Dạng 2: Lợi dụng các đường đồng quy trong tam giác: đồng quy tại trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có đáp án
43 câu hỏi
Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tuyến CBA . Gọi IJ là đường kính vuông góc với AB. Các đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường tròn (O) tại M, N. Chứng minh rằng IN, JM, AB đồng quy tại một điểm D.
D thuộc đường tròn đường kính IJ nên JMI^=90° hay JM⊥CI
Tương tự IN⊥CJ
Tam giác CIJcó 3 đường cao CA, JM, INđồng quy tại D.
Vậy IN, JM, AB đồng quy tại một điểm D.
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S.Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
Ta có CAB^ = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp.
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
ABCD là tứ giác nội tiếp => D1^= C3^( nội tiếp cùng chắn cung AB).
D1^= C3^=> SM⏜=EM⏜=> C2^= C3^ (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung bằng nhau) => CA là tia phân giác của góc SCB.
TH2(Hình b)
ABC^ = CME^ (cùng phụ ACB );ABC^ = CDS^ (cùng bù ADC ) => CME ^= CDS^
=> CE⏜=CS⏜⇒SM⏜=EM⏜=>SCM^ = ECM^ => CA là tia phân giác của góc SCB.
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.
Xét DCMB Ta có BA^CM; CD ^ BM; ME ^ BC như vậy BA, EM, CD là ba đường cao của tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy.
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
Theo trên Ta có SM⏜=EM⏜=> D1^= D2^ => DM là tia phân giác của góc ADE.(1)
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
Ta có MEC^ = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) =>MEB^ = 900 .
Tứ giác AMEB có MAB^ = 900; MEB ^= 900=> MAB ^+ MEB ^= 1800mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn => A2^= B2^.
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => A1^= B2^ ( nội tiếp cùng chắn cung CD)
=> A^1= A2^ => AM là tia phân giác của góc DAE (2)
Từ (1) và (2) ta có M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp.
BCA ^= BDA^=900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ….
=> MCI^ + IDM^ = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MCID nên MCID là tứ giác nội tiếp.
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I.
AD, MC, MH là ba đường cao của tam giác BAM nên đồng quy tại I.
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội
Chỉ ra KCI là tam giác cân, từ đó
CIK^=HIB^=CAB^=ACO^
ACO^+OCI^=KCI^+OCI^=900. Từ đó chỉ ra OCK^ = 900…. (tự chứng minh)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O;R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A. Chứng minh rằng ΔABTΔ BDT.
Xét tam giác ABT và tam giác BDT có:
BTD chung
BAT^=TBD^ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BD).
=>ΔABTΔ BDT. (g-g)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O;R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A. Chứng minh rằng : AB.CD = BD.AC
Có ΔABTΔ BDT.(g-g)
=>ABBD=ATBT (1)
Chứng minh được ΔACT ΔCDT(g-g)
=>ACCD=ATCT (2)
Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại T nên BT = CT (3)
Từ (1), (2), (3) có ABBD=ACCD=>AB.CD=BD.AC
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O;R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A. Chứng minh rằng hai đường phân giác góc BAC; BDC và đường thẳng BC đồng quy tại một điểm
Phân giác góc BAC cắt BC tại I, theo tính chất phân giác trong tam giác ta có:
Từ AB.CD = BD.AC
=> DI là phân giác góc BDC
Do đó hai đường phân giác góc BAC và BDC và đường thẳng BC đồng quy.
Cho nửa đường tròn ( O) đường kính AB. Vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By. Lấy M trên đường tròn sao cho AM < BM. AM cắt By tại F, BM cắt Ax tại E. Chứng minh: AB2= AE.BF
Ta có = 90º (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)AMBE
Xét ∆EAB và ∆ABF có:
EAB^=ABF^ ; AEB^=FAB^ (cùng phụ với )
Suy ra ∆EAB ~ ∆ABF ( g.g)
⇒ABBF=AEAB⇔AB2 = AE. BF
Cho nửa đường tròn ( O) đường kính AB. Vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By. Lấy M trên đường tròn sao cho AM < BM. AM cắt By tại F, BM cắt Ax tại E. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AE, BF tại C và D. Chứng minh C và D là trung điểm của AE và BF.
