Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 28)
50 câu hỏi
Cho a là số thực dương tùy ý và \[a \ne 1.\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\[{\log _{\sqrt a }}{a^2} = 2.\]
\[{\log _{\sqrt a }}{a^2} = 4.\]
\[{\log _{\sqrt a }}{a^2} = a.\]
\[{\log _{\sqrt a }}{a^2} = 2a.\]
Đáp án B
Ta có \({\log _{\sqrt a }}{a^2} = {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{a^2} = \frac{2}{{\frac{1}{2}}}{\log _a}a = 4.\)
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_1} = 3,{\rm{ }}{u_6} = \frac{3}{{32}}.\] Tìm q.
\[q = 2.\]
\[q = 4.\]
\[q = \frac{1}{4}.\]
\[q = \frac{1}{2}.\]
Đáp án D
Ta có \({u_6} = {u_1}{q^5} \Rightarrow \frac{3}{{32}} = 3{q^5} \Rightarrow q = \frac{1}{2}.\)
Điểm M như hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?
\[z = 3 - 2i.\]
\[z = - 2 + 3i.\]
\[z = 2 - 3i.\]
\[z = 3 + 2i.\]
Đáp án B
Ta có \(M\left( { - 2;3} \right) \Rightarrow z = - 2 + 3i.\)
Cho \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 5.\] Tích phân \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\cos x + f\left( x \right)} \right]dx} \] bằng
4.
8.
6.
7.
Đáp án C
Ta có \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\cos x + f\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \sin x\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{2}}} \right. + 5 = 6.} \)
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \[\vec a = 2\vec i + \vec k - 3\vec j.\] Tọa độ của vectơ \[\vec a\] là
\[\left( {1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} - 3} \right).\]
\[\left( {2;{\mkern 1mu} - 3;{\mkern 1mu} 1} \right).\]
\[\left( {2;{\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} - 3} \right).\]
\[\left( {1;{\mkern 1mu} - 3;{\mkern 1mu} 2} \right).\]
Đáp án B
Ta có \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k - 3\overrightarrow j = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow a = \left( {2; - 3;1} \right).\)
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ ?
\[y = - {x^4} + 3{x^2} + 1{\mkern 1mu} .\]
\[y = {x^4} - 2{x^2} + 1{\mkern 1mu} .\]
\[y = - {x^4} + 2{x^2} + 1{\mkern 1mu} .\]
\[y = {x^4} + 3{x^2} + 1{\mkern 1mu} .\]
Đáp án C
Ta có \(y\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow \) Loại A, B, D.
Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và đường sinh bằng 5. Tính thể tích V của khối nón (N).
\[V = 36\pi .\]
\[V = 45\pi .\]
\[V = 15\pi .\]
\[V = 12\pi .\]
Đáp án D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\\r = 3;l = 5;{l^2} = {h^2} + {R^2}\end{array} \right. \Rightarrow h = 4 \Rightarrow V = 12\pi .\)
Cho số phức \[z = 1 + 2i.\] Tìm số phức \[w = iz + \bar z.\]
\[w = - 1 - i.\]
\[w = - 3 + 3i.\]
\[w = 1 + i.\]
\[w = 3 - 3i.\]
Đáp án A
Ta có \(w = i\left( {1 + 2i} \right) + \left( {1 - 2i} \right) = - 1 - i.\)
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\[\left( { - \infty ;4} \right).\]
\[\left( { - 1; + \infty } \right).\]
\[\left( { - 2;0} \right).\]
\[\left( {0; + \infty } \right).\]
Đáp án D
Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Tìm tập xác định D của hàm số \[y = {\left( {{x^3} - 8} \right)^{ - 2020}}.\]
\[D = \left( {2; + \infty } \right).\]
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\]
\[D = \left( { - \infty ;2} \right).\]
\[D = \left( { - 2; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ;2} \right).\]
Đáp án B
Hàm số \(y = {\left( {{x^3} - 8} \right)^{ - 2020}}\) xác định \( \Leftrightarrow {x^3} - 8 \ne 0 \Leftrightarrow {x^3} \ne 8 \Leftrightarrow x \ne 2.\)
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{4x + 1}}\] là
\[\ln \left| {4x + 1} \right| + C.\]
\[4\ln \left| {4x + 1} \right| + C.\]
\[ - \frac{4}{{{{\left( {4x + 1} \right)}^2}}} + C.\]
\[\frac{1}{4}\ln \left| {4x + 1} \right| + C.\]
Đáp án D
Ta có \(\int {\frac{1}{{4x + 1}}dx} = \frac{1}{4}\ln \left| {4x + 1} \right| + C.\)
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
\[x = 0.\]
\[x = 9.\]
\[x = - 7.\]
\[x = - 2.\]
Đáp án A
Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 0.\)
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Phương trình \[f\left( x \right) - 7 = 0\] có số nghiệm thực là
1.
2.
3.
0.
