Dạng 5: Bài nâng cao và phát triển tư duy có đáp án

Cho hình bình hành ABCD. Biết $AD=\frac{1}{2}AC$ và $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{DAC}$. Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: $S=M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một giao điểm bất kì trong tam giác. Vẽ $OD\perp AB,OE\perp BC$ và $OF\perp CA$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: $S=O{D}^2+O{E}^2+O{F}^2$

Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng: $S=M{N}^2+N{P}^2+P{Q}^2+Q{M}^2$

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = CE. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài DE.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh huyền BC lấy một điểm M. Vẽ $MD\perp AB,ME\perp AC$và $AH\perp BC$. Tính số đo của góc DHE.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AD. Vẽ $HE\perp AB,HF\perp AC$. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của HB và HC.

a) Chứng minh rằng: EM // FN // AD

b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì thì ba đường thẳng EM, FN, AD là ba đường thẳng song song cách đều.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Gọi M là trung điểm của BD. Chứng minh rằng tia HM là tia phân giác của góc AHC.

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 15, BC = 8. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác EFGH.

Cho góc xOy có số đo bằng $30°$. Điểm A cố định trên tia Ox sao cho OA = 2cm. Lấy điểm B bất kì trên tia Oy. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC = 2BBA. Hỏi khi điểm B di động trên tia Oy thì điểm C di động trên đường nào?

Cho góc xOy có số đo bằng $45°$. Điểm A cố định trên tia Ox sao cho $OA=3\sqrt{2}cm$. Lấy điểm B bất kì trên tia Oy. Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB. Hỏi khi điểm B di động trên tia Oy thì điểm G di động trên đường nào?