Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 27)
50 câu hỏi
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_1} = 3,{\rm{ }}q = \frac{1}{2}.\] Tính \[{u_5}.\]
\[{u_5} = \frac{3}{{32}}.\]
\[{u_5} = \frac{3}{{16}}.\]
\[{u_5} = \frac{3}{{10}}.\]
\[{u_5} = \frac{{15}}{2}.\]
Đáp án B
Ta có \[{u_5} = {u_1}{q^4} = \frac{3}{{16}}.\]
Cho a là số thực dương tùy ý và \[a \ne 1.\] Tính \[P = {\log _{\frac{a}{2}}}\frac{{{a^3}}}{8}.\]
\[P = \frac{1}{3}.\]
\[P = - \frac{1}{3}.\]
\[P = 3.\]
\[P = - 3.\]
Đáp án C
Ta có \[P = {\log _{\frac{a}{2}}}\frac{{{a^3}}}{8} = {\log _{\frac{a}{2}}}{\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} = 3\].
Điểm M như hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?
\[z = 4 + 3i.\]
\[z = 3 + 4i.\]
\[z = 4 - 3i.\]
\[z = 3 - 4i.\]
Đáp án B
Ta có \[M\left( {3;4} \right) \Rightarrow z = 3 + 4i\].
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\[\left( {0;4} \right).\]
\[\left( { - \infty ;0} \right).\]
\[\left( { - 7; + \infty } \right).\]
\[\left( { - \infty ;25} \right).\]
Đáp án B
Hàm số \[f\left( x \right)\] nghịch biến trên \[\left( { - \infty ;0} \right)\].
Cho \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 5.\] Tích phân \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\sin x + f\left( x \right)} \right]dx} \] bằng
4.
8.
6.
7.
Đáp án C
Ta có \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\sin x + f\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = - \cos \left| \begin{array}{l}^{\frac{\pi }{2}}\\_0\end{array} \right. + 5 = 6\].
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \[\vec u = \left( {1; - 2;2} \right)\] và \[\vec v = \left( {2;2; - 1} \right).\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\[\vec u.\vec v = 4.\]
\[\vec u.\vec v = 3.\]
\[\vec u.\vec v = - 4.\]
\[\vec u.\vec v = 8.\]
Đáp án C
Ta có \[\overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.2 + \left( { - 2} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right) = - 4\].
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
\[x = 4.\]
\[x = 0.\]
\[x = 1.\]
\[x = 5.\]
Đáp án C
Hàm số \[f\left( x \right)\] đạt cực tiểu tại \[x = 1.\]
Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và đường cao bằng 4. Tính diện tích toàn phần \[{S_{tp}}\] của hình nón (N).
\[{S_{tp}} = 21\pi .\]
\[{S_{tp}} = 24\pi .\]
\[{S_{tp}} = 29\pi .\]
\[{S_{tp}} = 27\pi .\]
Đáp án B
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\\r = 3;h = 4\\{l^2} = {h^2} + {R^2}\end{array} \right. \Rightarrow l = 5 \Rightarrow {S_{tp}} = 24\pi \].
Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn Bắc, Hoàng, Lan , Thảo, My vào 5 chiếc ghế kê thành hàng ngang?
60.
120.
10.
25.
Đáp án B
Mỗi cách xếp cho ta 1 hoán vị của 5 bạn và ngược lại.
Vậy số cách xếp là \[5! = 120\] cách.
Nghịch đảo của số phức \[z = 1 - i + {i^3}\] là
\[\frac{2}{5} - \frac{1}{5}i.\]
\[\frac{2}{5} + \frac{1}{5}i.\]
\[\frac{1}{5} - \frac{2}{5}i.\]
\[\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i.\]
Đáp án D
Ta có \[z = 1 - i + {i^3} = 1 - 2i\].
Nghịch đảo của số phức \[1 - 2i\] là \[\frac{1}{{1 - 2i}} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5}i\].
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?
\[y = {x^3} - 3{x^2} + 2.\]
\[y = {x^3} - 3x + 2.\]
\[y = - {x^3} + 3{x^2} - 2.\]
\[y = - {x^3} + 3x - 2.\]
Đáp án C
Ta có \[y\left( 0 \right) = - 2 \Rightarrow \] Loại A và B. Mà \[y\left( 2 \right) = 2 \Rightarrow \] Chọn C.
Cho \[{\log _a}x = \frac{1}{2}\] và \[{\log _b}x = \frac{1}{3}\] với \[x > 0\] và \[a,{\rm{ }}b{\rm{ }}\] là các số thực dương lớn hơn 1. Tính giá trị của biểu thức \[P = {\log _{ab}}x.\]
\[\frac{6}{5}.\]
\[\frac{1}{5}.\]
\[\frac{5}{6}.\]
\[\frac{1}{6}.\]
Đáp án B
Ta có \[P = {\log _{ab}}x = \frac{1}{{{{\log }_x}\left( {ab} \right)}} = \frac{1}{{{{\log }_x}a + {{\log }_x}b}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_x}a}} + \frac{1}{{{{\log }_x}b}}}} = \frac{1}{5}.\]
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}\] là
\[3{x^2} - \frac{2}{{{x^3}}} + C.\]
\[3{x^2} + \frac{2}{{{x^3}}} + C.\]
\[\frac{1}{4}{x^4} - \frac{1}{x} + C.\]
\[\frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{x} + C.\]
Đáp án C
Ta có \[\int {\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{1}{x} + C\].