Đáp án B
Đường thẳng \(y = 7\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại đúng 2 điểm phân biệt.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{3}.\] Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ nào dưới đây
\[\left( { - 1;2; - 3} \right).\]
\[\left( { - 1; - 2; - 3} \right).\]
\[\left( {1;2; - 3} \right).\]
\[\left( {1;2;3} \right).\]
Đáp án C
Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ \(\left( {1;2; - 3} \right)\).
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức \[1 + \sqrt 3 i\] và \[1 - \sqrt 3 i\] là nghiệm?
\[{z^2} + 2z - 4 = 0.\]
\[{z^2} - 2z - 4 = 0.\]
\[{z^2} + 2z + 4 = 0.\]
\[{z^2} - 2z + 4 = 0.\]
Đáp án D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = \left( {1 + \sqrt 3 i} \right) + \left( {1 - \sqrt 3 i} \right) = 2\\{z_1}{z_2} = \left( {1 + \sqrt 3 i} \right)\left( {1 - \sqrt 3 i} \right) = 4\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {z_1},{z_2}\) là 2 nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 4 = 0.\)
Từ các chữ số \[{\rm{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}}\] lập được bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau?
84.
168.
504.
252.
Đáp án C
Chữ số hàng trăm có 9 cách chọn.
Chữ số hàng chục có 8 cách chọn.
Chữ số hàng đơn vị có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, có tất cả \(9.8.7 = 504\) số thỏa mãn.
Giải phương trình \[{2^{{x^2} - 10x + \frac{5}{2}}} = 8\sqrt 2 .\]
\[x = 5 \pm 2\sqrt 6 .\]
\[x = 5 \pm \sqrt {26} .\]
\[x = - 5 \pm 2\sqrt 6 .\]
\[x = - 5 \pm \sqrt {26} .\]
Đáp án B
Ta có \({2^{{x^2}10x + \frac{5}{2}}} = 8\sqrt 2 = {2^3}{.2^{\frac{1}{2}}} = {2^{3 + \frac{1}{2}}} = {2^{\frac{7}{2}}} \Rightarrow {x^2} - 10x + \frac{5}{2} = \frac{7}{2} \Leftrightarrow x = 5 \pm \sqrt {26} .\)
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục và có đồ thị (C) như hình vẽ. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục Ox. Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích được xác định theo công thức
\[\pi \int\limits_1^3 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\]
\[\frac{1}{3}\int\limits_1^3 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\]
\[{\pi ^2}\int\limits_1^3 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\]
\[\int\limits_1^3 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\]
Đáp án A
Ta có \(V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx.} \)
Cho tứ diện ABCD có \[AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}AD\] đôi một vuông góc với nhau và \[AB = 2a,{\rm{ }}AC = 3a,{\rm{ }}AD = 4a.\] Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng
\[6{a^3}.\]
\[3{a^3}.\]
\[4{a^3}.\]
\[2{a^3}.\]
Đáp án C
Ta có \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD = 4{a^3}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}.\] Xét mặt phẳng \[\left( P \right):x - 3y + 2mz - 4 = 0,\] với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).
\[m = \frac{1}{2}.\]
\[m = \frac{1}{3}.\]
\[m = 1.\]
\[m = 2.\]
Đáp án A
Đường thẳng d qua \(A\left( {4;1;2} \right)\) có một VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;1} \right).\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3;2m} \right).\)
YCBT\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \notin \left( P \right)\\\overrightarrow u .\overrightarrow n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 3.1 + 2m.2 - 4 \ne 0\\2 - 3 + 2m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 3 \ne 0\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.\)
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \[M\left( {1;2; - 3} \right)\] trên mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là
\[\left( {0; - 2;0} \right).\]
\[\left( {0;2;0} \right).\]
\[\left( {1;0; - 3} \right).\]
\[\left( { - 1;0;3} \right).\]
Đáp án C
Điểm cần tìm là H với \(\left\{ \begin{array}{l}{x_H} = {x_M}\\{y_H} = 0\\{z_H} = {z_M}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;0; - 3} \right).\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^4} - {x^2} + 6\] trên đoạn \[\left[ { - 2;0} \right]\] bằng
18.
6.
\[\frac{{19}}{4}.\]
\[\frac{{23}}{4}.\]
Đáp án D
Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên \(\left[ { - 2;0} \right]\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - 2;0} \right)\\y' = 4{x^3} - 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\]
Tính \(y\left( { - 2} \right) = 18;y\left( 0 \right) = 6;y\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{23}}{4} \Rightarrow {\min _{\left[ { - 2;0} \right]}}y = \frac{{23}}{4}.\)
Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 6cm, chiều dài lăn là 25cm (như hình vẽ). Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo nên bức tường phẳng có diện tích là
\[1500\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]
\[150\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]
\[3000\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]
\[300\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]
Đáp án A
Diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .3.25 = 150\pi .\)
Khi lăn sơn quay một vòng sẽ quét được một diện tích bằng diện tích xung quanh của hình trụ.
