Dạng 2. Sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai.

HS tự vẽ.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):  12x2=14x+32

⇔x=2⇒y=2⇒A(2;2)x=−32⇒y=98⇒B−32;98 . Vậy T=x1+x2y1+y2=2+−322+98=425    

Phương trình hoành độ giao điểm x2=(2m−1)x−m+2⇔x2−(2m−1)x+m−2=0(*)

Ta có  Δ=(2m−1)2−4.1⋅(m−2)=4m2−8m+9=4(m−1)2+5≥5>0

Vậy Parabol luông cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt.

Vì là nghiệm của phương trình nên theo hệ thức Vi-et ta có: x1+x2=2m−1x1x2=m−2.

Mặt khác y1=x12y2=x22.

Ta có x1y1+x2y2=0⇔x13+x23=0⇔x1+x2x12−x1x2+x22=0

⇔x1+x2=0x12−x1x2+x22=0⇔2m−1=0x1+x22−3x1x2=0⇔m=124m2−7m+7=0 (vn)

Vậy m=12.

Phương trình hoành độ (d)  và (P) là   x2+2ax+4a=0

Khi a=−12 thì phương trình trở thành  x2−x−2=0

Có  a−b+c=0nên phương trình có 2 nghiệm là x=−1; x=2.

Phương trình hoành độ (d) và  (P) là  x2+2ax+4a=0 (*)

để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt

⇔Δ'=a(a−4)>0⇒a<0a>4 

Với a<0a>4 theo Viét ta có   x1+x2=−2ax1x2=4a

Vì x1+x2=3⇔x1+x22=9⇔x1+x22−2x1x2+2x1x2=9⇒4a2−8a+|8a|=9

Với a<0:4a2−8a+|8a|=9⇔4a2−16a−9=0⇒a=−12

Với a>4:4a2−8a+|8a|=9⇔4a2=9⇒a=32∉dka=−32∉dk

Vậy a=−12.

Phương trình hoành độ giao điểm của y=x2 và y=mx+4 là  x2−mx−4=0(1)

Thay  m=3 vào phương trình (1) ta có:x2−3x−4=0  

Ta có:  a−b+c=1−(−3)+(−4)=0

Vậy phương trình x2−3x−4=0có hai nghiệm  x=−1x=4

Với  x=−1⇒y=1⇒A(−1;1)

Với  x=4⇒y=16⇒B(4;16)

Vậy với m=3 thì hai đồ thị hàm số giao nhau tại 2 điểm A(−1;1)và B(4;16).

Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình (1)

Phương trình (1) có:  Δ=m2−4⋅(−4)=m2+16>0∀m∈ℝ

Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt  x1;x2

Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A1x1;y1 và A2x2;y2với mọi m

Theo hệ thức Vi-et ta có:  x1+x2=mx1⋅x2=−4

Ta lại có:  y1=x12y2=x22

Theo đề, ta có: y12+y22=72

⇒x122+x222=49⇔x1+x22−2x1x22−2x1x22=49⇔m2−2.(−4)2−2−42=49

⇔(m2+8)2=81⇔m2+8=9⇔m=±1

  (trường hợp  m2+8=−9 vô nghiệm vì m2≥0 )

Vậy với m=1;m=−1 thì y12+y22=72.

HS tự vẽ đồ thị hàm số.

Δ song song với y=−2x+5 suy ra  m=−2n≠5

Phương trình hoành độ giao điểm của Δ và (P):  −12x2=−2x+n

⇔x2−4x+2n=0 (*)

Để Δ và (P) có một điểm chung duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì Δ'=0⇔4−2n=0⇔n=2 (thỏa mãn)

Vậy m=−2;n=2.

