Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 13)
50 câu hỏi
Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {2; - 1;3} \right)\) là
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{3}\)
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\)
\(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{2}\)
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{3}\)
Đáp án D
Ta có \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{3}\).
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây
\(y = {x^4} - 4{{\rm{x}}^2} + 2\)
\(y = {x^4} + 4{{\rm{x}}^2} + 2\)
y=−x4+4x2+2
\(y = {x^3} - 4{{\rm{x}}^2} + 2\)
Đáp án A
Ta loại ngay D. Từ limx→−∞y=limx→+∞y=+∞⇒ Hệ số \(a > 0 \Rightarrow \) Loại C.
Hàm số có 3 điểm cực trị nên \(ab < 0 \Rightarrow \) Loại B.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Hỏi có bao nhiêu số có 3 chữ số (không nhất thiết khác nhau) được lập từ các số thuộc tập hợp A
\({5^3}\)
\({3^5}\)
\(C_5^3\)
\(A_5^3\)
Đáp án A
Số cần lập có dạng \(\overline {abc} {\rm{ }}\left( {a,b,c \in {\rm{A}}} \right)\).
Vì a, b, c không nhất thiết khác nhau nên a, b, c đều có 5 cách chọn.
Do đó \(5.5.5 = {5^3}\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho \∫02fxdx=3 và ∫02gxdx=7, khi đó ∫02fx+3gxdx bằng
16
\( - 18\)
24
10
Đáp án C
Ta có I=∫02fxdx+3∫02gxdx=3+3.7=24
Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{{x^2} + 2{\rm{x}}}} \le 8\) là
\(\left( { - \infty ; - 3} \right]\)
\(\left[ { - 3;1} \right]\)
\(\left( { - 3;1} \right)\)
\(\left( { - 3;1} \right]\)
Đáp án B
BPT ⇔2x2+2x≤23⇔x2+2x≤3⇔−3≤x≤1
Một hình nón tròn xoay có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích toàn phần của hình nón bằng 9π. Khi đó bán kính đáy của hình nón bằng
\(\sqrt 3 \)
\(3\sqrt 3 \)
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Đáp án A
Ta có l=2rStp=9π=πr2+πrl⇒πr2+πr.2r=9π⇒r=3
Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức liên hợp của \(z = 2 + i\)?
N
P
M
Q
Đáp án B
Ta có z=2+i⇒z¯=2−i⇒P2;−1 là điểm biểu diễn hình học của số phức \(\overline z \).
Cho hai khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) và \[\left( {SAC} \right)\] cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết \(SC = a\sqrt 3 \).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)
\(\frac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{9}\)
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
Đáp án A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}\sqrt {S{C^2} - A{C^2}} .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
1
0
2
3
Đáp án A
Hàm số đã cho đạt cực trị tại \(x = - 1\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;0;3} \right),B\left( {2;3; - 4} \right),C\left( { - 3;1;2} \right)\). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
\(D\left( { - 4; - 2;9} \right)\)
\(D\left( { - 4;2;9} \right)\)
\(D\left( {4; - 2;9} \right)\)
\(D\left( {4;2; - 9} \right)\)
Đáp án A
Xét Dx;y;z⇒AD→=BC→⇔x−1=−5y=−2z−3=6⇒D−4;−2;9
Tìm số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 192\\{u_7} = 384\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\q = 2\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 6\\q = 2\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 6\\q = 3\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\q = 3\end{array} \right.\)
Đáp án B
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 192\\{u_7} = 384\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{{{u_7}}}{{{u_6}}} = 2\\{u_6} = {u_1}{q^5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 6\end{array} \right.\).
Cho biết hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục và có một nguyên hàm là hàm số \(F\left( x \right)\). Tìm nguyên hàm \(I = \int {\left[ {2f\left( x \right) + f'\left( x \right) + 1} \right]d{\rm{x}}} \).
\(I = 2F\left( x \right) + xf\left( x \right) + C\)
\(I = 2{\rm{x}}F\left( x \right) + x + 1\)
\(I = 2{\rm{x}}F\left( x \right) + f\left( x \right) + x + C\)
\(I = 2F\left( x \right) + f\left( x \right) + x + C\)
Đáp án D
Ta có I=2∫fxdx+∫f'xdx+∫dx=2Fx+fx+x+C
Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {3; - 1;1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\)?
