Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 6 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2
25 câu hỏi
Hướng dẫn giải
Gọi số phần quà có thể chia được là \(x\) (phần quà) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Vì 300 thùng mì tôm, 240 thùng bánh mì và 420 lốc sữa được chia đều thành các phần quà nên ta có
\(300 \vdots x,\,\,240 \vdots x,\,\,420 \vdots x\).
Vì cần chia quà sao cho số phần quà nhận được là nhiều nhất nên \(x = \)ƯCLN\(\left( {300,\,\,240,\,\,420} \right)\).
Ta có: \(300 = {2^2} \cdot 3 \cdot {5^2};\,\,\,\,240 = {2^4} \cdot 3 \cdot 5;\,\,\,\,420 = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\).
Suy ra ƯCLN\(\left( {300,\,\,240,\,\,420} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 = 60\).
Vậy chia được nhiều nhất thành 60 phần quà.
Hướng dẫn giải
Gọi \(x\) (bông) là số bông hoa hồng mà bạn Lan có \(\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,400 \le x \le 500} \right)\).
Vì nếu Lan bó thành các bó gồm 8 bông, 12 bông hay 15 bông thì đều vừa hết nên ta có \(x\,\, \vdots \,\,8,\,\,x\,\, \vdots \,\,12,\,\,x\,\, \vdots \,\,15\).
Suy ra \(x \in \)BC\(\left( {8,\,\,12,\,\,15} \right)\).
Ta có: \(8 = {2^3};\,\,\,\,\,12 = {2^2} \cdot 3;\,\,\,\,\,15 = 3 \cdot 5.\)
Do đó BCNN\(\left( {8,\,\,12,\,\,15} \right) = {2^3} \cdot 3 \cdot 5 = 120\)
Nên BC\(\left( {8,\,\,12,\,\,15} \right) = \) B\(\left( {120} \right) = \left\{ {0;\,\,120;\,\,240;\,\,360;\,\,480;\,\,600;\,\,...} \right\}\).
Mà \(400 \le x \le 500\) nên \(x = 480.\)
Vậy bạn Lan có \(480\) bông hoa hồng.
Hướng dẫn giải
Gọi \(x\) (học sinh) là số học sinh của trường đó \(\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,200 \le x \le 300} \right)\).
Vì nếu xếp 35 hay 40 học sinh lên một ô tô thì đều thấy thừa ra 5 chỗ trống nên ta có \(\left( {x + 5} \right)\,\, \vdots \,\,35,\,\,\left( {x + 5} \right)\,\, \vdots \,\,40.\)
Suy ra \(x + 5 \in \)BC\(\left( {35,\,\,40} \right)\).
Ta có: \(35 = 5 \cdot 7\) và \(40 = {2^3} \cdot 5\).
Do đó BCNN\(\left( {35,\,\,40} \right) = {2^3} \cdot 5 \cdot 7 = 280\).
Nên BC\[\left( {35,\,\,40} \right) = \] B\(\left( {280} \right) = \left\{ {0;\,\,280;\,\,560;\,\,840;\,\,...} \right\}\).
Hay \(x + 5 \in \left\{ {0;\,\,280;\,\,560;\,\,840;\,\,...} \right\}\)
Suy ra \(x \in \left\{ { - 5;\,\,275;\,\,555;\,\,835;\,\,...} \right\}\)
Mà \(200 \le x \le 300\) nên \(x = 275.\)
Vậy trường có \(275\) học sinh.
Ba ô tô cùng khởi hành một lúc từ một bến. Thời gian cả đi lẫn về của xe thứ nhất là 40 phút, của xe thứ hai là 50 phút, của xe thứ ba là 30 phút. Khi trở về bến, mỗi xe đều nghỉ 10 phút rồi tiếp tục chạy. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì
a) Xe thứ nhất và xe thứ hai cùng rời bến?
b) Xe thứ hai và xe thứ ba cùng rời bến?
c) Cả ba xe cùng rời bến?
Hướng dẫn giải
a) Gọi \(x\) (phút) là khoảng thời gian ngắn nhất mà xe thứ nhất và xe thứ hai cùng rời bến lần tiếp theo \(\left( {x > 0} \right)\).
