Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 30)
50 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):x + 2y - 3z + 3 = 0.\] Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
\[\vec n = \left( {1; - 2;3} \right).\]
\[\vec n = \left( {1;2; - 3} \right).\]
\[\vec n = \left( { - 1;2; - 3} \right).\]
\[\vec n = \left( {1;2;3} \right).\]
Đáp án B
Mặt phẳng \[\left( P \right):x + 2y - 3z + 3 = 0\] có một VTPT là \[\overrightarrow n = \left( {1;2; - 3} \right)\].
Cho a và b là hai số thực dương tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\[\ln \left( {a{b^3}} \right) = \ln a + \frac{1}{3}\ln b.\]
\[\ln \left( {a{b^3}} \right) = \ln a - \frac{1}{3}\ln b.\]
\[\ln \left( {a{b^3}} \right) = \ln a + 3\ln b.\]
\[\ln \left( {a{b^3}} \right) = \ln a - 3\ln b.\]
Đáp án C
Ta có \[\ln \left( {a{b^3}} \right) = \ln a + \ln {b^3} = \ln a + 3\ln b\].
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\[\left( {1;2} \right).\]
\[\left( { - \infty ;1} \right).\]
\[\left( {1; + \infty } \right).\]
\[\left( { - \infty ;5} \right).\]
Đáp án B
Hàm số \[f\left( x \right)\] đồng biến trên \[\left( { - \infty ;1} \right)\].
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\] và \[f\left( 0 \right) = - 1;{\rm{ }}f\left( 2 \right) = 2.\] Tích phân \[\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} \] bằng
−1.
1.
−3.
3.
Đáp án D
Ta có \[\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} = f\left( x \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_0\end{array} \right. = f\left( 2 \right) - f\left( 0 \right) = 3\].
Tính môđun của số phức z thỏa mãn \[z\left( {1 - i} \right) + 2i = 1.\]
\[\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\]
\[\frac{{\sqrt {13} }}{2}.\]
\[\frac{{\sqrt {10} }}{2}.\]
\[\frac{{\sqrt {17} }}{2}.\]
Đáp án C
Ta có \[z = \frac{{1 - 2i}}{{1 - i}} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\].
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?
\[y = {x^4} - 3{x^2}.\]
\[y = - \frac{1}{4}{x^4} + 3{x^2}.\]
\[y = - {x^4} - 2{x^2}.\]
\[y = - {x^4} + 4{x^2}.\]
Đáp án D
Ta có \[y\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow \] Loại A, B, C.
Tính đạo hàm của hàm số \[y = {\log _{\frac{3}{4}}}\left| x \right|.\]
\[y' = \frac{1}{{x\left( {\ln 3 - 2\ln 2} \right)}}.\]
\[y' = \frac{1}{{\left| x \right|\left( {\ln 3 - 2\ln 2} \right)}}.\]
\[y' = \frac{{\ln 3}}{{2x\ln 2}}.\]
\[y' = \frac{{\ln 3}}{{2\left| x \right|\ln 2}}.\]
Đáp án A
Ta có \[y = {\log _{\frac{3}{4}}}\left| x \right| \Rightarrow y' = \frac{1}{{x\ln \frac{3}{4}}} = \frac{1}{{x\left( {\ln 3 - \ln 4} \right)}} = \frac{1}{{x\left( {\ln 3 - 2\ln 2} \right)}}\].
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \sin 5x\] là
\[ - 5\cos 5x + C.\]
\[5\cos 5x + C.\]
\[ - \frac{1}{5}\cos 5x + C.\]
\[\frac{1}{5}\cos 5x + C.\]
Đáp án C
Ta có \[\int {\sin 5xdx} = - \frac{{\cos 5x}}{5} + C\].
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
4.
0.
- 2.
2.
Đáp án A
Giá trị cực đại của hàm số \[f\left( x \right)\] là 4.
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Phương trình \[3f\left( x \right) - 2 = 0\] có số nghiệm thực là
1.
2.
3.
0.
Đáp án C
Đường thẳng \[y = \frac{2}{3}\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại đúng 3 điểm phân biệt.
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \[\vec u = \left( {3; - 4;5} \right)\] và \[\vec v = \left( {2m - n;1 - n;m + 1} \right),\] với \[m,{\rm{ }}n\] là các tham số thực. Biết rằng \[\vec u = \vec v,\] tính \[m + n.\]
−1.
1.
−9.
9.
Đáp án D
Ta có \[\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - n = 3\\1 - n = - 4\\m + 1 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 4\\n = 5\end{array} \right. \Rightarrow m + n = 9\].
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_1} = 2,{\rm{ }}q = 4.\] Tổng của 5 số hạng đầu tiên bằng
\[\frac{{1023}}{2}.\]
1364.
\[\frac{{341}}{2}.\]
682.
Đáp án D
Ta có \[{S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}}\].
Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\mathbb{R}.\] Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right),{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0\] và \[x = 4\] (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\[S = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} .\]
\[S = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} .\]
\[S = - \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} .\]
\[S = - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} .\]
Đáp án B
Ta có \[S = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \].
Cho khối nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15π. Tính thể tích V của khối nón (N).
\[V = 36\pi .\]
\[V = 45\pi .\]
\[V = 15\pi .\]
\[V = 12\pi .\]
Đáp án D
Ta có \[R = 3\] và \[{S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{h^2} + {R^2}} = 15\pi \].
\[ \Rightarrow 3\sqrt {{h^2} + 9} = 15 \Rightarrow h = 4 \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = 12\pi \].