\(3{\rm{x}} - 2y + z + 12 = 0\)
\(x - 2y - 3{\rm{z}} - 2 = 0\)
\(3{\rm{x}} - 2y + z - 12 = 0\)
\(x - 2y + 3{\rm{z}} + 3 = 0\)
Đáp án C
Mặt phẳng cần tìm có một VTPT là n→=uΔ→=3;−2;1
Phương trình mặt phẳng cần tìm là \(3\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + z - 1 = 0\) hay \(3{\rm{x}} - 2y + z - 12 = 0\).
Với a và b là hai số thực dương tùy ý và \(a \ne 1\), \({\log _{{a^3}}}{b^5}\) bằng
\(15{\log _a}b\)
\(\frac{3}{5}{\log _a}b\)
\(\frac{5}{3}{\log _a}b\)
\(5 + 3{\log _a}b\)
Đáp án C
Ta có \({\log _{{a^3}}}{b^5} = \frac{5}{3}{\log _a}b\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y=−2fx đồng biến trên khoảng nào dưới đây
\(\left( {0;1} \right)\)
\(\left( { - 1;0} \right)\)
\(\left( {1; + \infty } \right)\)
\(\left( { - 1;1} \right)\)
Đáp án A
Xét gx=−2fx⇒g'x=−2f'x>0⇔f'x<0
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) suy raf'x<0⇔x<−10<x<1
Vậy hàm số y=−2fx đồng biến trên từng khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau.
Số nghiệm của phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = 2\) là
3
4
5
6
Đáp án B
Phương trình ⇔fx=2fx=−2
Phương trình \(f\left( x \right) = 2\) có đúng 3 nghiệm phân biệt và phương trình fx=−2 có 1 nghiệm duy nhất.
Các nghiệm này không trùng nhau.
Vậy phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm phân biệt.
Cho \(z = 1 + 2i\), tìm mođun của số phức \[{\rm{w}} = \left( {1 + i} \right)z\].
\(\left| w \right| = 10\)
\(\left| w \right| = \sqrt {10} \)
\(\left| w \right| = \sqrt {13} \)
\(\left| w \right| = \sqrt 5 \)
Đáp án B
Ta có w=1+iz=1+i1+2i=−1+3i⇒w=10
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {{x^4} + 1} \right)\). Đạo hàm \(f'\left( 1 \right)\) bằng
\(\frac{1}{2}\)
1
\(\frac{{\ln 2}}{2}\)
2
Đáp án D
Ta có \(f\left( x \right) = \ln \left( {{x^4} + 1} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{4{{\rm{x}}^3}}}{{{x^4} + 1}} \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 2\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;4} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 3;4} \right]\). Giá trị \(M - m\) bằng
![Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-3;4] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/05/blobid6-1653402800.png)
3
1
2
5
Đáp án D
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 3;4} \right]\) là 5, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 3;4} \right]\) là 0.
Do đó \(M - m = 5 - 0 = 5\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^3},{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in \mathbb{R}\). Hỏi \(f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực đại?
2
0
1
3
Đáp án C
Các nghiệm đơn là \(x = - 1\) và \(x = 2\).
Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại x = - 1 nên có một cực đại x = - 1
Cho các số thực dương \(x,y,1 \ne a > 0\). Biết \({\log _a}x = 4\) và \({\log _a}y = 1\), tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _{{a^3}}}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3}\)
\(P = 1\)
\(P = 9\)
\(P = \frac{1}{{27}}\)
\(P = \frac{9}{2}\)
Đáp án A
Ta có:
P=loga3xy3=3.13logaxy=logax−logay=12logax−logay
= 0,5.4 - 1 = 1\).
