Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°
16 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Tính \(\cos 150^\circ \).
\(\frac{1}{2}\).
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
\( - \frac{1}{2}\).
\( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Cho hình bình hành \(ABCD\) như hình vẽ bên dưới. Biết rằng \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\). Khi đó \(\cos \beta \) bằng
![Cho hình bình hành \(ABCD\) như hình vẽ bên dưới. Biết rằng \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\). Khi đó \(\cos \beta \) bằng A. \(\frac{2}{5}\). B. \[ - \frac{3}{5}\]. C. \(\frac{4}{5}\). D. \(\frac{3}{5}\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/1-1758597283.png)
\(\frac{2}{5}\).
\[ - \frac{3}{5}\].
\(\frac{4}{5}\).
\(\frac{3}{5}\).
Vì \(\alpha + \beta = 180^\circ \)\( \Rightarrow \beta = 180^\circ - \alpha \).
Do đó \(\cos \beta = \cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha = - \frac{3}{5}\).Chọn B.
\(\cos \alpha = \frac{2}{3}\).
\(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\).
Có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{8}{9}\).
Mà \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\cos \alpha = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\).Chọn D.
Biết rằng điểm \(M\left( {a\,;\,b} \right)\) thoả mãn \[\widehat {MOx} = 30^\circ \] (hình vẽ minh hoạ). Khi đó giá trị của \(a\) bằng
![Biết rằng điểm \(M\left( {a\,;\,b} \right)\) thoả mãn \[\widehat {MOx} = 30^\circ \] (hình vẽ minh hoạ). Khi đó giá trị của \(a\) bằng A. \(\frac{3}{5}\). B. \(\frac{1}{2}\). C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\). D. \(\frac{4}{5}\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/2-1758597360.png)
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{4}{5}\).
Ta có \(a = OM.\cos 30^\circ = 1.\cos 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).Chọn C.
\(\sin \alpha = \cos \beta \).
\(\cos \alpha = - \sin \beta \).
\(\tan \alpha = \cot \beta \).
\(\cot \alpha = \tan \beta \).
Nếu \(\alpha + \beta = 90^\circ \) thì \(\cos \alpha = \sin \beta \).Chọn B.
\[\frac{4}{3}\].
\[\frac{3}{4}\].
\[ - \frac{4}{3}\].
\[ - \frac{3}{4}\].
Có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow \frac{9}{{25}} + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{16}}{{25}}\).
Mà \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\).
Suy ra \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{4}{3}\).
Mà \(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha = - \frac{4}{3}\). Chọn C.
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
\(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \).
\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha \).
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \cot \alpha \).
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \); \(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha \); \(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \); \(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \). Chọn A.
\[\frac{1}{3}\].
\[\frac{{10}}{9}\].
\[\frac{{11}}{9}\].
\[\frac{4}{3}\].
\(P = {\sin ^2}\alpha + 3{\cos ^2}\alpha \)\( = 1 + 2{\cos ^2}\alpha = 1 + 2.\frac{1}{9} = \frac{{11}}{9}\). Chọn C.
\(A = 1\).
\(A = \frac{1}{2}\).
\(A = \frac{1}{5}\).
\(A = 5\).
Vì \(\tan \alpha = 4\) nên \(\cos x \ne 0\).
Do đó ta chia cả tử và mẫu cho \(\cos x\) ta được \[A = \frac{{\tan \alpha + 1}}{{\tan \alpha - 3}} = 5\]. Chọn D.
\(2\).
\(1 + \tan \alpha \).
\(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
\(\frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\).
\({\left( {\frac{{\sin \alpha + \tan \alpha }}{{\cos \alpha + 1}}} \right)^2} + 1\)\( = \frac{{{{\sin }^2}\alpha {{\left( {1 + \frac{1}{{\cos \alpha }}} \right)}^2}}}{{{{\left( {\cos \alpha + 1} \right)}^2}}} + 1\)\( = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 1\)\( = {\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\). Chọn C.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Cho \(\sin x = \frac{5}{{13}}\) và \(90^\circ < x < 180^\circ \).
a) \(\cos x > 0\).
b) Giá trị của biểu thức \(P = 2{\sin ^2}x - {\cos ^2}x = - \frac{{94}}{{169}}\).
c) Giá trị \(\tan x = \frac{5}{{12}}\).
d) Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}} = \frac{{25}}{{313}}\).
a) Do \(90^\circ < x < 180^\circ \) nên \(\cos x < 0\).
b) Ta có \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - \frac{{25}}{{169}} = \frac{{144}}{{169}}\).