CA = CM và CO là tia phân giác của ACM
∆AMC cân tại C và CO là đường cao COAM
Do đó trong ∆ABE có OA=OB, OC//BE nên CA=CE.
Cho nửa đường tròn ( O) đường kính AB. Vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By. Lấy M trên đường tròn sao cho AM < BM. AM cắt By tại F, BM cắt Ax tại E. Chứng minh các đường thẳng AB, CD, EF đồng quy.
Gọi giao điểm của AB và EF là S. Ta sẽ chứng minh S, C, D thằng hàng.
Giả sử SC cắt BF tại D’. Vì AE // BF nên theo định lí Ta-let, có:
D’ là trung điểm của BF
D trùng với D’ hay S, C, D thẳng hàng.
Vậy ba đường thẳng AB, EF, CD đồng quy tại S.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). H là trực tâm của tam giác ABC. Vẽ đường kính AD của đường tròn (O); vẽ OM⊥BCtại M. Chứng minh rằng OM=12AH
HB⊥AC ( H là trực tâm của ΔABC)
AD là đường kính nên ACD^=900 BH⊥AC,DC⊥AC⇒BH∥DC
CH∥DBChứng minh tương tự có:
Do đó tứ giác BHCD là hình bình hành
Ta có:O'A⊥BC
⇒M là trung điểm củaOM là đường trung bình của ΔAHDnên OM=12AH
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). H là trực tâm của tam giác ABC. Vẽ đường kính AD của đường tròn (O) ; vẽ OM⊥BCtại M. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng H,G,O thẳng hàng và HG=2GO.
ΔABC có AM là đường trung tuyến,G thuộc đoạn thẳng AM và AG=23AMnên G là trọng tâm của tam giác AHD .HO là đường trung tuyến nên đi qua G và HG=2GO
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). H là trực tâm của tam giác ABC. Vẽ đường kính AD của đường tròn (O) ; vẽ OM⊥BCtại M.Gọi B',C' lần lượt là trung điểm của các cạnh CA,AB . Đường thẳng d1 qua M song song với OA, đường thẳng d2qua B' song song với OB, đường thẳng d3 qua C' song song với OC .Chứng minh rằng các đường thẳng d1,d2,d3 đồng qui.
Gọi N là giao điểm của d1với AH
ΔHAD có MN∥AD, M là trung điểm của HD
⇒N là trung điểm của AH
Ta có:NH=OM(=12AH),NH∥OM
Do đó HNOM là hình bình hành.
⇒d1 đi qua trung điểm I của OH
Chứng minh tương tự có d2,d3đi qua I
Vậy các đường thẳng d1,d2,d3 đồng quy
Trên các cạnh AB,BC của tam giác ABC dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ACA1A2và BCB1B2. Chứng minh rằng các đường thẳng AB1,A1B,A2B2 đồng quy
Trường hợp 1:C^=900. Rõ ràng AB1,A1B,A2B2 đồng quy tại C.
Trường hợp 2:C^≠900
Các đường tròn ngoại tiếp hình vuông ACA1A2và BCB1B2
Có điểm chung c sẽ cắt nhau tại M (khác )
Ta có: AMA2^=450 (góc nội tiếp chắn cung một phần tư đường tròn)
A2MC^=A2AC^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Tương tự:CMB1^=450
Vì tia MA2nằm giữa hai tia MA và MC,tia MC nằm giữa hai tia MB và MA2
nên AMA2^+A2MC^+CMB1^=450+900+450=1800
hay A,M,B thẳng hàng.
Chứng minh tương tự A1,M,B và A2,M,B2thẳng hàng
Vậy AB1,A1Bvà A2B2 cùng đi qua M
Hay AB1,A1B và A2B2 đồng quy.
