Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 5
21 câu hỏi
Hàm số nào sau đây không là hàm số bậc nhất?
\(y = \frac{x}{2} - \frac{3}{2}.\)
\(y = 3x.\)
\(y = \frac{2}{3}{x^2} + x - 1.\)
\(y = \frac{{7x}}{4} - \frac{2}{3}.\)
Đáp án đúng là: C
Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\).
Do đó, \(y = \frac{2}{3}{x^2} + x - 1\) không là hàm số bậc nhất.
Đồ thị hàm số \(y = ax{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường thẳng luôn đi qua
gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)
điểm \(A\left( {1;0} \right).\)
điểm \(B\left( {0;1} \right).\)
điểm \(O\left( {0; - 1} \right).\)
Đáp án đúng là: A
Đồ thị hàm số \(y = ax{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường thẳng luôn đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) với mọi \(a \ne 0\).
Đường thẳng \(y = - 3x - 2022\) tạo với trục \(Ox\) một góc như thế nào?
góc tù.
góc bẹt.
góc vuông.
góc nhọn.
Đáp án đúng là: A
Do đường thẳng \(y = - 3x - 2022\) có hệ số góc \(a = - 3 < 0\) nên đường thẳng tạo với trục \(Ox\) một góc tù.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
Đồ thị hàm số \(y = ax + b\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)\) là đường thẳng cắt đường thẳng \(y = ax.\)
Đồ thị hàm số \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) là đường thẳng song song với đường thẳng \(y = ax\) nếu \(b \ne 0\) và trùng với đường thẳng \(y = ax\) nếu \(b = 0.\)
Đồ thị hàm số \(y = ax + b\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)\) là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(b = 0.\)
Đồ thị hàm số \(y = ax + b\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)\) là đường thẳng không đi qua gốc tọa độ.
Đáp án đúng là: A
Đồ thị hàm số \(y = ax + b\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)\) là đường thẳng song song với đường thẳng \(y = ax.\)
Đưa phương trình \(5x - \left( {6 - x} \right) = 12\) về dạng \(ax + b = 0\) ta được
\(4x + 6 = 0.\)
\(4x - 18 = 0\).
\(5x - 6 = 0\).
\(6x - 18 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(5x - \left( {6 - x} \right) = 12\)
\(5x - 6 + x - 12 = 0\)
\(6x - 18 = 0\).
Giá trị \(x = - 4\) là nghiệm của phương trình nào dưới đây?
\( - \frac{5}{2}x + 1 = 11\).
\( - \frac{5}{2}x = - 10\).
\(3x - 8 = 0\).
\(3x - 1 = x + 7\).
Đáp án đúng là: A
• Thay \(x = - 4\) vào phương trình \( - \frac{5}{2}x + 1 = 11\), ta được: \( - \frac{5}{2}.\left( { - 4} \right) + 1 = 11\).
Do đó, \(x = - 4\) là nghiệm của phương trình \( - \frac{5}{2}x + 1 = 11\).
• Thay \(x = - 4\) vào phương trình \( - \frac{5}{2}x = - 10\), ta được: \( - \frac{5}{2}.\left( { - 4} \right) = 10 \ne - 10\).
Do đó, \(x = - 4\) không là nghiệm của phương trình \( - \frac{5}{2}x = - 10\).
• Thay \(x = - 4\) vào phương trình \(3x - 8 = 0\), ta được: \(3.\left( { - 4} \right) - 8 = - 20 \ne 0\).
Do đó, \(x = - 4\) không là nghiệm của phương trình \(3x - 8 = 0\).
• Thay \(x = - 4\) vào phương trình \(3x - 1 = x + 7\), ta được: \(3.\left( { - 4} \right) - 1 = - 4 + 7\) hay \( - 13 = 3\) (vô lí).
Do đó, \(x = - 4\) không là nghiệm của phương trình \(3x - 1 = x + 7\).
Vậy chọn đáp án A.
Năm nay Trang \(x\) (tuổi), sau \(6\) năm nữa tuổi của Trang là
\(6x.\)
\(x + 6.\)
\(6 - x\).
\(x\left( {x + 6} \right).\)
Đáp án đúng là: B
Năm nay Trang \(x\) (tuổi), sau \(6\) năm nữa tuổi của Trang là \(x + 6.\)
Tỉ lệ học sinh bị cận ở một trường trung học cơ sở là \(0,2\). Nếu trường đó có \(x\) (học sinh) thì số học sinh không bị cận thị ở trường đó là
\(0,2x\).
