Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bìn của tam giác để chứng minh có đáp án

b) AM là đường trung trực của EF

Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Đoạn CD cắt AM tại I. Chứng minh:

a) EM song song vói DC

b) I là trung điểm của AM

c) DC = 4DI

Cho tứ giác ABCD đường chéo BD là đường trung trực của AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AB. Vẽ $ME\perp BC$ và $NF\perp CD\left(E\in BC,F\in CD\right)$. Chứng minh rằng ba đường thẳng ME, NF và AC đồng quy

Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Đường thẳng MN cắt tia AB và AC lần lượt là tại P và Q. Hỏi hai điểm D và E phải có điều kiện gì để tam giác APQ cân tại A?

Cho tam giác ABC. Gọi Bx và Cy lần lượt là các đường chứa tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên Bx và Cy.

a) Chứng minh rằng tứ giác BCKH là hình thang;

b) Tam giác ABC phải có điều kiện gì để hình thang BCKH là hình thang cân?

Cho tam giác ABC, trực tâm H. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến BC bằng nửa độ dài AH.

Cho tam giác ABCcân tại A, đường cao AH và đường phân giác BD. Biết rằng $AH=\frac{1}{2}BD$, tính số đo các góc của tam giác ABC

Cho đoạn thẳng AB và n điểm $O_1,O_2,\mathrm{...},O_n$ không nằm giữa A và B sao cho $O_{1}A+O_{2}A+\mathrm{...}+O_{n}A=O_{1}B+O_{2}B+\mathrm{...}+O_{n}B=a$. Chứng minh rằng tồn tại một điểm M sao cho $O_{1}M+O_{2}M+\mathrm{...}+O_{n}M\le a.$