Dạng 2. Sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai.

$\Delta$ song song với $y=-2x+5$  suy ra  $\left\{\begin{array}{l}m=-2\\ n\ne 5\end{array}\right.$

Phương trình hoành độ giao điểm của $\Delta$  và (P):  $-\frac{1}{2}{x}^2=-2x+n$

$\iff x^2-4x+2n=0$ (*)

Để $\Delta$  và (P) có một điểm chung duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì ${\Delta }^{\text{'}}=0\iff 4-2n=0\iff n=2$  (thỏa mãn)

HS tự vẽ đồ thị hàm số (d) và (P)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

$x^2=x+2\iff x^2-x-2=0\iff (x-2)(x+1)=0\iff x=2$ hoặc  $x=-1$

Với $x=2\Rightarrow y=4\Rightarrow B(2;4)$  (vì B có hoành độ dương)

Với $x=-1\Rightarrow y=1\Rightarrow A(-1;1)$  (vì A có hoành độ âm)

Vậy$A(-1;1)$ ;$B(2;4)$

Vẽ đồ thị: HS tự vẽ

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

$x^2=3x+m^2-1\iff x^2-3x-m^2+1=0(*)$

$\Delta =9+m^2-1=8+m^2>0\forall m$

Ta có:$\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)=1\iff x_1{x}_2+\left(x_1+x_1\right)=0$ (**)

Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*):$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3\\ x_1{x}_2=-m^2+1\end{array}\right.$

 $(**)\iff -m^2+1+3=0\iff m^2=4\iff m=\pm 2$

Vậy $m=\pm 2$ .

HS tự vẽ đồ thị hàm số.

Viết phương trình đường trung trực  của  , tìm giao điểm của và  ta tìm được giao điểm M.

Hoành độ các giao điểm $A,B$ của đường thẳng $\left(d\text{'}\right)$ và (P) là nghiệm của phương trình: $-x^2=-x-2\iff x^2-x-2=0$$\iff x=-1$ hoặc  x=2

+ Với $x=-1$ , thay vào (P) ta có:$y=-{(-1)}^2=-1$ , ta có:  $A(-1;-1)$

+ Với $x=2$ , thay vào (P) ta có: $y=-{\left(2\right)}^2=-4$ , ta có:$B(2;-4)$

Suy ra trung điểm của AB là:$I\left(\frac{1}{2};\frac{-5}{2}\right)$

Đường thẳng vuông góc với (d) có dạng:  $y=x+b$

Vì $\left(d\text{'}\right)$ đi qua I nên:$\frac{-5}{2}=\frac{1}{2}+b\iff b=-3$

Vậy $\left(d\text{'}\right):y=x-3$

Phương trình hoành độ của (d') và (P) là: $x^2+x-3=0$  $\iff x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}$

+ Với $x=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\Rightarrow y=\frac{-7-\sqrt{13}}{2}$

Thay $x=0;y=1$  vào phương trình đường thẳng (d) ta được:  $m=2$

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:  $x^2-x-(m-1)=0(*)$

Để (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt $\iff \Delta =4m-3>0\iff m>\frac{3}{4}$

Khi đó theo định lý Vi-ét ta có:$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1\\ x_1{x}_2=-(m-1)\end{array}\right.$

Theo đề bài:  $4\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)-x_1{x}_2+3=0$$\iff 4\left(\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}\right)-x_1{x}_2+3=0$$\iff \frac{4}{-m+1}+m+2=0$

 $\iff m^2+m-6=0$( Điều kiện:$m\ne 1$ )

$\iff m=-3$ (loại) hoặc $m=2$ (thỏa mãn).
Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là:

$-x^2=3mx-3\iff x^2+3mx-3=0(*)$

Ta có $\Delta =9m^2+12>0$, với mọi m nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Do đó, đường thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại hai điểm $\left(x_1;y_1\right)$ và $\left(x_2;y_2\right)$

Theo định lý Vi-ét ta có: $x_1+x_2=-3m;x_1\cdot x_2=-3$  

Theo bài ra ta có:$y_1+y_2=-10\iff -x_1^2-x_2^2=-10$

$\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=10$

$\iff 9m^2+6=10$

$\iff m=\pm \frac{2}{3}$

Vậy $m=\pm \frac{2}{3}$  là giá trị cần tìm.

