Dạng 5. Bài nâng cao phát triển tư duy có đáp án

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên nửa mặt phẳng không chứa Acó bờ là đường thẳng chứa cạnh BC, vẽ tia Bx // AC và tia Cy // AB. Gọi D là giao điểm của hai tia Bx và Cy. Chứng minh: tứ giác ACDB là hình thoi.

Cho $△$ABC cân tại B có đường cao BE. Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = EB. Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi.

Cho $\Delta ABC$ cân tại B. Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia phân giác của $\widehat{ABC}$  tại D. Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi.

Cho hình bình hành ABCD có $AD\perp AC$. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD . Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi.

Cho ABC nhọn , đường cao tại AD, BE. Tia phân giác của $\widehat{DAC}$ cắt BE, BC theo thứ tự ở I, K.Tia phân giác của $\widehat{EBC}$ cắt AD, AC theo thứ tự ở M, N. Chứng minh: MINK là hình thoi.

Cho hình thoi ABCD có $\widehat{B}>{90}^{\circ }$. Kẻ  $BE\perp AD$ tại E, $BF\perp DC$ tại F, $DG\perp AB$ tại G, tại G, BE cắt DG tại M, BF cắt DH tại N. Chứng minh các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của hình thoi ABCD.

Cho $△$ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy D sao cho CD = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt BC tại I. Chứng minh: $AI\perp MN$.

Cho hình bình hành ABCD có $\widehat{A}<{90}^{\circ }$và AD = 2.AB . Kẻ $CH\perp AB$ có $\widehat{A}<{90}^{\circ }$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh: $\widehat{BAD}=2.\widehat{AHM}$

Cho hình thoi ABCD . Trên AB, CD lấy E, F sao cho $AE=\frac{1}{3}AB$, $CF=\frac{1}{3}CD$. Gọi I là giao điểm của EF và DA, K là giao điểm của DE và BI. Chứng minh:

a) Tam giác BDI vuông.

b) BK = IK

Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tại O. Lấy E đối xứng với A qua B.  Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với  AC và BC; G là giao điểm của OE và BC; H là giao điểm của OK và CE. Chứng minh:  A, G, H thẳng hàng.

Cho hình thoi ABCD có AB = 25cm, AC + BD = 70cm. Tính AC, BD?

Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tạí O. Kẻ $OH\perp AB$. Biết AB = 4cm, OH = 1cm. Tính các góc của hình thoi?

Cho hình thang ABCD (AB // CD) . Gọi M, N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh: MNPQ là hình bình hành.

b) Hình thang ABCD thêm tính chất gì để MNPQ là hình thoi

Cho $△$ABC cân tại A, đường cao AD. M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Từ M vẽ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc AC tại F. Gọi I là trung điểm của AM.

a) Chứng minh $△$EID, $△$DIF cân.

b) Tam giác ABC cân thêm điều kiện gì để tứ giác DEIF là hình thoi?

c) Với điều kiện của $△$ABC ở câu b, gọi H là trực tâm của $△$ABC. Chứng minh EF, ID, MH đồng quy.