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'\) có đáy là hình thoi, biết \[{\rm{AA'}} = 4{\rm{a}},AC = 2{\rm{a}},B{\rm{D}} = a\]. Thể tích V của khối lăng trụ là
\(V = 8{{\rm{a}}^3}\)
\(V = 2{{\rm{a}}^3}\)
\(V = \frac{8}{3}{{\rm{a}}^3}\)
\(V = 4{{\rm{a}}^3}\)
Đáp án D
Ta có \(V = AA'.{S_{ABCD}} = AA'.\frac{1}{2}AC.BD = 4{a^3}\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 6 \) vuông góc với đáy \(\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\). Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
\(8\pi {a^2}\)
\(2\pi {a^2}\)
\(2{a^2}\)
\({a^2}\sqrt 2 \)
Đáp án A
Tâm của mặt cầu là trung điểm O của đoạn thẳng SC.
Ta có:
R=OA=OB=OC=OD=SO=12SC=12SA2+AC2=12SA2+AB2+BC2=a2
\( \Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 8\pi {a^2}\).
Số nghiệm của phương trình \({\log _2}x = 3 - 2{\log _2}\left( {x - 4} \right)\) là
1
2
3
0
Đáp án A
Điều kiện \(x > 4\). Khi đó PT \( \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}8 - {\log _2}{\left( {x - 4} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {x{{\left( {x - 4} \right)}^2}} \right] = {\log _2}8 \Leftrightarrow x{\left( {x - 4} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3 \pm \sqrt 5 \end{array} \right. \Rightarrow x = 3 + \sqrt 5 \) thỏa mãn.
Cho một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng \(45^\circ \). Thể tích khối chóp đó là
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
\(\frac{{{a^3}}}{{12}}\)
\(\frac{{{a^3}}}{{36}}\)
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{36}}\)
Đáp án B
Kẻ \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có: tan45°=SHAH⇒SH=AH=AB3=a3
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{{\sqrt 3 }}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{{12}}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} + 4y - 4{\rm{z}} - m = 0\) có bán kính \(R = 5\). Tìm giá trị của m.
m =- 16
\(m = 16\)
\(m = 4\)
\(m =- 4\)
Đáp án B
Ta có: \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = m + 9 \Rightarrow {R^2} = m + 9 = {5^2} \Rightarrow m = 16\).
Trong không gian với hệ tộa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {0;1; - 2} \right)\) và \(B\left( {3; - 1;1} \right)\). Tìm tọa độ của điểm M sao cho AM→=3AB→
\(M\left( {9; - 5;7} \right)\)
\(M\left( {9;5;7} \right)\)
\(M\left( { - 9;5; - 7} \right)\)
\(M\left( {9; - 5; - 5} \right)\)
Đáp án A
Xét Mx;y;z⇒AM→=x;y−1;z+2AB→=3;−2;3⇒AM→=3AB→⇔x=3.3y−1=3.−2z+2=3.3⇒M9;−5;7
Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y=3x2+1−2xx2−3x+2 là
1
3
4
2
Đáp án D
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;2} \right\}\).
Do bậc của tử bé hơn bậc của mẫu số nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = 0\) do đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 0\).
Mặt khác y=3x2+1−2xx2−3x+2=3x2+1−4x23x2+1+2xx−1x−2=1−x23x2+1+2xx−1x−2
=1+x−3x2+1+2xx−2
Do đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là \(x = 2\).
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi S là diện tích phần gạch chéo trong hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(S = \int\limits_{ - 2}^4 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} \)
\(S = \int\limits_{ - 2}^4 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]d{\rm{x}}} \)
S=∫−21fxdx+∫14gxdx
S=∫−21fxdx−∫14gxdx
Đáp án C
Ta có S=∫−21fxdx+∫14gxdx=∫−21fxdx+∫14gxdx.
Cho phương trình phức \({z^2} + b{\rm{z}} + c = 0{\rm{ }}\left( {b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có một nghiệm là \(1 + 2i\). Tính giá trị của biểu thức \(S = b + c\).