Thay m=3 ta được  $\left(d\right):y=8x-7$

Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) khi m=3 là $x^2=8x-7\iff x^2-8x+7=0$

Giải phương trình ta được $x_1=1;x_2=7$ . Với $x_1=1\Rightarrow y_1=1$ ; $x_2=7\Rightarrow y_2=49$

Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là  $(1;1);(7;49)$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

$x^2-2(m+1)x+3m-2=0$ (1)

${\Delta }^{\text{'}}=m^2+2m+1-3m+2=m^2-m+3={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}>0\forall m$

Nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\forall m$  suy ra (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt $A,B$  với mọi m.

Ta có:  $x_1;x_2$là nghiệm phương trình (1) vì ${\Delta }^{\text{'}}>0\forall m$ . Theo Vi-et ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m+2\\ x_1{x}_2=3m-2\end{array}\right. \\ {x}_1^2+x_2^2=20\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=20\iff {(2m+2)}^2-2(3m-2)=20 \\ \iff 2m^2+m-6=0\iff (m-2)(2m+3)\iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=\frac{-3}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $m=2$  hoặc $m=\frac{-3}{2}$  là giá trị cần tìm.

Với  $m=-5 \left(d\right)$  có phương trình  $y=-4x+12$

Hoành độ giao điểm của (P) và  (d) là nghiệm phương trình:

$$\begin{gathered} x^2=-4x+12\iff x^2+4x-12=0\iff (x+6)(x-2)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-6\\ x=2\end{array}\right. \\ \begin{array}{l}+x=-6\Rightarrow y=36\\ +x=2\Rightarrow y=4\end{array} \end{gathered}$$

Vậy với $m=-5$ thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm  $(-6;36),(2;4)$

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình:

 $$\begin{gathered} x^2=2(m+3)x-2m+2\iff x^2-2(m+3)x-2m-2=0\left(1\right) \\ {\Delta }^{\text{'}}={(m+3)}^2-(2m-2)=m^2+4m+11={(m+2)}^2+6>0\forall m \end{gathered}$$

Do đó (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m suy ra (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt  $x_1;x_2$là hai nghiệm của phương trình (1), áp dụng định lý Viet ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2(m+3)\\ x_1{x}_2=2m-2\end{array}\right.$

Hai giao điểm đó có hoành độ dương khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2>0\\ x_1{x}_2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2(m+3)>0\\ 2m-2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>-3\\ m>1\end{array}\right.\iff m>1$

Vậy với $m>1$  thì  (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương.

Gọi điểm cố định mà đường thẳng  $\left(d\right)$đi qua với mọi m là $\left(x_0;y_0\right)$   ta có:

$$\begin{gathered} y_0=2(m+3)x_0-2m+2\forall m \\ \iff m\left(2x_0-2\right)+6x_0-y_0+2=0\forall m \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x_0-2=0\\ 6x_0-y_0+2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0=1\\ y_0=8\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với mọi m thì đường thẳng (d) luôn đi qua  $(1;8)$

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d):  $x^2-mx+3=0$

Có  $\Delta =m^2-12$

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2$  khi

$\Delta =m^2-12>0\iff m^2>12\iff \left[\begin{array}{l}m>2\sqrt{3}\\ m>-2\sqrt{3}\end{array}\right.$

Áp dụng hệ thức Vi – Ét ta có:$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1{x}_2=3\end{array}\right.$

Theo bài ra ta có

$$\begin{gathered} \left|x_1-x_2\right|=2\iff {\left(x_1-x_2\right)}^2=4\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=4 \\ \iff m^2-4.3=4\iff m^2=16\iff m=\pm 4 \end{gathered}$$

Vậy $m=\pm 4$  là giá trị cần tìm.

(P) đi qua điểm $B(2;-2)$  nên ta có:$-2=a{.2}^2\iff a=\frac{-1}{2}$

Vậy :$y=\frac{-1}{2}{x}^2$

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

$$\begin{gathered} \frac{-1}{2}{x}^2=mx+m-3\iff x^2+2mx+2m-6=0(*) \\ {\Delta }^{\text{'}}=m^2-(2m-6)=m^2-2m+6={(m-1)}^2+5>0\forall m \end{gathered}$$

Do đó, đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt C và D với mọi giá trị của m.

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:$\left\{\begin{array}{l}{x}_C+x_D=-2m\\ x_C{x}_D=2m-6\end{array}\right.$

Theo giả thiết 

$$\begin{gathered} x_C^2+x_D^2-2x_C{x}_D-20=0\iff {\left(x_C+x_D\right)}^2-4x_C{x}_D-20=0 \\ \iff {(-2m)}^2-4(2m-6)-20=0\iff 4m^2-8m+4=0 \end{gathered}$$

$\iff 4{(m-1)}^2=0\iff m=1$. Vậy với $m=1$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.