Bộ Đề thi THPT Quốc gia chuẩn cấu trúc Bộ Giáo dục môn Toán 2019 (Đề số 5)

Nhận xét: Đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị $\Rightarrow$ Phương trình y'=0 có đúng ba nghiệm thực phân biệt.

Chọn đáp án D.

Đồ thị hàm số y=f(x) bất kì có nhiều nhất hai đường tiệm cận ngang. Là khẳng định đúng.

Chọn đáp án C.

 

$∆AOD$ vuông tại O

$$\begin{gathered} \Rightarrow OA=\sqrt{A{D}^2-O{D}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)}^2}=\frac{a}{2} \\ \Rightarrow AH=\frac{1}{2}AO=\frac{a}{4}; \end{gathered}$$

AC=2.AO=a và $S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AC.BD$

$=\frac{1}{2}a.a.\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Do AA'//CC' nên

$\angle (AA\text{'};(ABCD\left)\right)=\angle (CC\text{'};ABCD)=60°$

Do

$$\begin{gathered} AH\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow \angle (AA\text{'};(ABCD\left)\right) \\ =\angle (AA\text{'};AH)=\angle A\text{'}AH=60° \end{gathered}$$

$∆A\text{'}AH$ vuông tại

$$\begin{gathered} H\Rightarrow A\text{'}H=AH.\tan A\text{'}AH \\ =\frac{a}{4}.\tan 60°=\frac{a\sqrt{3}}{4} \end{gathered}$$

Thể tích khối hộp là $V=S_{ABCD}.A\text{'}H$

$=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^3}{8}$

Chọn đáp án A.

 

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=4x-1 \\ \Rightarrow F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=2x^2-x+C \end{gathered}$$

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số F(x) và f(x) là:

$$\begin{gathered} 2x^2-x+C=4x-1 \\ \iff 2x^2-5x+C+1=0(*) \end{gathered}$$

Do hai đồ  thị hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên x=0 là nghiệm của (*)

$\iff C+1=0\iff C=-1$

Với C=-1: Phương trình(*)

$\iff 2x^2-5x=0\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=\frac{5}{2}\end{array}$

Tọa độ các điểm chung của hai đồ thị hàm số trên là: (0;-1) và $\left(\frac{5}{2};9\right)$           

Chọn đáp án C.

Mặt phẳng (ABC) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(1;0;;0), B(0;1;0),C(0;0-2)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left(ABC\right): \frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1 \\ \iff 2x+2y-z+2=0 \end{gathered}$$

$\Rightarrow \left(ABC\right)$ nhận vectơ $\stackrel{\rightharpoonup }{n}=(2;2;-1)$ làm VTPT.

Chọn đáp án A.

Ta có: $\stackrel{\rightharpoonup }{OM}(1;1;-1);\stackrel{\rightharpoonup }{j}(0;1;0)$

Mặt phẳng (P) chứa trục Oy và đi qua điểm M(1;1-1) có một VTPT là $\stackrel{\rightharpoonup }{n}=\left[\stackrel{\rightharpoonup }{OM};\stackrel{\rightharpoonup }{j}\right]=\left(1;0;1\right)$

Phương trình (P) là: $1(x-0)+0+1(z-0)=0$ $\iff x+z=0$ 

Chọn đáp án D.

Trên $\left(1;+\infty \right),f\text{'}\left(x\right)>0\Rightarrow$ Hàm số f(x) đồng biến trên $\left(1;+\infty \right)$

Chọn đáp án A.

$$\begin{gathered} S_{ABCD}=8a^2\Rightarrow 2a.h=8a^2 \\ \iff h=4a \end{gathered}$$

Diện tích xung quanh của hình trụ:

$S_{xq}=2\mathrm{\pi Rh}=2\mathrm{\pi }.\mathrm{a}.4\mathrm{a}=8{\mathrm{\pi a}}^2$

Thể tích khối trụ

$V_{trụ}={\mathrm{\pi R}}^2\mathrm{h}={\mathrm{\pi a}}^4.4\mathrm{a}=4{\mathrm{\pi a}}^3$

Chọn đáp án C.