Kí hiệu \[{z_1},{\rm{ }}{z_2}\] là hai nghiệm phức của phương trình \[{z^2} + \left( {1 - 2i} \right)z - 1 - i = 0.\] Giá trị của \[\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\] bằng
\[2 + \sqrt 2 .\]
\[1 + \sqrt 2 .\]
\[2 + \sqrt 5 .\]
\[1 + \sqrt 5 .\]
Đáp án B
Ta có \[\Delta = {\left( {1 - 2i} \right)^2} + 4\left( {1 + i} \right) = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}1z = \frac{{ - 1 + 2i + 1}}{2} = i\\z = \frac{{ - 1 + 2i - 1}}{2} = - 1 + i\end{array} \right.\].
\[ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \left| i \right| + \left| { - 1 + i} \right| = 1 + \sqrt 2 \].
Phòng Nội Dung của Moon.vn cần chọn mua 1 tờ nhật báo mỗi ngày. Có 3 loại nhật báo. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mua báo cho 6 ngày làm việc trong tuần?
729.
18.
216.
20.
Đáp án A
Mỗi ngày có 3 cách chọn mua 1 tờ nhật báo.
Vậy 6 ngày có \[3.3.3.3.3.3 = {3^6} = 729\] cách chọn mua 1 tờ nhật báo.
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A, BA, B như hình vẽ dưới đây. Trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] biểu diễn số phức?
\[ - \frac{1}{2} + 2i.\]
\[2 - \frac{1}{2}i.\]
\[ - 1 + 2i.\]
\[ - 1 + 2i.\]
Đáp án A
Ta có \[A\left( { - 2;1} \right),B\left( {1;3} \right)\].
Trung điểm của đoạn thẳng AB là \[I\left( {\frac{{ - 2 + 1}}{2};\frac{{1 + 3}}{2}} \right) \Rightarrow I\left( { - \frac{1}{2};2} \right)\].
Điểm I biểu diễn số phức \[ - \frac{1}{2} + 2i\].
Cho \[a,{\rm{ }}b\] là các số thực dương thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} = 8ab.\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\[\log \left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right).\]
\[\log \left( {a + b} \right) = 1 + \log a + \log b.\]
\[\log \left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + \log a + \log b} \right).\]
\[\log \left( {a + b} \right) = \frac{1}{2} + \log a + \log b.\]
Đáp án C
Với \[a,b > 0\] có \[{a^2} + {b^2} = 8ab \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 10ab \Leftrightarrow \log {\left( {a + b} \right)^2} = \log \left( {10ab} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 2\log \left( {a + b} \right) = 1 + \log a + \log b \Leftrightarrow \log \left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + \log a + \log b} \right)\].
Tính thể tích của khối lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\], biết \[AC' = 2a\sqrt 3 .\]
\[2{a^3}\sqrt 2 .\]
\[3{a^3}\sqrt 3 .\]
\[{a^3}.\]
\[8{a^3}.\]
Đáp án D
Ta có \[AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} = A{B^2} + B{C^2} + CC{'^2} = 3A{B^2}\].
\[\begin{array}{l} \to AB\sqrt 3 = AC' = 2a\sqrt 3 \Rightarrow AB = 2a.\\ \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A{B^3} = 8{a^3}.\end{array}\]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}1x = 2 + 2t\\y = - 1 - 3t\\z = 1\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\] Xét đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{m} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}},\] với m là tham số thực khác 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d
\[m = 1.\]
\[m = 2.\]
\[m = \frac{2}{3}.\]
\[m = \frac{1}{3}.\]
Đáp án C
Đường thẳng d có một VTCP là \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 3;0} \right)\].
Đường thẳng \[\Delta \] có một VTCP là \[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;m; - 2} \right)\].
YCBT \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow 2 - 3m + 0 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}\], thỏa mãn \[m \ne 0\].
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có \[AB = 6,{\rm{ }}AD = 4.\] Gọi \[M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}DA.\] Tính thể tích V của khối tròn xoay, nhận được khi quay tứ giác \[MNPQ\] xung quanh trục \[QN.\]
\[V = 2\pi .\]
\[V = 6\pi .\]
\[V = 8\pi .\]
\[V = 4\pi .\]
Đáp án C
Ta có \[V = \frac{1}{3}\pi H{M^2}.QH + \frac{1}{3}\pi H{M^2}.NH = \frac{2}{3}\pi {\left( {\frac{{AD}}{2}} \right)^2}.\frac{{AB}}{2} = 8\pi \].
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \[y = \frac{{2x - 1}}{{x + 5}}\] trên đoạn \[\left[ { - 1;3} \right].\]
\[\frac{5}{3}.\]
\[ - \frac{3}{4}.\]
\[ - \frac{1}{5}.\]
\[\frac{5}{8}.\]
Đáp án D
Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên \[\left[ { - 1;3} \right]\].
Ta có \[y' = \frac{{11}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} > 0,\forall \in \left( { - 1;3} \right) \Rightarrow {\max _{\left[ { - 1;3} \right]}}y = y\left( 3 \right) = \frac{5}{8}\].