Do đó trục lăn quay 10 vòng sẽ quét được diện tích là \(S = 10.{S_{xq}} = 1500\pi \left( {c{m^2}} \right).\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - m - 1} \right)x\] đạt cực đại tại điểm \[x = - 1.\]
\[m = 0.\]
\[m = - 1.\]
\[m \in \emptyset .\]
\[m \in \left\{ {0; - 1} \right\}.\]
Đáp án A
Ta có \(y' = {x^2} - 2mx + {m^2} - m - 1 \Rightarrow y'' = 2x - 2m.\)
YCBT
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( { - 1} \right) = 0\\y''\left( { - 1} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 2m + {m^2} - m - 1 = 0\\ - 2 - 2m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left( {m + 1} \right) = 0\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0.\)
Tập nghiệm của phương trình \[2{\log _4}x - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) = 1\] là
\[\left\{ {2;3} \right\}.\]
\[\left\{ { - 1;2} \right\}.\]
\[\left\{ 2 \right\}.\]
\[\left\{ 4 \right\}.\]
Đáp án C
Điều kiện \(x > 1\) (*). Phương trình \( \Leftrightarrow 2{\log _{{2^2}}}x + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow 2.\frac{1}{2}{\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow x = 2\) thỏa mãn (*)
Biết rằng \[\int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{{x^2} + 3x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\] với \[a,{\rm{ }}b \in \mathbb{Z}.\] Tính \[S = {a^3} + {b^3}.\]
\[S = 26.\]
\[S = - 37.\]
\[S = 28.\]
\[S = - 98.\]
Đáp án D
Phân tích
\(\frac{{x - 1}}{{{x^2} + 3x + 2}} = \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{m}{{x + 1}} + \frac{n}{{x + 2}} \Rightarrow x - 1 = m\left( {x + 2} \right) + n\left( {x + 1} \right).\)
Cho
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow m = - 2\\x = - 2 \Rightarrow n = 3\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{3}{{x + 2}} - \frac{2}{{x + 1}}} \right)dx} = 3\ln \left| {x + 2} \right|\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle1\atop\scriptstyle}} \right.\)
\( \Rightarrow I = \left( {3\ln 3 - 3\ln 2} \right) - 2\ln 2 = 3\ln 3 - 5\ln 2 \Rightarrow a = - 5,b = 3 \Rightarrow S = - 98\)
Cho hình lăng trụ tam giác đều \[ABC.A'B'C'\] có góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {A'BC} \right)\] và \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[60^\circ ,\] cạnh \[AB = a.\] Thể tích của khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] bằng
\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\]
\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\]
\[\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\]
\[\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\]
Đáp án D
Kẻ \(AH \bot BC \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {A'HA} = {60^0}\)
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{ABC}} = \frac{{3a}}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\)
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{ABC}} = \frac{{3a}}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\)
Cho hình chóp S.ABC có các cạnh \[SA = SB = SC = 2a\] và đáy ABC là tam giác đều cạnh \[a\sqrt 3 .\] Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng
\[90^\circ .\]
\[45^\circ .\]
\[30^\circ .\]
\[60^\circ .\]
Đáp án D
Kẻ \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow HA = HB = HC = \frac{{AB}}{{\sqrt 3 }} = a.\)
Ta có \(\widehat {\left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SBH}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {\left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right)} = \cos \widehat {SBH} = \frac{{BH}}{{SB}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \widehat {\left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right)} = {60^0}.\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng \[\left( { - 6;12} \right)\] của tham số m để đồ thị hàm số \[y = \frac{{mx + 4}}{{{x^2} - 3x + 2}}\] có đúng ba đường tiệm cận?
17.
15.
16.
14.
Đáp án B
Ta có \(y = \frac{{mx + 4}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{mx + 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}.\)
Đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cận ngang \(y = 0\) với \(\forall m \in \mathbb{R}.\)
\(YCBT \Leftrightarrow mx + 4 = 0\) không có nghiệm \(x = 1;x = 2\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m.1 + 4 \ne 0}\\{m.2 + 4 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne - 4}\\{m \ne - 2}\end{array}} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 5; - 3; - 1;0;1;2;...;11} \right\}.\)
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn \[a \ne 1,{\rm{ }}a \ne \sqrt b \] và \[{\log _a}b = \sqrt 5 .\] Tính giá trị của biểu thức \[P = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt {\frac{b}{a}} .\]
\[P = 3 + \sqrt 5 .\]
\[P = 3 - \sqrt 5 .\]
\[P = \sqrt 5 - 1.\]
\[P = \sqrt 5 + 1.\]
Đáp án A
Ta có
\(P = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt {\frac{b}{a}} = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\left( {\frac{{\sqrt b }}{a}.\sqrt a } \right) = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\frac{{\sqrt b }}{a} + {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt a = 1 + {\log _{\frac{b}{{{a^2}}}}}a\)
\( = 1 + \frac{1}{{{{\log }_a}\frac{b}{{{a^2}}}}} = 1 + \frac{1}{{{{\log }_a}b - {{\log }_a}{a^2}}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt 5 - 2}} = 3 + \sqrt 5 .\)
Cho a và b là hai số thực dương khác 1 và các hàm số \[y = {a^x},{\rm{ }}y = {b^x}\] có đồ thị như hình vẽ.
