Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 19)
50 câu hỏi
Trong không gian Oxyz cho điểm \(A\left( {1;1;2} \right)\) và \(B\left( {3;4;5} \right)\). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là
\(\left( {4;5;3} \right)\).
\(\left( {2;3;3} \right)\).
\(\left( { - 2; - 3;3} \right)\).
\(\left( {2; - 3; - 3} \right)\).
Đáp án B
\(\left( {2;3;3} \right)\)
Cho các số thực dương a; b với \[a \ne 1\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[{\log _{{a^3}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}{\log _a}b\].
\[{\log _{{a^3}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{3}{\log _a}b\].
\[{\log _{{a^3}}}\left( {ab} \right) = 3{\log _a}b\].
\[{\log _{{a^3}}}\left( {ab} \right) = 3 + 3{\log _a}b\].
Đáp án A
\[{\log _{{a^3}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{3}{\log _a}\left( {ab} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}{\log _a}b\]
Cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 1\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Đáp án C
\(y' = 3{x^2} - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = 1\); \(x = 3\) nên hàm số nghịch biến trẽn khoảng \(\left( {1;3} \right)\).
Phương trình \[{9^x} - {3^{x + 1}} + 2 = 0\] có hai nghiệm \[{x_1}\]; \({x_2}\) với \({x_1} < {x_2}\). Đặt \(P = 2{x_1} + 3{x_2}\). Khi đó:
\(P = 0\).
\(P = 3{\log _3}2\).
\(P = 2{\log _3}2\).
\(P = 3{\log _2}3\).
Đáp án B
\({9^x} - {3^{x + 1}} + 2 = 0 \Leftrightarrow {3^{2x}} - {3.3^x} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} = 1\\{3^x} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {\log _3}2\end{array} \right.\)
Vì \({\log _3}2 > 0\) nên \({x_1} = 0\), \({x_2} = {\log _3}2 \Rightarrow P = 2{x_1} + 3{x_2} = 3{\log _3}2\).
Nếu cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội q và \({u_1} = \frac{1}{2}\), \({u_5} = 8\) thì
\(q = 2\).
\(q = \frac{1}{2}\).
\(q = - 2\).
\(q \in \left\{ { - 2;2} \right\}\).
Đáp án D
Do \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội q nên \({u_5} = {u_1}{q^4} \Rightarrow {q^4} = \frac{8}{{\frac{1}{2}}} = 16 \Leftrightarrow q = \pm 2\)
Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\]có đồ thị như hình 1
Hình 2 là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây?
\[y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\].
\[y = {\left| x \right|^3} - 3{x^2} + 2\].
\[y = {\left| x \right|^3} + 3{x^2} + 2\].
\[y = - {x^3} + 3{x^2} - 2\]
Đáp án A
Đồ thị hàm số ở hình 2 gồm 2 phần:
Phần 1: Là phần đồ thì nằm phía trên trục hoành của hình 1
Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành của hình 1 qua trục hoành.
Vậy hàm số cần chọn là \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\).
Đường thẳng d có phương trình \(\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3}\) được viết dưới dạng
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 - 2t\\z = - 3 + 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 2 + 2t\\z = 3 - 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = - 3 - 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - t\\y = - 2 - 2t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\).
Đáp án D
\(\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3} = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - t\\y = - 2 - 2t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\).
Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác đều cạnh có độ dài 2a. Thể tích của khối nón là
\(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{9}\).
\(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
\(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
Đáp án C
\(V = \frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3}\left( {\pi {a^2}} \right)\left( {2a\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn \(k \le n\), mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\).
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n + k} \right)!}}\).
Đáp án C
Ta có \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ giao điểm của d: \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2x - y - z - 7 = 0\) là
\(M\left( {1; - 1;2} \right)\).
\(M\left( {2;0; - 2} \right)\).
\(M\left( {3; - 1;0} \right)\).
\(M\left( { - 3;1;0} \right)\).
Đáp án C
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - z - 7 = 0\\\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2} = t\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {t + 3} \right) - \left( { - t + 1} \right) - 2t - 7 = 0 \Rightarrow t = 0 \Rightarrow M\left( {3; - 1;0} \right)\)
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} = 3\), \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} = - 2\). Tính giá trị của biểu thức \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} \).
12.
9.
6.
–6.
Đáp án A
Ta có \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} - 3\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} = 12\)
Cho lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với \(BA = BC = a\), biết mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) hợp với mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) một góc 60°. Tính thề tích khối lăng trụ đã cho.
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
\(\sqrt 3 {a^3}\).
\(\frac{{{a^3}}}{2}\).
\(\frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
Đáp án A
Hai mặt \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABB'A'} \right)\) vuông góc với nhau hiển nhiên. Ta thấy BC vuông góc với \(\left( {ABB'A'} \right)\) nên mặt phẳng \(\left( {ABA'} \right)\) cùng vuông góc với hai mặt \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).
