Bộ Đề thi THPT Quốc gia chuẩn cấu trúc Bộ Giáo dục môn Toán 2019 (Đề số 2)

Đồ thị hàm số đã cho của một hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất có tiệm cận đứng x=−1; tiệm cận ngang y=−1. Đối chiếu các đáp án chọn C.

Chọn đáp án C.

Có 

Chọn đáp án D.

Hàm số nghịch biến khi đồ thị đi xuống, tức 

$[\begin{array}{c}\begin{array}{c}x<-1\\ 0<x<1\end{array}\end{array}$

Chọn đáp án D.

Đáy là hình vuông cạnh $3a\Rightarrow S=9a^2$

Thể tích khối lăng trụ đó là $V=S.h=9a^3$

Chọn đáp án C.

Có $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\left(-1;3;-4\right)$

Chọn đáp án C.

Có $\int \left(2x-e^x\right)dx=x^2-e^x+C$

Chọn đáp án C.

Chọn đáp án B.

Có ${\log }_2{x}^2={\log }_2\left(x+2\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x+2>0\\ x^2=x+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\end{array}\right.$

Chọn đáp án A.

Có $f\left(\mathrm{\pi }\right)-\mathrm{f}\left(0\right)={\int }_0^{\mathrm{\pi }}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$

$f\left(\mathrm{\pi }\right)=\mathrm{f}\left(0\right)+{\int }_0^{\mathrm{\pi }}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{\pi }+1$

Chọn đáp án C.

Có $3^a=4^b\iff a\ln 3=b\ln 4$

$\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{\ln 4}{\ln 3}={\log }_{3}4$

Chọn đáp án D.

Chọn đáp án A.

Số chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử bằng $A_{10}^2$.

Chọn đáp án B.

Có $u_8=u_1+7d$

$\Rightarrow d=\frac{u_8-u_1}{7}=\frac{97-(-1)}{7}=14$

Chọn đáp án A.

Có M(1;2) $\Rightarrow z=1-2i$

Chọn đáp án A.

Bất phương trình tương đương với: 

$3^{x+2}<3^{4x+14}$

$\iff x+2<4x+14\iff x>-4$

Chọn đáp án B.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Có

Ta có OA, OB, OS đôi một vuông góc nên với  ta có

Chọn đáp án A.

Vì f'(x) đổi dấu khi qua các điểm x=0;x=3 

do đó hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x=0; x=3.

Chọn đáp án D.

Có 

Chọn đáp án A.

Có

$$\begin{gathered} \left(P\right)\perp d\Rightarrow \stackrel{\rightharpoonup }{n_{\left(P\right)}}=\stackrel{\rightharpoonup }{u_d}=\left(2;3;6\right) \\ \Rightarrow \left(P\right): 2x+3y+6z-26=0 \end{gathered}$$

Chọn đáp án C.

Ta có

$$\begin{gathered} \frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_1}=\frac{z_1^2+z_2^2}{z_1{z}_2} \\ =\frac{{\left(z_1+z_2\right)}^2-2z_1{z}_2}{z_1{z}_2}=\frac{{\left(-1\right)}^2-2.2}{2}=-\frac{3}{2}. \end{gathered}$$

Chọn đáp án D.

Quan sát bảng biến thiên có

Do

Chọn đáp án B.

Ta có

$y=\frac{1-x}{{\left(x^2+1\right)}^x}\Rightarrow y=0\iff x=1$

Ta xét giá trị

$y\left(0\right)=1,y\left(1\right)=\sqrt{2},y\left(3\right)=\frac{4}{\sqrt{10}}$

Suy ra miny=1, maxy=$\sqrt{2}$

$\Rightarrow 1^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2=3$

Chọn đáp án A.

Xét phương trình hoành độ giao điểm

$x^3-x^2+x-1=0\iff [\begin{array}{c}x=0\Rightarrow \left(0;-1\right)\\ x=1\Rightarrow \left(1;0\right)\end{array}$

Vậy tổng tung độ là -1.

Chọn đáp án C.

Có

$$\begin{gathered} \ln \left(3e^x-2\right)=2x\iff 3e^x-2=e^{2x}. \\ \iff e^{2x}-3e^x+2=0 \\ \iff [\begin{array}{c}{e}^x=1\\ e^x=2\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=\ln 2\end{array} \end{gathered}$$

Vậy S có 2 phần tử nên có tất cả $2^2=4$ tập con.

Chọn đáp án B.

Ta có

$$\begin{gathered} S={\int }_{-1}^2\left|f\left(x\right)\right|dx={\int }_{-1}^1\left|f\left(x\right)\right|dx+{\int }_1^2\left|f\left(x\right)\right|dx \\ ={\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx+{\int }_{-1}^1-f\left(x\right)dx=a-b. \end{gathered}$$

Chọn đáp án B.