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = - 1}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\] Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?
\[\vec u = \left( {2; - 1;3} \right).\]
\[\vec u = \left( {1;0;2} \right).\]
\[\vec u = \left( {1; - 1;2} \right).\]
\[\vec u = \left( {1; - 1;3} \right).\]
Đáp án B
Đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\] có một VTCP là \[\overrightarrow u = \left( {1;0;2} \right)\].
Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có bán kính đáy bằng nhau, chiều cao đáy lần lượt bằng 3m và 4m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng bán kính đáy và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Chiều cao của bể nước dự định làm bằng
7m.
5,5m.
6m.
3,5m.
Đáp án A
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{V_1} = \pi {r^2}{h_1} = 3\pi {r^2}\\{V_2} = \pi {r^2}{h_2} = 4\pi {r^2}\\V = {V_1} + {V_2} = \pi {r^2}h\end{array} \right. \Rightarrow 7\pi {r^2} = \pi {r^2}h \Rightarrow h = 7m\].
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Phương trình \[5f\left( x \right) - 3 = 0\] có số nghiệm thực là
1.
2.
3.
0.
Đáp án C
Đường thẳng \[y = \frac{3}{5}\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại đúng 3 điểm phân biệt.
Kí hiệu \[{z_1},{\rm{ }}{z_2}\] là hai nghiệm phức của phương trình \[{z^2} - 2z + 3 = 0.\] Giá trị của \[\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\] bằng
8.
12.
\[2\sqrt 2 .\]
\[4\sqrt 2 .\]
Đáp án C
Ta có \[{z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow z = 1 \pm i\sqrt 2 \Rightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {2\sqrt 2 i} \right| = 2\sqrt 2 \].
Tìm tập xác định D của hàm số \[y = {\log _2}{\left( {{x^3} - 8} \right)^{2020}}.\]
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\]
\[D = \left( {2; + \infty } \right).\]
\[D = \left( { - \infty ;2} \right).\]
\[D = \left( { - 2; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ;2} \right).\]
Đáp án A
Hàm số \[y = {\log _2}{\left( {{x^3} - 8} \right)^{2002}}\] xác định \[ \Leftrightarrow {\left( {{x^3} - 8} \right)^{2002}} > 0 \Leftrightarrow {x^3} - 8 \ne 0 \Leftrightarrow {x^3} \ne 8 \Leftrightarrow x \ne 2\].
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \[y = {f_1}\left( x \right)\], \[y = {f_2}\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;\;b} \right]\] và hai đường thẳng \[x = a\], \[x = b\] (như hình vẽ). Cho (H) quay quanh trục hoành, thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào dưới đây?
\[\int\limits_a^b {\left[ {{f_1}^2\left( x \right) - {f_2}^2\left( x \right)} \right]dx} .\]
\[\pi \int\limits_a^b {\left[ {{f_1}^2\left( x \right) - {f_2}^2\left( x \right)} \right]dx} .\]
\[\pi \int\limits_a^b {\left[ {{f_2}^2\left( x \right) - {f_1}^2\left( x \right)} \right]dx} .\]
\[\pi \int\limits_a^b {{{\left[ {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\]
Đáp án B
Ta có \[V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right|dx} \].
Mà \[{f_1}\left( x \right) > {f_2}\left( x \right),\forall x \in \left( {a;b} \right) \Rightarrow V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right]dx} \].
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z + 2}}{1}.\] Xét mặt phẳng \[\left( P \right):8x + 12y + mz + 9 = 0,\] với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị thực của m để mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng \[d.\]
\[m = - 52.\]
\[m = - 4.\]
\[m = 52.\]
\[m = 4.\]
Đáp án D
Đường thẳng d có một VTCP là \[\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)\].
Mặt phẳng có một VTPT là \[\overrightarrow n = \left( {8;12;m} \right)\].
YCBT \[ \Leftrightarrow \frac{8}{2} = \frac{{12}}{3} = \frac{m}{1} \Leftrightarrow m = 4\].
Giải phương trình \[{2^{{x^2} - 1}} = \sqrt[4]{{{2^{10}}}}.\]
\[x = \pm \frac{{\sqrt {35} }}{5}.\]
\[x = \pm \frac{{\sqrt {14} }}{2}.\]
\[x = \pm \frac{{\sqrt {35} }}{{10}}.\]
\[x = \pm \frac{{\sqrt {14} }}{4}.\]
Đáp án B
Ta có \[{2^{{x^2} - 1}} = \sqrt[4]{{{2^{10}}}} = {2^{\frac{{10}}{4}}} \Rightarrow {x^2} - 1 = \frac{{10}}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt {14} }}{2}\] thỏa mãn (*).