Như vậy \(\widehat {ABA'} = 60^\circ \Rightarrow AA' = AB\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), thể tích lăng trụ \(V = {a^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
Cho số phức z thỏa mãn \(\bar z = 3 + 2i\). Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.
Phần thực bằng –3, phần ảo bằng 2.
Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2.
Phần thực bằng 3, phần ảo bằng –2.
Phần thực bằng –3, phần ảo bằng –2.
Đáp án C
Vì \(\bar z = 3 + 2i \Rightarrow z = 3 - 2i\). Do đó số phức z có phần thực bằng 3. Phần ảo bằng –2.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
x | \( - \infty \) |
| –2 |
| 2 |
| \( + \infty \) |
\(y'\) |
| + | 0 | – | 0 | + |
|
y | \( - \infty \) |
| 3 |
|
0 |
| \( + \infty \) |
Tìm giá trị cực đại \({y_{CD}}\) và giá trị cực tiểu \({y_{CT}}\) của hàm số đã cho
\({y_{CD}} = - 2\) và \({y_{CT}} = 2\).
\({y_{CD}} = 3\) và \({y_{CT}} = 0\).
\({y_{CD}} = 2\) và \({y_{CT}} = 0\).
\({y_{CD}} = 3\) và \({y_{CT}} = - 2\).
Đáp án B
Dựa vào BBT suy ra \({y_{CD}} = 3\) và \({y_{CT}} = 0\).
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm có hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + {e^x} - 5x\)?
\(F\left( x \right) = - \cos x + {e^x} - \frac{5}{2}{x^2} + 1\).
\(F\left( x \right) = \cos x + {e^x} - 5x + 3\).
\(F\left( x \right) = \cos x + {e^x} - \frac{5}{2}{x^2}\).
\(F\left( x \right) = \cos x + \frac{{{e^x}}}{{x + 1}} - \frac{5}{2}{x^2}\).
Đáp án A
\(F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\left( {\sin x + {e^x} - 5x} \right)dx} = - \cos x + {e^x} - \frac{5}{2}{x^2} + C\), C là hằng số.
\(F\left( x \right) = - \cos x + {e^x} - \frac{5}{2}{x^2} + 1\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \(\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau đây. Điều kiện của m để phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt là
\( - 3 \le m \le 1\).
\(\frac{1}{8} < m < 2\).
\(\frac{1}{8} \le m \le 2\).
\( - 3 < m < 1\).
Đáp án D
Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt khi \( - 3 < m < 1\).
Gọi \({z_1}\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\). Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của \({z_1}\) có tọa độ là
\(\left( { - 1;2} \right)\).
\(\left( {2;1} \right)\).
\(\left( { - 2;1} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
Đáp án D
Ta có: \({z^2} - 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\)
\({z_1}\) có phần ảo dương \( \Rightarrow {z_1} = 1 + 2i\)
Do đó điểm biểu diễn của \({z_1}\) có tọa độ là \(\left( {1;2} \right)\).
Hàm số \(f\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - 4x} \right)\) có đạo hàm trên miền xác định là \(f'\left( x \right)\). Chọn kết quả đúng.
\(f'\left( x \right) = \frac{{\ln 3}}{{{x^2} - 4x}}\).
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {{x^2} - 4x} \right)\ln 3}}\).
\(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x - 4} \right)\ln 3}}{{{x^2} - 4x}}\).
\(f'\left( x \right) = \frac{{2x - 4}}{{\left( {{x^2} - 4x} \right)\ln 3}}\).
Đáp án D
\(f'\left( x \right) = {\left( {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 4x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} - 4x} \right)}^\prime }}}{{\left( {{x^2} - 4x} \right).\ln 3}} = \frac{{2x - 4}}{{\left( {{x^2} - 4x} \right).\ln 3}}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\)
\(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]} = - 2\).
\(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]} = \frac{{19}}{3}\).
\(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]} = - 3\).
\(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]} = 6\).
Đáp án D
Theo bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương
\(y = \frac{{{x^2} - 1 + 4}}{{x - 1}} = x + 1 + \frac{4}{{x - 1}} + 2 \ge 2\sqrt 4 + 2 = 6\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, \(A\left( { - 3;4;2} \right)\), \(B\left( { - 5;6;2} \right)\), \(B\left( { - 10;17; - 7} \right)\). Viết phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB
\({\left( {x + 10} \right)^2} + {\left( {y - 17} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 8\).
\({\left( {x + 10} \right)^2} + {\left( {y - 17} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 8\).
\({\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y - 17} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 8\).
\({\left( {x + 10} \right)^2} + {\left( {y + 17} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 8\)
Đáp án B
\(A{B^2} = {2^2} + {2^2} + {0^2} = 8\). Suy ra mặt cầu \({\left( {x + 10} \right)^2} + {\left( {y - 17} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 8\).