S = 7
S =- 1
S = 3
S =- 3
Đáp án C
Ta có 1+2i2+b1+2i+c=0⇔−3+4i+b+2bi+c=0
⇔b+c−3+2b+4i=0⇔2b+4=0b+c−3=0⇔b=−2c=5⇒S=3
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} + 2y + z + 1 = 0\), \(\left( Q \right):2{\rm{x}} - y + 2{\rm{z}} - 1 = 0\). Phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với cả \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là
\(\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 6}}\)
\(\frac{{x + 1}}{5} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{6}\)
\(\frac{{x + 1}}{5} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{{ - 6}}\)
\(\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{{ - 6}}\)
Đáp án D
Các VTPT của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {2;2;1} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {{n_2}} \left( {2; - 1;2} \right)\).
VTCP của d là: n→=n1→;n2→=5;−2;−6
Phương trình \(d:\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{{ - 6}}\).
Biết số phức \(z \ne 0\) và thỏa mãn điều kiện z−2+2i=22 và z+1z¯+i=1. Tính \(\left| {z + i} \right|\).
5
\(4\sqrt 2 \)
\(\sqrt {41} \)
\(\sqrt {29} \)
Đáp án A
Đặt \(z = a + bi\) ta có:a−2+b+2i=22⇔a−22+b+22=8 (1)
Mặt khác z+1z¯+i=1⇔z+1=z¯+i⇔a+12+b2=a2+1−b2⇔2a=−2b⇔a=−b
Thế vào (1) ta được a−22=4⇔a=0⇒b=0a=4⇒b=−4
Do \(z \ne 0\) nên \(z = 4 - 4i\). Vậy \(\left| {z + i} \right| = 5\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên như sau.
Hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - \infty ;1} \right)\)
\(\left( {1;2} \right)\)
\(\left( {2; + \infty } \right)\)
\(\left( {0;1} \right)\)
Đáp án B
Chọn \(f'\left( x \right) = x\left( {x + 1} \right)\)
Khi đó \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {2{\rm{x}} - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) = \left( {2{\rm{x}} - 2} \right)\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 1} \right)\)
Ta có bảng xét dấu
Do đó hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
Cho nguyên hàm ∫x−1x2−3x−4dx=alnx−4+blnx+1+C trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\). Tính giá trị của biểu thức \(T = 3{\rm{a}} + 2b\).
\(T = \frac{{13}}{5}\)
\(T = \frac{{12}}{5}\)
\(T = 0\)
\(T = 1\)
Đáp án A
Đồng nhất thức \(\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 3{\rm{x}} - 4}} = \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{A}{{x - 4}} + \frac{B}{{x + 1}}\).
Suy rax−1=Ax+1+Bx−4⇔A+B=1A−4B=−1⇔A=35B=25
Do đó ∫x−1x2−3x−4dx=∫35.1x−4+25.1x+1dx=35lnx−4+25lnx+1+C
Suy ra a=35,b=25⇒T=135
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và thỏa mãn A=∫012x+1f'xdx=10, \(3f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 12\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \).
\(I = 1\)
I = - 2
\(I = 2\)
I =- 1
Đáp án A
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2{\rm{x}} + 1\\dv = f'\left( x \right)d{\rm{x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2{\rm{dx}}\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).
\(A = \int\limits_0^1 {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)f'\left( x \right)d{\rm{x}}} \)
\(A = \left. {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)f\left( x \right)} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \)
\(A = 3f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) - 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \).
Mà \(A = 10;3f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 12\). Từ đó suy ra: 12−2∫01fxdx=10⇔I=1
Giá trị của tham số m để phương trình \({4^x} - \left( {2m + 3} \right){2^x} + 64 = 0\) có hai nghiệm thực \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 24\) thuộc khoảng nào sau đây?
\(\left( {0;\frac{3}{2}} \right)\)
\(\left( { - \frac{3}{2};0} \right)\)
\(\left( {\frac{{21}}{2};\frac{{29}}{2}} \right)\)
\(\left( {\frac{{11}}{2};\frac{{19}}{2}} \right)\)
Đáp án D
Đặt \({2^x} = t > 0\). Theo hệ thức Vi-ét ta có \({2^{{x_1}}}{.2^{{x_2}}} = 64 \Rightarrow {2^{{x_1} + {x_2}}} = {2^6} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 6\).
Giả thiết tương đương \({x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 20 \Rightarrow {x_1}{x_2} = 8 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 6\\{x_1}{x_2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left( {{x_1};{x_2}} \right) = \left( {2;4} \right),\left( {4;2} \right)\).