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \[M\left( {1;2; - 3} \right)\] trên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] có tọa độ là
\[\left( {0;2; - 3} \right).\]
\[\left( {0; - 2;3} \right).\]
\[\left( {1;0;0} \right).\]
\[\left( { - 1;0;0} \right).\]
Đáp án A
Điểm cần tìm H với \[\left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 0\\{y_H} = {y_M}\\{z_H} = {z_M}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {0;2; - 3} \right)\].
Biết rằng \[\int\limits_0^6 {\frac{{{x^3}}}{{x + 1}}dx} = a + b\ln 7,\] với \[a,{\rm{ }}b \in \mathbb{Z}.\] Tính \[S = a + 2b.\]
\[S = 60.\]
\[S = 94.\]
\[S = 58.\]
\[S = 92.\]
Đáp án C
Ta có \[\begin{array}{l}\int\limits_0^6 {\frac{{{x^3}}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^6 {\frac{{{x^3} + 1 - 1}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^6 {\left( {{x^2} - x + 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)\left| \begin{array}{l}^6\\_0\end{array} \right. = 60 - \ln 7 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 60\\b = - 1\end{array} \right. \Rightarrow S = 58.\end{array}\]
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^4} - 8{x^2} + 3\] trên đoạn \[\left[ { - 1;3} \right]\] bằng
12.
\[ - 4.\]
\[ - 13.\]
3.
Đáp án C
Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên \[\left[ { - 1;3} \right]\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - 1;3} \right)\\y' = 4{x^3} - 16x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\].
Tính \[y\left( { - 1} \right) = - 4;y\left( 3 \right) = 12;y\left( 0 \right) = 3;y\left( 2 \right) = - 13 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = - 13\].
Tập nghiệm của phương trình \[{\log _2}\left( {2x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 3} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 3} \right)\] là
\[\left\{ {1; - 6} \right\}.\]
\[\left\{ 1 \right\}.\]
\[\left\{ {2;3} \right\}\]
\[\left\{ 6 \right\}.\]
Đáp án B
Điều kiện \[x > \frac{1}{2}\;\;\;\left( * \right)\]. Phương trình \[ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \right] = {\log _2}\left( {{x^2} + 3} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = {x^2} + 3 \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 6\end{array} \right. \Rightarrow x = 1\] thỏa mãn (*).
Biết \[M\left( {1;1} \right),{\rm{ }}N\left( {2;0} \right)\] là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d.\] Tính giá trị của hàm số tại \[x = 3.\]
\[y\left( 3 \right) = 5.\]
\[y\left( 3 \right) = 9.\]
\[y\left( 3 \right) = - 5.\]
\[y\left( 3 \right) = - 9.\]
Đáp án A
Ta có \[y' = 3a{x^2} + 2bx + c \to \left\{ \begin{array}{l}y\left( 1 \right) = 1\\y\left( 2 \right) = 0\\y'\left( 1 \right) = 0\\y'\left( 2 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c + d = 1\\8a + 4b + 2c + d = 0\\3a + 2b + c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 9\\c = 12\\d = - 4\end{array} \right..\]
\[ \Rightarrow y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 4 \Rightarrow y\left( 3 \right) = 5\].
Cho các hàm số \[y = {\log _a}x\] và \[y = {\log _b}x\] có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng \[x = 5\] cắt trục hoành, đồ thị hàm số \[y = {\log _a}x\] và \[y = {\log _b}x\] lần lượt tại các điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C.\] Biết rằng \[BC = 2AB.\] Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\[a = 5b.\]
\[a = {b^2}.\]
\[a = {b^3}.\]
\[{a^3} = b.\]
Đáp án C
Ta có \[\begin{array}{l}C\left( {5;{{\log }_b}5} \right),B\left( {5;{{\log }_a}5} \right),A\left( {5;0} \right);\overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {BA} \Rightarrow {\log _a}5 - {\log _b}5 = 2\left( { - {{\log }_a}5} \right)\\ \Rightarrow 3{\log _a}5 = {\log _b}5 \Rightarrow \frac{3}{{{{\log }_5}a}} = \frac{1}{{{{\log }_5}b}} \Rightarrow {\log _5}a = 3{\log _5}b = {\log _5}{b^3} \Rightarrow a = {b^3}.\end{array}\]
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[60^\circ .\] Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\]
\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\]
\[\frac{{{a^3}}}{6}.\]
\[\frac{{{a^3}}}{3}.\]
Đáp án B
Ta có \[\widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SBA} = 60^\circ \].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \tan 60^\circ = \frac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow SA = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.A{B^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\end{array}\]
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số không có tiệm đứng và không có tiệm cận ngang.
Đáp án C
ĐTHS có tiệm cận đứng \[x = 0\]. Từ \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \end{array} \right. \Rightarrow \] ĐTHS không có TCN.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + z - 3 = 0\] và hai điểm \[A\left( {1;0;1} \right),{\rm{ }}B\left( {2;1;0} \right).\] Mặt phẳng \[\left( Q \right):ax + by + cz - 4 = 0\] đi qua hai điểm A và B, đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P). Tính \[a + b + c.\]
6.