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(BB' = a\), đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, \(AC = a\sqrt 2 \). Tính thể tích lăng trụ
\(\frac{{{a^3}}}{3}\).
\(\frac{{{a^3}}}{6}\).
\({a^3}\).
\(\frac{{{a^3}}}{2}\).
Đáp án D
+ Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại B nên \(BA = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a\)
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.BA.BC = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow V = BB'.{S_{ABC}} = \frac{{{a^2}}}{2}.a = \frac{{{a^3}}}{2}\)(đvdt)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x | \( - \infty \) |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| \( + \infty \) |
\(f'\left( x \right)\) |
| + | 0 | + | 0 | – | 0 | + |
|
Số điểm cực trị của hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) là
2.
3.
0.
1.
Đáp án A
Ta có: \(g\left( x \right) = - 2f\left( x \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = - 2f'\left( x \right)\)
Do \(f\left( x \right)\) đổi dấu khi đi qua hai điểm \(x = 2\), \(x = 4\) nên \( - 2f'\left( x \right)\) đổi dấu qua điểm \(x = 2\), \(x = 4\)
Vậy hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết \(SC = a\sqrt 7 \) và mặt phẳng \(\left( {SDC} \right)\) tạo với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] một góc 30°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
\[3{a^3}\].
\({a^3}\).
\[{a^3}\sqrt 6 \].
\[{a^3}\sqrt 3 \].
Đáp án B
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = DC\\AD \subset \left( {ABCD} \right),AD \bot DC\\SD \subset \left( {SDC} \right),SD \bot DC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {SDC} \right)} \right) = SDA = 30^\circ \)
Gọi cạnh hình vuông là x \( \Rightarrow SA = x.\tan 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}x\) và \(AC = \sqrt 2 a\)
Lại có \(S{C^2} = S{A^2} + A{C^2}\) hay \({\left( {a\sqrt 7 } \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 x} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)^2}\). Từ đó ta có \(x = \sqrt 3 a\).
Do đó \(SA = a\)
Thể tích khối chóp cần tìm là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a.{\left( {\sqrt 3 a} \right)^2} = {a^3}\)
Cho a là một số thực dương, khác 1. Đặt \({\log _3}a = \alpha \). Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _{\frac{1}{3}}}a - {\log _{\sqrt 3 }}{a^2} + {\log _a}9\) theo \(\alpha \)
\(P = \frac{{2 - 5{\alpha ^2}}}{\alpha }\).
\(P = - 3\alpha \).
\(P = \frac{{2\left( {1 - {\alpha ^2}} \right)}}{\alpha }\).
\(P = \frac{{1 - 10{\alpha ^2}}}{\alpha }\).
Đáp án A
\(P = - {\log _3}a - 4{\log _3}a + 2{\log _a}3 = - 5{\log _3}a + \frac{2}{{{{\log }_3}a}} = - 5\alpha + \frac{2}{\alpha } = \frac{{2 - 5{\alpha ^2}}}{\alpha }\)
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\).
Đáp án C
Ta có \(\frac{{x\left( {3 - 2i} \right)}}{{2 + 3i}} + y{\left( {1 - 2i} \right)^2} = 6 - 5i \Leftrightarrow x.\frac{{\left( {3 - 2i} \right)\left( {2 - 3i} \right)}}{{13}} + y\left( { - 3 - 4i} \right) = 6 - 5i\)
\( \Leftrightarrow - xi - 3y - 4yi = 6 - 5i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + 4y = 5\\ - 3y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 2\\x = 13\end{array} \right.\)
Số nghiệm thực của phương trình \(2{\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2 + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {3 - 2x} \) là
2.
0.
1.
3.
Đáp án B
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\3 - 2x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < \frac{3}{2}\end{array} \right.\) hệ bất phương trình vô nghiệm nên phương trình vô nghiệm.
Một khối trụ bán kính đáy là \(a\sqrt 3 \), chiều cao là \(2a\sqrt 3 \). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối trụ.
\(8\sqrt 6 \pi {a^3}\).
\(6\sqrt 6 \pi {a^3}\).
\(4\sqrt 3 \pi {a^3}\).
\(\frac{{4\sqrt 6 }}{3}\pi {a^3}\).
Đáp án A
Gọi O, \(O'\) lần lượt là tâm của hai đáy hình trụ. Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối trụ là trung điểm I của \(OO'\). Bán kính mặt cầu này là: \(R = IK = \sqrt {I{O^2} + O{K^2}} = \sqrt {3{a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt 6 \).
Thể tích khối cầu: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {a\sqrt 6 } \right)^3} = 8\sqrt 6 \pi {a^3}\)
Cho đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) như hình vẽ bên. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{f\left( x \right) - 2}}\) là
1.