Giải phương trình \[{2^{10x - 1}} = {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{x + 2}}.\]
\[x = - \frac{7}{{12}}.\]
\[x = - \frac{7}{{11}}.\]
\[x = - \frac{1}{2}.\]
\[x = - \frac{1}{3}.\]
Đáp án C
Ta có \[{2^{10x - 1}} = {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{x + 2}} \Rightarrow {2^{10x - 1}} = {\left( {\frac{1}{{{2^4}}}} \right)^{x + 2}} = {\left( {{2^{ - 4}}} \right)^{x + 2}} = {2^{ - 4\left( {x + 2} \right)}}\].
\[ \Rightarrow 10x - 1 = - 4\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}.\]
Biết rằng \[\int\limits_2^3 {\frac{{x + 1}}{{x\left( {x - 2} \right) + 1}}dx} = a + b\ln 2,\] với \[a,{\rm{ }}b \in \mathbb{Z}.\] Tính \[S = a + 2b.\]
\[S = 1.\]
\[S = 4.\]
\[S = 3.\]
\[S = 5.\]
Đáp án C
Ta có \[\int\limits_2^3 {\frac{{x + 1}}{{x\left( {x - 2} \right) + 1}}dx} = \int\limits_2^3 {\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x + 1}}dx} = \int\limits_2^3 {\frac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_2^3 {\frac{{x - 1 + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx} \]
\[\begin{array}{l} = \int\limits_2^3 {\left[ {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} \right]dx = \left( {\ln \left| {x - 1} \right| - \frac{2}{{x - 1}}} \right)\left| \begin{array}{l}^3\\_2\end{array} \right.} \\ = \left( {\ln 2 - 1} \right) - \left( { - 2} \right) = 1 + \ln 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow S = 3.\end{array}\]
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc \[60^\circ .\] Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\]
\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\]
\[\frac{{{a^3}}}{6}.\]
\[\frac{{{a^3}}}{3}.\]
Đáp án B
Ta có \[SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SBA} = 60^\circ \].
\[ \Rightarrow \tan 60^\circ = \frac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow SA = a\sqrt 3 \].
\[ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.A{B^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\]
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh \[SA = a\] và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] bằng
\[90^\circ .\]
\[45^\circ .\]
\[30^\circ .\]
\[60^\circ .\]
Đáp án B
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}CB \bot AB\\CB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CB \bot SB\].
Từ \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\BC \bot SB;BC \bot AB\\SB \subset \left( {SBC} \right);AB \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} = \widehat {SBA}\\ \Rightarrow \tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SBA} = 45^\circ .\end{array}\]
Biết hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - m + 1\] và \[f\left( 2 \right) = 1\]. Đồ thị của hàm số \[y = f\left( x \right)\] cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −5. Giá trị của \[f\left( 3 \right)\] là
22.
\[ - 22.\]
3.
\[ - 3.\]
Đáp án A
Ta có \[f\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} + 2x - m + 1} \right)dx} = {x^3} + {x^2} + \left( {1 - m} \right)x + C\].
Bài ra, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = 1\\f\left( 0 \right) = - 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {1 - m} \right) + C + 12 = 1\\C = - 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 4\\C = - 5\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 3x - 5 \Rightarrow f\left( 3 \right) = 22\].
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\] và điểm \[A\left( {1; - 1; - 1} \right).\] Điểm \[H\left( {a;b;c} \right)\] là hình chiếu vuông góc của A trên d. Tính \[a + 2b + c.\]
1.
4.
2.
3.
Đáp án D
Ta có \[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - t\\z = t\end{array} \right.\;\left( {t \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow H\left( {1 + t;1 - t;t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {t;2 - t;t + 1} \right)\].
Đường thẳng d có một VTCP là \[\overrightarrow u = \left( {1; - 1;1} \right)\].
Do \[AH \bot d\] nên \[\overrightarrow {AH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow t - 2 + t + t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow H\left( {\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)\].
Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y = \frac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 4} - 3}}{{{x^3} - x}}.\]
1.
2.
3.
4.
Đáp án B
Ta có \[y = \frac{{\left( {\sqrt {x + 1} - 1} \right) + \left( {\sqrt {x + 4} - 2} \right)}}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \frac{{\frac{x}{{\sqrt {x + 1} + 1}} + \frac{x}{{\sqrt {x + 4} + 2}}}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 4} + 2}}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\].
Đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận đứng là \[x = \pm 1\].
Tập nghiệm của phương trình \[\frac{1}{2}{\log _3}{\left( {x + 2} \right)^2} + \frac{1}{3}{\log _3}{\left( {4x - 1} \right)^3} = 2\] là
\[\left\{ {7;\frac{5}{2}} \right\}.\]
\[\left\{ {1; - \frac{{11}}{4}} \right\}.\]
\[\left\{ 7 \right\}.\]
\[\left\{ 1 \right\}.\]
Đáp án D
Điều kiện \[x > \frac{1}{4}\;\;\;\left( * \right)\]. Phương trình \[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.2{\log _3}\left( {x + 2} \right) + \frac{1}{3}.3{\log _3}\left( {4x - 1} \right) = 2\]
\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {4x - 1} \right)} \right] = 2 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {4x - 1} \right) = {2^3} \Rightarrow x = 1\] thỏa mãn (*).
Cho hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn \[\left( {O;R} \right)\]. Trên đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] lấy hai điểm \[A,{\rm{ }}B\] sao cho tam giác \[OAB\] vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng \[{R^2}\sqrt 2 .\] Tính thể tích V của khối nón đã cho.
\[V = \frac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{2}\]
\[V = \frac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{3}\]
\[V = \frac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{6}\]
\[V = \frac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{{12}}\]
Đáp án C
Ta có \[OA = OB \Rightarrow OA \bot OB \Rightarrow AB = R\sqrt 2 \].
\[{S_{SAB}} = \frac{1}{2}AB\sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = {R^2}\sqrt 2 \].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2}.R\sqrt 2 = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{{R\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = {R^2}\sqrt 2 \\ \Rightarrow S{A^2} - \frac{{{R^2}}}{2} = \left( {2{R^2}} \right) \Rightarrow SA = \frac{{3R}}{{\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow h = SO = \sqrt {S{A^2} - {R^2}} = R\sqrt {\frac{7}{2}} \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\sqrt {\frac{7}{2}} \pi {R^3}.\end{array}\]
Cho hàm số \[y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {2{m^2} - 10m + 9} \right)x\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị?