Khi đó, theo bài ta có \(x = \)BCNN\(\left( {40,\,\,50} \right)\).
Ta có: \(40 = {2^3} \cdot 5\) và \[50 = 2 \cdot {5^2}\].
Do đó BCNN\(\left( {40,\,\,50} \right) = {2^3} \cdot {5^2} = 200.\)
Suy ra \(x = 200\).
Vậy sau ít nhất 200 phút thì xe thứ nhất và xe thứ hai cùng rời bến.
b) Gọi \(x\) (phút) là khoảng thời gian ngắn nhất mà xe thứ hai và xe thứ ba cùng rời bến lần tiếp theo \(\left( {x > 0} \right)\).
Khi đó, theo bài ta có \(x = \)BCNN\(\left( {50,\,\,30} \right)\).
Ta có: \[50 = 2 \cdot {5^2}\] và \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\).
Do đó BCNN\(\left( {50,\,\,30} \right) = 2 \cdot 3 \cdot {5^2} = 150.\)
Suy ra \(x = 150\).
Vậy sau ít nhất 150 phút thì xe thứ hai và xe thứ ba cùng rời bến.
c) Gọi \(x\) (phút) là khoảng thời gian ngắn nhất mà cả ba xe cùng rời bến lần tiếp theo \(\left( {x > 0} \right)\).
Khi đó, theo bài ta có \(x = \)BCNN\(\left( {40,\,\,50,\,\,30} \right)\).
Ta có: \(40 = {2^3} \cdot 5\); \[50 = 2 \cdot {5^2}\] và \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\).
Do đó BCNN\(\left( {40,\,\,50,\,\,30} \right) = {2^3} \cdot 3 \cdot {5^2} = 600.\)
Suy ra \(x = 600\).
Vậy sau ít nhất 600 phút thì cả ba xe cùng rời bến.
Hướng dẫn giải
Gọi \(x\) (quyển) là số sách mà thư viện cần lưu trữ \(\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,100 \le x \le 150} \right)\).
Nếu xếp thành bó 10 quyển thì thừa 2 quyển nên ta có \[\left( {x - 2} \right)\,\, \vdots \,\,10\] suy ra \[\left( {x - 2 + 10} \right)\,\, \vdots \,\,10\] hay \[\left( {x + 8} \right)\,\, \vdots \,\,10\].
Nếu xếp thành bó 12 quyển thì thừa 4 quyển nên ta có \(\left( {x - 4} \right)\,\, \vdots \,\,12\) suy ra \[\left( {x - 4 + 12} \right)\,\, \vdots \,\,12\] hay \[\left( {x + 8} \right)\,\, \vdots \,\,12\].
Nếu xếp thành bó 15 quyển thì thừa 7 quyển nên ta có \(\left( {x - 7} \right)\,\, \vdots \,\,15\) suy ra \[\left( {x - 7 + 15} \right)\,\, \vdots \,\,15\] hay \[\left( {x + 8} \right)\,\, \vdots \,\,15\].
Do đó \[\left( {x + 8} \right) \in \]BC\(\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right)\).
Ta có: \(10 = 2 \cdot 5;\,\,\,\,\,12 = {2^2} \cdot 3;\,\,\,\,\,15 = 3 \cdot 5.\)
Suy ra BCNN\(\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 = 60\).
Nên BC\(\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right) = \)B\[\left( {60} \right) = \left\{ {0;\,\,60;\,\,120;\,\,180;\,\,240;\,\,300;\,\,...} \right\}\]
Hay \[\left( {x + 8} \right) \in \left\{ {0;\,\,60;\,\,120;\,\,180;\,\,240;\,\,300;\,\,...} \right\}\]
Khi đó \[x \in \left\{ { - 8;\,\,52;\,\,112;\,\,172;\,\,232;\,\,292;\,\,...} \right\}\]
Mà \(100 \le x \le 150\) nên \(x = 112.\)
Vậy thư viện có 112 quyển sách cần lưu trữ.
Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20 thì dư 5, khi xếp hàng 30 thì thiếu 15, nhưng khi xếp hàng 35 thì vừa đủ. Tính số người của đơn vị đó, biết rằng số người của đơn vị nhiều hơn \(800\) và chưa đến \(1\,\,000.\)
Hướng dẫn giải
Gọi \(x\) (người) là số bộ đội của đơn vị đó \(\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,800 < x < 1\,\,000} \right)\).
Vì nếu xếp hàng 20 thì dư 5 nên \(\left( {x - 5} \right)\,\, \vdots \,\,20\) suy ra \(\left( {x - 5 + 20} \right)\,\, \vdots \,\,20\) hay \(\left( {x + 15} \right)\,\, \vdots \,\,20\).
Vì nếu xếp hàng 30 thì thiếu 15 nên \(\left( {x + 15} \right)\,\, \vdots \,\,30\).
Suy ra \(x + 15 \in \)BC\(\left( {20,\,\,30} \right)\).
Ta có: \(20 = {2^2} \cdot 5\) và \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\).
Do đó BCNN\(\left( {20,\,\,30} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 = 60\).
Nên BC\(\left( {20,\,\,30} \right) = \) B\[\left( {60} \right) = \left\{ {0;\,\,60;\,\,...;\,\,780;\,\,840;\,\,900;\,\,960;\,\,1\,\,020;\,\,...} \right\}\].
Hay \(x + 15 \in \left\{ {0;\,\,60;\,\,...;\,\,780;\,\,840;\,\,900;\,\,960;\,\,1\,\,020;\,\,...} \right\}\)
Suy ra \(x \in \left\{ { - 15;\,\,45;\,\,...;\,\,765;\,\,825;\,\,885;\,\,945;\,\,1\,\,005;\,\,...} \right\}\)
Vì nếu xếp hàng 35 thì vừa đủ nên \(x\,\, \vdots \,\,35\), do đó
\(x \in \left\{ {0;\,\,35;\,\,...;\,\,805;\,\,840;\,\,875;\,\,910;\,\,945;\,\,980;\,\,1\,\,015;\,\,...} \right\}\)
Mà \(800 < x < 1\,\,000\) nên \(x = 945.\)
Vậy đơn vị đó có \(945\) người.
Khu vực đậu xe ô tô của một cửa hàng có dạng hình chữ nhật với chiều dài \(17{\rm{\;m}}\), chiều rộng \(10{\rm{\;m}}\). Trong đó, một nửa khu đất dành cho quay đầu xe, hai tam giác để trống và phần còn lại chia đều cho 5 chỗ đậu ô tô, mỗi ô tô đậu 1 chỗ (xem hình bên).
a) Tính diện tích chỗ đậu xe dành cho một ô tô.
b) Tính diện tích dành cho đậu xe và quay đầu xe.Hướng dẫn giải
a) Mỗi chỗ đậu xe có dạng là một hình bình hành với độ dài 1 cạnh là 3 m và chiều cao tương ứng là \(10:2 = 5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Vậy diện tích chỗ đậu xe dành cho một ô tô là: \(3 \cdot 5 = 15{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
b) Diện tích cho 5 chỗ đậu ô tô là: \(5 \cdot 15 = 75{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Diện tích phần quay đầu xe là: \(17 \cdot 5 = 85{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Diện tích dành cho đậu xe và quay đầu xe là: \(75 + 85 = 160{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Hình bên mô tả cửa xếp tự động. Mỗi khung Hình a được nối bởi các thanh inox có dạng hình thoi cạnh 30 cm.
b) Hỏi cửa xếp tự động ở Hình b cần bao nhiêu mét thanh inox để nối?
Hướng dẫn giải
a) Mỗi khung Hình a được nối bởi 2 hình thoi và thêm hai cạnh của 1 hình thoi cùng kích thước.