Đường thẳng \[y = 3\] cắt trục tung, đồ thị hàm số \[y = {a^x},{\rm{ }}y = {b^x}\] lần lượt tại các điểm \[H,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N.\] Biết rằng \[HM = 2MN.\] Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[2a = b.\]
\[{a^3} = {b^2}.\]
\[{a^2} = {b^3}.\]
\[3a = 2b.\]
Đáp án C
Ta có
\(H\left( {0;3} \right),M\left( {{x_M};3} \right),N\left( {{x_N};3} \right){\rm{;\;}}\overrightarrow {HM} = 2\overrightarrow {MN} \Rightarrow {x_M} = 2\left( {{x_N} - {x_M}} \right) \Rightarrow 3{x_M} = 2{x_N}.\)
Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^{{x_M}}} = 3}\\{{b^{{x_N}}} = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = {{\log }_a}3}\\{{x_N} = {{\log }_b}3}\end{array}} \right. \Rightarrow 3{\log _a}3 = 2{\log _b}3 \Rightarrow \frac{3}{{{{\log }_3}a}} = \frac{2}{{{{\log }_3}b}}\)
\( \Rightarrow 2{\log _3}a = 3{\log _3}b \Rightarrow {\log _3}{a^2} = {\log _3}{b^3} \Rightarrow {a^2} = {b^3}.\)
Cho khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh \[BB'\], \[CC'\]. Mặt phẳng \[\left( {A'MN} \right)\] chia khối lăng trụ thành hai phần, đặt \[{V_1}\] là thể tích của phần đa diện chứa điểm B và \[{V_2}\] là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\].
\[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 3.\]
\[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2.\]
\[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{7}{2}\]
\[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{5}{2}\]
Đáp án B
Ta có \({V_2} = {V_{A'.MNC'B'}} = 2{V_{A'.MB'C'}} = 2{V_{M.A'B'C'}}\)
\( = 2.\frac{1}{2}{V_{B.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\)
\( \Rightarrow {V_1} = {V_{ABC.A'B'C'}} - \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2.\)
Trong không gian, cho hình trụ (T). Mặt phẳng (α) song song với trục của (T), cắt (T) theo thiết diện (D) là một hình vuông có diện tích bằng \[64c{m^2}.\] Khoảng cách từ trục của (T) đến mặt phẳng chứa (D) bằng 3cm. Tính thể tích của khối trụ đã cho.
\[280\pi c{m^3}.\]
\[200\pi c{m^3}.\]
\[210\pi c{m^3}.\]
\[270\pi c{m^3}.\]
Đáp án B
Thiết diện là hình vuông MNPQ như hình vẽ. Kẻ \(O'H \bot MN \Rightarrow O'H = 3cm.\)
Ta có \({S_{MNPQ}} = M{N^2} = 64 \Rightarrow MN = 8cm \Rightarrow HN = 4cm\)
\( \Rightarrow O'N = \sqrt {H{N^2} + O'{H^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5cm.\)
Cạnh \(MN = 8cm \Rightarrow QM = 8cm \Rightarrow h = 8cm\)
\( \Rightarrow V = \pi {r^2}h = \pi .O'{N^2}.8 = 200\pi c{m^3}.\)
Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\] thỏa mãn \[f\left( 1 \right) = 1\] và \[f'\left( x \right) \ge x + \frac{1}{x},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của \[f\left( 2 \right)\].
3.
2.
\[\frac{5}{2} + \ln 2.\]
4.
Đáp án C
Từ \(f'\left( x \right) \ge x + \frac{1}{x},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow \mathop \smallint \limits_1^2 f'\left( x \right){\mkern 1mu} dx \ge \mathop \smallint \limits_1^2 \left( {x + \frac{1}{x}} \right){\mkern 1mu} dx\)
\( \Rightarrow f\left( x \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. \ge \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right|} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) \ge \frac{3}{2} + \ln 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) \ge \frac{5}{2} + 1\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x + \frac{1}{x}{\rm{\;}}(x > 0)\) nên \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C.\)
Mà \(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + C = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + \frac{1}{2}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f\left( 2 \right)\) bằng \(\frac{5}{2} + \ln 2,\) đạt được khi \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + \frac{1}{2}.\)
Cho số phức \[z = a + bi{\rm{ }}\left( {a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)\] thỏa mãn \[\left| {z - 2} \right| = \left| z \right|\] và \[\left( {z + 1} \right)\left( {\bar z - i} \right)\] là số thực. Tính \[a + b.\]
2.
\[ - 2.\]
1.