Nón có

$$\begin{gathered} r=AB=3,h=AC=4,l=\sqrt{r^2+h^2}=5 \\ \Rightarrow S_{tp}=\mathrm{\pi r}\left(\mathrm{r}+\mathrm{l}\right)=3\mathrm{\pi }\left(3+5\right)=24\mathrm{\pi }. \end{gathered}$$

Chọn đáp án B.

Gọi H là trung điểm AB. Có 

Ta có 

Khi đó thể tích khối chóp S.ABC là

Chọn đáp án A.

Có

là tiệm cận đứng và

Do đó y = 2; y = 0 là các đường tiệm cận ngang.

Chọn đáp án D.

Có 

Chọn đáp án A.

Có 

Chọn đáp án A.

Số tiền người này nhận được sau 25 năm, tức 25x12 = 300 tháng là

triệu đồng.

*Chú ý tính tổng trên các em nên bấm máy tính ngay: 

Chọn đáp án A.

Phương trình tương đương với

Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 bốn nghiệm.

Chọn đáp án D.

Ta có 

Chọn đáp án A.

Theo giả thiết thể tích khối cầu đá bằng $\frac{3}{8}-\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$ thể tích khối trụ.

Do vậy 

Chọn đáp án A.

Mặt phẳng cần tìm có dạng

(P): 

Theo giả thiết có:

Vậy có tất cả 4 mặt phẳng thoả mãn.

Chọn đáp án C.

Theo giả thiết có 

Gọi N là trung điểm cạnh SA.

Ta có 

Có 

Chọn đáp án A.

Đặt z=x+yi ta có:

${\left|z\right|}^2+z+\overline{z}=0\iff x^2+y^2+2x=0.$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(-1;0),R=1.

Diện tích giới hạn bởi đường tròn bằng ${\mathrm{\pi R}}^2=\mathrm{\pi }.$

Chọn đáp án D.

Đổi biến 

Khi đó  và tích phân

Vậy a+b+c=1-4+6=3

Chọn đáp án A.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (m+1;m+2). Vậy để hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng

$\left(2;3\right)\iff \left(2;3\right)\subset \left(m-1;m+2\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m-1\le 2\\ m+2\ge 3\end{array}\right.\iff 1\le m\le 3$

$\Rightarrow m\in \left\{1,2,3\right\}$

Chọn đáp án A.

Năm số được chọn ra xếp được duy nhất dãy tăng, giả sử là

$x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$

Theo giả thiết các số đó là $x_1, q{x}_1,q^2{x}_1,q^3{x}_1,q^4{x}_1$ và $q\in \mathrm{\mathbb{N}},q\ge 2$

Vì 

Mặt khác 

Vậy với mỗi số nguyên q thuộc tập X={ 2;3;4;5;6}

ta có $\left[\frac{2018}{q^4}\right]$ cách chọn x₁ các số x₂, x₃, x₄, x₅ có tương ứng duy nhất một cách chọn.

Vậy theo quy tắc cộng và quy tắc nhân có tất cả

Chọn đáp án B.

Ta có $M\in \left(P\right)$ và $\angle AMB=90°$ nên M thuộc mặt cầu đường kính AB là:

$\left(S\right): {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=17$ có tâm I(2;3-2), $R=\sqrt{17}$.

Do đó $M\in \left(C\right)=\left(S\right)\cap \left(P\right).$

Vì vậy 

Chọn đáp án D.

Đặt z=x+yi ta có hệ đều kiện:

Ta có (1) là tập hợp các cạnh của hình vuông ABCD có tâm là gốc toạ độ độ dài cạnh bằng $a=\frac{m^2}{\sqrt{2}}$; là đường tròn (C) có tâm là gốc toạ độ O bán kính bằng R = m.

Để có đúng 8 số phức thoả mãn thì (C) phải nằm giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp hình vuông 

Chọn đáp án D.

Phương trình tương đương với:

$m=g\left(x\right)=\left(x^2-6x+12\right)f(x-1).$

Ta có

$g\text{'}\left(x\right)=\left(2x-6\right)f(x-1)+\left(x^2-6x+12\right)f\text{'}(x-1)$

+) Nếu $2\le x<3$

$\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)>0$

+) Nếu x=3

+) Nếu $3<x\le 4$

$\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)<0$.

Vậy trên đoạn [2;4] ta có g'(x)=0 $\leftrightarrow$x=3.

Bảng biến thiên:

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt trên đoạn

$\left[2;4\right]\iff -12<m<3\Rightarrow m\in \left\{-12,...,-4\right\}.$

Tổng các số nguyên cần tìm bằng $\sum _{k=-12}^{-4}k=-72$

Chọn đáp án B.

