Đáp án đúng là: C

Tỉ lệ số học sinh không bị cận ở trường đó là: \(1 - 0,2 = 0,8.\)

Do đó, nếu trường đó có \(x\) (học sinh) thì số học sinh không bị cận thị ở trường đó là \(0,8x.\)

Đáp án đúng là: D

Xét \(\Delta ABC\) với \(MN\parallel BC\), ta có:

\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (hệ quả của định lí Thalès). Suy ra \(\frac{{AM}}{{MN}} = \frac{{AB}}{{BC}}\).

Do đó A là khẳng định đúng.

Xét \(\Delta ABC\) với \(NP\parallel AB\), ta có:

\(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{BP}}{{BC}}\) (hệ quả của định lí Thalès) do đó khẳng định B đúng.

\(\frac{{CP}}{{BP}} = \frac{{CN}}{{AN}}\) (định lí Thalès). Do đó, khẳng định C đúng.

\(\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{PN}}{{AB}}\) (định lí Thalès).

Ta có: \(AN \ne CN\) nên \(\frac{{AN}}{{AC}} \ne \frac{{CN}}{{AC}}.\)

Mà \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) và \(\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{PN}}{{AB}}\) nên \(\frac{{MN}}{{BC}} \ne \frac{{PN}}{{AB}}\). Do đó, khẳng định D là sai.

Đáp án đúng là: C

Xét \(\Delta ABC\) có \(BM\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{CM}}\) (tính chất đường phân giác)

Do đó, \(\frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{MA}}\) và \(\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{BC}}{{MC}}.\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{BC}}{{MC}} = \frac{{AB + BC}}{{AB + MC}} = \frac{{AB + BC}}{{BC}}\).

Suy ra \(AM = \frac{{AB.AC}}{{AB + BC}}.\)

Do đó, chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Nhận thấy \(\widehat {DHK} = \widehat {HEK}\), mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \(HK\parallel EF\).

Mà \(DK = KF = 7{\rm{ cm}}\) nên \(K\) là trung điểm của \(DF\).

Suy ra \(HK\) là đường trung bình của tam giác \(DEF\).

Suy ra \(H\) là trung điểm của \(DE\).

Do đó, \(HE = DH = \frac{1}{2}DE = 6,5{\rm{ cm}}\).

Đáp án đúng là:                a) Đ         b) Đ         c) Đ        d) Đ

Gọi chiều dài ban đầu của miếng dất là \(x\) \(\left( {x > 25,{\rm{ m}}} \right).\)

Chiều rộng ban đầu của miếng đất là \(x - 25{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Chiều dài của miếng dất sau khi giảm là \(x - 25{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích ban đầu của mảnh đất là: \(x\left( {x - 25} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích sau khi giảm chiều dài của mảnh đất là: \(\left( {x - 25} \right)\left( {x - 25} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Theo đề, diện tích sau khi giảm sẽ nhỏ hơn diện tích ban đầu là \(1{\rm{ }}000{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình:

\(x\left( {x - 25} \right) - \left( {x - 25} \right)\left( {x - 25} \right) = 1{\rm{ 000 }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Giải phương trình, ta có:

\(x\left( {x - 25} \right) - \left( {x - 25} \right)\left( {x - 25} \right) = 1{\rm{ 000}}\)

\({x^2} - 25x - {x^2} + 50x - 625 = 1{\rm{ 000}}\)

\(25x = 1{\rm{ }}625\)

\(x = 65\) (thỏa mãn).

Do đó, diện tích ban đầu của miếng đất là \(65.\left( {65 - 25} \right) = 2{\rm{ }}600{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Đáp án đúng là: a) Đ     b) Đ         c) Đ         d) S

a) Vì \(ABCD\) là hình thang có hai đáy \(AB\) và \(CD\) nên \(AB\parallel CD\).

Vì \(AB\parallel DM\) (do \(AB\parallel CD\)) nên theo hệ quả của định lí Thalès ta có \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}}.\) (1)

b) Vì \(AB\parallel MC\) (do \(AB\parallel CD\)) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{BF}}{{FM}} = \frac{{AB}}{{MC}}.\) (2)

Lại có \(M\) là trung điểm của \(CD\) nên \(MD = MC\) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{BF}}{{FM}}\), theo định lí Thalès đảo ta có \(AB\parallel EF\).

c) Xét \(\Delta ADM\) có \(HE\parallel DM\) nên theo hệ quả của định lí Thalès ta có: \(\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}}.\)

Xét \(\Delta AMC\) có \(FE\parallel MC\), theo hệ quả của định lí Thalès ta có \(\frac{{FE}}{{CM}} = \frac{{AE}}{{AM}}.\)

Do đó, \(\frac{{FE}}{{CM}} = \frac{{HE}}{{DM}}\), mà \(DM = MC\) nên \(HE = EF\).

Xét \(\Delta BMC\) có \(FN\parallel MC\) nên \(\frac{{FN}}{{CM}} = \frac{{BF}}{{FM}}\).

Mà \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{BF}}{{FM}}\) nên \(\frac{{FN}}{{CM}} = \frac{{AE}}{{EM}}\) hay \(\frac{{FN}}{{CM}} = \frac{{AE}}{{AM}}\).

Suy ra \(\frac{{FN}}{{CM}} = \frac{{FE}}{{CM}}\) suy ra \(FN = EF\).

Vậy \(HE = EF = FN\).

d) Vì \(M\) là trung điểm của \(CD\) nên \(MD = MC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}.12 = 6{\rm{ cm}}\).

Theo câu a) ta có: \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}} = \frac{{7,5}}{6} = \frac{5}{4}\).

Suy ra \(\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4}.\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4} = \frac{{AE + EM}}{{5 + 4}} = \frac{{AM}}{9}\).

Do đó, \(\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.\)

Mà theo câu c) \(\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.\)

Đáp án: \(0\)

Để phương trình vô nghiệm, suy ra \({m^2} - 4 = 0\) hay \({m^2} = 4\), do đó \(m = 2\) hoặc \(m = - 2\).

Vậy tổng các giá trị \(m\) thỏa mãn là \( - 2 + 2 = 0\).

Đáp án: \(3\)

Xét \(\Delta BEC\) có \(M,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,EC\) nên \(MF\) là đường trung bình của tam giác.

Do đó, \(MF\parallel BE\), hay \(MF\parallel DE.\)

Xét \(\Delta AMF\) có \(D\) là trung điểm của \(AM\) và \(MF\parallel DE\) nên \(DE\) là đường trung bình của tam giác, do đó \(E\) là trung điểm của \(AF\).

Suy ra \(AE = EF.\)

Mà \(F\) là trung điểm của \(EC\) nên \[EF = FC\], do đó \[AE = EF = FC\] hay \[AE = \frac{1}{3}AC = \frac{1}{3}.9 = 3{\rm{ cm}}{\rm{.}}\]

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\({8^2} + {6^2} = B{C^2}\)

\(B{C^2} = 100\) suy ra \(BC = 10{\rm{ cm}}\).

Có \(M,N\) là trung điểm của \(AB,AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Do đó, \(MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.10 = 5{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

b) Có \(AD\) là phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) suy ra \(\frac{{BD}}{{DC + BD}} = \frac{{AB}}{{AC + AB}}\) suy ra \(\frac{{BD}}{{10}} = \frac{6}{{14}}\).

Do đó, \(BD = \frac{{10.6}}{{14}} = \frac{{30}}{7}{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

c) Có \(AD\) là phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Lại có \(MN\parallel BC\) suy ra \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) hay \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{DB}}{{DC}}\) hay \(BD.AN = AM.DC\) (đpcm).