\[ - 1.\]
Đáp án D
Giả sử \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\)
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {z - 2} \right| = \left| z \right|}\\{\left( {z + 1} \right)\left( {\bar z - i} \right) \in R}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {a - 2 + bi} \right| = \left| {a + bi} \right|}\\{\left( {a + 1 + bi} \right)\left[ {a - \left( {b + 1} \right)i} \right] \in R}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {b^2} = {a^2} + {b^2}}\\{a\left( {a + 1} \right) + b\left( {b + 1} \right) - \left( {a + b + 1} \right)i \in }\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{a + b + 1 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = - 2}\end{array}} \right. \Rightarrow a + b = - 1.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh \[AB = 2a.\] Tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right).\] Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) bằng
\[\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]
\[\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\]
\[a\sqrt 2 .\]
\[a\sqrt 3 .\]
Đáp án C
Kẻ \(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)
Ta có \(AD//BC \Rightarrow AD//\left( {SBC} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right).\)
Kẻ \(HP \bot SB \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right) = HP\)
\( \Rightarrow d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = 2HP = d.\)
Ta có \(\frac{1}{{H{P^2}}} = \frac{1}{{H{B^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}.\)
Cạnh \(HB = \frac{{AB}}{2} = a;SH = \frac{{AB}}{2} = a\)
\( \Rightarrow HP = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow d = a\sqrt 2 .\)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + z - 3 = 0\] và đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.\] Mặt phẳng \[\left( Q \right):ax + by + cz - 4 = 0\] chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P). Tính \[a + b + c.\]
6.
3.
\[ - 6.\]
\[ - 3.\]
Đáp án A
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right).\)
Đường thẳng d có một VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right).\)
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nhận \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right]\) là một VTPT.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\vec u = \left( {1;1; - 1} \right)\\\vec n = \left( {1; - 2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\vec u;\vec n} \right] = \left( { - 1; - 2; - 3} \right)\) \( \Rightarrow \left( Q \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2;3} \right)\) là một VTPT.
Kết hợp với \(\left( Q \right)\) qua \(A\left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \left( Q \right):1.\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 0} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0\)
\( \Rightarrow \left( Q \right):x + 2y + 3z - 4 = 0.\)
Cho hàm số \[y = {x^3} + mx - \frac{1}{{5{x^5}}}\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {0;{\mkern 1mu} + \infty } \right)\]?
5.
0.
4.
3.
Đáp án C
YCBT \( \Leftrightarrow y' = 3{x^2} + m + \frac{1}{{5{x^{10}}}}.5{x^4} \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow - m \le 3{x^2} + \frac{1}{{{x^6}}} = f\left( x \right),\forall x \in \left( {0; + \infty } \right).\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( {0; + \infty } \right)\\f'\left( x \right) = 6x - \frac{1}{{{x^{12}}}}.6{x^5} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)
\( \Rightarrow - m \le f\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow m \ge - 4 \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}.\)
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]. Hàm số \[y = f'\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình \[f\left( x \right) > \sqrt {{x^2} + {\rm{e}}} + m\] có nghiệm với mọi \[x \in \left( { - 3;0} \right)\] khi và chỉ khi
\[m \le f\left( { - 3} \right) - \sqrt {{\rm{e}} + 9} .\]
\[m \le f\left( 0 \right) - \sqrt {\rm{e}} .\]
\[m < f\left( { - 3} \right) - \sqrt {{\rm{e}} + 9} .\]
\[m < f\left( 0 \right) - \sqrt {\rm{e}} .\]
Đáp án B
Xét hàm số
\(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \sqrt {{x^2} + e} ;{\rm{\;}}x \in \left( { - 3;0} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + e} }}.\)
Với mọi \(x \in \left( { - 3;0} \right)\) thì \(f'\left( x \right) > 0;{\rm{\;}}\frac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} + e} }} > 0 \Rightarrow g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\)
\( \Rightarrow g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 3;0} \right).\)
Khi đó \(m < g\left( x \right)\) có nghiệm với \(\forall x \in \left( { - 3;0} \right) \Leftrightarrow m \le g\left( 0 \right) \Leftrightarrow m \le f\left( 0 \right) - \sqrt e .\)
Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = \sqrt x \], cung tròn có phương trình \[y = \sqrt {6 - {x^2}} \] \[\left( { - \sqrt 6 \le x \le \sqrt 6 } \right)\] và trục hoành (phần gạch chéo). Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox.