HS tự vẽ đồ thị hàm số (d) và (P)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

x2=x+2⇔x2−x−2=0⇔(x−2)(x+1)=0⇔x=2 hoặc  x=−1

Với x=2⇒y=4⇒B(2;4) (vì B có hoành độ dương)

Với x=−1⇒y=1⇒A(−1;1) (vì A có hoành độ âm)

VậyA(−1;1);B(2;4)

Vẽ đồ thị: HS tự vẽ

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:12x2=x+4⇔x2−2x−8=0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:  x=4;x=−2

Với x=−2 ta có y=2⇒A(−2;2)

Với x=4 ta có y=8⇒B(4;8) 

Gọi M(m;0) thuộc tia Ox(m>0) Gọi  C(−2;0),D(4;0)

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: M thuộc đoạn OD: Ta có SAMB=SABDC−SACM−SBDM

Có  là hình thang, AC=2cm,BD=8cm,CD=6cm 

⇒SABDC=(2+8)⋅62=30cm2

Suy ra SAMB<30 cm² (loại)

Trường hợp 2: M thuộc tia Dx  (M≠D)⇒m>4

Ta có :SAMB=SABDC−SACM+SBDM

Có SABCD=30cm2,MC=m+2(cm),MD=m−4(cm)

Suy ra

 SACM=12AC.CM=12.2.(m+2)=m+2(cm2)

SBDM=12BD.DM=12.8.(m−4)=4(m−4)(cm2)

⇒SAMB=30cm2⇔SACM=SBDM⇔m+2=4(m−4)⇔m=6

m = 6 (thỏa mãn). Vậy M(6;0) là điểm cần tìm.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

x2=3x+m2−1⇔x2−3x−m2+1=0(*)

Δ=9+m2−1=8+m2>0∀m

Suy ra phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m hay (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Ta có:x1+1x2+1=1⇔x1x2+x1+x1=0 (**)

Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*):x1+x2=3x1x2=−m2+1

 (**)⇔−m2+1+3=0⇔m2=4⇔m=±2

Vậy m=±2.

HS tự vẽ đồ thị hàm số.

Viết phương trình đường trung trực  của , tìm giao điểm của và  ta tìm được giao điểm M.

Hoành độ các giao điểm A,B của đường thẳng d' và (P) là nghiệm của phương trình: −x2=−x−2⇔x2−x−2=0⇔x=−1 hoặc  x=2

+ Với x=−1 , thay vào (P) ta có:y=−(−1)2=−1 , ta có:  A(−1;−1)

+ Với x=2, thay vào (P) ta có: y=−(2)2=−4 , ta có:B(2;−4)

Suy ra trung điểm của AB là:I12;−52

Đường thẳng vuông góc với (d) có dạng:  y=x+b

Vì d' đi qua I nên:−52=12+b⇔b=−3

Vậy d':y=x−3

Phương trình hoành độ của (d') và (P) là: x2+x−3=0 ⇔x=−1±132

+ Với x=−1−132⇒y=−7−132

+ Với x=−1+132⇒y=−7+132

Vậy có hai điểm M cần tìm là:−1−132;−7−132và −1+132;−7+132.

Thay x=0;y=1 vào phương trình đường thẳng (d) ta được:  m=2

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:  x2−x−(m−1)=0(*)

Để (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt ⇔Δ=4m−3>0⇔m>34

Khi đó theo định lý Vi-ét ta có:x1+x2=1x1x2=−(m−1)

Theo đề bài:  41x1+1x2−x1x2+3=0⇔4x1+x2x1.x2−x1x2+3=0⇔4−m+1+m+2=0

 ⇔m2+m−6=0( Điều kiện:m≠1 )

⇔m=−3 (loại) hoặc m=2(thỏa mãn).
Vậy m=2 là giá trị cần tìm.