ĐKXĐ:

$x^2\left(x+1\right)>0\iff \left\{\begin{array}{l}x\#0\\ x>-1\end{array}\right.$

Vậy TXĐ:  $D=\left(-1;+\infty \right)\backslash \left\{0\right\}$

Chọn đáp án A.

Chú ý: $x^2\ge 0,x^2>0\iff x\#0$

 

$z=(m^2-1)+\left(m+1\right)i$ là số thuần ảo $\iff m^2-1=0\iff m=\pm 1$

Chọn đáp án B.

$$\begin{gathered} z=z\text{'}\iff \left\{\begin{array}{l}2x+3=3x\\ 3y-1=y+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

Chọn đáp án A.

Hàm số y=f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và đồ thị hàm số đổi chiều tại hai điểm x=0;x=1 nên hàm số y=f(x) có hai điểm cực trị.

Chọn đáp án D.

Ta có

$$\begin{gathered} {\int }_2^{4}f\left(u\right)du={\int }_1^{2}f\left(u\right)du+{\int }_1^{4}f\left(u\right)du \\ =-{\int }_1^{2}f\left(x\right)dx+{\int }_1^{4}f\left(t\right)dt=-1-3=-4 \end{gathered}$$

Chọn đáp án C.

Chú ý: $\int f\left(x\right)dx=\int f\left(u\right)du=\int f\left(t\right)dt$

Ta có:

$$\begin{gathered} 8^x.2^{1-x^2}>{\left(\sqrt{2}\right)}^{2x}\iff 2^{3x+1-x^2}>2^x \\ \iff 3x+1-x^2>x\iff x^2-2x-1<0 \\ \iff 1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2} \end{gathered}$$

Mà $x\in \mathrm{ℝ}\Rightarrow x\in \left\{1;2\right\}$. Bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên dương.

Chọn đáp án C.

Hình lập phương có: 8 đỉnh, 6 mặt, 12 cạnh.

Chọn đáp án D.

$z=i(3i+1)=-3+i$ có số phức liên hợp là $\overline{z}=-3-i$

Chọn đáp án B.

$$\begin{gathered} F\left(x\right)={\int }_1^x\left(t^2+1\right)dt=\left(\frac{1}{3}{t}^3+\frac{1}{2}{t}^2\right){|}_1^x \\ =\left(\frac{1}{3}{t}^3+\frac{1}{2}{t}^2\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}{x}^2+\frac{1}{2}{x}^2=\frac{5}{6} \\ F\text{'}\left(x\right)=0\iff x^2+x=0\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=-1\end{array} \end{gathered}$$

F(x) liên tục trên [-1;1]

có $F(-1)=-\frac{2}{3};F\left(0\right)=-\frac{5}{6};F\left(1\right)=0$

$\Rightarrow \underset{\left[-1;1\right]}{min}F\left(x\right)=-\frac{5}{6}$

Chọn đáp án C.

$$\begin{gathered} S=2\ln a-\ln b-\ln c \\ =\ln \frac{a^2}{bc}=\ln 1=0 \end{gathered}$$

do $a^2=bc$   

Chọn đáp án A.

Hàm số $y={\log }_{M}x$ nghịch biến trên tập xác định

$$\begin{gathered} \iff 0<M<1\iff 0<a^2-4<1 \\ \iff 4<a^2<5\iff [\begin{array}{c}2<a<\sqrt{5}\\ -\sqrt{5}<a<-2\end{array} \end{gathered}$$

Chọn đáp án D.

Trọng tâm G của tam giác ABC là: G(-1;1;1) 

Mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với đường thẳng AB nhận $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=(2;2-3)$ là VTPT, có phương trình là:

$$\begin{gathered} 2(x+1)+2(y-1)-3(z-1)=0 \\ \iff 2x+2y+3z+3=0 \end{gathered}$$

Chọn đáp án B.