\[8\pi \sqrt 6 - 2\pi .\]
\[8\pi \sqrt 6 + \frac{{22\pi }}{3}.\]
\[8\pi \sqrt 6 - \frac{{22\pi }}{3}.\]
\[4\pi \sqrt 6 + \frac{{22\pi }}{3}.\]
Đáp án D
Xét phương trình \(\sqrt x = \sqrt {6 - {x^2}} \Leftrightarrow x = 2.\)
Gọi \(\left( A \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ;y = 0;x = 0;x = 2.\)
Quay \(\left( A \right)\) quanh trục hoành ta được vật thể tròn xoay có thể tích
\({V_1} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx} = \pi .\frac{{{x^2}}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. = 2\pi \)
Gọi \(\left( B \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường
\(y = \sqrt {6 - {x^2}} ;y = 0;x = 2;x = \sqrt 6 .\)
Quay \(\left( B \right)\) quanh trục honàh ta được vật thể tròn xoay có thể tích
\({V_2} = \pi \int\limits_2^{\sqrt 6 } {{{\left( {\sqrt {6 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \pi \left( {6x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle2}^{\scriptstyle\sqrt 6 \atop\scriptstyle}} \right. = \pi \left( {6\sqrt 6 - 2\sqrt 6 } \right) - \frac{{28\pi }}{3} = 4\pi \sqrt 6 - \frac{{28\pi }}{3}.\)
Cung tròn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu có thể tích
\(V = \frac{4}{3}\pi {\left( {\sqrt 6 } \right)^3} = 8\pi \sqrt 6 .\)
Thể tích cần tính là \(V - \left( {{V_1} + {V_2}} \right) = 4\pi \sqrt 6 + \frac{{22\pi }}{3}.\)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + z - 5 = 0\] và hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}},{\rm{ }}{d_2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}.\] Viết phương trình đường thẳng d nằm trên mặt phẳng \[\left( P \right),\] đồng thời cắt cả hai đường thẳng \[{d_1}\] và \[{d_2}.\]
\[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\]
\[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}.\]
\[d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}.\]
\[d:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{3}.\]
Đáp án B
Gọi \(M = {d_1} \cap d,\) ta có
\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 3 + t\\z = 4 - t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow M\left( {m - 1;m - 3;4 - m} \right).\)
Gọi \(N = {d_2} \cap d\), ta có
\[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = - 1 + 2t'\\z = 3 + t'\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t' \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow N\left( {n + 1;2n - 1;n + 3} \right).\]
Bài ra d nằm trên \(\left( P \right)\) nên
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in \left( P \right)}\\{N \in \left( P \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {m - 1} \right) - 2\left( {m - 3} \right) + \left( {4 - m} \right) - 5 = 0}\\{\left( {n + 1} \right) - 2\left( {2n - 1} \right) + \left( {n + 3} \right) - 5 = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2m + 4 = 0}\\{ - 2n + 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2 \Rightarrow M\left( {1; - 1;2} \right)}\\{n = \frac{1}{2} \Rightarrow N\left( {\frac{3}{2};0;\frac{7}{2}} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}} \right).\)
Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}} \right)\) là một VTCP nên nhận \(\overrightarrow u = \left( {1;2;3} \right)\) là một VTCP.
Kết hợp với d qua \(M\left( {1; - 1;2} \right) \Rightarrow d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}.\)
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\], \[B\left( {0;2;0} \right)\], \[C\left( {0;0;3} \right)\]. Tập hợp các điểm M thỏa mãn \[M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\] là mặt cầu có bán kính bằng
2.
\[\sqrt 3 .\]
3.
\[\sqrt 2 .\]
Đáp án D
Giả sử \(M\left( {x;y;z} \right).\)
Ta có \(M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\); \(M{B^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2}\); \(M{C^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\)
Khi đó \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 1 - 2x = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4y - 6z + 13 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2.\)
Tập hợp các điểm M thỏa mãn \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\) là mặt cầu có tâm \(I\left( { - 1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 .\)
Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, ……, 9. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn.
\[\frac{1}{6}\]
\[\frac{5}{{18}}\]
\[\frac{8}{9}\]
\[\frac{{13}}{{18}}\]
Đáp án D
Có 4 thẻ chẵn \(\left\{ {2;4;6;8} \right\}\) và 5 thẻ lẻ \(\left\{ {1;3;5;7;9} \right\}.\)
Rút ngẫu nhiên 2 thẻ từ 9 thẻ có \(C_9^2 = 36\) cách.
Gọi A là biến cố: “Tích nhận được là số chẵn”.
+ TH1. Chọn 2 thẻ chẵn có \(C_4^2\) cách.
+ TH2. Chọn 1 thẻ chẵn và 1 thẻ lẻ có \(C_4^1C_5^1\) cách.
Vậy xác suất cần tìm là \(\frac{{C_4^2 + C_4^1C_5^1}}{{36}} = \frac{{13}}{{18}}.\)
Cho các số thực \[a,{\rm{ }}b\] thỏa mãn điều kiện \[0 < b < a < 1\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = {\log _a}\frac{{4\left( {3b - 1} \right)}}{9} + 8\log _{\frac{b}{a}}^2a.\]
7.
\[1 + 3\sqrt[3]{2}.\]
9.
8.