3.
\[ - 6.\]
\[ - 3.\]
Đáp án A
Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có một VTPT là \[\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( Q \right)\] qua A, B và \[\left( Q \right) \bot \left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right)\] sẽ nhận \[\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow n } \right]\] là một VTPT.
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1;1; - 1} \right)\\\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow n } \right] = \left( { - 1; - 2; - 3} \right) \Rightarrow \left( Q \right)\] nhận \[\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2;3} \right)\] là một VTPT.
Kết hợp với \[\left( Q \right)\] qua \[A\left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \left( Q \right):1.\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 0} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0\].
\[ \Rightarrow \left( Q \right):x + 2y + 3z - 4 = 0\]
Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Cạnh \[AA' = 2a\sqrt 6 ,{\rm{ }}AC = 2a\sqrt 3 ,\] góc giữa đường thẳng \[A'B\] và mặt phẳng đáy bằng \[45^\circ .\] Tính thể tích V của khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'.\]
\[V = 24{a^3}\sqrt 3 .\]
\[V = 22{a^3}\sqrt 3 .\]
\[V = 16{a^3}\sqrt 3 .\]
\[V = 14{a^3}\sqrt 3 .\]
Đáp án A
![Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy ABC là tam giác vuông tại A (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/07/blobid50-1657033641.png)
Kẻ \[AH \bot BC \Rightarrow \widehat {\left( {A'B;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {A'BA} \Rightarrow \widehat {A'BA} = 45^\circ \].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow AB = AA' = 2a\sqrt 6 \\ \Rightarrow V = AA'.{S_{ABC}} = 2a\sqrt 6 .\frac{1}{2}.AB.AC = 24{a^3}\sqrt 3 .\end{array}\]
Cho số phức \[z = a + bi{\rm{ }}\left( {a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)\] thỏa mãn \[\left| z \right| = 5\] và \[z\left( {2 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)\] là một số thực. Tính \[\left| a \right| + \left| b \right|\].
5.
7.
8.
4.
Đáp án B
Giả sử \[z = a + bi\;\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\]. Từ \[\left| z \right| = 5 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 25\].
Ta có \[z\left( {2 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right) = \left( {a + bi} \right)\left( {4 - 3i} \right) = \left( {4a + 3b} \right) + \left( {4b - 3a} \right)i\] là số thực.
Nên \[4b - 3a = 0 \Rightarrow b = \frac{{3a}}{4} \Rightarrow {a^2} + {\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow \left| a \right| = 4 \Rightarrow \left| b \right| = 3 \Rightarrow \left| a \right| + \left| b \right| = 7.\]
Cho hàm số \[y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 1\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \[\left[ {6;12} \right]\] của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\].
5.
4.
2.
1.
Đáp án D
YCBT \[ \Leftrightarrow y' = 3{x^2} - 12x + m \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \ge 12x - 3{x^2},\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\].
Xét hàm số \[f\left( x \right) = 12x - 3{x^2},x \in \left( {0; + \infty } \right)\] có \[f'\left( x \right) = 12 - 6x;\;\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( {0; + \infty } \right)\\f'\left( x \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\].
Bảng biến thiên:
Do đó: \[m \ge f\left( 2 \right) = 12\].
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]. Hàm số \[y = f'\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình \[f\left( {x + 2} \right) < x{e^x} + m\] đúng với mọi \[x \in \left( { - 1;1} \right)\] khi và chỉ khi
\[m > f\left( 1 \right) + \frac{1}{e}.\]
\[m \ge f\left( 1 \right) + \frac{1}{e}.\]
\[m > f\left( 3 \right) - e.\]
\[m \ge f\left( 3 \right) - e.\]
Đáp án B
Xét hàm số: \[g\left( x \right) = f\left( {x + 2} \right) - x{e^x},x \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 1} \right){e^x}\].
Với mọi \[x \in \left( { - 1;1} \right)\] thì \[x + 2 \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow f'\left( {x + 2} \right) < - 1 \Rightarrow f'\left( {x + 2} \right) < 0\].
Với mọi \[x \in \left( { - 1;1} \right)\] thì \[ - \left( {x + 1} \right){e^x} < 0 \Rightarrow g'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\].
\[ \Rightarrow g\left( x \right)\] nghịch biến trên \[\left( { - 1;1} \right)\].
Khi đó \[m > g\left( x \right),\forall x \in \left( { - 1;1} \right) \Leftrightarrow m \ge g\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow m \ge f\left( 1 \right) + \frac{1}{e}\].
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] bằng
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
\[\frac{1}{2}.\]
\[\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\]
\[\frac{2}{3}.\]
Đáp án B
Kẻ \[SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\].
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\CH \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot \left( {SAB} \right)\].
\[ \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {CSH} \Rightarrow \cos \widehat {\left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right)} = \cos \widehat {CSH} = \frac{{SH}}{{SC}}\].
Cạnh \[SH = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\] và \[HC = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
\[ \Rightarrow SC = \sqrt {S{H^2} + C{H^2}} = a \Rightarrow \frac{{SH}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\]
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh \[AB = 2a,{\rm{ }}AD = a.\] Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right).\] Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] bằng
\[\frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\]
\[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]
\[\frac{a}{2}.\]
\[\frac{a}{3}.\]
Đáp án B
Kẻ \[SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\].