9.
7.
8.
6.
Đáp án B
Ta có \[y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {2{m^2} - 10m + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2{m^2} - 10m + 9 = 0\].
Hàm số có 2 điểm cực trị \[ \Leftrightarrow y' = 0\] có 2 nghiệm phân biệt
\[ \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - \left( {2{m^2} - 10m + 9} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 10m + 9 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 9.\]
Cho phương trình \[\log _2^2x - m{\log _2}x + 2m - 4 = 0\] (m là tham số thực) có hai nghiệm thực phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\] thỏa mãn \[{x_1} + {x_2} = 20.\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\[4 < m \le 6.\]
\[m > 6.\]
\[2 < m \le 4.\]
\[0 < m \le 2.\]
Đáp án A
Điều kiện \[x > 0\;\;\;\left( * \right)\]. Phương trình \[ \Leftrightarrow \left( {\log _2^2x - 4} \right) - m\left( {{{\log }_2}x - 2} \right) = 0\].
\[ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - 2} \right)\left( {{{\log }_2}x + 2} \right) = m\left( {{{\log }_2}x - 2} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 2\\{\log _2}x + 2 = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = {2^{m - 2}}\end{array} \right.\].
\[ \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 4 + {2^{m - 2}} = 20 \Rightarrow {2^{m - 2}} = 16 \Rightarrow m - 2 = 4 \Rightarrow m = 6\] thỏa mãn.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \frac{{x - 2}}{{x - m}}\] đồng biến trên khoảng \[\left( { - {\mkern 1mu} \infty ;{\mkern 1mu} - 1} \right)?\]
3.
4.
2.
5.
Đáp án A
Ta có \[y' = \frac{{ - m + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} > 0,\forall x < - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 2 > 0\\m \ge - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m < 2\].
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, \[AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\] Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và đường thẳng SB tạo với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] một góc \[60^\circ .\] Khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AD\] và \[SC\] bằng
\[\frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\]
\[\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]
\[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]
\[\frac{a}{2}.\]
Đáp án A
Ta có \[AD//BC \Rightarrow AD//\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {AD;SC} \right) = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\].
Kẻ \[AP \bot SB \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AP \Rightarrow d\left( {AD;SC} \right) = AP\].
Ta có \[\frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\]. Cạnh \[AB = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{2}\].
Lại có \[\widehat {\left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SBA} = 60^\circ \].
\[ \Rightarrow \tan 60^\circ = \frac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AP = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\]
Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích \[72d{m^3}\] và chiều cao là \[3dm.\] Một vách ngăn (cùng bằng kính) ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước a, b (đơn vị dm) như hình vẽ. Tính a, b để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa), coi bề dày các tấm kính như nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể.
\[a = \sqrt {24} ,{\rm{ }}b = \sqrt {24} .\]
\[a = 3,{\rm{ }}b = 8.\]
\[a = 3\sqrt 2 ,{\rm{ }}b = 4\sqrt 2 .\]
\[a = 4,{\rm{ }}b = 6.\]
Đáp án D
Thể tích của bể là \[V = 3ab = 72 \Rightarrow ab = 24\].
Để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất thì tổng diện tích S của bốn mặt bên, mặt đáy, tấm kính ở giữa phải nhỏ nhất.
Ta có \[S = 2.3a + 2.3b + ab + 3a = ab + 9a + 6b \ge ab + 2\sqrt {9a.6b} = 24 + 2\sqrt {54.24} = 96\].
Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = 24\\9a = 6b > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 6\end{array} \right.\].
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\] và \[{d_2}:\frac{{x + 4}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}.\] Mặt phẳng \[\left( Q \right):ax + by + cz - 4 = 0\] chứa đường thẳng \[{d_1}\] và song song với đường thẳng \[{d_2}.\] Tính \[a + b + c.\]
6.
3.
−6.
−3.
Đáp án A
Đường thẳng \[{d_1}\] có một VTCP là \[\overrightarrow v = \left( {1;1; - 1} \right)\].
Đường thẳng \[{d_2}\] có một VTCP là \[\overrightarrow u = \left( {1; - 2;1} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( Q \right)\] nhận \[\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right]\] là một VTPT.
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow v = \left( {1;1; - 1} \right)\\\overrightarrow u = \left( {1; - 2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( { - 1; - 2; - 3} \right) \Rightarrow \left( Q \right)\] sẽ nhận \[\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2;3} \right)\] là một VTPT.
Kết hợp với \[\left( Q \right)\] qua \[A\left( {1;0;1} \right) \Rightarrow 1.\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 0} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0\].
\[ \Rightarrow \left( Q \right):x + 2y + 3z - 4 = 0\].
Đường thẳng d qua \[M\left( { - 4;2; - 3} \right)\], rõ ràng \[M \notin \left( Q \right):x + 2y + 3z - 4 = 0\]
\[ \Rightarrow \left( Q \right):x + 2y + 3z - 4 = 0\] thỏa mãn.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
\[{d_1}:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}},{\rm{ }}{d_2}:\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}.\] Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa \[{d_1}\] và \[{d_2}\], đồng thời cách đều hai đường thẳng đó?
\[\frac{{x - 3}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}.\]
\[\frac{{x + 3}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}.\]
\[\frac{{x + 3}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}.\]
\[\frac{{x - 3}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}.\]
Đáp án A
Đường thẳng \[{d_1}\] qua \[A\left( {2; - 3;4} \right)\] và nhận \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;1; - 2} \right)\] là một VTCP.