$\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ ngược hướng với $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ và

$$\begin{gathered} \left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|=2\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|\iff \stackrel{\rightharpoonup }{b}=-2\stackrel{\rightharpoonup }{a} \\ \Rightarrow \stackrel{\rightharpoonup }{b}=(-2;4;-6) \end{gathered}$$

Chọn đáp án D.

Nhận xét:

+) Đồ thị hàm số $y=x^a$ nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )\Rightarrow a<0$

+) Xét đồ thị hàm số $y={\log }_{b}x và y={\log }_{c}x, x>0$

Cho y=1 ta có: ${\log }_b{x}_1={\log }_c{x}_2\iff x_1=b,x_2=c$

Mà $x_1<x_2\Rightarrow b<c\Rightarrow a<0<b<c$. Vậy a<b<c

Chọn đáp án D.

Hình nón có độ dài đường sinh l=SA=a; bán kính đáy

$r=OA=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, có diện tích xung quanh là:

$S_{xq}=\mathrm{\pi rl}=\mathrm{\pi }.\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{3}.\mathrm{a}=\frac{{\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{3}}{3}$

Chọn đáp án D.

Nhận xét:

Đồ thị hàm số (A) là đồ thị của hàm số $y=\frac{x}{x-1}\left(C\right)$

$y=\frac{x}{\left|x-1\right|}=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{x-1} khi x>1\\ -\frac{x}{x-1} khi x<1\end{array}\right.$

Ta giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải đường thẳng x=1; lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên trái đường thẳng  x=1 qua trục hoành. Ta được đồ thị hàm số (C).

Chọn đáp án C.

Số phức $z=x+yi\left(x,y\in \mathrm{ℝ}\right)$ có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đường tròn có phương trình

$\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=4$$\Rightarrow -1\le x\le 3$

$$\begin{gathered} w=z+\overline{z}+2i \\ =x+yi+x-yi+2i=2x+2i \end{gathered}$$

Tọa độ điểm biểu diễn số phức w là $M(x;2),x\in \left[-1;3\right]$ 

Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức là w là đoạn thẳng AB với A(-1;2),B(3;2)

Chọn đáp án B.

Phương trình mặt phẳng (ABC): x+y+z-1=0 

Phương trình mặt phẳng (BCD): x=0 

Phương trình mặt phẳng (CDA): y=0 

Phương trình mặt phẳng (ĐBA): z=0 

Gọi I(x;y;z) là điểm cách đều bốn mặt phẳng (ABC),(BCD),(CDA),(DBA)

$\Rightarrow \frac{\left|x+y+z-1\right|}{\sqrt{3}}=\left|x\right|=\left|y\right|=\left|z\right|$

TH1:$x=y=z\Rightarrow \frac{\left|3x-1\right|}{\sqrt{3}}=\left|x\right|$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{1}{3+\sqrt{3}}\\ x=\frac{1}{3-\sqrt{3}}\end{array}\Rightarrow I\left(\frac{1}{3+\sqrt{3}};\frac{1}{3+\sqrt{3}};\frac{1}{3+\sqrt{3}}\right)$

hoặc $I\left(\frac{1}{3-\sqrt{3}};\frac{1}{3-\sqrt{3}};\frac{1}{3-\sqrt{3}}\right)$

TH2:$-x=y=z\Rightarrow \frac{\left|-x-1\right|}{\sqrt{3}}=\left|x\right|$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\\ x=\frac{-1}{\sqrt{3}+1}\end{array}\Rightarrow I\left(\frac{1}{\sqrt{3}-1};\frac{-1}{\sqrt{3}-1};\frac{-1}{\sqrt{3}-1}\right)$

hoặc $I\left(\frac{-1}{\sqrt{3}+1};\frac{1}{\sqrt{3}+1};\frac{1}{\sqrt{3}+1}\right)$

TH3:$x=y=-z\Rightarrow \frac{\left|x-1\right|}{\sqrt{3}}=\left|x\right|$

hoặc $I\left(\frac{1}{\sqrt{3}-1};\frac{-1}{\sqrt{3}-1};\frac{1}{\sqrt{3}-1}\right)$

TH4:$x=y=-z\Rightarrow \frac{\left|x-1\right|}{\sqrt{3}}=\left|x\right|$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{-1}{\sqrt{3}-1}\\ x=\frac{1}{\sqrt{3}+1}\end{array}\Rightarrow I\left(\frac{-1}{\sqrt{3}-1};\frac{-1}{\sqrt{3}-1};\frac{1}{\sqrt{3}-1}\right)$

hoặc $I\left(\frac{1}{\sqrt{3}+1};\frac{1}{\sqrt{3}+1};\frac{-1}{\sqrt{3}+1}\right)$

Vậy, có tất cả 8 điểm thỏa mãn.

