tạo thành bằng \(S' = \frac{1}{2}.\frac{{AB}}{2}.3BC.\sin B = \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{2}AB.BC.\sin B} \right) = \frac{3}{2}S\).Chọn B.
\(2\).
\(\frac{1}{2}\).
\(1\).
\(\sqrt 2 \).
![Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3\), \(BC = 5\) và độ dài đường trung tuyến \(BM = \sqrt {13} \). Bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\] bằng A. \(2\). B. \(\frac{1}{2}\). C. \(1\). D. \(\sqrt 2 \). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/4-1758598253.png)
Có \(B{M^2} = \frac{{A{B^2} + B{C^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4}\)\( \Rightarrow A{C^2} = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right) - 4B{M^2} = 2\left( {9 + 25} \right) - 4.13 = 16 \Rightarrow AC = 4\).
Có \(p = \frac{{3 + 4 + 5}}{2} = 6\).
\(S = \sqrt {6.\left( {6 - 3} \right).\left( {6 - 4} \right).\left( {6 - 5} \right)} = 6.r\)\( \Leftrightarrow r = \frac{6}{6} = 1\).Chọn C.
\(1\).
\(2\).
\(\sqrt 3 \).
\(2\sqrt 3 \).
Theo định lí côsin ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos BAC} = \sqrt {25 + 64 - 2.5.8.\cos 60^\circ } = 7\).
Có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.5.8.\sin 60^\circ = 10\sqrt 3 \).
Có \(p = \frac{{5 + 8 + 7}}{2} = 10\).
Vì \(S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3 \).Chọn C.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3;AC = 2;\widehat A = 60^\circ \). Trên cạnh BC lấy điểm M nằm giữa B và C.
a) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} + 2AB.AC.\cos A\).
b) \(BC = \sqrt 7 \).
c) \(\cos B = \frac{{\sqrt 7 }}{7}\).
d) Độ dài AM nhỏ nhất bằng \(\frac{{189}}{{49}}\).
a) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\).
b) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\)\( = 9 + 4 - 2.3.2\cos 60^\circ = 7 \Rightarrow BC = \sqrt 7 \).
c) Có \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}} = \frac{{9 + 7 - 4}}{{2.3.\sqrt 7 }} = \frac{{2\sqrt 7 }}{7}\).
d) Với M tùy ý nằm giữa B và C, ta có:
\(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2.AB.BM.\cos B = 9 + B{M^2} - 2.3.BM.\frac{{2\sqrt 7 }}{7}\)
\( = B{M^2} - \frac{{12\sqrt 7 }}{7}.BM + 9\)\( = {\left( {BM - \frac{{6\sqrt 7 }}{7}} \right)^2} + \frac{{189}}{{49}} \ge \frac{{189}}{{49}}\).
Suy ra \(A{M^2} \ge \frac{{189}}{{49}}\) \( \Rightarrow AM \ge \frac{{\sqrt {189} }}{7}\).
Dấu bằng xảy ra khi \(BM - \frac{{6\sqrt 7 }}{7} = 0\)\( \Leftrightarrow BM = \frac{{6\sqrt 7 }}{7}\) hay \(BM = \frac{6}{7}BC\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho tam giác ABC, biết AB = 13 cm, BC = 15 cm, \(\widehat B = 60^\circ \).
a) Công thức tính diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{1}{2}BA.BC.\sin A\).
b) Diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{{195\sqrt 3 }}{4}\) cm2.
c) Độ dài cạnh \(AC = \sqrt {199} \) cm.
d) Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là \(r = 2 + \sqrt 3 \) cm.
a) \(S = \frac{1}{2}BA.BC.\sin B\).
b) \(S = \frac{1}{2}BA.BC.\sin B\)\( = \frac{1}{2}.13.15.\sin 60^\circ = \frac{{195\sqrt 3 }}{4}\) (cm2).
c) Ta có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos B\)\( = {13^2} + {15^2} - 2.13.15.\cos 60^\circ = 199\) \( \Rightarrow AC = \sqrt {199} \).
d) Ta có \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p}\)\( = \frac{{195\sqrt 3 }}{4}:\frac{{13 + 15 + \sqrt {199} }}{2}\)\( = \frac{{195\sqrt 3 }}{{2\left( {28 + \sqrt {199} } \right)}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho tam giác ABC có a = 8; b = 6; c = 5.
a) Chu vi của tam giác ABC là 19.
b) \(\cos A = - \frac{1}{{20}}\).
c) Diện tích tam giác ABC là \(S = 14,98\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(R = \frac{{320}}{{\sqrt {399} }}\).
a) Chu vi của tam giác ABC là 8 + 6 + 5 = 19.
b) Có \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2.b.c}} = \frac{{{6^2} + {5^2} - {8^2}}}{{2.6.5}} = - \frac{1}{{20}}\).
c) Có \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {\frac{{19}}{2}\left( {\frac{{19}}{2} - 8} \right)\left( {\frac{{19}}{2} - 6} \right)\left( {\frac{{19}}{2} - 5} \right)} = \frac{{3\sqrt {399} }}{4} \approx 14,98\).
d) Có \(R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{8.6.5}}{{4.\frac{{3\sqrt {399} }}{4}}} = \frac{{80}}{{\sqrt {399} }}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho tam giác ABC có c = 3; b = 5; a = 6. Tính diện tích tam giác ABC (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Chu vi tam giác ABC là 3 + 5 + 6 = 14.
Diện tích tam giác ABC là \(S = \sqrt {\frac{{14}}{2}\left( {\frac{{14}}{2} - 3} \right)\left( {\frac{{14}}{2} - 5} \right)\left( {\frac{{14}}{2} - 6} \right)} \approx 7,48\).
Trả lời: 7,48.
Cho tam giác ABC biết b = 7, c = 5, \(\cos A = \frac{3}{5}\). Biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC có dạng \(r = a - \sqrt b \), trong đó \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính giá trị biểu thức \(a - 2b\).
Ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)\( = 49 + 25 - 2.7.5.\frac{3}{5} = 32 \Rightarrow a = \sqrt {32} \).
Có \({\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}\) vì \(0^\circ \le \widehat A \le 180^\circ \).
Khi đó \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.7.5.\frac{4}{5} = 14\).
Mà \(r = \frac{S}{p} = \frac{{14}}{{\frac{{7 + 5 + \sqrt {32} }}{2}}} = 3 - \sqrt 2 \).
Suy ra a = 3; b = 2. Do đó a – 2b = −1.
Trả lời: −1.
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 1. Góc \(\widehat {BAD} = 30^\circ \). Tính diện tích hình thoi ABCD.
Ta có \({S_{ABCD}} = 2.{S_{ABD}} = 2.\frac{1}{2}.AB.AD.\sin \widehat {BAD} = 1.1.\sin 30^\circ = 0,5\).
Trả lời: 0,5.