Như vậy, mỗi khung như Hình a cần số mét thanh inox để nối là: \(4 \cdot 30 + 2 \cdot 30 = 180{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
b) Ta thấy Hình b có 16 khung như Hình a nên cửa xếp tự động như Hình b cần số mét thanh inox để nối là: \[16 \cdot 180 = 2\,\,880{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Sân nhà bác Cường có dạng hình chữ nhật với chiều dài và chiều rộng lầng lượt là \[{\rm{6\;m}}\] và \(4{\rm{\;m}}\). Bác Cường muốn mở rộng sân sang hai bên như hình vẽ.
![Sân nhà bác Cường có dạng hình chữ nhật với chiều dài và chiều rộng lầng lượt là \[{\rm{6\;m}}\] và \(4{\rm{\;m}}\). Bác Cường muốn mở rộng sân sang hai bên như hình vẽ. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/15-1761292650.png)
a) Tính diện tích sân nhà bác Cường ban đầu.
b) Tính diện tích phần sân được mở rộng thêm (phần tô đậm).
c) Sau khi mở rộng sân, bác Cường muốn lát gạch lên toàn bộ phần sân nhà. Biết tiền gạch là \[140\,\,000\] đồng/m2. Tính tổng số tiền gạch bác Cường phải trả để lát hết sân nhà.
Hướng dẫn giải
a) Diện tích ban đầu của sân nhà bác Cường là: \(6 \cdot 4 = 24{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
b) Diện tích phần sân mở rộng là: \[2 \cdot \frac{{1 \cdot 4}}{2} = 4{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]
Số tiền bác Cường phải trả để lát hết sân mới là: \(\left( {24 + 4} \right) \cdot 140\,\,000 = 3\,\,920\,\,000\) (đồng).
Một hộp giấy đựng bỏng ngô gồm bốn mặt bên xung quanh và một mặt đáy. Biết mỗi mặt xung quanh của một hộp giấy đó có dạng là một hình thang cân có độ dài các cạnh đáy lần lượt là \(13{\rm{\;cm}}\) và \(10{\rm{\;cm}}\), chiều cao là \(20{\rm{\;cm,}}\) đáy hộp có dạng hình vuông cạnh là \(10{\rm{\;cm}}\).
b) Hỏi cần ít nhất bao nhiêu cen-ti-mét vuông giấy bìa để làm một chiếc hộp đựng bỏng ngô đó (không tính diện tích các mép dán)?
Hướng dẫn giải
a) Diện tích một mặt của hộp giấy là: \[\frac{{\left( {10 + 13} \right) \cdot 20}}{2} = 230{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]
b) Diện tích bốn mặt xung quanh của chiếc hộp là: \(230 \cdot 4 = 920{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Đáy hộp đựng bỏng ngô là hình vuông nên có diện tích là: \({10^2} = 100{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Diện tích giấy bìa ít nhất để làm được một chiếc hộp là: \(920 + 100 = 1\,\,020{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Một phòng học có nền nhà hình chữ nhật với chiều rộng là \(5\,\,{\rm{m}}\) và chiều dài hơn chiều rộng \(3\,\,{\rm{m}}\).
a) Tính diện tích nền phòng học đó.
b) Để lát nền phòng học trên, người ta dùng loại gạch men hình vuông có cạnh là \[40\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\] Nếu một viên gạch giá \[24{\rm{ }}000\] đồng và tiền công lát nền trả cho \(1\,\,{{\rm{m}}^2}\) là \[50{\rm{ }}000\] đồng thì số tiền phải trả cho tiền lát nền căn phòng là bao nhiêu? Biết rằng cửa hàng bán gạch men chỉ bán theo viên và bỏ qua những mép vữa không đáng kể.
Hướng dẫn giải
a) Diện tích nền phòng học đó là: \[5 \cdot 3 = 15{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}} = 150\,\,000{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]
b) Diện tích một viên gạch men hình vuông cạnh \(40\,\,{\rm{cm}}\) là: \({40^2} = 1\,\,600{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Số viên gạch cần dùng để lát nền căn phòng là: \(150\,\,000:1\,\,600 = 93,75\) (viên).
Do cửa hàng bán gạch men chỉ bán theo viên nên số viên gạch cần mua là: 94 viên.
Số tiền mua gạch men là: \(94 \cdot 24{\rm{ }}000 = 2{\rm{ 256 }}000\) (đồng).