\(\frac{x}{{0,2}}\).
\(0,8x.\)
\(\frac{x}{{0,8}}.\)
Đáp án đúng là: C
Tỉ lệ số học sinh không bị cận ở trường đó là: \(1 - 0,2 = 0,8.\)
Do đó, nếu trường đó có \(x\) (học sinh) thì số học sinh không bị cận thị ở trường đó là \(0,8x.\)
Cho tam giác \(MNP\) có \(H \in MN;K \in MP\). Điều kiện không kết luận được \(HK\parallel NP\) là
\(\frac{{MH}}{{MN}} = \frac{{MK}}{{MP}}.\)
\(\frac{{MH}}{{HN}} = \frac{{MK}}{{KP}}.\)
\(\frac{{HN}}{{MN}} = \frac{{MP}}{{KP}}.\)
\(\frac{{NH}}{{MN}} = \frac{{PK}}{{MP}}.\)
Đáp án đúng là: C
Theo định lí Thalès đảo nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Xét tam giác \(MNP\), nếu có một trong các tỉ số \(\frac{{MH}}{{MN}} = \frac{{MK}}{{MP}};\frac{{MH}}{{HN}} = \frac{{MK}}{{KP}};\frac{{NH}}{{MN}} = \frac{{PK}}{{MP}}\) thì \(HK\parallel NP\) (định lí Thalès đảo)
Vậy chọn phương án C.
Cho hình vẽ bên, biết \(MN\parallel BC,NP\parallel AB\).
Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\frac{{MA}}{{MN}} = \frac{{AB}}{{BC}}.\)
\(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{BP}}{{BC}}.\)
\(\frac{{CP}}{{BP}} = \frac{{CN}}{{AN}}.\)
\(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{NP}}{{AB}}.\)
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta ABC\) với \(MN\parallel BC\), ta có:
\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (hệ quả của định lí Thalès). Suy ra \(\frac{{AM}}{{MN}} = \frac{{AB}}{{BC}}\).
Do đó A là khẳng định đúng.
Xét \(\Delta ABC\) với \(NP\parallel AB\), ta có:
\(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{BP}}{{BC}}\) (hệ quả của định lí Thalès) do đó khẳng định B đúng.
\(\frac{{CP}}{{BP}} = \frac{{CN}}{{AN}}\) (định lí Thalès). Do đó, khẳng định C đúng.
\(\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{PN}}{{AB}}\) (định lí Thalès).
Ta có: \(AN \ne CN\) nên \(\frac{{AN}}{{AC}} \ne \frac{{CN}}{{AC}}.\)
Mà \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) và \(\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{PN}}{{AB}}\) nên \(\frac{{MN}}{{BC}} \ne \frac{{PN}}{{AB}}\). Do đó, khẳng định D là sai.
Cho \(\Delta ABC\) có \(BM\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)\(\left( {M \in AC} \right)\).
Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{BC}}{{MC}}.\)
\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{CM}}.\)
\(\frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AM}}.\)
\(AM = \frac{{AB.AC}}{{AB + BC}}.\)
Đáp án đúng là: C
Xét \(\Delta ABC\) có \(BM\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{CM}}\) (tính chất đường phân giác)
Do đó, \(\frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{MA}}\) và \(\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{BC}}{{MC}}.\)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{BC}}{{MC}} = \frac{{AB + BC}}{{AB + MC}} = \frac{{AB + BC}}{{BC}}\).
Suy ra \(AM = \frac{{AB.AC}}{{AB + BC}}.\)
Do đó, chọn phương án C.
Cho hình vẽ bên. Biết \(DE = 13{\rm{ cm}}\), độ dài đoạn thẳng \(HE\) là
\(5,5{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
\(6,5{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
\({\rm{7 cm}}{\rm{.}}\)
\({\rm{8 cm}}{\rm{.}}\)
Đáp án đúng là: B
Nhận thấy \(\widehat {DHK} = \widehat {HEK}\), mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \(HK\parallel EF\).
Mà \(DK = KF = 7{\rm{ cm}}\) nên \(K\) là trung điểm của \(DF\).