2.
3.
4.
Đáp án B
Phương trình \(f\left( x \right) = 2\) có nghiệm kép \(x = 1\) và một nghiệm \(x = {x_0} < 0\)
Do đó \(f\left( x \right) - 2 = k\left( {x - {x_0}} \right){\left( {x - 1} \right)^2}\)
Suy ra \(y = \frac{{x - 1}}{{f\left( x \right) - 2}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)}}{{k\left( {x - {x_0}} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{k\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x - 1} \right)}}\) nên đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{f\left( x \right) - 2}}\) có 2 đường tiệm cận đứng là \(x = {x_0}\), \(x = 1\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên và đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Giá trị của biểu thức \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} \) bằng
2.
4.
1.
0.
Đáp án D
Ta có \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} = f\left( x \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_1\end{array} \right. = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right)\)
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có \(f\left( 2 \right) = - 2\), \(f\left( 1 \right) = - 2\)
Vậy giá trị cảu biểu thức \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} \) bằng 0.
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau: \({d_1}\): \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 6}}{{ - 2}}\), \({d_2}\): \(\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{3}\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({d_1}\) và song song với \({d_2}\) là:
\(\left( P \right)\): \(x + 8y + 5z + 16 = 0\).
\(\left( P \right)\): \(x + 8y + 5z - 16 = 0\).
\(\left( P \right)\): \(2x + y - 6 = 0\).
\(\left( P \right)\): \(x + 4y + 3z - 12 = 0\).
Đáp án B
Phương trình tham số \({d_1}\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2{t_1}\\y = - 2 + {t_1}\\z = 6 - 2{t_1}\end{array} \right.,\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right)\)
\({d_1}\) đi qua điểm \(M\left( {2; - 2;6} \right)\) và véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 2} \right)\)
Phương trình tham số \({d_2}\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + {t_2}\\y = - 2 - 2{t_2}\\z = - 1 + 3{t_2}\end{array} \right.,\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)\)
\({d_2}\) đi qua điểm \(N\left( {4; - 2; - 1} \right)\) và véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;3} \right)\)
Vì mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({d_1}\), và song song với \({d_2}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {{u_2}} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = - \left( {1;8;5} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {2; - 2;6} \right)\) và véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = - \left( {1;8;5} \right)\), nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\): \[\left( {x - 2} \right) + 8\left( {y + 2} \right) + 5\left( {z - 6} \right) = 0\] hay \(\left( P \right)\): \[x + 8y + 5z - 16 = 0\].
Nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{\sin 2x}}{{3 + 2\cos x}}\) bằng
\(3\ln \left| {3 + 2\cos x} \right| - \cos x + C\).
\(\frac{3}{2}\ln \left| {3 + 2\cos x} \right| - \cos x + C\).
\( - \frac{3}{2}\ln \left| {3 + 2\cos x} \right| + \cos x + C\).
\(3\ln \left| {3 + 2\cos x} \right| + \cos x + C\).
Đáp án B
\(H = \int\limits_{}^{} {\frac{{\sin 2x}}{{3 + 2xosx}}dx} = \int\limits_{}^{} {\frac{{2\sin x\cos x}}{{2\cos x + 3}}dx} = - 2\int\limits_{}^{} {\frac{{\cos x}}{{2\cos x + 3}}d\left( {\cos x} \right)} \)
\( = - \frac{1}{2}\left( {2\cos x + 3 - 3\ln \left| {2\cos x + 3} \right|} \right) + C = - \cos x - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\ln \left( {2\cos x + 3} \right) + C\)
Cho tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 - \ln x} }}{{2x}}dx} \). Đặt \(u = \sqrt {1 - \ln x} \). Khi đó I bằng
\(I = \int\limits_1^0 {{u^2}du} \).
\(I = \int\limits_1^0 {\frac{{{u^2}}}{2}du} \).
\(I = - \int\limits_1^0 {{u^2}du} \).
\(I = - \int\limits_0^1 {{u^2}du} \).
Đáp án C
Đặt \(u = \sqrt {1 - \ln x} \Rightarrow {u^2} = 1 - \ln x \Rightarrow 2udu = - \frac{1}{x}dx \Rightarrow \frac{1}{{2x}}dx = udu\)
\(x = 1 \Rightarrow u = 1\); \(x = e \Rightarrow u = 0\)
Khi đó \(I = \int\limits_1^0 {u.\left( { - udu} \right)} = - \int\limits_1^0 {{u^2}du} \)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {2;1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2x + y - 3z + 1 = 0\). Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa A; B và vuông góc với \(\left( P \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là:
\(2x + 5y + 3z - 9 = 0\).
\(2x + y - 3z - 7 = 0\).
\(2x + y - z - 5 = 0\).