Số tiền công lát nền là: \(15 \cdot 50{\rm{ }}000 = 750{\rm{ }}000\) (đồng).
Vậy tổng số tiền phải trả để lát nền căn phòng học đó là: \[2{\rm{ 256 }}000 + 750{\rm{ }}000 = 3{\rm{ }}006{\rm{ }}000\] (đồng).3.
Biểu đồ sau đây nói về độ lớn của một số âm thanh trong cuộc sống:
Đơn vị được dùng để đo cường độ âm thanh là decibel (dB). Các âm thanh từ 85 dB trở lên (gọi là tiếng ồn) mà tai chúng ta phải tiếp xúc kéo dài hoặc lặp lại nhiều lần có thể làm giảm khả năng nghe hoặc gây điếc. Dựa vào biểu đồ trên, em hãy nêu ra những âm thanh chúng ta nên tránh hoặc hạn chế tiếp xúc.
Hướng dẫn giải:
Những âm thanh từ 85 dB trở lên là: máy sấy tóc, nhạc rock, máy cưa, búa khoan. Vậy đó là những âm thanh chúng ta nên tránh hoặc hạn chế tiếp xúc.
Số lượng vé bán được với các hạng vé khác nhau của một buổi biểu diễn hòa nhạc được biểu diễn như biểu đồ sau:
a) Lập bảng thống kê biểu diễn số lượng vé bán được.
b) Tổng số vé bán được là bao nhiêu? Tổng số tiền bán vé thu được là bao nhiêu?
c) Nếu nhà hát có 2 500 ghế thì số vé bán được chiếm bao nhiêu phần trăm?
Hướng dẫn giải:
a) Bảng thống kê biểu diễn số lượng vé bán được như sau:
Hạng vé | Giá vé | Số vé bán được |
CAT1 | 100 000 đồng | 750 |
CAT2 | 150 000 đồng | 450 |
CAT3 | 200 000 đồng | 350 |
PLATINUM | 500 000 đồng | 150 |
VIP | 1 000 000 đồng | 100 |
b) Tổng số vé bán được là: \(750 + 450 + 350 + 150 + 100 = 1\,\,800\) (vé).
Số tiền bán vé CAT1 thu được là: \(100\,\,000 \cdot 750 = 75\,\,000\,\,000\) (đồng).
Số tiền bán vé CAT2 thu được là: \(150\,\,000 \cdot 450 = 67\,\,500\,\,000\) (đồng).
Số tiền bán vé CAT3 thu được là: \(200\,\,000 \cdot 350 = 70\,\,000\,\,000\) (đồng).
Số tiền bán vé PLATINUM thu được là: \(500\,\,000 \cdot 150 = 75\,\,000\,\,000\) (đồng).
Số tiền bán vé CAT3 thu được là: \(1\,\,000\,\,000 \cdot 100 = 100\,\,000\,\,000\) (đồng).
Tổng số tiền bán vé thu được là:
\[75\,\,000\,\,000 + 67\,\,500\,\,000 + 70\,\,000\,\,000 + 75\,\,000\,\,000 + 100\,\,000\,\,000 = 387\,\,500\,\,000\] (đồng).
c) Nếu nhà hát có 2 500 ghế thì số vé bán được chiếm số phần trăm là:
\(\frac{{1\,\,800}}{{2\,\,500}} \cdot 100\% = 72\% .\)
Một cuộc khảo sát phương tiện đi làm trong toàn thể nhân viên của một công ty cho thấy có 35 nhân viên đi xe bus, 5 nhân viên đi xe đạp, 20 nhân viên đi xe máy, 7 nhân viên đi ô tô, không có nhân viên nào sử dụng các phương tiện khác.
a) Lập bảng thống kê số lượng nhân viên sử dụng mỗi loại phương tiện đi làm.
b) Công ty có tất cả bao nhiêu nhân viên? Phương tiện nào được nhân viên sử dụng nhiều nhất?
c) Vẽ biểu đồ cột biểu thị số lượng nhân viên sử dụng mỗi loại phương tiện đi làm.