\( \Rightarrow \left( {{t_1};{t_2}} \right) = \left( {4;16} \right),\left( {16;4} \right) \Rightarrow {t_1} + {t_2} = 20 \Rightarrow 2m + 3 = 20 \Rightarrow m = 8,5\)
Ta chỉ có \({2^{{x_1}}}{.2^{{x_2}}} = {2^{{x_1} + {x_2}}}\), vì thế nếu quy các mũ này theo tích \({x_1},{x_2}\) là không thể, biểu thị theo logarit cũng không ổn. Khi đó hãy nhớ đến hệ phương trình ẩn \({x_1},{x_2}\) như trên.
Cho khối nón (N) đỉnh S, có chiều cao là \(a\sqrt 3 \) và độ dài đường sinh là 3a. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S, cắt và tạo với mặt đáy một khối nón một góc \(60^\circ \). Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và khối nón (N).
\(2{{\rm{a}}^2}\sqrt 5 \)
\({a^2}\sqrt 3 \)
\(2{{\rm{a}}^2}\sqrt 3 \)
\({a^2}\sqrt 5 \)
Đáp án A
Khối nón (N) có tâm đáy là O, chiều cao \(SO = h = a\sqrt 3 \) và độ dài đường sinh \(\ell = 3{\rm{a}}\).
Giả sử mặt phẳng (P) cắt (N) theo thiết diện là tam giác SAB.
Do \(SA = SB = \ell \Rightarrow \Delta SAB\) cân tại đỉnh S.
Gọi I là trung điểm của AB. Ta có: \(OI \bot AB,SI \bot AB\) và khi đó góc giữa mặt phẳng (P) và mặt đáy (N) là góc \(\widehat {SI{\rm{O}}} = 60^\circ \).
Trong tam giác SOI vuông tại O góc \(\widehat {SI{\rm{O}}} = 60^\circ \).
Ta có: \(SI = \frac{{SO}}{{\sin SIO}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sin 60^\circ }} = 2a\).
Trong tam giác SIA ta có: \(I{A^2} = S{A^2} - S{I^2} = 5{{\rm{a}}^2} \Rightarrow IA = a\sqrt 5 \).
\(AB = 2IA = 2{\rm{a}}\sqrt 5 \). Vậy diện tích thiết diện cần tìm là:
\({S_{t{\rm{d}}}} = {S_{SAB}} = \frac{1}{2}SI.AB = 2{{\rm{a}}^2}\sqrt 5 \).
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, \(\widehat C = 60^\circ ,AC = 2,SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(SA = 1\). Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách d giữa SM và BC là
\(d = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\)
\(d = \frac{{2\sqrt {21} }}{7}\)
\(d = \frac{{\sqrt {21} }}{3}\)
\(d = \frac{{2\sqrt {21} }}{3}\)
Đáp án A
Gọi N là trung điểm AC, H là hình chiếu của A trên SM. Khi đó \(AH \bot \left( {SMN} \right)\). Lại có \({\rm{BC // }}\left( {SMN} \right)\) nên
\(d\left( {SM,BC} \right) = d\left( {B,(SMN)} \right) = d\left( {A,(SMN)} \right) = AH\).
Ta có \(AB = AC\sin C = \sqrt 3 ,{\rm{ }}AH = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\).
Vậy \(d\left( {SM,BC} \right) = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\).
Cho đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = 2\sqrt x \) (có đồ thị là đường đậm hơn) và parabol \(y = a{x^2} + bx\) (a, b là các tham số thực), hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ \(x = 4\). Gọi \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích của 2 hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi \({S_2} = 4{{\rm{S}}_1}\) thì a thuộc khoảng nào sau đây
\(\left( { - 2;0} \right)\)
\(\left( {0;1} \right)\)
\(\left( {1;3} \right)\)
\(\left( {3;5} \right)\)
Đáp án A
Ta có: S1+S2=∫042xdx=2.23.x3204=323⇔S1+4S1=323⇒S1=3215⇔S2=12815
Mặt khác Parabol đi qua điểm \(\left( {4;4} \right)\) nên ta có: \(16{\rm{a}} + 4b = 4\).