\(x + 2y - z - 6 = 0\).
Đáp án A
Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa AB và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {2;5;3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) nên \(2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y + 3z - 9 = 0\).
Cho các số phức z thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w = 3 - 2i + \left( {4 - 3i} \right)z\) là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó:
\(r = 5\).
\(r = 2\sqrt 5 \).
\(r = 10\).
\(r = 20\).
Đáp án C
Đặt \(w = x + yi\), \(\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) ta có
\(w = 3 - 2i + \left( {4 - 3i} \right)z \Leftrightarrow w - \left( {3 - 2i} \right) = \left( {4 - 3i} \right)z \Leftrightarrow \left| {w - \left( {3 - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {4 - 3i} \right)z} \right|\)
\( \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 3} \right) + \left( {y + 2} \right)i} \right| = \left| {4 - 3i} \right|\left| z \right| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}.2} \)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 100\)
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w = 3 - 2i + \left( {4 - 3i} \right)z\) là một đường tròn có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\), bán kính \(r = 10\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
x | \( - \infty \) |
| 0 |
| 2 |
| 3 |
| \( + \infty \) |
\(f'\left( x \right)\) |
| – | 0 | + | 0 | – | 0 | – |
|
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2 - x} \right) + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x + 1\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
\(\left( {2;3} \right)\).
\(\left( { - 2;0} \right)\).
Đáp án B
Ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( {2 - x} \right) + {x^2} - 3x + 2 = - f'\left( {2 - x} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)
Ta chọn x sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {2 - x} \right) > 0\\\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < 2 - x < 2\\1 < x < 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 2\\1 < x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 2\)
Vậy với \(x \in \left( {1;2} \right)\) thì \(g'\left( x \right) < 0\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên:
x | \( - \infty \) |
| 1 |
| 3 |
| \( + \infty \) |
\(y'\) |
| + | 0 | – | 0 | + |
|
y | \( - \infty \) |
| 4 |
|
–2 |
| \( + \infty \) |
Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình \(f\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right) \le m\) có nghiệm?
\(m \ge 1\).
\(m \ge - 2\).
\(m \ge 4\).
\(m \ge 0\).
Đáp án B
Xét hàm số \(f\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)\). Đặt \(t = \sqrt {x - 1} + 1 \ge 1\), \(\forall x \ge 1\)
Khi đó: \(f\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right) \le m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(f\left( t \right) \le m\), \(t \in \left[ {1; + \infty } \right)\) có nghiệm
Từ bảng biến thiên ta thấy \(f\left( t \right) \le m\), \(t \in \left[ {1; + \infty } \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(m \ge - 2\)
Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một lần 3 viên bi. Tính xác xuất lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh.
\(\frac{4}{{11}}\).
\(\frac{5}{{11}}\).
\(\frac{7}{{22}}\).
\(\frac{5}{{22}}\).
Đáp án A
Gọi B là biến cố “lấy được ít nhất 2 viên bi xanh”
Để lấy được ít nhất 2 viên bi xanh ta xét 2 trường hợp
TH1: Lấy được cả 3 viên bi xanh có \(C_5^3 = 10\) cách
TH2: Lấy ra được 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ có \(C_5^2.C_7^1 = 70\) cách
Vậy \(\left| {{\Omega _B}} \right| = 10 + 70 = 80 \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{80}}{{220}} = \frac{4}{{11}}\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = a\), \(AD = 2a\). Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.
\(6\pi {a^2}\).
\(10\pi {a^2}\).
\(3\pi {a^2}\).
\(5\pi {a^2}\).
Đáp án D
Gọi H là trung điểm của AD. Tam giác SAD đều và \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(AH = a\), \(SH = a\sqrt 3 \) và tứ giác ABCH là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow BH = a\sqrt 2 \).
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot S\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot SA\) hay \(\widehat {SAB} = 90^\circ \) \(\left( 1 \right)\)
Chứng minh tương tự ta có \(BC \bot SC\)hay \(\widehat {SCB} = 90^\circ \) \(\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta thấy hai đỉnh A và C của hình chóp S.ABC cùng nhìn SB dưới một góc vuông. Do đó bốn điểm S, A, B, C cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
Xét tam giác vuông SHB, ta có \(SB = \sqrt {B{H^2} + S{H^2}} = a\sqrt 5 \).
Vây diên tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là \(S = 4\pi {\left( {\frac{{SB}}{2}} \right)^2} = 5\pi {a^2}\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để phương trình \({\log _2}\left( {2x - 1} \right) = {\log _4}\left( {m{x^2} + 1} \right)\) có nghiệm
3.
2.
4.
5.
Đáp án A
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB = a\), \(BC = a\sqrt 3 \), \(SA = a\) và SA vuông góc với đấy ABCD. Tính với là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{8}\).
\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{5}\).