Hướng dẫn giải:
a) Bảng thống kê số lượng nhân viên sử dụng mỗi loại phương tiện đi làm như sau:
Phương tiện | Xe bus | Xe đạp | Xe máy | Ô tô |
Số nhân viên | 35 | 5 | 20 | 7 |
b) Số nhân viên của công ty là: \(35 + 5 + 20 + 7 = 67\) (nhân viên).
Ta thấy \(5 < 7 < 20 < 35\) nên xa bus là phương tiện được nhiều nhân viên sử dụng nhất.
c) Biểu đồ cột biểu thị số lượng nhân viên sử dụng mỗi loại phương tiện đi làm:
Biểu đồ dưới đây biểu diễn số học sinh giỏi hai môn Toán và Ngữ văn của các lớp 6A, 6B, 6C, 6D và 6E.
a) Số học sinh giỏi môn Toán của lớp nào nhiều nhất? Ít nhất?
b) Lớp nào có nhiều học sinh giỏi môn Ngữ Văn hơn môn Toán?
c) Bạn Nam nói lớp 6D có sĩ số là 34 học sinh. Theo em, bạn Nam nói đúng không? Vì sao?
Hướng dẫn giải:
a) Số học sinh giỏi môn Toán của lớp 6E nhiều nhất và của lớp 6A ít nhất.
b) Các lớp có số học sinh giỏi môn Ngữ Văn hơn môn Toán là 6B, 6D.
Lớp 6B có số học sinh giỏi môn Ngữ Văn hơn môn Toán là: \(13 - 10 = 3\) (học sinh).
Lớp 6D có số học sinh giỏi môn Ngữ Văn hơn môn Toán là: \(17 - 16 = 1\) (học sinh).
Vậy lớp 6B có nhiều học sinh giỏi môn Ngữ Văn hơn môn Toán.
c) Sĩ số của lớp 6D là: \(16 + 17 = 33\) (học sinh).
Vậy khẳng định của bạn Nam là sai.
Bảng thống kê dưới đây cho biết số huy chương vàng và tổng số huy chương của các quốc gia tham dự SEA GAMES 31.
Đoàn thể thao | Huy chương vàng | Tổng huy chương |
Brunei | 2 | 9 |
Campuchia | 81 | 281 |
Đông Timor | 0 | 8 |
Indonesia | 86 | 276 |
Lào | 6 | 88 |
Malaysia | 34 | 176 |
Myanmar | 21 | 114 |
Philippines | 58 | 260 |
Singapore | 51 | 157 |
Thái Lan | 108 | 312 |
Việt Nam | 136 | 355 |
a) Kể 3 tên quốc gia có số huy chương vàng nhiều nhất.
b) Vẽ biểu đồ cột kép biểu diễn số huy chương vàng và tổng số huy chương của các quốc gia tham dự SEA GAMES 31.
c) Việc xếp hạng chung cuộc căn cứ trên số huy chương vàng, nếu hai quốc gia có số huy chương vàng bằng nhau thì quốc gia nào đạt được nhiều huy chương bạc hơn sẽ được xếp trên, trường hợp số huy chương bạc vẫn bằng nhau thì việc xếp hạng sẽ dựa trên số huy chương đồng đạt được. Theo em, Việt Nam xếp thứ mấy chung cuộc?
d) Nếu xếp hạng theo tổng số huy chương đạt được thì Việt Nam đứng thứ mấy?
Hướng dẫn giải:
a) Ba quốc gia có số huy chương vàng nhiều nhất là: Việt Nam, Thái Lan, Indonesia.
b) Biểu đồ cột kép biểu diễn số huy chương vàng và tổng số huy chương của các quốc gia tham dự SEA GAMES 31:
c) Theo căn cứ đề bài cho, Việt Nam có nhiều huy chương vàng nhất nên Việt Nam xếp thứ nhất chung cuộc.
d) Nếu xếp hạng theo tổng số huy chương đạt được thì Việt Nam đứng thứ nhất, do Việt Nam có tổng số huy chương nhiều nhất.
