Dạng 5. Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dưới dấu căn và những ý toán phụ.

Cho biểu thức $P=\frac{3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\frac{2\sqrt{x}-3}{3-\sqrt{x}}-\frac{3\left(3\sqrt{x}-5\right)}{x-2\sqrt{x}-3}$Tìm giá trị của P, biết $x=4+2\sqrt{3}$;

Cho biểu thức $P=\frac{3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\frac{2\sqrt{x}-3}{3-\sqrt{x}}-\frac{3\left(3\sqrt{x}-5\right)}{x-2\sqrt{x}-3}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Cho biểu thức $Q=\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}+2}{4-x}\right):\frac{3\sqrt{x}-x}{x+4\sqrt{x}+4}$Rút gọn Q;

Cho biểu thức $Q=\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}+2}{4-x}\right):\frac{3\sqrt{x}-x}{x+4\sqrt{x}+4}$Tìm x để Q = 2;

Cho biểu thức $Q=\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}+2}{4-x}\right):\frac{3\sqrt{x}-x}{x+4\sqrt{x}+4}$

Tìm các giá trị của x để Q có giá trị âm.

Cho biểu thức $B=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-3}-\frac{3}{\sqrt{a}+3}-\frac{a-2}{a-9}$ với $a\ge 0;a\ne 9$

Rút gọn B.

Cho biểu thức $B=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-3}-\frac{3}{\sqrt{a}+3}-\frac{a-2}{a-9}$ với $a\ge 0;a\ne 9$Tìm các số nguyên  để B nhận giá trị nguyên

Cho biểu thức $\text{P}=\left(\frac{\sqrt{x}-3}{2-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{3+\sqrt{x}}-\frac{9-x}{x+\sqrt{x}-6}\right):\left(1-\frac{3\sqrt{x}-9}{x-9}\right)$ (với $x>0;x\ne 4;x\ne 9$)

Rút gọn biểu thức P.

Cho biểu thức $\text{P}=\left(\frac{\sqrt{x}-3}{2-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{3+\sqrt{x}}-\frac{9-x}{x+\sqrt{x}-6}\right):\left(1-\frac{3\sqrt{x}-9}{x-9}\right)$ với $x>0;x\ne 4;x\ne 9$Tính giá trị biểu thức P khi $x=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}.(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}}$

Với x > 0, cho hai biểu thức $A=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ và $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}$

Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.

Với x > 0, cho hai biểu thức $A=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ và $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}$Rút gọn biểu thức B

Với x > 0, cho hai biểu thức $A=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ và $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}$Tìm x để $\frac{A}{B}>\frac{3}{2}$

Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-1}$ và $B=\frac{3\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$ với $x\ge 0;x\ne 1$Tính giá trị biểu thức A khi x = 9

Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-1}$ và $B=\frac{3\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$ với $x\ge 0;x\ne 1$Chứng minh $B=\frac{1}{\sqrt{x}-1}$

Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-1}$ và $B=\frac{3\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$ với $x\ge 0;x\ne 1$Tìm tất cả các giá trị của x để $\frac{A}{B}\ge \frac{x}{4}+5$

Cho biểu thức $A=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{x^2-\sqrt{x}}$( Với $x>0,x\ne 1$)Rút gọn biểu thức A.

Cho biểu thức $A=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{x^2-\sqrt{x}}$

( Với $x>0,x\ne 1$)Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên

Cho biểu thức $P=\left(1-\frac{1}{\sqrt{x}}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\right)$, (với x > 0 và $x\ne 1$).Rút gọn biểu thức .

Cho biểu thức $P=\left(1-\frac{1}{\sqrt{x}}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\right)$ (với x > 0 và $x\ne 1$).

Tính giá trị của biểu thức P tại $x=\sqrt{2022+4\sqrt{2018}}-\sqrt{2022-4\sqrt{2018}}$

Cho biểu thức $B=\left(\frac{6}{a-1}+\frac{10-2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-a-\sqrt{a}+1}\right).\frac{{(\sqrt{a}-1)}^2}{4\sqrt{a}}$ (với $a>0;a\ne 1$).

Rút gọn biểu thức B.

Cho biểu thức $B=\left(\frac{6}{a-1}+\frac{10-2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-a-\sqrt{a}+1}\right).\frac{{(\sqrt{a}-1)}^2}{4\sqrt{a}}$ (với $a>0;a\ne 1$).

Đặt $C=B.(a-\sqrt{a}+1)$. So sánh C và 1.

Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+1}{x+4\sqrt{x}+4}:\left(\frac{x}{x+2\sqrt{x}}+\frac{x}{\sqrt{x}+2}\right)$ , với x > 0Rút gọn biểu thức A.

Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+1}{x+4\sqrt{x}+4}:\left(\frac{x}{x+2\sqrt{x}}+\frac{x}{\sqrt{x}+2}\right)$, với x > 0Tìm tất cả các giá trị của A để $A\ge \frac{1}{3\sqrt{x}}$. 

Cho biểu thức $B=\left(\frac{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+3}{1-\sqrt{x}}\right).\frac{x-1}{2x+\sqrt{x}-1}$ (với $x\ge 0;x\ne 1$ và $x\ne \frac{1}{4}$).

Tìm tất cả các giá trị của x để B < 0.

Cho biểu thức $V=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right)\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}$ với $x>0,x\ne 0$Rút gọn biểu thức V.

Cho biểu thức $V=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right)\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}$ với $x>0,x\ne 0$

Tìm giá trị của x để $V=\frac{1}{3}$.

Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ và $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ với $x\ge 0,x\ne 25$Tính giá trị biểu thức A khi  x = 9.

Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ và $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ với $x\ge 0,x\ne 25$Chứng minh rằng $B=\frac{1}{\sqrt{x}-5}$.

Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ và $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ với $x\ge 0,x\ne 25$Tìm tất cả các giá trị của x để $A=B.\left|x-4\right|$.

Cho biểu thức $P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{-x+x\sqrt{x}+6}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ với $x\ge 0,x\ne 1$Rút gọn biểu thức P.

Cho biểu thức $Q=\frac{\left(x+27\right).P}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$ với $x\ge 0,x\ne 1,x\ne 4$. Chứng minh $Q\ge 6.$

Cho biểu thức $P=\left(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{1-a}{\sqrt{1-a^2}-1+a}\right)\left(\sqrt{\frac{1}{a^2}-1}-\frac{1}{a}\right)$với 0 < a < 1.

Chứng minh rằng P = –1

Tính giá trị biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ khi x = 9.

Cho biểu thức $P=\left(\frac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right).\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ với $x>0;x\ne 1$Chứng minh $P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$

Cho biểu thức $P=\left(\frac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right).\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ với $x>0;x\ne 1$Tìm giá trị của x để 2P = $2\sqrt{x}+5$

Cho hai biểu thức A = $\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}$ và B = $\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}\text{ (x>}0,\text{ x}\ne \text{1)}$

Rút gọn biểu thức A và B.

Cho hai biểu thức A = $\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}$ và B = $\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}\text{ (x>}0,\text{ x}\ne \text{1)}$

Tìm giá trị của x để $3A+B=0$

Cho biểu thức A = $\left(2\sqrt{3}-5\sqrt{27}+4\sqrt{12}\right):\sqrt{3}$                     B = $\frac{(2+\sqrt{3})\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

Rút gọn biểu thức A và B

Cho biểu thức        A = $\left(2\sqrt{3}-5\sqrt{27}+4\sqrt{12}\right):\sqrt{3}$

B = $\frac{(2+\sqrt{3})\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

Tìm x biết B - 3$\sqrt{2x-7}$ = A

Cho $x=\frac{15}{\sqrt{6}-1}-\frac{2}{\sqrt{6}+2}$;  $A=\frac{x}{\sqrt{x}-1}-\frac{2x-\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}$. với x > 0, x $\ne$1Tính giá trị của x và rút gọn A                     

Cho $x=\frac{15}{\sqrt{6}-1}-\frac{2}{\sqrt{6}+2}$;  $A=\frac{x}{\sqrt{x}-1}-\frac{2x-\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}$. với x > 0, x $\ne$1

Tính giá trị biểu thức B = ( A + 1)($\sqrt{3}-\sqrt{2}$) với giá trị của x tính được ở phần a.

Cho biểu thức $A=\frac{3}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-3}{x-1}$ với x ³ 0 và x ¹ 1.

Rút gọn biểu thức A.

Cho biểu thức $A=\frac{3}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-3}{x-1}$ với x ³ 0 và x ¹ 1.

Tính giá trị của A khi $x=3-2\sqrt{2}.$

Cho biểu thức $A=\left(\frac{\sqrt{x}+2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-2\sqrt{x}+1}\right):\frac{4x}{{\left(x-1\right)}^2}$

Rút gọn A.

Cho biểu thức $A=\left(\frac{\sqrt{x}+2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-2\sqrt{x}+1}\right):\frac{4x}{{\left(x-1\right)}^2}$Tính giá trị của A biết $\left|x-5\right|=4.$