\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án A
Kẻ \(Sx//BC\), dựng \(K \in Sx\) sao cho \(SK = BC\).
Trong \(\left( {KDC} \right)\), kẻ \(DM \bot KC \Rightarrow DM \bot \left( {SBCK} \right) \Rightarrow \) MB là hình chiếu vuông góc của DB lên \(\left( {SBCK} \right)\). Khi đó: \(\widehat {BD,\left( {SBCK} \right)} = \widehat {MBD}\).
Ta có: \(\sin \widehat {MBD} = \frac{{DM}}{{BD}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
Trong hệ tọa độ Oxyz cho điểm \(M\left( {1; - 1;2} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = - 1\end{array} \right.\), \({d_2}\): \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua M và cắt hai đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \left( {1;a;b} \right)\), tính \(a + b\):
\(a + b = - 1\).
\(a + b = - 2\).
\(a + b = 2\).
\(a + b = 1\).
Đáp án D
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) với \({d_1}\) và \({d_2}\)
Vì \(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {{t_1};1 - {t_1}; - 1} \right)\); \(B \in {d_2} \Rightarrow A\left( { - 1 + 2{t_2};1 + {t_2}; - 2 + {t_2}} \right)\)
\(M \in \Delta \Leftrightarrow \) M, A, B thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = k.\overrightarrow {MB} \) \(\left( 1 \right)\)
\(\overrightarrow {MA} = \left( {{t_1} - 1;2 - {t_1}; - 3} \right)\); \(\overrightarrow {MB} = \left( {2{t_2} - 2;{t_2} + 2;{t_2} - 4} \right)\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} - 1 = k\left( {2{t_2} - 2} \right)\\2 - {t_1} = k\left( {{t_2} + 2} \right)\\ - 3 = k\left( {{t_2} - 4} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} - 2k{t_2} + 2k = 1\\ - {t_1} - k{t_2} - 2k = - 2\\k{t_2} - 4k = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 0\\k{t_2} = \frac{1}{3}\\k = \frac{5}{6}\end{array} \right.\)
Từ \({t_1} = 0 \Rightarrow A\left( {0;1; - 1} \right)\). Do đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A và M nên một véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {AM} = \left( {1; - 2;3} \right)\)
Vậy \(a = - 2\), \(b = 3 \Rightarrow a + b = 1\)
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên:
Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( {\left| {f\left( x \right)} \right|} \right) = 0\) là
5.
8.
9.
6.
Đáp án B
Đặt \(u = \left| {f\left( x \right)} \right| \Rightarrow f\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = - 1,2\\u = 0,4\\u = 2,2\end{array} \right.\)
Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}\left| {f\left( x \right)} \right| = - 1,2\\\left| {f\left( x \right)} \right| = 0,4\\\left| {f\left( x \right)} \right| = 2,2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {f\left( x \right)} \right| = \pm 0,4\\\left| {f\left( x \right)} \right| = \pm 2,2\end{array} \right.\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta có phương trình \(f\left( x \right) = \pm 0,4\) có 6 nghiệm, phương trình \(f\left( x \right) = \pm 2,2\) có 2 nghiệm nên phương trình đã cho có 8 nghiệm.
Cho hai số phức \({z_1}\); \({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 3\) và \({z_2} = \left( {1 + i} \right){z_1}\). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức \[w = 2z_1^2 + z_2^2\] là đường tròn có bán kính bằng
\[R = 9\sqrt 5 \].
\[R = 18\sqrt 2 \].
\[R = 9\sqrt 2 \].
\(R = 9\).
Đáp án B
Ta có: \(w = 2z_1^2 + {\left[ {\left( {1 + i} \right){z_1}} \right]^2} = 2z_1^2 + {\left( {1 + i} \right)^2}.{\left( {{z_1}} \right)^2} = z_1^2\left[ {2 + {{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]\)
\( = z_1^2.\left( {2 + 2i} \right)\)
Suy ra \(\left| w \right| = \left| {z_1^2\left( {2 + 2i} \right)} \right| = {\left| {{z_1}} \right|^2}.\left| {2 + 2i} \right| = 18\sqrt 2 \)
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm O bán kính \(R = 18\sqrt 2 \).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị tạo với trục hoành các miền có diện tích là \({S_1}\), \({S_2}\), \({S_3}\), \({S_4}\) như hình vẽ. Biết \({S_1} = 6\), \({S_2} = 1\), \({S_3} = 4\), \({S_4} = 2\) tích phân \(I = \int\limits_0^{\ln 2} {{e^x}f\left( {3{e^x} - 2} \right)dx} \) bằng
2.
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{7}{3}\).
\(\frac{2}{3}\).