Kẻ \[HK \bot BD,HP \bot SK\].
\[ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right) = 2HP = d.\]
\[\begin{array}{l}\Delta BKH\~\Delta BAD\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{KH}}{{AD}} = \frac{{BH}}{{BD}} \Rightarrow HK = \frac{a}{{\sqrt 5 }}.\\SH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .\\\frac{1}{{H{P^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}} \Rightarrow d = 2HP = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\end{array}\]
Trong không gian, cho hình trụ (T) có bán kính đáy bằng 5cm. Mặt phẳng (α) song song với trục của (T), cắt (T) theo thiết diện (D) là một hình vuông. Khoảng cách từ trục của (T) đến mặt phẳng chứa (D) bằng 3cm. Tính diện tích của thiết diện (D).
\[64c{m^2}.\]
\[54c{m^2}.\]
\[62c{m^2}.\]
\[56c{m^2}.\]
Đáp án A
Thiết diện là hình vuông MNPQ như hình vẽ.
Kẻ \[O'H \bot MN \Rightarrow O'H = 3\;cm\].
Cạnh \[HN = \sqrt {O'{N^2} - O'{H^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4 \Rightarrow MN = 8\;cm\].
\[ \Rightarrow {S_{MNPQ}} = M{N^2} = 64\;c{m^2}\].
Cho hàm số \[y = {\left| x \right|^3} - 3m{x^2} + 3\left( {5 - m} \right)\left| x \right| - 2{m^2} + 1.\] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị?
2.
3.
5.
4.
Đáp án B
Đặt \[f\left( x \right) = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {5 - m} \right)x - 2{m^2} + 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {5 - m} \right)\]
YCBT \[ \Leftrightarrow f\left( x \right)\] có đúng 2 điểm cực trị dương \[ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 0\] có đúng 2 nghiệm dương phân biệt \[ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 5 - m = 0\] có đúng 2 nghiệm dương phân biệt
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} + m - 5 > 0\\{x_1} + {x_2} = 2m > 0\\{x_1}{x_2} = 5 - m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 5 > 0\\0 < m < 5\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4} \right\}\].
Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm \[A\left( {1; - 1;3} \right)\], song song với mặt phẳng \[\left( P \right):x + 4y - 2z + 1 = 0\] và cắt đường thẳng \[d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}.\]
\[d:\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}.\]
\[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{3}.\]
\[d:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{3}.\]
\[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}.\]
Đáp án D
Gọi \[M = d \cap d'\], ta có \[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\;\left( {t \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow M\left( {t + 2; - t - 1;t + 1} \right)\].
Đường thẳng d qua \[A\left( {1; - 1;3} \right)\] và nhận \[\overrightarrow {AM} = \left( {t + 1; - t;t - 2} \right)\] là một VTCP.
Mặt phẳng \[\left( P \right):x + 4y - 2z + 1 = 0\] nhận \[\overrightarrow n = \left( {1;4; - 2} \right)\] là một VTPT.
Ta có \[d//\left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow n = 0\\A \notin \left( P \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right) - 4t - 2\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\].
Đường thẳng d qua \[A\left( {1; - 1;3} \right)\] và nhận \[\overrightarrow {AM} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\] là một VTCP
\[ \Rightarrow d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\].
Từ một tấm tôn dạng hình tam giác vuông với hai cạnh góc vuông bằng \[3m\] và \[4m,\] một anh thợ cần cắt một tấm tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp tam giác trên. Anh ta gò tấm tôn hình chữ nhật này thành một hình trụ không đáy (như hình vẽ) để đổ thóc vào trong. Thể tích lớn nhất của khối trụ thu được gần nhất với kết quả nào dưới đây?
\[0,71{m^3}.\]
\[0,52{m^3}.\]
\[0,86{m^3}.\]
\[0,62{m^3}.\]
Đáp án A
Khối trụ thu được có thể tích là \[V = \pi {R^2}h\].
\[\begin{array}{l}\Delta BQM\~\Delta BAC \Rightarrow \frac{{QM}}{{AC}} = \frac{{BQ}}{{BA}} \Rightarrow \frac{h}{4} = \frac{{BQ}}{3} \Rightarrow BQ = \frac{{3h}}{4}.\\\Delta CPN\~\Delta CAB \Rightarrow \frac{{PN}}{{AB}} = \frac{{CP}}{{CA}} \Rightarrow \frac{h}{4} = \frac{{CP}}{3} \Rightarrow CP = \frac{{4h}}{3}.\end{array}\]
Do đó \[PQ = BC - BQ - CP = 5 - \frac{{3h}}{4} - \frac{{4h}}{3} = 5 - \frac{{25h}}{{12}} = \frac{{60 - 25h}}{{12}}\].