Cho đường tròn (O;R) , đường kính BC, A là điểm trên đường tròn ( khác và ). Kẻ AH vuông góc với BC (Hthuộc BC). Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB,AC và đường tròn (O) tại D,E,F. Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp
Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp:
Ta có: ADH^=AEH^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta lại có:ADE^=AHE^ (góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
AHE^=ACB^ (cùng phụ với EHC )
Vậy tứ giác BDEC nội tiếp (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện)
Cho đường tròn (O;R), đường kính BC, A là điểm trên đường tròn ( A khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB,AC và đường tròn (O) tại D,E,F. Chứng minh OA vuông góc với DE
Chứng minh :OA⊥DE
Ta có:ΔOAB cân tại O (OA=OB=R)
⇒OAB^=OBA^. Mà OBA^+ACB^=90° ( ΔABC vuông tại A)
AHE^=ACB^
⇒OAB^+ADE^=90° hay OA⊥DE
Cho đường tròn (O;R), đường kính BC, A là điểm trên đường tròn ( A khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB,AC và đường tròn (O) tại D,E,F. Chứng minh các đường thẳng AF,DE,BC đồng quy
Chứng minh các đường thẳng AF,DE,BC đồng quy:
Gọi S là giao điểm của AF và BC
ΔSAO có:AH⊥BC (gt)
OI⊥AS (tính chất đường nối tâm của 2 đtr cắt nhau)
⇒SI⊥OA (đường cao thứ ba trong )
Mà OA⊥DE (câu b)
⇒S,D,I,E thẳng hàng hay đường thẳng qua .
Vậy các đường thẳng AF,DE,BC đồng quy
Cho đường tròn (O;R), đường kính BC, A là điểm trên đường tròn ( A khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB,AC và đường tròn (O) tại D,E,F. Cho biết sđ AB⏜=60°. Tính theo R diện tích tứ giác BDEC
Tính theo R diện tích tứ giác BDEC:
Ta có: ΔABCvuông tại A,ACB^=sdAB⏜2=60°2=30°
AB=BC.sin30°=2R.12=R; AC=BC.cos30°=2R.32=R3
AH.BC=AB.AC⇒AH=AB.ACBC=R.R32R=R32
Ta lại có: ΔADE đồng dạng ΔACB
⇒SACBSADE=BCDE2=BCAH2=2RR32=4RR32=163
⇒SACB16=SADE3=SACB−SADE16−3=SBDEC13⇒SBDEC=13.SACB16=1316⋅AB.AC2=1316⋅R.R32=13R2332
Cho tam giác ABC vuông tại A, I là một điểm trên cạnh AC. Đường tròn đường kính IC cắt BC ở E và cắt BI ở D.Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn
Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.
Ta có
BDC^=90°(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
CAB^=90°( tam giác vuông tại A).
Mặt khác hai đỉnh D,A cùng nhìn BC dưới một góc 90°.
Vậy tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.
Cho tam giác vuông tại ABC, A,I là một điểm trên cạnh AC. Đường tròn đường kính IC cắt BC ở E và cắt BI ở D. Chứng minh DB là phân giác của góc ADE.
Chứng minh DB là phân giác của góc ADE.
Do tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.
Nên ADB^=ACB^ (cùng chắn cung AB).
IDE^=ACB^ (cùng chắn cung IE của đường tròn đường kính IC).
⇒ADB^=BDE^.
Vậy DB là phân giác của góc ADE.
Cho tam giác ABC vuông tại A,I là một điểm trên cạnh AC. Đường tròn đường kính IC cắt BC ở E và cắt BI ở D. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Chứng minh được tứ giác ANEI nội tiếp được trong đường tròn.
⇒CAE^=CBD^ (cùng chắn cung IE).
Mặt khác vì tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.
Nên CAD^=CBD^ (cùng chắn cung CD).
⇒CAE^=CAD^ ⇒AC là phân giác của góc DAE.