Đáp án D
\(I = \int\limits_0^{\ln 2} {{e^x}f\left( {3{e^x} - 2} \right)dx} = \frac{1}{3}\int\limits_0^{\ln 2} {f\left( {3{e^x} - 2} \right)d\left( {3{e^x} - 2} \right)} \)
Đặt \(u = 3{e^x} - 2\) sử dụng phép đổi cận ta có:
\(I = \frac{1}{3}\int\limits_1^4 {f\left( u \right)du} = \frac{1}{3}\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}\left( {{S_3} - {S_4}} \right) = \frac{2}{3}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), bảng biến thiên của hàm số \(f'\left( x \right)\) như sau:
x | \( - \infty \) |
| –4 |
| 0 |
| 1 |
| \( + \infty \) |
\(f'\left( x \right)\) | \( + \infty \) |
|
–2 |
| 3 |
|
–4 |
| \( + \infty \) |
Số điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 4x} \right)\) là
9.
3.
4.
7.
Đáp án C
Ta có: \(y' = \left( {2x - 4} \right).f'\left( {{x^2} - 4x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\f'\left( {{x^2} - 4x} \right) = 0\end{array} \right.\)
Phương trình \(f'\left( u \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt trong đó \({x_1} < - 4\), \({x_2}\), \({x_3}\), x4 > - 4
Vì \(u = {x^2} - 4x = {\left( {x - 2} \right)^2} - 4\) nên với mỗi phương trình \({x^2} - 4x = \left\{ {{x_2},{x_3},{x_4}} \right\}\) ta được 2 nghiệm phân biệt suy ra hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 4x} \right)\) có 7 điểm cực trị
Do \({\lim _{x \to + \infty }}f\left( {{x^2} - 4x} \right) = f\left( { + \infty } \right) = + \infty \)
Lập bảng xét dấu suy ra hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 4x} \right)\) có 4 điểm cực tiểu và 3 điểm cực đại.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với AD là đáy lớn \(AD = 2a\), \(AB = BC = CD = a\). Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho \[HC = 2AH\]. Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] và đáy \[\left( {ABCD} \right)\] bằng 60°. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD.
\[d = \frac{{6a\sqrt {13} }}{{13}}\].
\[d = \frac{{6a\sqrt {13} }}{{21}}\].
\[d = \frac{{2a\sqrt {13} }}{{21}}\].
\[d = \frac{{a\sqrt {13} }}{{42}}\].
Đáp án A
Gọi I là trung điểm của AD \( \Rightarrow \)ABCI là hình bình hành suy ra \(CI = a = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại C. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot CD\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SCH} \right)\)
Vạy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và đáy \(\left( {ABCD} \right)\)bằng \(\widehat {SCH} = 60^\circ \), \(AC = \sqrt {A{D^2} - C{D^2}} = a\sqrt 3 \Rightarrow HC = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow SH = HC\tan 60^\circ = 2a\)
Ta có \(h = 2\), \(k = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\), \(c = AC = \sqrt 3 \Rightarrow d = \frac{{6a\sqrt {13} }}{{13}}\)
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho \(A\left( { - 3;1;1} \right)\), \(B\left( {1; - 1;5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2x - y + 2z + 11 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại điểm C. Biết C luôn thuộc đường tròn \(\left( T \right)\) cố định. Tính bán kính r của đường tròn \(\left( T \right)\).
\(r = \sqrt 3 \).
\(r = 4\).
\(r = \sqrt 2 \).
\(r = 2\).
Đáp án B
Phương trình đường thẳng AB là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\). Gọi \(M\left( { - 3 + 2t;1 - t;1 + 2t} \right)\) là giao điểm của AB và \(\left( P \right)\). Cho \(M \in \left( P \right) \Rightarrow - 6 + 4t - 1 + t + 2 + 4t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{2}{3}\)
Suy ra \(M\left( {\frac{{ - 13}}{3};\frac{5}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\)là giao điểm của AB và mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi đó MC là tiếp tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\). Theo tính chất phương tích ta có: \(MA.MB = M{C^2} \Rightarrow M{C^2} = 2.8 = 4\)
Do đó tập hợp điểm C là đường tròn tâm \(M\left( {\frac{{ - 13}}{3};\frac{5}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\) bán kính \(R = 4\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} + m + 3} \right|\) (m là tham số thực ). Gọi S là tập hợp tất cả giá trị của m sao cho \(2\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) + \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 2020\). Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng
–718.
650.
–68.
–132.