Mà \[2R\pi = PQ \Rightarrow R = \frac{{60 - 25h}}{{24\pi }} \Rightarrow V = \pi {\left( {\frac{{60 - 25h}}{{24\pi }}} \right)^2}h = \frac{{h{{\left( {25h - 60} \right)}^2}}}{{{{24}^2}\pi }} = f\left( h \right)\].
\[f'\left( h \right) = \frac{{{{\left( {25h - 60} \right)}^2} + h.2\left( {25h - 60} \right).25}}{{{{24}^2}\pi }} = 0 \Rightarrow h = \frac{4}{5} \Rightarrow V \le f\left( {\frac{4}{5}} \right) \approx 0,71\;{m^3}.\]
Cho phương trình \[\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)\left( {m\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} + 16\sqrt[4]{{{x^2} - x}}} \right) = 1.\] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt?
11.
9.
20.
4.
Đáp án D
Điều kiện \[x > 1\]. Phương trình \[ \Leftrightarrow m\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} + 16\sqrt[4]{{{x^2} - x}} = \sqrt x - \sqrt {x - 1} \]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow m + \frac{1}{{\sqrt x .\sqrt {x - 1} }} + 16.\frac{{\sqrt[4]{{{x^2} - x}}}}{{\sqrt x }} = 1 - \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt x }}\\ \Leftrightarrow m = - 16.\sqrt[4]{{\frac{{{x^2} - x}}{{{x^2}}}}} - \frac{{x - 1}}{{\sqrt {x\left( {x - 1} \right)} }} - \frac{1}{{\sqrt {x\left( {x - 1} \right)} }} + 1 \Leftrightarrow m = - 16.\sqrt[4]{{\frac{{x - 1}}{x}}} - \sqrt {\frac{x}{{x - 1}}} + 1.\end{array}\]
Đặt \[t = \sqrt[4]{{\frac{{x - 1}}{x}}} \in \left( {0;1} \right)\], ta có \[m = - 16t - \frac{1}{{{t^2}}} + 1\].
Xét hàm số \[f\left( t \right) = - 16t - \frac{1}{{{t^2} + 1}}\], với \[t \in \left( {0;1} \right)\] ta có \[f'\left( t \right) = - 16 + \frac{2}{{{t^3}}} = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}\].
Xét bảng sau:
Từ đó ta được \[ - 16 < m < - 11\]. Mà \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 15; - 14; - 13; - 12} \right\}\].
Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên \[\left[ {0;1} \right]\]. Biết \[f\left( x \right).f\left( {1 - x} \right) = 1\] với \[\forall x \in \left[ {0;1} \right]\]. Tích phân \[\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} \] bằng
\[\frac{3}{2}\]
\[\frac{1}{2}\]
1.
2.
Đáp án B
Xét \[I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} \].
Đặt \[x = 1 - t \Rightarrow I = \int\limits_1^0 {\frac{{d\left( {1 - t} \right)}}{{1 + f\left( {1 - t} \right)}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + f\left( {1 - t} \right)}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f\left( {1 - x} \right)}}} \].
Bài ra \[f\left( x \right).f\left( {1 - x} \right) = 1 \Rightarrow f\left( {1 - x} \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + \frac{1}{{f\left( x \right)}}}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}}dx} \].
\[ \Rightarrow I + I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}dx} + \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{1 + f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}}dx} = 1 \Rightarrow I = \frac{1}{2}.\]
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1.
\[\frac{7}{{125}}\]
\[\frac{7}{{150}}\]
\[\frac{{189}}{{1250}}\]
\[\frac{7}{{375}}\]
Đáp án B
Có tất cả \[9.10.10.10.10.10 = {9.10^5}\] số tự nhiên có 6 chữ số.
Số cần tìm có dạng \[\overline {{a_1}{a_2}...{a_6}} \]
+ TH1: \[{a_1} = 1\].
Số cách chọn vị trí cho chữ số 0 là \[6 - 1 = 5\] cách.
Số cách chọn 4 chữ số còn lại là \[8.7.6.5\] cách.
Trường hợp này có tất cả \[5.8.7.6.5 = 8400\] số thỏa mãn.
+ TH2: \[{a_1} \ne 1 \Rightarrow {a_1}\] có 8 cách chọn (trừ chữ số 0 và 1).
Số cách chọn vị trí cho chữ số 0 và 1 là \[5.4 = 20\] cách.
Số cách chọn 3 chữ số còn lại là \[7.6.5\] cách.
Trường hợp này có tất cả \[8.20.7.6.5 = 33600\] số thỏa mãn.
Vậy xác suất cần tìm là \[\frac{{8400 + 33600}}{{{{9.10}^5}}} = \frac{7}{{150}}.\].
Xét \[x,y\] là hai số thực dương thỏa \[1 - \frac{1}{2}{\log _2}\left( {x - y + 2} \right) = {\log _2}\left( {\frac{{x + 1}}{y} + 1} \right).\] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{x\left( {y + 1} \right) + 10}}{y}.\]
8.
6.
4.
5.