Do đó \(P = 2{\sin ^2}x - {\cos ^2}x = 2.\left( {\frac{{25}}{{169}}} \right) - \frac{{144}}{{169}} = - \frac{{94}}{{169}}\).
c) Do \(\cos x < 0\) và \({\cos ^2}x = \frac{{144}}{{169}}\) nên \(\cos x = - \frac{{12}}{{13}}\).
Suy ra \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = - \frac{5}{{12}}\).
d) Ta có \(A = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + 1 - {{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}}}{{2 - {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}}} = \frac{{25}}{{313}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho \(\tan \alpha = - 2\left( {90^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\). Khi đó:
a)\(\frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + 3\cos \alpha }} = 3\).
b) \(\cos \alpha > 0\).
c) \({\cos ^2}\alpha = \frac{1}{5}\).
d)\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
a) Ta có \(\frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + 3\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 1}}{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3}}\)\( = \frac{{\tan \alpha - 1}}{{2.\tan \alpha + 3}}\)\( = \frac{{ - 2 - 1}}{{2.\left( { - 2} \right) + 3}} = 3\).
b) Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\cos \alpha < 0\).
c) Có \({\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + {{\left( { - 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{5}\).
d) Có \(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
Có \({\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \).
a) Giá trị \(\sin \alpha .\cos \alpha < 0\).
b) \(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
c) \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
d) \(\frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{2}{5}\).
a) Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\cos \alpha < 0\). Suy ra \(\sin \alpha .\cos \alpha < 0\).
b) Có \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\) \( \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) vì \(\cos \alpha < 0\).
c) Ta có \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{3}:\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
d) \(\frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \frac{{\sqrt 2 }}{{\tan \alpha }}}}\)\( = \frac{{6.\frac{1}{3} + 3\sqrt 2 .\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}}}{{2\sqrt 2 .\frac{{ - \sqrt 2 }}{4} - \frac{{\sqrt 2 }}{{\frac{{\sqrt 2 }}{4}}}}}\)\( = \frac{2}{5}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho \(\cot \alpha = 2\). Biết giá trị của biểu thức \(P = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{\sqrt 2 \sin \alpha - \cos \alpha }} = \frac{{a - b\sqrt 2 }}{2}\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\). Tính \(a + 2b.\)
\(P = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{\sqrt 2 \sin \alpha - \cos \alpha }}\)\( = \frac{{3 + 4\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{\sqrt 2 - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}\)\( = \frac{{3 + 4\cot \alpha }}{{\sqrt 2 - \cot \alpha }}\)\( = \frac{{3 + 4.2}}{{\sqrt 2 - 2}}\)\( = \frac{{ - 18 - 9\sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra \(a = - 18;b = 9\). Do đó \(a + 2b = 0\).
Trả lời: 0.
Tính \(S = {\cos ^2}5^\circ + {\cos ^2}10^\circ + {\cos ^2}15^\circ + ... + {\cos ^2}80^\circ + {\cos ^2}85^\circ \).
\(S = {\cos ^2}5^\circ + {\cos ^2}10^\circ + {\cos ^2}15^\circ + ... + {\cos ^2}80^\circ + {\cos ^2}85^\circ \)
\( = {\cos ^2}5^\circ + {\cos ^2}10^\circ + {\cos ^2}15^\circ + ... + {\sin ^2}15^\circ + {\sin ^2}10^\circ + {\sin ^2}5^\circ \)
\[ = \left( {{{\cos }^2}5^\circ + {{\sin }^2}5^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}10^\circ + {{\sin }^2}10^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}15^\circ + {{\sin }^2}15^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}40^\circ + {{\sin }^2}40^\circ } \right) + {\cos ^2}45^\circ \]
\[ = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\]
\[ = 8 + \frac{1}{2} = 8,5\].
Trả lời: 8,5.
Cho tam giác \(ABC\). Giá trị biểu thức \(a = \sin \left( {A + B} \right)\sin C - \cos \left( {A + B} \right)\cos C\) là \(a \in \mathbb{N}\). Tính giá trị của \(2025a + 2026\).
\(a = \sin \left( {A + B} \right)\sin C - \cos \left( {A + B} \right)\cos C\)
\( = \sin \left( {180^\circ - C} \right)\sin C - \cos \left( {180^\circ - C} \right)\cos C\)
\( = \sin C.\sin C + \cos C.\cos C\)
\( = {\sin ^2}C + {\cos ^2}C = 1\).
Do đó a = 1. Do đó \(2025a + 2026 = 4051\).
Trả lời: 4051.