Đáp án C
Xét \(g\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + m + 3\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1 \notin \left[ {1;3} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}g\left( 0 \right) = m + 3\\g\left( 1 \right) = m + 2\\g\left( 3 \right) = m + 66\end{array} \right.\)
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g\left( x \right) = m + 2\), \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g\left( x \right) = m + 66\)
TH1: \[\left( {m + 1} \right)\left( {m + 66} \right) \le 0 \Leftrightarrow - 66 \le m \le - 1\]
\[\left[ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g\left( x \right) = \frac{{\left| {m + 66 + m + 2} \right| + \left| {m + 66 - m - 2} \right|}}{2} = \left| {m + 34} \right| + 32\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 0\end{array} \right.\]
Vậy \[2\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) + \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 2020 \Leftrightarrow \left| {m + 34} \right| + 3 = 2020 \Leftrightarrow \left| {m + 34} \right| = 2017 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - \end{array} \right.\](loại)
TH2: \[\left( {m + 1} \right)\left( {m + 66} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > - 1\\m < - 66\end{array} \right.\]
\[\left[ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g\left( x \right) = \frac{{\left| {m + 66 + m + 2} \right| + \left| {m + 66 - m - 2} \right|}}{2} = \left| {m + 34} \right| + 32\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \frac{{\left| {m + 66 + m + 2} \right| - \left| {m + 66 - m - 2} \right|}}{2} = \left| {m + 34} \right| - 32\end{array} \right.\]
\( \Rightarrow 2\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) + \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 2020 \Leftrightarrow \left| {m + 34} \right| + 3 = 2020 \Leftrightarrow 2\left( {\left| {m + 34} \right| - 32} \right) + \left| {m + 34} \right| + 32 = 2020\)
\( \Leftrightarrow 3\left| {m + 34} \right| = 2052 \Leftrightarrow \left| {m + 34} \right| = 684 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 650\\m = - 718\end{array} \right.\left( N \right)\)
Suy ra \({m_1} + {m_2} = - 718 + 650 = - 68\)
Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn \({\log _2}\frac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2}} = a\left( {a - 4} \right) + b\left( {b - 4} \right) + c\left( {c - 4} \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{a + 2b + 3c}}{{a + b + c}}\).
\(\frac{{12 + \sqrt {30} }}{3}\).
\(\frac{{4 + \sqrt {30} }}{3}\).
\(\frac{{8 + \sqrt {30} }}{3}\).
\(\frac{{6 + \sqrt {30} }}{3}\).
Đáp án D
Biến đổi giả thiết ta có: \({\log _2}\frac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2}} = a\left( {a - 4} \right) + b\left( {b - 4} \right) + c\left( {c - 4} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {a + b + c} \right) + 2 + 4\left( {a + b + c} \right) = {\log _2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right) + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}4\left( {a + b + c} \right) + 4\left( {a + b + c} \right) = {\log _2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right) + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Khi đó \(f\left[ {4\left( {a + b + c} \right)} \right] = f\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right) \Leftrightarrow 4\left( {a + b + c} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 10\) \(\left( S \right)\)
Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\)thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\): \({\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 10\)
Mặt khác \(P = \frac{{a + 2b + 3c}}{{a + b + c}} \Leftrightarrow a\left( {P - 1} \right) + b\left( {P - 2} \right) + c\left( {P - 3} \right) = 0\) \(\left( P \right)\)
Điều kiện để \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) có giao điểm là \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) \le R\left( {I\left( {2;2;2} \right);R = \sqrt {10} } \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {6P - 12} \right|}}{{\sqrt {3{P^2} - 12P + 14} }} \le \sqrt {10} \)
\( \Leftrightarrow P \le \frac{{6 + \sqrt {30} }}{3}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = 1\), \(\int\limits_0^2 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} dx = \frac{2}{7}\) và \(\int\limits_0^2 {{x^2}.f\left( x \right)} dx = \frac{{40}}{{21}}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).
\(I = 21\).
\(I = \frac{6}{5}\).
\(I = \frac{{84}}{3}\).
\(I = \frac{8}{5}\).
Đáp án B
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\), khi đó \(\int\limits_0^2 {{x^2}.f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3}.f\left( x \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_0\end{array} \right. - \int\limits_0^2 {\frac{{{x^3}}}{3}f'\left( x \right)dx} \)
Suy ra \(\frac{{40}}{{21}} = \frac{8}{3}f\left( 2 \right) - \int\limits_0^2 {\frac{{{x^3}}}{3}f'\left( x \right)dx} \Rightarrow \int\limits_0^2 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = \frac{{16}}{7}\)
Ta chọn k sao cho: \(\int\limits_0^2 {{{\left[ {f'\left( x \right) + k{x^3}} \right]}^2}dx} = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx + 2k\int\limits_0^2 {f'\left( x \right){x^3}dx} + {k^2}\int\limits_0^2 {{x^6}dx} = 0} \)
\( = \frac{2}{7} + \frac{{32}}{7}k + \frac{{128{k^2}}}{7} = 0 \Rightarrow k = \frac{{ - 1}}{8} \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) - \frac{1}{8}{x^3}} \right]}^2}dx = 0} \)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{8} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{{32}} + C\)
Do \(f\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{{32}} + \frac{1}{2} \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{6}{5}\)