Ta có:∫04ax2+bxdx=ax33+bx2204=643a+8b=12815⇔a=−120b=65
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{1}\), \({d_2}:\frac{{x - 5}}{{ - 3}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 3{\rm{z}} - 5 = 0\). Đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right)\) cắt \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{3}\)
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}\)
\(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}\)
\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{1}\)
Đáp án A
Giả sử đường thẳng d cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại M, N \( \Rightarrow M\left( {3 - {t_1};3 - 2{t_1}; - 2 + {t_1}} \right),{\rm{ N}}\left( {5 - 3{t_2}; - 1 + 2{t_2};2 + {t_2}} \right)\).
Ta có MN→=t1−3t2+2;2t1+2t2−4;−t1+t2+4
Mà d vuông góc với \(\left( P \right)\) nên
MN→=knP→⇒t1−3t2+2=k2t1+2t2−4=2k−t1+t2+4=3k⇔t1=2t2=1k=1⇒M1;−1;0N2;1;3
Ta có MN→=1;2;3⇒d:x−11=y+12=z3
Cho số phức z thỏa mãnz−2i=3. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn w=2z¯+2i−1 là một đường tròn có tâm là
\(I\left( { - 1;2} \right)\)
\(I\left( { - 1; - 2} \right)\)
\(I\left( {1;2} \right)\)
\(I\left( {2; - 1} \right)\)
Đáp án B
Ta có: z¯=w+1−2i2⇒z=w+1−2i2¯=w¯+1+2i2
Do đó z−2i=3⇔w¯+1+2i2−2i=3⇔w¯+1+2i−4i=6⇔w¯+1−2i=6
Đặt \[{\rm{w}} = x + yi \Rightarrow \left| {x - yi + 1 - 2i} \right| = 6 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 36\].
Vậy tâm của đường tròn là \(I\left( { - 1; - 2} \right)\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(2f'\left( {{x^2}} \right) = 9{\rm{x}}\sqrt {f\left( {{x^2}} \right)} \) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(f\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{2}{3}\), tính giá trị \(f\left( {\frac{1}{3}} \right)\).
\(\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{{12}}\)
\(\frac{1}{6}\)
Đáp án C
Ta có \(2f'\left( {{x^2}} \right) = 9{\rm{x}}\sqrt {f\left( {{x^2}} \right)} \)
\( \Leftrightarrow \frac{{2{\rm{x}}f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( {{x^2}} \right)} }} = \frac{9}{2}{x^2} \Leftrightarrow \frac{{{{\left[ {f\left( {{x^2}} \right)} \right]}^\prime }}}{{2\sqrt {f\left( {{x^2}} \right)} }} = \frac{9}{2}{x^2} \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt {f\left( {{x^2}} \right)} } \right]^\prime } = \frac{9}{2}{x^2}\)
Do đó fx2=∫92x2dx=32x3+C
Mà f23=23⇒23=32.2323+C⇔C=0
Suy ra \(f\left( {{x^2}} \right) = \frac{9}{4}{x^6} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{9}{4}{x^3} \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{9}{4}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = \frac{1}{{12}}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và hàm \[y = f'\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn \(\left[ { - 3;4} \right]\) hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\frac{x}{2} + 1} \right) - \ln \left( {{x^2} + 8{\rm{x}} + 16} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
1
2
0
3
Đáp án D
Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {\frac{x}{2} + 1} \right) - \ln {\left( {x + 4} \right)^2} = f\left( {\frac{x}{2} + 1} \right) - 2\ln \left( {x + 4} \right){\rm{ }}\left( {x \in \left[ { - 3;4} \right]} \right)\).
\(g'\left( x \right) = \frac{1}{2}f'\left( {\frac{x}{2} + 1} \right) - \frac{2}{{x + 4}};{\rm{ g'}}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {\frac{x}{2} + 1} \right) = \frac{4}{{x + 4}}\).