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
a) \(A = 5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}.\)a) Ta có \(A = 5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}\) nên \(5A = 5 \cdot \left( {5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}} \right) = {5^2} + {5^3} + {5^4} + ... + {5^{101}}\).
Suy ra \(5A - A = \left( {{5^2} + {5^3} + {5^4} + ... + {5^{101}}} \right) - \left( {5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}} \right)\)
Do đó \(4A = {5^{101}} - 5\) nên \(A = \frac{{{5^{101}} - 5}}{4}.\)
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
b) \(B = 1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}\).
b) Ta có \(B = 1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}\) nên \({3^2} \cdot B = {3^2} \cdot \left( {1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}} \right) = {3^2} + {3^4} + {3^6} + ... + {3^{102}}\).
Suy ra \[{3^2}B - B = \left( {{3^2} + {3^4} + {3^6} + ... + {3^{102}}} \right) - \left( {1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}} \right)\]
Do đó \[8B = {3^{102}} - 1\] nên \[B = \frac{{{3^{102}} - 1}}{8}.\]
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
c) Ta có \[C = 2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... - {2^{100}}\] nên
\(2C = 2 \cdot \left( {2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... + {2^{99}} - {2^{100}}} \right) = {2^2} - {2^3} + {2^4} - {2^5} + ... + {2^{100}} - {2^{101}}\)
Suy ra \[2C + C = \left( {{2^2} - {2^3} + {2^4} - {2^5} + ... + {2^{100}} - {2^{101}}} \right) + \left( {2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... + {2^{99}} - {2^{100}}} \right)\]
Do đó \[3C = 2 - {2^{101}}\] nên \[C = \frac{{2 - {2^{101}}}}{3}.\]
d) \(D = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100\).
d) Ta có \(D = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100\) nên \(3D = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100 \cdot 3\)
Suy ra \(3D = 1 \cdot 2 \cdot \left( {3 - 0} \right) + 2 \cdot 3 \cdot \left( {4 - 1} \right) + ... + 99 \cdot 100 \cdot \left( {101 - 98} \right)\)
\[ = 1 \cdot 2 \cdot 3 - 1 \cdot 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \cdot 4 - 2 \cdot 3 \cdot 1 + ... + 99 \cdot 100 \cdot 101 - 99 \cdot 100 \cdot 98\]
\[ = \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 3 \cdot 1} \right) + \left( {2 \cdot 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4 \cdot 2} \right) + ... + \left( {98 \cdot 99 \cdot 100 - 99 \cdot 100 \cdot 98} \right) + \left( {99 \cdot 100 \cdot 101 - 1 \cdot 2 \cdot 0} \right)\]
\[ = 99 \cdot 100 \cdot 101 - 0 = 99 \cdot 100 \cdot 101\].
Do đó \(D = \frac{{99 \cdot 100 \cdot 101}}{3} = 33 \cdot 100 \cdot 101 = 333\,\,300\).
e) Ta có \(E = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100\) nên \(4E = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 4\)
Suy ra \(4E = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left( {5 - 1} \right) + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot \left( {101 - 97} \right)\)
\( = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 1 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101 - 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 97\)
\( = \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 1} \right) + \left( {2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 - 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 2} \right) + ...\left( {97 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100 - 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 97} \right) + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101\)
\( = 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101\)
Do đó \(E = \frac{{98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101}}{4} = 24\,\,497\,\,550.\)
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
f) \(F = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {99^2} + {100^2}.\)
f) \(F = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {99^2} + {100^2}\)
\( = 1 \cdot \left( {2 - 1} \right) + 2 \cdot \left( {3 - 1} \right) + 3 \cdot \left( {4 - 1} \right) + ... + 99 \cdot \left( {100 - 1} \right) + 100 \cdot \left( {101 - 1} \right)\)