Đường thẳng \[{d_2}\] qua \[B\left( {4; - 1;0} \right)\] và nhận \[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;1; - 2} \right)\] là một VTCP.
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}A \notin {d_2}\\\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \end{array} \right. \Rightarrow {d_1}//{d_2}\].
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
Bài ra d thuộc mặt phẳng chứa \[{d_1}\] và \[{d_2}\], đồng thời cách đều \[{d_1}\] và \[{d_2}\].
Ta có \[A\left( {2; - 3;4} \right) \in {d_1}\] và \[B\left( {4; - 1;0} \right) \in {d_2} \Rightarrow \] trung điểm M của AB sẽ thuộc d.
Điểm \[M\left( {\frac{{2 + 4}}{2};\frac{{ - 3 - 1}}{2};\frac{{4 + 0}}{2}} \right) \Rightarrow M\left( {3; - 2;2} \right) \Rightarrow d\] qua \[M\left( {3; - 2;2} \right)\].
Lại có \[C\left( {5; - 2;2} \right) \in {d_1}\] và \[D\left( {7;0; - 2} \right) \in {d_2} \Rightarrow \] trung điểm N của CD sẽ thuộc d.
Điểm \[N\left( {\frac{{5 + 7}}{2};\frac{{ - 2 + 0}}{2};\frac{{2 - 2}}{2}} \right) \Rightarrow N\left( {6; - 1;0} \right) \Rightarrow d\] qua \[N\left( {6; - 1;0} \right)\].
Đường thẳng d qua \[M\left( {3; - 2;2} \right)\] và nhận \[\overrightarrow {MN} = \left( {3;1; - 2} \right)\] là một VTCP.
\[ \Rightarrow d:\frac{{x - 3}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\].
Có bao nhiêu số số phức z thỏa mãn \[\left| {z + 1} \right| = 2\sqrt 5 \] và \[{\left( {z - 1} \right)^2}\] là số thuần ảo?
2.
3.
1.
4.
Đáp án D
Giả sử \[z = a + bi\;\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\], ta có \[\left| {z + 1} \right| = 2\sqrt 5 \]
\[ \Leftrightarrow \left| {a + bi + 1} \right| = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2}} = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2a = 19.\]
Lại có \[{\left( {z - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1 + bi} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} - {b^2} + 2b\left( {a - 1} \right)i\] là số thuần ảo.
Nên \[{\left( {a - 1} \right)^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow {b^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} \Rightarrow {a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} + 2a = 19 \Leftrightarrow 2{a^2} = 18 \Leftrightarrow a = \pm 3\].
+ Với \[a = 3 \Rightarrow {b^2} = 4 \Leftrightarrow b = \pm 2 \Rightarrow z = 3 \pm 2i\].
+ Với \[a = - 3 \Rightarrow {b^2} = 16 \Leftrightarrow b = \pm 4 \Rightarrow z = - 3 \pm 4i\].
Do đó sẽ có 4 số phức z thỏa mãn bài toán.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\] và đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\] như hình vẽ. Bất phương trình \[f\left( x \right) > {x^3} + 4x + m\] nghiệm đúng với mọi \[x \in \left( {0;2} \right)\] khi và chỉ khi
\[m < f\left( 0 \right).\]
\[m \le f\left( 0 \right).\]
\[m < f\left( 2 \right) - 16.\]
\[m \le f\left( 2 \right) - 16.\]
Đáp án D
Xét hàm số \[g\left( x \right) = f\left( x \right) - {x^3} - 4x,x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 3{x^2} - 4\].
Từ hình vẽ, ta thấy với mọi \[x \in \left( {0;2} \right)\] thì \[0 < f'\left( x \right) < 4 \Rightarrow f'\left( x \right) - 4 < 0\]
\[ \Rightarrow g'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow g\left( x \right)\] nghịch biến trên \[\left( {0;2} \right)\].
Khi đó \[m < g\left( x \right),\forall x \in \left( {0;2} \right) \Leftrightarrow m \le g\left( 2 \right) \Leftrightarrow m \le f\left( 2 \right) - 16\].
Cho A là tập các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy một số bất kỳ của tập A. Tính xác suất để lấy được số lẻ và chia hết cho 9.
\[\frac{{625}}{{1701}}\]
\[\frac{1}{9}\]
\[\frac{1}{{18}}\]
\[\frac{{1250}}{{1701}}\]
Đáp án C
Có tất cả \[9.10.10.10.10.10.10 = {9.10^6}\] số tự nhiên có 7 chữ số.
Ta có \[\overline {abcdefg} \; \vdots \;9 \Leftrightarrow \left( {a + b + c + d + e + f + g} \right) \vdots 9\]. Các số lẻ chia hết cho 9 là 1000017, 1000035, 100053,…,9999999.
Đây là một cấp số cộng có \[{u_1} = 1000017\] và công sai \[d = 18\].
Số phần tử của dãy này là \[\frac{{999999 - 1000017}}{{18}} + 1 = 500000\].