Đặt \(\frac{x}{2} + 1 = t \Rightarrow x = 2t - 2\), khi đó phương trình có dạng \(f'\left( t \right) = \frac{2}{{t + 1}}/\left[ { - \frac{1}{2};3} \right]\) (*):
Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\frac{x}{2} + 1} \right) - \ln \left( {{x^2} + 8{\rm{x}} + 16} \right)\) là số nghiệm đơn (hay bội lẻ) của phương trình (*) trên \(\left[ { - \frac{1}{2};3} \right]\). Từ đồ thị hàm số trên ta suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.
Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn \({6^a} = {9^b} = {24^c}\). Tính \(T = \frac{a}{b} + \frac{a}{c}\).
\( - 3\)
3
2
\(\frac{{11}}{{12}}\)
Đáp án B
Đặt \(t = {6^a} = {9^b} = {24^c},\left( {0 < t \ne 1} \right)\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {\log _6}t\\b = {\log _9}t\\c = {\log _{24}}t\end{array} \right.\).
\[ \Rightarrow T = \frac{{{{\log }_6}t}}{{{{\log }_9}t}} + \frac{{{{\log }_6}t}}{{{{\log }_{24}}t}} = {\rm{ }}\frac{{{{\log }_t}9}}{{{{\log }_t}6}} + \frac{{{{\log }_t}24}}{{{{\log }_t}6}} = {\log _6}9 + {\log _6}24 = 3\]
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 2;2; - 2} \right)\) và \(B\left( {3; - 3;3} \right)\). Lấy M là điểm thay đổi luôn thỏa mãn \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{2}{3}\). Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn OM bằng
\(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}\)
\(5\sqrt 3 \)
\(6\sqrt 3 \)
\(12\sqrt 3 \)
Đáp án D
Ta có: \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 9M{A^2} - 4M{B^2} = 0\).
Gọi I là điểm thỏa mãn 9IA→−4IB→=0→⇒I−6;6;−6
Khi đó 9MA2−4MB2=0⇔9MI→+IA→2−4MI→+IB→2=0
⇔5MI2=−9IA2+4IB2=540⇒MI=63
Do đó tập hợp điểm biểu diễn M là mặt cầu tâm \(I\left( { - 6;6; - 6} \right)\) bán kính \(R = 6\sqrt 3 \).
Khi đó OMmax=OI+R=63+63=123
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số \(y = {\left( {f(x)} \right)^3} - 3{\left( {f(x)} \right)^2}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {2;3} \right)\)
\(\left( {1;2} \right)\)
\(\left( {3;4} \right)\)
\(\left( { - \infty ;1} \right)\)
Đáp án A
Đạo hàm hàm số hợp \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) = 3{f^2}\left( x \right).f'\left( x \right) - 6f\left( x \right).f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 2\end{array} \right.\).
+ \(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).
+ \(f\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = m < 1;x = 4\), trong đó \(x = 4\) là nghiệm kép.
+ \(f\left( x \right) = 1 \Rightarrow x = 3,{\rm{ }}x = p,{\rm{ }}1 < p < 2;{\rm{ }}x = q,{\rm{ }}q < 1;{\rm{ }}x = r,{\rm{ }}r > 4\), trong đó \(x = 3\) là nghiệm kép.
Dễ quan sát thấy \(m < q\). Bảng xét dấu đạo hàm của hàm số \(g\left( x \right)\):
Hàm số nghịch biến trên \(\left( {2;3} \right)\).
Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, hình chiếu của S lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho \(\widehat {AHB} = 150^\circ ;\widehat {BHC} = 120^\circ ;\widehat {CHA} = 90^\circ \). Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB; S.HBC; S.HCA bằng \(\frac{{124\pi }}{3}\). Tính chiều cao SH của hình chóp.
\(SH = \frac{4}{3}\)
\(SH = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
\(SH = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
\(SH = \frac{2}{3}\)
Đáp án C
Gọi \({r_1},{r_2},{r_3}\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta HAB,\Delta HBC,\Delta HCA\).
Theo định lí Sin, ta có \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {AHB}}} = 2{{\rm{r}}_1} \Rightarrow {r_1} = \frac{2}{{2.\sin 150^\circ }} = 2\); tương tự \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{r_2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\\{r_3} = 1\end{array} \right.\).