Mà DB cắt AC tại I. Do đó I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Cho tam giác ABC vuông tại A,I là một điểm trên cạnh AC. Đường tròn đường kính IC cắt BC ở E và cắt BI ở D. Chứng minh AB,CD,EI đồng qui.
Chứng minh AB,CD,EI đồng qui.
Gọi K là giao điểm của AB và CD.
Ta có BDC^=90°(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒BD⊥KC.
CAB^=90° ( tam giác ABC vuông tại A) ⇒CA⊥KB.
ΔCKB có BD và CA là hai đường cao cắt nhau tại I nên I là trực tâm của ΔCKB
⇒KE là đường cao của ΔCKB⇒KE⊥BC(1).
Mặt khác IEC^=90°(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)⇒IE⊥CE⇒IE⊥BC(2) .
Từ (1),(2) suy ra E,I,K thẳng hàng.
Vậy AB,CD,EI đồng qui tại K.
Cho tam giác ABC vuông tại A.Trên cạnh AC lấy điểm M không trùng với A và C.Vẽ đường tròn đường kính MC, cắt cạnh BC tại D.Các đường thẳng BM và AD lần lượt cắt đường tròn tại các điểm E,F. Chứng minh rằng:ΔABC∽ΔDMC. Suy ra AB.MC=BC.DM
Vì BAC^=MDC^=90°và BCA^ chung nên ΔABC∽ΔDMC.
Do đó ABDM=BCMC⇒AB.MC=BC.DM.
Cho tam giác ABC vuông tại A.Trên cạnh AC lấy điểm M không trùng với A và C.Vẽ đường tròn đường kính MC, cắt cạnh BC tại D.Các đường thẳng BM và AD lần lượt cắt đường tròn tại các điểm E,F. Chứng minh rằng: Các tứ giác ABDM và AECB nội tiếp
Vì BAM^+MDB^=180° nên tứ giác AMBD nội tiếp.
Vì BAC^=BEC^=90° nên tứ giác AECB nội tiếp
Cho tam giác ABC vuông tại A.Trên cạnh AC lấy điểm M không trùng với A và C.Vẽ đường tròn đường kính MC, cắt cạnh BC tại M.Các đường thẳng BM và AD lần lượt cắt đường tròn tại các điểm E,F. Chứng minh rằng:AB//EF
Ta có:ABM^=ADM^ ( cùng chắn AM⏜)
MEF^=ADM^ ( cùng chắn MF⏜)
Suy ra ABM^=MEF^ ⇒AB//EF.
Cho tam giác ABC vuông tại A.Trên cạnh AC lấy điểm M không trùng với A và C.Vẽ đường tròn đường kính MC, cắt cạnh BC tại M.Các đường thẳng BM và AD lần lượt cắt đường tròn tại các điểm E,F. Chứng minh rằng: Các đường thẳng AB,CE,MD đồng quy.
Giả sử AB cắt EC tại I. Ta có CA,BE là đường cao của tam giác BIC.
⇒M là trực tâm của ΔBIC ⇒ IM⊥ BC.
Mà MD⊥BC ⇒ I, M, D thẳng hàng. Vậy AB,EC,MD đồng quy tại M.
Hai đường tròn O;R và O';r tiếp xúc ngoài tại CR>r gọi AC và BC là hai đường kính đi qua C của đường tròn (O) và (O'). DE là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Tia DC cắt đường tròn (O') tại điểm thứ 2 là F. Tứ giác ADBE là hình gì? Vì sao?