Vậy xác suất cần tìm là \[\frac{{500000}}{{{{9.10}^6}}} = \frac{1}{{18}}.\]
Xét các số thực \[a,{\rm{ }}b\] thỏa mãn điều kiện \[\frac{1}{3} < b < a < 1\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = {\log _a}\left( {\frac{{3b - 1}}{4}} \right) + 12\log _{\frac{b}{a}}^2a - 3.\]
13.
\[\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}.\]
9.
\[\sqrt[3]{2}.\]
Đáp án C
Ta có \[\frac{{3b - 1}}{4} \le {b^3} \Leftrightarrow 4{b^3} - 3b + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {b + 1} \right)\left( {4{b^2} - 4b + 1} \right) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {b + 1} \right){\left( {2b - 1} \right)^2} \ge 0\] luôn đúng với \[\frac{1}{3} < b < 1.\]
\[ \Rightarrow {\log _a}\left( {\frac{{3b - 1}}{4}} \right) \ge {\log _a}{b^3}\] (vì \[a < 1\]) \[ \Rightarrow {\log _a}\left( {\frac{{3b - 1}}{4}} \right) \ge 3{\log _a}b\].
Biến đổi \[{\log _{\frac{b}{a}}}a = \frac{1}{{{{\log }_a}\frac{b}{a}}} = \frac{1}{{{{\log }_a}b - 1}}\]
\[ \Rightarrow P \ge 3{\log _a}b + \frac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}} - 3 = 3\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + \frac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}\].
Bài ra \[\frac{1}{3} < b < a < 1 \Rightarrow {\log _a}b > 1\].
Đặt \[t = {\log _a}b - 1 > 0 \Rightarrow P \ge 3t + \frac{{12}}{{{t^2}}} = \frac{{3t}}{2} + \frac{{3t}}{2} + \frac{{12}}{{{t^2}}} \ge 3.\sqrt {\frac{{3t}}{2}.\frac{{3t}}{2}.\frac{{12}}{{{t^2}}}} = 9\].
Dấu “=” xảy ra \[\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{2}\\\frac{{3t}}{2} = \frac{{12}}{{{t^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{2}\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{2}\\b = {a^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{2}\\a = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\end{array} \right.\].
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \[x = 1\] và \[f'\left( 1 \right) \ne 0.\] Gọi \[{d_1}\], \[{d_2}\] lần lượt là hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] và \[y = g\left( x \right) = x.f\left( {2x - 1} \right)\] tại điểm có hoành độ \[x = 1.\] Biết rằng hai đường thẳng \[{d_1}\], \[{d_2}\] vuông góc với nhau. Khẳng định nào sau đây đúng?
\[\sqrt 2 < \left| {f\left( 1 \right)} \right| < 2.\]
\[\left| {f\left( 1 \right)} \right| \le \sqrt 2 .\]
\[\left| {f\left( 1 \right)} \right| \ge 2\sqrt 2 .\]
\[2 \le \left| {f\left( 1 \right)} \right| < 2\sqrt 2 .\]
Đáp án C
Ta có \[g'\left( x \right) = f\left( {2x - 1} \right) + 2x.f'\left( {2x - 1} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = f\left( 1 \right) + 2f'\left( 1 \right)\].
\[{d_1}\] có hệ số góc là \[f'\left( 1 \right)\] và \[{d_2}\] có hệ số góc là \[g'\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) + 2f'\left( 1 \right)\].
Mà \[{d_1} \bot {d_2} \Rightarrow f'\left( 1 \right).g'\left( 1 \right) = - 1 \Leftrightarrow f'\left( 1 \right).\left[ {f\left( 1 \right) + 2f'\left( 1 \right)} \right] = - 1\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( 1 \right) = \frac{{ - 2{{\left[ {f'\left( 1 \right)} \right]}^2} - 1}}{{f'\left( 1 \right)}}\\ \Rightarrow \left| {f\left( 1 \right)} \right| = \left| {\frac{{2{{\left[ {f'\left( 1 \right)} \right]}^2} + 1}}{{f'\left( 1 \right)}}} \right| = \frac{{2{{\left[ {f'\left( 1 \right)} \right]}^2} + 1}}{{\left| {f'\left( 1 \right)} \right|}} \ge \frac{{2\sqrt {2{{\left[ {f'\left( 1 \right)} \right]}^2}.1} }}{{\left| {f'\left( 1 \right)} \right|}} = 2\sqrt 2 .\end{array}\]
Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\] thỏa mãn \[f\left( x \right) + 4f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 8{x^2}.\] Tính tích phân \[I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} .\]
\[I = \frac{3}{2}.\]
\[I = \frac{9}{2}.\]
\[I = 3.\]
\[I = 4.\]
Đáp án C
Đặt \[x = \frac{1}{t}\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_2^{\frac{1}{2}} {t.f\left( {\frac{1}{t}} \right)d\left( {\frac{1}{t}} \right)} = \int\limits_2^{\frac{1}{2}} {t.f\left( {\frac{1}{t}} \right).\frac{{ - 1}}{{{t^2}}}dt} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{t}.f\left( {\frac{1}{t}} \right)dt} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{x}.f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow 5I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} + 4\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{x}.f\left( {\frac{1}{x}} \right)dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{x}\left[ {f\left( x \right) + 4f\left( {\frac{1}{x}} \right)} \right]dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{x}.8{x^2}dx} = 4{x^2}\left| \begin{array}{l}^2\\_{\frac{1}{2}}\end{array} \right. = 15 \Rightarrow I = 3.\end{array}\]
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \[\left( {{S_1}} \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1.\] Xét mặt cầu \[\left( {{S_2}} \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - m} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 16,\] với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho \[\left( {{S_1}} \right)\] tiếp xúc với \[\left( {{S_2}} \right).\] Tính tổng tất cả các phần tử của S.