Xét hàm số $g\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+mx\sqrt{x^2+1}$

ta có

+) Với m > 0 thì (1) vô nghiệm; với m = 0 thì (1) có đúng 1 nghiệm x=0; với m < 0 khi đó ta có

chỉ nhận nghiệm

vì 

Vậy với m < 0 thì g(x) có 3 nghiệm phân biệt là các nghiệm đơn.

Tiếp theo ta biện luận số điểm cực trị của  với

+) Nếu $m\ge 0$$\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)\ge x^2\ge 0,\forall x$ nên g(x) không có điểm cực trị.

+) nếu m < 0 khi đó g'(x)=0$\iff$$m=-\frac{x^2\sqrt{x^2+1}}{2x^2+1}\left(*\right)$. Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m < 0, tức g(x) có 2 điểm cực trị với mọi m < 0.

Tóm lại hàm số  có tối đa 3 + 2 = 5 điểm cực trị.

Chọn đáp án C.

Theo giả thiết và công thức tích phân từng phần, ta có:

Vậy 

Chọn đáp án A.

Đặt $t=2^x \left(t>0\right)$ phương trình trở thành:

Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ hai parabol

$\left(P_1\right): y=x^2+1; \left(P_2\right): y=-x^2+4x-1.$

Với mỗi t > 0 cho ta một nghiệm $x={\log }_{2}t.$  Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi hệ phương trình cuối có đúng 2 nghiệm dương phân biệt. Điều này tương đương với đường thẳng y = 2m cắt đồng thời (P₁), (P₂)  tại đúng 2 điểm có hoành độ dương. Quan sát đồ thị suy ra các giá trị cần tìm của tham số là

Chọn đáp án A.

Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y=kx+m. Phương trình hoành độ giao điểm:

$$\begin{gathered} x^4-2x^2=kx+m \\ \iff x^4-2x^2-kx-m=0 \end{gathered}$$ 

Theo giả thiết đường thẳng d có đúng ba điểm chung với đồ thị (C) và các điểm chung có hoành độ $x_1, x_{2 }, x_3$ nên $x^4-2x^2-kx-m={\left(x-x_1\right)}^2\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$. Do đó d là tiếp tuyến của (C) có hoành độ

Phương trình hoành độ giao điểm lúc này là:

Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt $x_2, x_3\#x_1$

và $x_1^3+x_2^3+x_3^3=-1$

Vì vậy

Vì vậy có duy nhất một đường thẳng thoả mãn là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=\frac{-11+\sqrt{65}}{22}$.

Chọn đáp án B.

*Chú ý dạng toán này thuộc bài học tiếp tuyến cắt đồ thị hàm số.

Xét $u=2x^3-3x^2+m$

có $u\text{'}=6x^2-6x;u\text{'}=0\iff x=0;x=1.$

Do đó

Nếu $m-5\ge 0$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \underset{\left[-1;3\right]}{min}f\left(x\right)=m-5\le 3 \\ \iff m\le 8\Rightarrow m\in \left\{5,6,7,8\right\}. \end{gathered}$$

Nếu $m+27\le 0$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \underset{\left[-1;3\right]}{min}f\left(x\right)=-\left(m+27\right)\le 3 \\ \leftrightarrow m\ge -30\Rightarrow m\in \left\{-30;-29;-28;-27\right\}. \end{gathered}$$

Vậy $m\in \left\{-30,...,8\right\}$ có tất cả 39 số nguyên thỏa mãn.

Chọn đáp án D.

Với $x=\frac{SA}{SA}=1;y=\frac{SM}{SB},z=\frac{SN}{SC};t=\frac{SP}{SD}$

ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}$ và xét tam giác SAC ta có

Mặt khác ba điểm A, I, N thẳng hang nên

$\frac{1}{4}+\frac{1}{4z}=1\iff z=\frac{1}{3}$

Do đó $\frac{1}{y}+\frac{1}{t}=\frac{1}{1}+\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=4\Rightarrow y=\frac{t}{4t-1}$

Vì vậy

Dấu bằng đạt tại $t=\frac{1}{2};y=\frac{1}{2}.$ Tức mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua trung điểm các cạnh SB. SD.

Chọn đáp án C.

Gọi I₁, I₂, R₁, R₂ lần lượt là tâm và bán kính của các mặt cầu (S₁) và (S₂). Theo điều kiện tiếp xúc có $I_{1}A=R_1;I_{2}B=R_2.$

Mặt khác hai mặt cầu tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm M nên $I_1{I}_2=R_1+R_2=I_{1}A+I_{2}B\Rightarrow I_1{I}_2$ luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB tại điểm M tức là M thuộc mặt cầu đường kính AB

Phương trình mặt cầu đường kính AB là $\left(S\right): x^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=9$ có tâm I(0;1;2), R = 3.

Vì vậy $M\in \left(S\right)\Rightarrow d\left(M,\left(P\right)\right)\le d\left(I,\left(P\right)\right)+R$

=672+3=675.

Gọi 

Dấu bằng đạt tại

Chọn đáp án A.