Suy ra \(HK\) là đường trung bình của tam giác \(DEF\).
Suy ra \(H\) là trung điểm của \(DE\).
Do đó, \(HE = DH = \frac{1}{2}DE = 6,5{\rm{ cm}}\).
Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng \(25{\rm{ m}}\). Nếu giảm chiều dài đi \(25{\rm{ m}}\) thì diện tích sẽ nhỏ hơn diện tích ban đầu là \(1{\rm{ }}000{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\). Gọi chiều dài ban đầu của miếng dất là \(x\) \(\left( {x > 25,{\rm{ m}}} \right).\)
a) Chiều rộng ban đầu của miếng đất là \(x - 25{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
b) Khi chiều dài giảm đi \(25{\rm{ m}}\)ta được chiều dài mới bằng chiều rộng ban đầu của mảnh đất.
c) Phương trình mô tả bài toán là \(x\left( {x - 25} \right) - \left( {x - 25} \right)\left( {x - 25} \right) = 1{\rm{ }}000\).
d) Diện tích ban đầu của mảnh đất là \({\rm{2 600 }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Đáp án đúng là: a) Đ b) Đ c) Đ d) Đ
Gọi chiều dài ban đầu của miếng dất là \(x\) \(\left( {x > 25,{\rm{ m}}} \right).\)
Chiều rộng ban đầu của miếng đất là \(x - 25{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Chiều dài của miếng dất sau khi giảm là \(x - 25{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Diện tích ban đầu của mảnh đất là: \(x\left( {x - 25} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích sau khi giảm chiều dài của mảnh đất là: \(\left( {x - 25} \right)\left( {x - 25} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Theo đề, diện tích sau khi giảm sẽ nhỏ hơn diện tích ban đầu là \(1{\rm{ }}000{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình:
\(x\left( {x - 25} \right) - \left( {x - 25} \right)\left( {x - 25} \right) = 1{\rm{ 000 }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Giải phương trình, ta có:
\(x\left( {x - 25} \right) - \left( {x - 25} \right)\left( {x - 25} \right) = 1{\rm{ 000}}\)
\({x^2} - 25x - {x^2} + 50x - 625 = 1{\rm{ 000}}\)
\(25x = 1{\rm{ }}625\)
\(x = 65\) (thỏa mãn).
Do đó, diện tích ban đầu của miếng đất là \(65.\left( {65 - 25} \right) = 2{\rm{ }}600{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(AB\) và \(CD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), \(E\) là giao điểm của \(MA\) và \(BD\), \(F\) là giao điểm của \(MB\) và \(AC\). Đường thẳng \(EF\) cắt \(AD,BC\) lần lượt tại \(H\) và \(N\). Biết \(AB = 7,5{\rm{ cm}}\), \(CD = 12{\rm{ cm}}\).
a) \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}}.\)
b) \(\frac{{BF}}{{FM}} = \frac{{AB}}{{MC}}.\)
c) \(HE = EF = FN\).
d) \(\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}} = \frac{9}{5}\).
Đáp án đúng là: a) Đ b) Đ c) Đ d) S
a) Vì \(ABCD\) là hình thang có hai đáy \(AB\) và \(CD\) nên \(AB\parallel CD\).
Vì \(AB\parallel DM\) (do \(AB\parallel CD\)) nên theo hệ quả của định lí Thalès ta có \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}}.\) (1)
b) Vì \(AB\parallel MC\) (do \(AB\parallel CD\)) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{BF}}{{FM}} = \frac{{AB}}{{MC}}.\) (2)
Lại có \(M\) là trung điểm của \(CD\) nên \(MD = MC\) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{BF}}{{FM}}\), theo định lí Thalès đảo ta có \(AB\parallel EF\).
c) Xét \(\Delta ADM\) có \(HE\parallel DM\) nên theo hệ quả của định lí Thalès ta có: \(\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}}.\)
Xét \(\Delta AMC\) có \(FE\parallel MC\), theo hệ quả của định lí Thalès ta có \(\frac{{FE}}{{CM}} = \frac{{AE}}{{AM}}.\)
Do đó, \(\frac{{FE}}{{CM}} = \frac{{HE}}{{DM}}\), mà \(DM = MC\) nên \(HE = EF\).
Xét \(\Delta BMC\) có \(FN\parallel MC\) nên \(\frac{{FN}}{{CM}} = \frac{{BF}}{{FM}}\).