6.
10.
4.
8.
Đáp án D
Mặt cầu \[\left( {{S_1}} \right)\] có tâm \[{I_1}\left( {1;2;3} \right)\] và bán kính \[{R_1} = 1\].
Mặt cầu \[\left( {{S_2}} \right)\] có tâm \[{I_2}\left( {2;m;1} \right)\] và bán kính \[{R_2} = 4\].
Ta có \[\left( {{S_1}} \right)\] tiếp xúc với \[\left( {{S_2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}\\{I_1}{I_2} = \left| {{R_1} - {R_2}} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{I_1}{I_2} = 5\\{I_1}{I_2} = 3\end{array} \right.\].
Ta có \[\overrightarrow {{I_1}{I_2}} = \left( {1;m - 2; - 2} \right) \Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {{{\left( {m - 2} \right)}^2} + 5} \].
\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {m - 2} \right)}^2} + 5} = 5\\\sqrt {{{\left( {m - 2} \right)}^2} + 5} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} + 5 = 25\\{\left( {m - 2} \right)^2} + 5 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 \pm 2\sqrt 5 \\m = 0\\m = 4\end{array} \right.\].
Cho hai số phức z, w thỏa mãn \[\left| {z + 2w} \right| = 3\], \[\left| {2z + 3w} \right| = 6\] và \[\left| {z + 4w} \right| = 7\]. Tính giá trị của biểu thức \[P = z.\bar w + \bar z.w\].
\[P = - 14i\]
\[P = - 28i\]
\[P = - 14\]
\[P = - 28\]
Đáp án D
Ta có \[\begin{array}{l}\left| {z + 2w} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left| {z + 2w} \right|^2} = 9 \Leftrightarrow \left( {z + 2w} \right).\left( {\overline {z + 2w} } \right) = 9\\ \Leftrightarrow \left( {z + 2w} \right).\left( {\overline z + 2\overline w } \right) = 9 \Leftrightarrow z.\overline z + 2\left( {z.\overline w + \overline z .w} \right) + 4w.\overline z = 9 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} + 2P + 4{\left| w \right|^2} = 9\;\;\;\left( 1 \right)\end{array}\]
Tương tự:
\[\begin{array}{l}\left| {2z + 3w} \right| = 6 \Leftrightarrow \left( {2z + 3w} \right).\left( {2\overline z + 3\overline w } \right) = 36 \Leftrightarrow 4{\left| z \right|^2} + 6P + 9{\left| w \right|^2} = 36\;\;\;\left( 2 \right)\\\left| {z + 4w} \right| = 7 \Leftrightarrow \left( {z + 4w} \right).\left( {\overline z + 4\overline w } \right) = 49 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} + 4P + 16{\left| w \right|^2} = 49\;\;\;\left( 3 \right)\end{array}\]
Từ (1), (2), (3) ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{\left| z \right|^2} = 33\\P = - 28\\{\left| w \right|^2} = 8\end{array} \right. \Rightarrow P = - 28\].
Cho hàm số f(x). Hàm số \[y = f'\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ và \[f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) - 2f\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) - f\left( 3 \right)\].
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).\]
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 2 \right).\]
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 4 \right).\]
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).\]
Đáp án C
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( {0;4} \right)\\f'\left( x \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\]. Ta cần so sánh \[f\left( 0 \right),f\left( 4 \right),f\left( 2 \right)\]. Nên loại được D.
Hàm số \[f\left( x \right)\] đồng biến trên \[\left( {0;2} \right) \Rightarrow f\left( 2 \right) > f\left( 0 \right) \Rightarrow \] Loại B.
Từ \[f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) - 2f\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) - f\left( 3 \right) \Rightarrow f\left( 4 \right) - f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) + f\left( 3 \right) - 2f\left( 2 \right)\].
Hàm số \[f\left( x \right)\] đồng biến trên \[\left( {0;2} \right) \Rightarrow f\left( 2 \right) > f\left( 1 \right)\].
Hàm số \[f\left( x \right)\] nghịch biến trên \[\left( {2;4} \right) \Rightarrow f\left( 2 \right) > f\left( 3 \right)\].
\[ \Rightarrow 2f\left( 2 \right) > f\left( 1 \right) + f\left( 3 \right) \Rightarrow f\left( 4 \right) - f\left( 0 \right) < 0 \Rightarrow f\left( 4 \right) < f\left( 0 \right)\].
Vậy \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)\].
Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số \[y = f\left[ {f\left( x \right)} \right]\].
5.
3.
4.
6.
Đáp án C
Cách 1:
Xét \[f'\left( x \right) = ax\left( {x - 2} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = a\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right) + b\].
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 0\\f\left( 2 \right) = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\ - \frac{4}{3}a = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3x\left( {x - 2} \right)\\f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\\y = f\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)\end{array} \right.\\y' = \left( {3{x^2} - 6x} \right).f'\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right) = 3x\left( {x - 2} \right).3\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)\left( {{x^3} - 3{x^2} - 2} \right) = 9{x^3}\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {{x^3} - 3{x^2} - 2} \right)\end{array}\]
Ta có \[{x^3} - 3{x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 2 \Rightarrow y' = 0\] có 1 nghiệm đơn \[x = {x_0}\] khác \[x = 0;x = 2;x = 3\].
Như vậy tổng số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của \[y' = 0\] là 4. Chọn C.