Đáp án D
Ta có \(9{b^2} - 12b + 4 = {\left( {3b - 2} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow \frac{{4\left( {3b - 1} \right)}}{9} \le {b^2}\)
\( \Rightarrow P \ge {\log _a}{b^2} + 8\log _{\frac{b}{a}}^2a = 2{\log _a}b + 8{\left( {\frac{1}{{{{\log }_a}\frac{b}{a}}}} \right)^2} = 2{\log _a}b + \frac{8}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}.\)
Đặt \(t = {\log _a}b - 1 > 0 \Rightarrow P \ge 2\left( {t + 1} \right) + \frac{8}{{{t^2}}} = t + t + \frac{8}{{{t^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{t.t.\frac{8}{{{t^2}}}}} + 2 = 8.\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{2}{3}}\\{t = \frac{8}{{{t^2}}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{2}{3}}\\{t = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{2}{3}}\\{b = {a^3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{2}{3}}\\{a = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}}}}\end{array}} \right.\)
Cho hàm số \[y = \frac{5}{6}{x^3} + mx - \frac{2}{3}m\] có đồ thị (C), với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để từ điểm \[A\left( {\frac{2}{3};0} \right)\] kẻ đến (C) được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của \[S.\]
\[\frac{3}{2}.\]
\[ - \frac{3}{2}.\]
\[\frac{5}{2}.\]
\[ - \frac{5}{2}.\]
Đáp án D
Tiếp tuyến \(d:y = k\left( {x - \frac{2}{3}} \right).\)
Điều kiện tiếp xúc là hệ sau có nghiệm
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{5}{6}{x^3} + mx - \frac{2}{3}m = k\left( {x - \frac{2}{3}} \right)\\\frac{5}{2}{x^2} + m = k\end{array} \right. \Rightarrow \frac{5}{6}{x^3} + mx - \frac{2}{3}m = \left( {\frac{5}{2}{x^2} + m} \right)\left( {x - \frac{2}{3}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{5}{6}{x^3} + mx - \frac{2}{3}m = \frac{5}{2}{x^3} - \frac{5}{3}{x^2} + mx - \frac{2}{3}m \Leftrightarrow \frac{5}{6}{x^3} = \frac{5}{2}{x^3} - \frac{5}{3}{x^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = m}\\{k = m + \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\)
Hai tiếp tuyến có hệ số góc
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3}} \right]\] thỏa mãn \[f'\left( x \right).\sin 2x = 1 + 2.f\left( x \right)\] với \[\forall x \in \left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3}} \right]\] và \[f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1.\] Tích phân \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( x \right)dx} \] bằng
\[ - \frac{\pi }{{24}} + \frac{3}{4}\ln 2.\]
\[ - \frac{\pi }{{24}} + \frac{1}{4}\ln 2.\]
\[ - \frac{\pi }{{12}} + \frac{3}{2}\ln 2.\]
\[ - \frac{\pi }{{12}} + \frac{1}{8}\ln 2.\]
Đáp án A
Ta có
\({\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\tan x}}} \right]^\prime } = \frac{{f'\left( x \right).\tan x - f\left( x \right).\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{{{\tan }^2}x}} = \frac{{f'\left( x \right).\sin x\cos x - f\left( x \right)}}{{{{\sin }^2}x}}\)
\( = \frac{{f'\left( x \right).\sin 2x - 2.f\left( x \right)}}{{2{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{2{{\sin }^2}x}} \Rightarrow \frac{{f\left( x \right)}}{{\tan x}} = \mathop \smallint \nolimits^ \frac{1}{{2{{\sin }^2}x}}dx = - \frac{1}{2}\cot x + C.\)
Bài ra
\(f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Rightarrow C = \frac{3}{2} \Rightarrow f\left( x \right) = \tan x\left( { - \frac{1}{2}\cot x + \frac{3}{2}} \right) = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2}.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\)
\( \Rightarrow \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {f\left( x \right)dx} = \left( { - \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\ln \left| {\cos x} \right|} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle\frac{\pi }{4}}^{\scriptstyle\frac{\pi }{3}\atop\scriptstyle}} \right. = - \frac{\pi }{6} - \frac{3}{2}\ln \frac{1}{2} + \frac{\pi }{8} + \frac{3}{2}\ln \frac{1}{{\sqrt 2 }} = - \frac{\pi }{{24}} + \frac{3}{4}\ln 2.\)
Cho hai số phức \[{z_1},{z_2}\] thỏa mãn \[\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| > 0\]. Tính \[{\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right)^4}\].