Mà \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{BF}}{{FM}}\) nên \(\frac{{FN}}{{CM}} = \frac{{AE}}{{EM}}\) hay \(\frac{{FN}}{{CM}} = \frac{{AE}}{{AM}}\).
Suy ra \(\frac{{FN}}{{CM}} = \frac{{FE}}{{CM}}\) suy ra \(FN = EF\).
Vậy \(HE = EF = FN\).
d) Vì \(M\) là trung điểm của \(CD\) nên \(MD = MC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}.12 = 6{\rm{ cm}}\).
Theo câu a) ta có: \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}} = \frac{{7,5}}{6} = \frac{5}{4}\).
Suy ra \(\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4}.\)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4} = \frac{{AE + EM}}{{5 + 4}} = \frac{{AM}}{9}\).
Do đó, \(\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.\)
Mà theo câu c) \(\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.\)
Cho hàm số \(y = \frac{3}{2}{x^2} + x - 1.\) Tinh giá trị của biểu thức \(P = \frac{3}{2}f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) - 2f\left( {\frac{1}{2}} \right)\).
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: \(9,5\)
Ta có: \(f\left( 1 \right) = \frac{3}{2}.1 + 1 - 1 = \frac{3}{2}\); \(f\left( 2 \right) = \frac{3}{2}{.2^2} + 2 - 1 = 7\); \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{8}\).
Do đó, \(P = \frac{3}{2}f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) - 2.f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{2}.\frac{3}{2} + 7 - 2.\left( { - \frac{1}{8}} \right) = \frac{{19}}{2} = 9,5\).
Cho ba đường thẳng \(\left( d \right):y = 3x + 8\), \(\left( {d'} \right):y = 2x + 3\) và \(\left( {d''} \right):y = \left( {2m - 1} \right)x + m - 3\). Xác định giá trị của tham số \(m\) để ba đường thẳng đồng quy.
Đáp án: \(1\)
• Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\), ta có:
\(3x + 8 = 2x + 3\) hay \(3x - 2x = 3 - 8\) suy ra \(x = - 5\).
Thay \(x = - 5\) vào đường thẳng \(\left( d \right):y = 3x + 8\), ta được: \(y = - 7\).
Vậy giao điểm của hai đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) là \(A\left( { - 5; - 7} \right)\).
Để ba đường thẳng đồng quy thì \(\left( {d''} \right):y = \left( {2m - 1} \right)x + m - 3\) cũng đi qua điểm \(A\left( { - 5; - 7} \right)\).
Thay \(x = - 5\), \(y = - 7\) vào \(\left( {d''} \right)\) ta được:
\(\left( {2m - 1} \right).\left( { - 5} \right) + m - 3 = - 7\) hay \( - 10m + 5 + m - 3 = - 7\) hay \( - 9m = - 9\) suy ra \(m = 1.\)
Tính tổng tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( {{m^2} - 4} \right)x = m - 2\) vô nghiệm.
Đáp án: \(0\)
Để phương trình vô nghiệm, suy ra \({m^2} - 4 = 0\) hay \({m^2} = 4\), do đó \(m = 2\) hoặc \(m = - 2\).
Vậy tổng các giá trị \(m\) thỏa mãn là \( - 2 + 2 = 0\).
Cho tam giác \(ABC\), đường trung tuyến \(AM\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(AM,\)\(E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC,F\) là trung điểm của \(EC\). Biết \(AC = 9{\rm{ cm,}}\) hỏi độ dài của đoạn thẳng \(AE\) bằng bao nhiêu centimet?
Đáp án: \(3\)
Xét \(\Delta BEC\) có \(M,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,EC\) nên \(MF\) là đường trung bình của tam giác.
Do đó, \(MF\parallel BE\), hay \(MF\parallel DE.\)
Xét \(\Delta AMF\) có \(D\) là trung điểm của \(AM\) và \(MF\parallel DE\) nên \(DE\) là đường trung bình của tam giác, do đó \(E\) là trung điểm của \(AF\).