Tứ giác ADBE là hình thoi vì AM = MB; MD = ME và DE⊥AB
Hai đường tròn O;R và O';r tiếp xúc ngoài tại CR>rgọi AC và BC là hai đường kính đi qua C của đường tròn (O) và (O'). DE là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Tia DC cắt đường tròn (O') tại điểm thứ 2 là F. Chứng minh ba điểm B, F, E thẳng hàng
Ta có BE//DA . Nối BF ta có ADF^=BFD^=900⇒BF//DA. Như vậy BE//DAvà BF//DA mà qua B chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với DA do đó 3 điểm B, F, E phải thẳng hàng
Hai đường tròn O;R và O';r tiếp xúc ngoài tại CR>r gọi AC và BC là hai đường kính đi qua C của đường tròn (O) và (O'). DE là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Tia DC cắt đường tròn (O') tại điểm thứ 2 là F. DB cắt đường tròn (O') tại điểm thứ hai là G. Chứng minh DF, EG và AB đồng quy
Ta có CG vuông góc với DB, mặt khác EC vuông góc với DB. Nhưng qua C chỉ tồn tại duy nhất một đường vuông góc với DB nên E, C , G phải thẳng hàng và DF, EG, AB phải đồng quy tại điểm C, chính là trực tâm tam giác EDB
Hai đường tròn (O;R) và (O';r) tiếp xúc ngoài tại CR>r gọi AC và BC là hai đường kính đi qua C của đường tròn (O) và (O'). DE là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Tia DC cắt đường tròn (O') tại điểm thứ 2 là F. Chứng minh MF là tiếp tuyến của (O')
Nhận thấy MEF^=F1^ và O'BF^=F2^ mà MEF^+O'BF^=900 nên F1^+F2^=900, suy ra MFO'^=900. Vậy MF là tia tiếp tuyến của đường tròn tâm O’.
Cho ∆ABC (AC > AB,BAC^=900 ). Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểmt hứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F. Chứng minh B, C, D thẳng hàng
Áp dụng định lý góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, ta có :
∠ADB=90°; ∠ADC=90° .
Suy ra ADB^+ADC^= 1800.
Vậy B, D, C thẳng hàng.
Cho ∆ABC (AC > AB, BAC^=900). Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểmt hứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F. Chứng minh tứ giác BFEC nội tiép
Áp dụng định lý góc nội tiếp
chắn nửa đường tròn, ta có:
∠BFA=90°;∠CEA=90° ;
suy ra BFC^=BEC^=900. Khi đó E,F là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn BC dưới một góc bằng nhau.
Vậy tứ giác BFEC nội tiếp.
Cho ∆ABC (AC > AB,BAC^=900 ). Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểmt hứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F.Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy.
Xét tam giác ABC có AD⊥BC;BF⊥AC;CE⊥AB. Suy ra AD,BF,CElà ba đường cao. Vậy chúng cắt nhau tại một điểm S.
Cho ∆ABC (AC > AB, BAC^=900 ). Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểmt hứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F.Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, hãy so sánh DH và DE.
Ta có AEHF nội tiếp nên EHF^=FAB^ mặt khác FAB^=FDB^⇒EHF^=FDB^.⇒HE//BC⇒AD⊥HE (1)
Vận dụng góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp ta có:FDA^=FBA^=FCE^=ADE^
⇒DA là đường phân giác EDF^ (2)
Từ (1) và (2) suy ra DEH cân tại D suy ra DE=DHDE=DH.
Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn (O) đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là F, G. Chứng minh rằng :Các tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp
CAD^=900,CED^=900⇒tứ giác ADEC nội tiếp.
CAB^=900,CFB^=900⇒tứ giác AFBC nội tiếp.
Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn (O) đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là F, G. Chứng minh rằng :AD.AB = AG.AE
Ta có ΔAED ΔABGg.gΔAED ΔABGg.g⇒AEAB=ADAG⇒AD.AB=AE.AG.
Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn (O) đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là F, G. Chứng minh rằng :AC//FG
Tứ giác ACED nội tiếp ⇒C1^=E1^.
Tứ giác DFGE nội tiếp ⇒F1^=E1^ .
Suy ra C1^=F1^⇒AC//GF.
Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn (O) đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là F, G. Chứng minh rằng : AC, DE và BF đồng quy.
ΔBCD có CA,BF,DE là đường cao ⇒CA,BF,DE đồng quy.