1
\[1 - i\]
\[ - 1\]
\[1 + i\]
Đáp án C
Ta có \(\left| {\frac{{{z_1} - {z_2}}}{{{z_1}}}} \right| = \left| {\frac{{{z_1} - {z_2}}}{{{z_2}}}} \right| = 1 \Rightarrow \left| {1 - \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right| = \left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} - 1} \right| = 1.\)
Giả sử \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = a + bi{\rm{\;}}\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\), từ \(\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} - 1} \right| = 1 \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = 1\) (1)
Ta có \(\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}\), từ \(\left| {1 - \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right| \Rightarrow \left| {\frac{{{a^2} + {b^2} - a}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}}i} \right| = 1\)
\( \Rightarrow {\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} - a}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)^2} = 1 \Rightarrow {\left( {{a^2} + {b^2} - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2}\)
Từ (1) \( \Rightarrow {b^2} = 2a - {a^2} \Rightarrow {a^2} + \left( {2a - {a^2}} \right) = {\left( {2a} \right)^2} \Rightarrow 2a = 4{a^2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Với \(a = 0 \Rightarrow b = 0 \Rightarrow \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = 0 \Rightarrow \) không thỏa mãn.
Với \(a = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{4} + {b^2} = 1 \Rightarrow b = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
Lưu ý \(P = {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right)^4} = {\left[ {{{\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right)}^2}} \right]^2} - 2.\) Bấm máy tính được \(P = - 1.\)
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số \[y = {2^{f\left( x \right)}} - {3^{f\left( x \right)}}\].
6.
5.
4.
3.
Đáp án D
Xét hàm số \(g\left( x \right) = {2^{f\left( x \right)}} - {3^{f\left( x \right)}}\), với \(x \in \mathbb{R}\) ta có
\(g'\left( x \right) = f'\left( {x.} \right)\left[ {{2^{f\left( x \right)}}.\ln 2 - {3^{f\left( x \right)}}.\ln 3} \right]\)
\[g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\{2^{f\left( x \right)}}.\ln 2 - {3^{f\left( x \right)}}.\ln 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{f\left( x \right)}} = \frac{{\ln 2}}{{\ln 3}} = {\log _3}2\end{array} \right.\]
Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy \(f\left( x \right) \ge - 1,\forall x \in \mathbb{R}.\)
\( \Rightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{f\left( x \right)}} \ge {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - 1}} = \frac{2}{3} > {\log _3}2\) nên \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 0.\)
Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)\) bằng số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right).\)
Vậy hàm số \(y = {2^{f\left( x \right)}} - {3^{f\left( x \right)}}\) có đúng 3 điểm cực trị.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \[A\left( {7;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 3} \right)\], \[B\left( {1;{\mkern 1mu} 4;{\mkern 1mu} 3} \right)\], \[C\left( {1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 6} \right)\] và \[D\left( {1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 3} \right)\]. Điểm \[M\left( {a;b;c} \right)\] tùy ý thỏa mãn \[MA + MB + MC + \sqrt 3 MD\] đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \[a + b + c.\]
2.
1.
6.
5.
Đáp án C
Ta có \(\overrightarrow {DA} = \left( {6;0;0} \right),\overrightarrow {DB} = \left( {0;2;0} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {0;0;3} \right)\) nên tứ diện ABCD là tứ diện vuông đỉnh D. Gọi \(M\left( {x + 1;y + 2;z + 3} \right).\)
\(MA = \sqrt {{{\left( {x - 6} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}} \ge \left| {x - 6} \right| \ge 6 - x\)
\(MB = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {z^2}} \ge \left| {y - 2} \right| \ge 2 - y\)
\(MC = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \ge \left| {z - 3} \right| \ge 3 - z\)
\(\sqrt 3 MD = \sqrt {3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)} \ge \sqrt {{{\left( {x + y + z} \right)}^2}} \ge x + y + z\)
Do đó \(MA + MB + MC + \sqrt 3 MD \ge 11.\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = z = 0\\6 - x \ge 0\\2 - y \ge 0\\3 - z \ge 0\\x + y + z \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = 0.\)
Khi đó \(M\left( {1;2;3} \right) \Rightarrow a + b + c = 6.\)
Cho hàm số \[f\left( x \right)\]. Hàm số \[y = f'\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \[f\left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {12 - x} } \right) = f\left( {{m^2} + 2m + 2} \right)\] có nghiệm?
1.
2.
3.
4.
Đáp án B
Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Mà \(\sqrt {x + 6} + \sqrt {12 - x} > 0\) và \({m^2} + 2m + 2 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 1 > 0.\)
Nên \(f\left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {12 - x} } \right) = f\left( {{m^2} + 2m + 2} \right) \Leftrightarrow \sqrt {x + 6} + \sqrt {12 - x} = {m^2} + 2m + 2.\)
Ta có
\({\left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {12 - x} } \right)^2} = 18 + 2\sqrt {\left( {x + 6} \right)\left( {12 - x} \right)} \ge 18 \Rightarrow \sqrt {x + 6} + \sqrt {12 - x} \ge 3\sqrt 2 .\)
Lại có \(\sqrt {x + 6} + \sqrt {12 - x} \le \sqrt {2\left( {x + 6 + 12 - x} \right)} = 6 \Rightarrow 3\sqrt 2 \le {m^2} + 2m + 2 \le 6\)
\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} + 2m + 2 = 5}\\{{m^2} + 2m + 2 = 6}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1}\\{m = 3}\end{array}} \right.\) thỏa mãn.