\[ = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 1 + ... + 99 \cdot 100 - 99 \cdot 1 + 100 \cdot 101 - 100 \cdot 1\]
\[ = 1 \cdot 2 - 1 + 2 \cdot 3 - 2 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 - 99 + 100 \cdot 101 - 100\]
\[ = \left( {1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 + 100 \cdot 101} \right) - \left( {1 + 2 + ... + 99 + 100} \right)\]
\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot \left( {100 + 1} \right)}}{2}\] (tương tự câu d)
\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot 101}}{2}\]
\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot 2 - 100 \cdot 101 \cdot 3}}{6}\]
\( = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 201}}{6} = 338\,\,350.\)
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
g) \(G = 1 \cdot 99 + 2 \cdot 98 + 3 \cdot 97 + ... + 98 \cdot 2 + 99 \cdot 1\)
\( = 1 \cdot 99 + 2 \cdot \left( {99 - 1} \right) + 3 \cdot \left( {99 - 2} \right) + ... + 98 \cdot \left( {99 - 97} \right) + 99 \cdot \left( {99 - 98} \right)\)
\[ = 1 \cdot 99 + 2 \cdot 99 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 99 - 3 \cdot 2 + ... + 98 \cdot 99 - 98 \cdot 97 + 99 \cdot 99 - 99 \cdot 98\]
\[ = \left( {1 \cdot 99 + 2 \cdot 99 + 3 \cdot 99 + ... + 98 \cdot 99 + 99 \cdot 99} \right) - \left( {2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + ... + 98 \cdot 97 + 99 \cdot 98} \right)\]
\[ = 99 \cdot \left( {1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99} \right) - \frac{{98 \cdot 99 \cdot 100}}{3}\] (tương tự câu d)
\[ = 99 \cdot \frac{{99 \cdot \left( {99 + 1} \right)}}{2} - 98 \cdot 33 \cdot 100\]
\[ = 99 \cdot 99 \cdot 50 - 98 \cdot 33 \cdot 100 = 166\,\,650.\]
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
h) \(H = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + ... + 97 \cdot 99 + 98 \cdot 100\).
h) \(H = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + ... + 97 \cdot 99 + 98 \cdot 100\)
\( = 1 \cdot \left( {2 + 1} \right) + 2 \cdot \left( {3 + 1} \right) + 3 \cdot \left( {4 + 1} \right) + ... + 97 \cdot \left( {98 + 1} \right) + 98 \cdot \left( {99 + 1} \right)\)
\( = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + ... + 97 \cdot 98 + 97 \cdot 1 + 98 \cdot 99 + 98 \cdot 1\)
\[ = \left( {1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + ... + 97 \cdot 98 + 98 \cdot 99} \right) + \left( {1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98} \right)\]
\[ = \frac{{98 \cdot 99 \cdot 100}}{3} + \frac{{98 \cdot \left( {98 + 1} \right)}}{2}\] (tương tự câu d)
\[ = 98 \cdot 33 \cdot 100 + 49 \cdot 99 = 328\,\,251.\]
Cho \(A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{119}} + {2^{120}}.\) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức \(A\) chia hết cho cả \(3,\,\,5,\,\,7.\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
⦁ \[A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{119}} + {2^{120}}\]
\[ = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}} \right) + \left( {{2^5} + {2^6} + {2^7} + {2^8}} \right) + ... + \left( {{2^{117}} + {2^{118}} + {2^{119}} + {2^{120}}} \right)\] (30 nhóm)
\( = 2 \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + {2^5} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + ... + {2^{117}} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right)\)
\( = \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)\)
\( = 15 \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)\)
\( = 3 \cdot 5 \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)\)
Kết quả trên chia hết cho 3 và 5 nên \(A\,\, \vdots \,\,3,\,\,\,A\,\, \vdots \,\,5.\)
⦁ \(A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{119}} + {2^{120}} = \left( {2 + {2^2} + {2^3}} \right) + \left( {{2^4} + {2^5} + {2^6}} \right) + ... + \left( {{2^{118}} + {2^{119}} + {2^{120}}} \right)\) (40 nhóm)
\( = 2 \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + {2^4} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + ... + {2^{118}} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right)\)
\( = \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) \cdot \left( {2 + {2^4} + ... + {2^{118}}} \right)\)
\( = 7 \cdot \left( {2 + {2^4} + ... + {2^{118}}} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,7.\)
Do đó \(A\,\, \vdots \,\,7.\)