Cách 2:
Ta có \[y' = f'\left( x \right).f'\left[ {f\left( x \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f'\left[ {f\left( x \right)} \right] = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 2\end{array} \right.\].
Phương trình \[f\left( x \right) = 0\] có 1 nghiệm kép \[x = 0\] và 1 nghiệm đơn \[x = a\;\left( {a > 2} \right)\].
Phương trình \[f\left( x \right) = 2\] có 1 nghiệm đơn \[x = b\;\left( {b > a} \right)\].
Như vậy \[y' = 0\] có tất cả 4 nghiệm đơn (nghiệm bội lẻ) là \[x = 0;x = 2;x = a;x = b\].
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) của hàm số \[y = 6x - {x^2}\] và trục hoành. Hai đường thẳng \[y = m,y = n\] chia hình (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính \[P = {\left( {9 - m} \right)^3} + {\left( {9 - n} \right)^3}.\]
\[P = 405.\]
\[P = 409.\]
\[P = 407.\]
\[P = 403.\]
Đáp án A
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = 6x - {x^2};y = 0\] là \[\int\limits_0^6 {\left| {6x - {x^2}} \right|dx} = 36\].
Ta có \[{x^2} - 6x + m = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} = 9 - m \Rightarrow x = 3 \pm \sqrt {9 - m} \;\left( {0 < m < 9} \right)\].
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = 6x - {x^2};y = m\].
\[\frac{2}{3}.36 = \int\limits_{3 - \sqrt {9 - m} }^{3 + \sqrt {9 - m} } {\left( {6x - {x^2} - m} \right)dx} \Rightarrow 24.3 = \left( {9{x^2} - {x^3} - 3mx} \right)\left| \begin{array}{l}^{3 + \sqrt {9 - m} }\\_{3 - \sqrt {9 - m} }\end{array} \right.\]
Đặt \[\sqrt {9 - m} = a\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow 72 = 9\left[ {{{\left( {3 + a} \right)}^2} - {{\left( {3 - a} \right)}^2}} \right] - \left[ {{{\left( {3 + a} \right)}^3} - {{\left( {3 - a} \right)}^3}} \right] - 3\left( {9 - {a^2}} \right).2a\\\;\;\;\;\;\;\;\; = 9.12a - \left[ {{{\left( {a + 3} \right)}^3} + {{\left( {a - 3} \right)}^3}} \right] - 6a\left( {9 - {a^2}} \right) = 54a + 6{a^3} - \left( {2{a^3} + 54a} \right) = 4{a^3}\\ \Rightarrow {a^3} = 18 \Rightarrow {\left( {\sqrt {9 - m} } \right)^3} = 18 \Rightarrow {\left( {9 - m} \right)^3} = 324.\end{array}\]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = 6x - {x^2};y = n\].
\[\frac{1}{3}.36 = \int\limits_{3 - \sqrt {9 - n} }^{3 + \sqrt {9 - n} } {\left( {6x - {x^2} - n} \right)dx} \Rightarrow 12.3 = \left( {9{x^2} - {x^3} - 3nx} \right)\left| \begin{array}{l}^{3 + \sqrt {9 - n} }\\_{3 - \sqrt {9 - n} }\end{array} \right.\]
Tương tự như trên \[ \Rightarrow 36 = 4{\left( {\sqrt {9 - n} } \right)^3} \Rightarrow {\left( {9 - n} \right)^3} = 81.\]
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 4\] và hai điểm \[A\left( { - 1;2;0} \right),{\rm{ }}B\left( {2;5;0} \right).\] Điểm \[K\left( {a;b;c} \right)\] thuộc \[\left( S \right)\] sao cho \[KA + 2KB\] nhỏ nhất. Tính giá trị của \[a - b + c.\]
\[4 - \sqrt 3 .\]
\[ - \sqrt 3 .\]
\[4 + \sqrt 3 .\]
\[\sqrt 3 .\]
Đáp án B
Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {3;2;0} \right)\] và bán kính \[R = 2\].
Ta có \[\overrightarrow {AI} = \left( {4;0;0} \right) \Rightarrow AI = 4 \Rightarrow AI = 2IK \Rightarrow \frac{{IA}}{{IK}} = 2\].
Trên đoạn thẳng AI lấy điểm C sao cho \[IC = 1 \Rightarrow C\] cố định.
Ta có \[\begin{array}{l}IC.IA = 1.4 = 4 = I{K^2} \Rightarrow \Delta ICK\~\Delta IKA\\ \Rightarrow \frac{{CK}}{{KA}} = \frac{{IK}}{{IA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow KA = 2KC\end{array}\]
\[ \Rightarrow KA + 2KB = 2\left( {KC + KB} \right) \ge 2BC\] (không đổi).
Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow K = BC \cap \left( S \right)\] và K ở giữa B và C.
Ta có \[\overrightarrow {IA} = 4\overrightarrow {IC} \Rightarrow C\left( {2;2;0} \right)\].
Đường thẳng BC qua \[C\left( {2;2;0} \right)\] và nhận \[\overrightarrow {CB} = \left( {0;3;0} \right)\] là một VTCP.
\[ \Rightarrow BC:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2 + 2t\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {2;2t + 2;0} \right)\].
Ép cho \[K \in \left( S \right) \Rightarrow 1 + 4{t^2} = 4 \Rightarrow t = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}K\left( {2;2 + \sqrt 3 ;0} \right)\\K\left( {2;2 - \sqrt 3 ;0} \right)\end{array} \right.\].
Mà K ở giữa B và C \[ \Rightarrow K\left( {2;2 + \sqrt 3 ;0} \right)\].