Đáp án B
Ta có \[1 = {\log _2}\sqrt {x - y + 2} + {\log _2}\frac{{x + y + 1}}{y} = {\log _2}\left( {\frac{{x + y + 1}}{y}.\sqrt {x - y + 2} } \right)\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{x + y + 1}}{y}.\sqrt {x - y + 2} = 2 \Rightarrow \left( {x + y + 1} \right)\left( {\sqrt {x - y + 2} - 1} \right) = 2y - \left( {x + y + 1} \right)\\ \Rightarrow \left( {x + y + 1} \right).\frac{{x - y + 1}}{{\sqrt {x - y + 2} + 1}} + x - y + 1 = 0 \Rightarrow x - y + 1 = 0 \Rightarrow x = y - 1\\ \Rightarrow P = \frac{{\left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + 10}}{y} = \frac{{{y^2} + 9}}{y} = y + \frac{9}{y} \ge 2\sqrt {y.\frac{9}{y}} = 6.\end{array}\]
Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow y = 3;x = 2\].
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]\]. Biết \[f'\left( x \right).\cos x + f\left( x \right).\sin x = 1\] với \[\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]\] và \[f\left( 0 \right) = 1.\] Tính \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( x \right)dx} .\]
\[I = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}\]
\[I = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}\]
\[I = \frac{1}{2}\]
\[I = \frac{1}{2} + \frac{\pi }{3}\]
Đáp án A
Ta có \[{\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\cos x}}} \right]^'} = \frac{{f'\left( x \right).\cos x + f\left( x \right).\sin x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\].
\[ \Rightarrow \frac{{f\left( x \right)}}{{\cos x}} = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan x + C\].
Mà \[f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f\left( x \right) = \cos x\left( {\tan x + 1} \right) = \sin x + \cos x\]
\[ \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = \left( { - \cos x + \sin x} \right)\left| \begin{array}{l}^{\frac{\pi }{3}}\\_0\end{array} \right. = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\].
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4\] và điểm \[M\left( {2;{\mkern 1mu} 3;{\mkern 1mu} 1} \right)\]. Từ M kẻ được vô số các tiếp tuyến tới (S), biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn (C). Tính bán kính r của đường tròn (C).
\[r = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\]
\[r = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\]
\[r = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\]
\[r = \frac{{\sqrt 2 }}{3}.\]
Đáp án A
Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {1;1;0} \right)\] và bán kính \[R = 2\].
Ta có \[\overrightarrow {IM} = \left( {1;2;1} \right) \Rightarrow IM = \sqrt 6 \]
Gọi H là một tiếp điểm tùy ý khi kẻ tiếp tuyến từ M đến mặt cầu.
Kẻ \[HO \bot IM\;\left( {O \in IM} \right)\], ta có \[IO.IM = H{I^2} \Rightarrow IO.\sqrt 6 = 4 \Rightarrow IO = \frac{{2\sqrt 6 }}{4}\].
Mà I, M cố định \[ \Rightarrow \] O cố định.
Ta có \[MH = \sqrt {I{M^2} - {R^2}} = \sqrt 2 \Rightarrow \frac{1}{{H{O^2}}} = \frac{1}{{M{H^2}}} + \frac{1}{{M{I^2}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \Rightarrow OH = \frac{2}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].
Vậy \[\left( C \right)\] là đường tròn tâm O có bán kính \[r = OH = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left| {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + a} \right|\]. Gọi \[M,{\rm{ }}m\] lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\]. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn \[\left[ { - 3;{\mkern 1mu} 3} \right]\] sao cho \[M \le 2m\]?
3.
7.
6.
5.
Đáp án D
Xét hàm số \[g\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + a\], với \[x \in \left[ { - 3;3} \right]\] ta có \[g'\left( x \right) = 4{x^3} - 12{x^2} + 8x;\;\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - 3;3} \right)\\g'\left( x \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\].
Xét bảng sau:
+ TH1: \[0 \le a \le 3 \Rightarrow M = a + 1;m = a \Rightarrow M \le 2m \Leftrightarrow a \ge 1 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3} \right\}\].
+ TH2: \[ - 3 \le a \le - 1 \Rightarrow M = \left| a \right| = - a;\;m = \left| {a + 1} \right| = - a - 1\].
\[ \Rightarrow M \le 2m \Leftrightarrow a \le - 2 \Rightarrow a \in \left\{ { - 3; - 2} \right\}\].
Cho Parabol \[\left( P \right):y = {x^2}\] và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho \[AB = 2.\] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng \[AB\] đạt giá trị lớn nhất bằng
\[\frac{2}{3}\]
\[\frac{3}{4}\]
\[\frac{4}{3}\]
\[\frac{3}{2}\]
Đáp án C
Xét \[A\left( {a;{a^2}} \right),B\left( {b;{b^2}} \right)\] với \[a < b\].
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {b - a;{b^2} - {a^2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {a + b; - 1} \right)\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow AB:\left( {a + b} \right)\left( {x - a} \right) - \left( {y - {a^2}} \right) = 0\\ \Rightarrow AB:y = \left( {a + b} \right)x - ab.\end{array}\]
Lại có \[AB = 2 \Leftrightarrow {\left( {b - a} \right)^2} + {\left( {{b^2} - {a^2}} \right)^2} = 4\].
Phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} = \left( {a + b} \right)x - ab \Leftrightarrow x\left( {x - a} \right) - b\left( {x - a} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\\x = b\end{array} \right.\].
