Dạng 4: Bài luyện tập nâng cao có đáp án

Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng qua I cắt các đường thẳng $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$ sao cho $D,E$ nằm cùng phía đối với điểm I. Chứng minh rằng: $\frac{BC}{ID}+\frac{AC}{IE}=\frac{AB}{IF}.$

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = AH. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Gọi M là trung điểm của BE, tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: $\frac{\text{BG}}{\text{BC}}=\frac{\text{HD}}{\text{AH}+\text{HC}}$.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC), N là trung điểm của AB. Biết AB=6cm, AC=8cm.Vẽ AK là tia phân giác của góc $\widehat{\text{BAC}}$ (K thuộc BC). Tính AK?

Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC), N là trung điểm của AB. Biết AB=6cm, AC=8cm. Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên AC và T là điểm đối xứng của N qua I với I là giao điểm của CN và HE. Chứng minh tứ giác NETH là hình bình hành.