Gọi \({R_1},{R_2},{R_3}\) lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCA.
Đặt SH=2x→R1=r12+SH24=x2+4;R2=x2+43và R3=x2+1
Suy ra ∑S=S1+S2+S3=4πR12+4πR22+4πR32=4π3x2+193=124π3⇒x=233
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{4\sqrt 3 }}{3}.\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{4}{3}\).
Chú ý: “Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và \({R_{\Delta ABC}}\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \to R = \sqrt {R_{\Delta ABC}^2 + \frac{{S{A^2}}}{4}} \) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC”.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3{\rm{x}}} \right) - \frac{1}{5}{x^5} + \frac{5}{3}{x^3} - 4{\rm{x}} - \frac{7}{{15}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\)?
\( - 19\)
\( - 20\)
\( - 21\)
\( - 22\)
Đáp án A
Ta có \(g'\left( x \right) = \left( {3{{\rm{x}}^2} - 3} \right)f'\left( {{x^3} - 3{\rm{x}}} \right) - {x^4} + 5{{\rm{x}}^2} - 4\)
\( = \left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {3f'\left( {{x^3} - 3{\rm{x}}} \right) + 4 - {x^2}} \right]\).
Với \(x \in \left[ { - 1;2} \right] \Rightarrow {x^3} - 3{\rm{x}} \in \left[ { - 2;2} \right]\) nên \(f'\left( {{x^2} - 3{\rm{x}}} \right) > 0,\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\).
Và \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\) thì \(4 - {x^2} \ge 0\) nên \(f'\left( {{x^3} - 3{\rm{x}}} \right) + 4 - {x^2} > 0,\forall x \in \left[ { - 1;2} \right]\).
Do đó g'x=0⇔x2−1=0⇔x=−1x=1
Dựa vào bảng biến thiên, ta được min−1;2gx=g1=f−2−3=−19
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn \(abc = 10\). Biết giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = 5\log a.\log b + 2\log b.\log c + \log c.\log a\) bằng \(\frac{m}{n}\) với m, n nguyên dương và \(\frac{m}{n}\) tối giản. Tính tổng \(m + n\) bằng
13
16
7
10
Đáp án C
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {3{{\rm{x}}^4} - 4{{\rm{x}}^3} - 12{{\rm{x}}^2} + m} \right|\). Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\). Giá trị nhỏ nhất của M bằng
\(\frac{{59}}{2}\)
\(\frac{5}{2}\)
16
\(\frac{{57}}{2}\)
Đáp án A
Đặt \(g\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^4} - 4{{\rm{x}}^3} - 12{{\rm{x}}^2} + m\).
Có g'x=12x3−12x2−24x;x=0⇔x=−1x=0x=2
Ta có: \(g\left( { - 1} \right) = m - 5;{\rm{ g}}\left( 0 \right) = m;{\rm{ g}}\left( 2 \right) = m - 32;{\rm{ g}}\left( 3 \right) = m + 27\).
Ta thấy: \(m - 32 < m - 5 < m < m + 27,\forall m\).
TH1: Nếu \m−32<m+27≤0⇔m≤−27 thì \(M = \left| {m - 32} \right|\) và \(\min M = 59\).
TH2: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 32 < 0 < m + 27}\\{\left| {m - 32} \right| \le \left| {m + 27} \right|}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 27 < m < 32}\\{ - m - 27 \le m - 32 \le m + 27}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 27 < m < 32}\\{m \ge \frac{5}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \frac{5}{2} \le m < 32\] thì \(M = \left| {m + 27} \right|\) và \(\min M = \frac{{59}}{2}\).
TH3: m−32<0<m+27m+27≤m−32⇔−27<m<32m−32≤m+27≤−m+32⇔−27<m<32m≤52⇔−27<m≤52 thì M=m−32 và minM=592
TH4: Nếu \(0 \le m - 32 < m + 27 \Leftrightarrow m \ge 32\) thì \(M = \left| {m + 27} \right|\) và \(\min M = 59\).
Vậy \(\min M = \frac{{59}}{2}\) khi \(m = \frac{5}{2}\).