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \[\left( P \right):y = {x^2}\] và đường thẳng AB là
\[\begin{array}{l}S = \int\limits_a^b {\left| {\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)} \right|dx} = - \int\limits_a^b {\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)dx} = \int\limits_a^b {\left[ {\left( {a + b} \right)x - ab - {x^2}} \right]dx} \\ = \left[ {\left( {a + b} \right).\frac{{{x^2}}}{2} - abx - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]\left| \begin{array}{l}^b\\_a\end{array} \right. = \frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\left( {{b^2} - {a^2}} \right) - ab\left( {b - a} \right) - \frac{1}{3}\left( {{b^3} - {a^3}} \right)\\ = \left( {b - a} \right)\left[ {\frac{1}{2}{{\left( {a + b} \right)}^2} - ab - \frac{1}{3}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)} \right] = \left( {b - a} \right).\frac{{3{{\left( {a + b} \right)}^2} - 6ab - 2\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}}{6}\\ = \frac{1}{6}\left( {b - a} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - 2ab} \right) = \frac{1}{6}{\left( {b - a} \right)^3}.\end{array}\]
Từ \[{\left( {b - a} \right)^2} + {\left( {{b^2} - {a^2}} \right)^2} = 4 \Rightarrow {\left( {b - a} \right)^2}\left( {1 + {{\left( {b + a} \right)}^2}} \right) = 4 \Rightarrow {\left( {b - a} \right)^2} = \frac{4}{{1 + {{\left( {b + a} \right)}^2}}} \le 4\]
\[ \Rightarrow b - a \le 2 \Rightarrow S = \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}}}{6} \le \frac{{{2^3}}}{6} = \frac{4}{3}\].
Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\b - a = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = - 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 1;1} \right),B\left( {1;1} \right)\].
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[B\left( {2;{\mkern 1mu} - 1;{\mkern 1mu} - 3} \right)\], \[C\left( { - 6;{\mkern 1mu} - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3} \right)\]. Trong các tam giác ABC thỏa mãn các đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau, điểm \[A\left( {a;b;0} \right)\], (\[b > 0\]) sao cho giá trị của \[\cos A\] nhỏ nhất. Tính \[a + b.\]
10.
8.
12.
14.
Đáp án C
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB.
Gọi \[P = BM \cap CN\], ta có \[BM \bot CN\] nên \[B{C^2} = B{P^2} + C{P^2}\].
Theo công thức tính đường trung tuyến, ta có:
\[\begin{array}{l}B{P^2} = {\left( {\frac{2}{3}BM} \right)^2} = \frac{4}{9}.\frac{{2\left( {B{A^2} + B{C^2}} \right) - A{C^2}}}{4}\\C{P^2} = {\left( {\frac{2}{3}CN} \right)^2} = \frac{4}{9}.\frac{{2\left( {C{A^2} + C{B^2}} \right) - A{B^2}}}{4}\\ \Rightarrow B{C^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} + 4B{C^2}}}{9} \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = 5B{C^2}.\end{array}\]
Ta có \[\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{5\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - \left( {A{B^2} + A{C^2}} \right)}}{{10.AB.AC}} = \frac{2}{5}.\frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{AB.AC}} \ge \frac{2}{5}.\frac{{2AB.AC}}{{AB.AC}} = \frac{4}{5}\].
Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow AB = AC\].
Ta có \[A\left( {a;b;0} \right),b > 0\] và \[B\left( {2; - 1; - 3} \right),C\left( { - 6; - 1;3} \right)\].
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {2 - a; - 1 - b; - 3} \right) \Rightarrow A{B^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + 9\\\overrightarrow {AC} = \left( { - 6 - a; - 1 - b;3} \right) \Rightarrow A{C^2} = {\left( {a + 6} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + 9\end{array} \right.\].
Ép cho \[A{B^2} = A{C^2} \Rightarrow 4 - 4a = 36 + 12a \Leftrightarrow a = - 2\].
Ta có \[\overrightarrow {BC} = \left( { - 8;0;6} \right) \Rightarrow B{C^2} = 100\]. Khi đó từ \[A{B^2} + A{C^2} = 5B{C^2}\] và \[AB = AC\]
\[ \Rightarrow 2\left[ {{{\left( {2 - a} \right)}^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2} + 9} \right] = 5.100 \Rightarrow {4^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + 9 = 250\].
Kết hợp với \[b > 0\] ta được \[b = 14\] thỏa mãn \[ \Rightarrow a + b = 12\].
Cho số phức z thỏa mãn \[\left| {z - 1 - i} \right| = 2.\] Biết rằng giá trị lớn nhất của \[{\left| {z + 3 + i} \right|^2} + {\left| {z - 3 + 3i} \right|^2}\] có dạng \[a + b\sqrt {10} \] với \[a,{\rm{ }}b \in \mathbb{Z}.\] Tính \[a + b.\]
30.
35.
46.
25.
Đáp án C
Tập hợp các điểm M biểu diễn z là đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( {1;1} \right)\] và bán kính \[R = 2\].