Đường thẳng (d) đi qua A(1;3) nên  3=3m⋅1−3⇔m=2

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là:

−x2=3mx−3⇔x2+3mx−3=0(*)

Ta có Δ=9m2+12>0, với mọi m nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Do đó, đường thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại hai điểm x1;y1và x2;y2

Theo định lý Vi-ét ta có: x1+x2=−3m;x1⋅x2=−3 

Theo bài ra ta có:y1+y2=−10⇔−x12−x22=−10

⇔x1+x22−2x1x2=10

⇔9m2+6=10

⇔m=±23

Vậy m=±23 là giá trị cần tìm.

Thay m=3 ta được  (d):y=8x−7

Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) khi m=3 là x2=8x−7⇔x2−8x+7=0

Giải phương trình ta được x1=1;x2=7. Với x1=1⇒y1=1; x2=7⇒y2=49

Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là  (1;1);(7;49)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x2−2(m+1)x+3m−2=0 (1)

Δ'=m2+2m+1−3m+2=m2−m+3=m−122+114>0∀m

Nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∀m suy ra (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A,B với mọi m.

Ta có:  x1;x2là nghiệm phương trình (1) vì Δ'>0∀m. Theo Vi-et ta có:

x1+x2=2m+2x1x2=3m−2x12+x22=20⇔x1+x22−2x1x2=20⇔(2m+2)2−2(3m−2)=20⇔2m2+m−6=0⇔(m−2)(2m+3)⇔m=2m=−32

Vậy m=2 hoặc m=−32 là giá trị cần tìm.

Với  m=−5 (d) có phương trình  y=−4x+12

Hoành độ giao điểm của (P) và  (d) là nghiệm phương trình:

x2=−4x+12⇔x2+4x−12=0⇔(x+6)(x−2)=0⇔x=−6x=2+x=−6⇒y=36+x=2⇒y=4

Vậy với m=−5thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm  (−6;36),(2;4)

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình:

 x2=2(m+3)x−2m+2⇔x2−2(m+3)x−2m−2=0(1)Δ'=(m+3)2−(2m−2)=m2+4m+11=(m+2)2+6>0∀m

Do đó (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m suy ra (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt  x1;x2 là hai nghiệm của phương trình (1), áp dụng định lý Viet ta có:

x1+x2=2(m+3)x1x2=2m−2

Hai giao điểm đó có hoành độ dương khi và chỉ khi

x1+x2>0x1x2>0⇔2(m+3)>02m−2>0⇔m>−3m>1⇔m>1

Vậy với m>1 thì  (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương.

Gọi điểm cố định mà đường thẳng  (d)đi qua với mọi m là x0;y0  ta có:

y0=2(m+3)x0−2m+2 ∀m⇔m2x0−2+6x0−y0+2=0 ∀m⇔2x0−2=06x0−y0+2=0⇔x0=1y0=8

Vậy với mọi m thì đường thẳng (d) luôn đi qua  (1;8)

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;0) nên có 0=m⋅1−3⇔m=3.

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d):  x2−mx+3=0

Có  Δ=m2−12

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1,x2 khi

Δ=m2−12>0⇔m2>12⇔m>23m>−23

Áp dụng hệ thức Vi – Ét ta có:x1+x2=mx1x2=3

Theo bài ra ta có

x1−x2=2⇔x1−x22=4⇔x1+x22−4x1x2=4⇔m2−4.3=4⇔m2=16⇔m=±4

Vậy m=±4 là giá trị cần tìm.

(P) đi qua điểm B(2;−2) nên ta có:−2=a.22⇔a=−12

Vậy :y=−12x2

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

−12x2=mx+m−3⇔x2+2mx+2m−6=0 (*)Δ'=m2−(2m−6)=m2−2m+6=(m−1)2+5>0 ∀m

Do đó, đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt C và D với mọi giá trị của m.

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:xC+xD=−2mxCxD=2m−6

Theo giả thiết 

xC2+xD2−2xCxD−20=0⇔xC+xD2−4xCxD−20=0⇔(−2m)2−4(2m−6)−20=0⇔4m2−8m+4=0

⇔4(m−1)2=0⇔m=1. Vậy với m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.