Chọn đáp án C.

Các đỉnh A, B và C lần lượt nằm trên đồ thị các hàm số $y={\log }_{a}x,y={\log }_{\sqrt{a}}x$ $y={\log }_{\sqrt[3]{a}}x$ với (x>0;a>1)

$\Rightarrow$Giả sử $A(x_1;{\log }_a{x}_1);B(x_2;2{\log }_a{x}_2);$ $C(x_3;3{\log }_a{x}_3)$

Do AB//Ox nên ${\log }_a{x}_1={\log }_a{x}_2\iff x_1=x_2^2$ 

Khi đó:

$$\begin{gathered} A(x_2^2;{\log }_a{x}_2);B(x_2;2{\log }_a{x}_2); \\ \Rightarrow AB=\left|x_2^2-x_2\right| \end{gathered}$$

Hình vuông ABCD có diện tích bằng 36

$\iff x_2=3\Rightarrow x_1=9$

Mặt khác, do AB // Ox nên BC // Oy$\Rightarrow x_3=3$

$C(3;{\log }_a{x}_3)$

Chọn đáp án D.

Mặt cầu $x^2+y^2+z^2=9$ có tâm O(0;0;0), bán kính R = 3

Ta có: $OM=\sqrt{3}<R\Rightarrow$Điểm M nằm trong mặt cầu (S)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P). Ta có: $OH\le OM$ 

Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn

có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi $O{H}_{max}\iff$ H trùng M.

Khi đó, (P) là mặt phẳng qua M(1;-1;1) và nhận $\stackrel{\rightharpoonup }{OM}(1;-1;1)$ 

làm VTPT, có phương trình là:

$$\begin{gathered} 1\left(x-1\right)-1\left(y+1\right)+1\left(z-1\right)=0 \\ \iff x-y+z-3=0 \end{gathered}$$

Chọn đáp án B.

Số tiền bác An có sau 6 tháng đầu là:$5.{\left(1+0,7\%\right)}^6$ (triệu đồng)

Số tiền bác An có sau 10 tháng đầu là:$5.{\left(1+0,7\%\right)}^6.1+0,9{\%}^4$ (triệu đồng)

Số tiền bác An có sau 1 năm là:$5.{\left(1+0,7\%\right)}^6$$.1+0,9{\%}^4.1+0,6^2\approx$5,46899409(triệu đồng)

Chọn đáp án D.

 

Dựng MN//BC $\left(N\in SC\right)$

$MQ//SA\left(Q\in AB\right),PQ//BC\left(P\in AC\right)$

$\Rightarrow MNPQ$là thiết diện cần dựng.

$V_1$ là thể tích khối đa giác SNM.APQ. Dựng $MR//AB\left(R\in SA\right)$.

Khi đó, khối đa giác SNM.APQ được chia làm 2 phần:

khối chóp tam giác S.RMN và khối lăng trụ RMN.AQP.

Giả sử $\frac{SM}{SB}=x$ 

Ta có:

Mà

$\iff x=\frac{2}{3}$

Vậy $\frac{SM}{SB}=\frac{2}{3}$ 

Chọn đáp án A.

 

$\left|z_1\right|=3;\left|z_2\right|=4;\left|z_1-z_2\right|=5\Rightarrow$OA=3; OB=4,AB=5$\Rightarrow$$∆OAB$ vuông tại O

$\Rightarrow S_{∆OAB}=\frac{1}{2}.OA.OB=\frac{1}{2}.3.4=6$ 

Chọn đáp án C.