Suy ra \(AE = EF.\)
Mà \(F\) là trung điểm của \(EC\) nên \[EF = FC\], do đó \[AE = EF = FC\] hay \[AE = \frac{1}{3}AC = \frac{1}{3}.9 = 3{\rm{ cm}}{\rm{.}}\]
Cho hàm số \(y = \left( {m - 2} \right)x + 2\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right)\).
a) Xác định \(m\) để đường thẳng đi qua điểm \(A\left( { - 1;1} \right).\)
b) Với \(m\) vừa tìm được ở câu a) hãy tìm phương trình đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) song song với đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(3\).
Hướng dẫn giải
a) Thay \(x = - 1,y = 1\) vào đường thẳng \(\left( d \right)\), ta được:
\(\left( {m - 2} \right)\left( { - 1} \right) + 2 = 1\) hay \( - m + 4 = 1\) suy ra \(m = 3\).
Vậy với \(m = 3\) ta được đường thẳng \(\left( d \right):y = x + 2\).
b) Gọi đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = ax + b\).
Theo đề, đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) song song với đường thẳng \(\left( d \right)\) nên \(a = 1\).
Lúc này, ta có: \(\left( {d'} \right):y = x + b\).
Mà \(\left( {d'} \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(3\) nên \(\left( {d'} \right)\) đi qua điểm \(B\left( {0;3} \right)\).
Thay \(x = 0,y = 3\) vào \(\left( {d'} \right)\), ta được \(0 + b = 3\) suy ra \(b = 3.\)
Vậy \(\left( {d'} \right):y = x + 3.\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 8{\rm{ cm,}}\)\(AC = 6{\rm{ cm}}\). Có \(M,N\) là trung điểm của \(AB,AC\).
a) Tính độ dài \(BC,MN\).
b) Vẽ phân giác \(AD\) với \(D \in BC\). Tính độ dài \(BD\).
c) Chứng minh rằng \(BD.AN = AM.DC.\)
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)
\({8^2} + {6^2} = B{C^2}\)
\(B{C^2} = 100\) suy ra \(BC = 10{\rm{ cm}}\).
Có \(M,N\) là trung điểm của \(AB,AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
Do đó, \(MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.10 = 5{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
b) Có \(AD\) là phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) suy ra \(\frac{{BD}}{{DC + BD}} = \frac{{AB}}{{AC + AB}}\) suy ra \(\frac{{BD}}{{10}} = \frac{6}{{14}}\).
Do đó, \(BD = \frac{{10.6}}{{14}} = \frac{{30}}{7}{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
c) Có \(AD\) là phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Lại có \(MN\parallel BC\) suy ra \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) hay \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{DB}}{{DC}}\) hay \(BD.AN = AM.DC\) (đpcm).
Giải phương trình sau: \(\frac{{x - 1}}{9} + \frac{{x - 2}}{8} + \frac{{x - 3}}{7} = \frac{{x - 4}}{6} + \frac{{x - 5}}{5} + \frac{{x - 6}}{4}\).
Ta có: \(\frac{{x - 1}}{9} + \frac{{x - 2}}{8} + \frac{{x - 3}}{7} = \frac{{x - 4}}{6} + \frac{{x - 5}}{5} + \frac{{x - 6}}{4}\)
\(\frac{{x - 1}}{9} - 1 + \frac{{x - 2}}{8} - 1 + \frac{{x - 3}}{7} - 1 = \frac{{x - 4}}{6} - 1 + \frac{{x - 5}}{5} - 1 + \frac{{x - 6}}{4} - 1\)
\(\frac{{x - 10}}{9} + \frac{{x - 10}}{8} + \frac{{x - 10}}{7} = \frac{{x - 10}}{6} + \frac{{x - 10}}{5} + \frac{{x - 10}}{4}\)
\(\frac{{x - 10}}{9} + \frac{{x - 10}}{8} + \frac{{x - 10}}{7} - \frac{{x - 10}}{6} - \frac{{x - 10}}{5} - \frac{{x - 10}}{4} = 0\)
\(\left( {x - 10} \right)\left( {\frac{1}{9} + \frac{1}{8} + \frac{1}{7} - \frac{1}{6} - \frac{1}{5} - \frac{1}{4}} \right) = 0\)
Nhận thấy \(\left( {\frac{1}{9} + \frac{1}{8} + \frac{1}{7} - \frac{1}{6} - \frac{1}{5} - \frac{1}{4}} \right) \ne 0\) nên \(x - 10 = 0\) suy ra \(x = 10.\)
Vậy \(x = 10.\)
