Đáp án đúng là: B

Vận tốc của ô tô được biểu diễn theo \(x\) là \(x + 15{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Vì \(BC\parallel ED\) nên theo định lí Thalès, ta được: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}.\)

Đáp án đúng là: B

Nhận thấy \(\frac{{PC}}{{BP}} = \frac{{NC}}{{AN}}\) \(\left( {\frac{{12}}{{18}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}} \right)\) do đó \(NP\parallel BM.\)

Đáp án đúng là: B

Xét \(\Delta ABC\) có \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{CB}}\) nên \(DE\parallel AC\) (định lí Thalès đảo). Do đó (II) đúng.

Do \(D,E\) không là trung điểm của \(AB\) và \(BC\) nên \(DE\) không là đường trung bình của \(\Delta ABC\).

Do đó (I) sai và (III) sai.

Vậy chọn B.

Đáp án đúng là: A

Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) (do \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)) nên ta có:

\(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{3,5}}{{7,5}} = \frac{7}{{15}}\) (tính chất đường phân giác).

Do đó \(\frac{x}{y} = \frac{7}{{15}}.\)

Đáp án đúng là:                a) Đ         b) Đ         c) Đ        d) S

Gọi số học sinh của lớp \(9A\) là \(x\) \(\left( {0 < x < 80,x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Số học sinh của lớp \(9B\) là \(180 - x\) (học sinh).

Số sách lớp \(9A\) góp được là \(2x\) (quyển)

Số sách lớp \(9B\) góp được là \(3\left( {80 - x} \right)\) (quyển)

Theo đề, cả hai lớp góp được \(198\) quyển nên ta có phương trình \(2x + 3\left( {80 - x} \right) = 198\).

Giải phương trình, ta được:

\(2x + 3\left( {80 - x} \right) = 198\)

\(2x + 240 - 3x = 198\)

\(240 - x = 198\)

\(x = 240 - 198\)

\(x = 42\) (thỏa mãn)..

Do đó, số học sinh lớp \(9A\) là \(42\) học sinh.

Suy ra số học sinh lớp \(9B\) là \(80 - 42 = 38\) (học sinh).

Do đó, số học sinh lớp \(9A\) nhiều hơn số học sinh lớp \(9B\) là: \(42 - 38 = 4\) (học sinh)

Đáp án đúng là: a) Đ     b) Đ         c) Đ         d) S

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(DE\parallel BC\) nên theo định lí Thalès, ta có: \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}}.\)

b) Từ a) theo hệ quả của định lí Thalès, ta có:

\(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\) nên \(AE.BC = AC.DE\).

c) Xét \(\Delta ADC\) với \(EF\parallel CD\), theo hệ quả của định lí Thalès ta có:

\(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{EF}}{{CD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\).

Mà \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\) nên \(\frac{{EF}}{{CD}} = \frac{{DE}}{{BC}}\).

Đáp án: \(2\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) = {2.0^2} + 3 = 3\); \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 3 = \frac{7}{2}.\)

Do đó, \(C = 3f\left( 0 \right) - 2f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 3.3 - 2.\frac{7}{2} = 2.\)

Đáp án: \(0\)

• Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\), ta có:

\( - 2x = 1,5x + 7\) hay \( - 2x - 1,5x = 7\) suy ra \( - 3,5x = 7\).

Do đó, \(x = - 2\).

Thay \(x = - 2\) vào \(\left( {{d_1}} \right)\), ta có: \(y = 4\).

Do đó, giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) là \(A\left( { - 2;4} \right)\).

Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) cũng đi qua điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\).

Thay \(x = - 2,y = 4\) vào \(\left( {{d_3}} \right)\), ta được: \( - 2m + 4 = 4\), suy ra \(m = 0\).

Đáp án: \(1\)

Điều kiện \(4m + 3 \ne 0\) hay \(m \ne - \frac{3}{4}\).

Thay \(x = 0\) vào phương trình, ta được: \(\left( {4m + 3} \right).0 + m = 4{m^2} - 3\) hay \(m = 4{m^2} - 3\).

Suy ra \(4{m^2} - m - 3 = 0\) hay \(4{m^2} - 4m + 3m - 3 = 0\) nên \(\left( {m - 1} \right)\left( {4m + 3} \right) = 0\).

Suy ra \(m - 1 = 0\) hoặc \(4m + 3 = 0\) nên \(m = 1\) hoặc \(m = - \frac{3}{4}\).

Kết hợp điều kiện ta được \(m = 1\) thỏa mãn.

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn để \(x = 0\) là nghiệm của phương trình bậc nhất đã cho.

Đáp án: \(8\)

Ta có: \(BC = BD + DC\) nên \(DC = BC - BD = 21 - 9 = 12\).

Trong \(\Delta ABC\), \(AD\) là phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{6}{x} = \frac{9}{{12}}\) suy ra \(x = \frac{{6.12}}{9} = 8\).

Vậy \(x = 8\).

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(2x = - x + 3\) suy ra \(2x + x = 3\) hay \(3x = 3\).

Do đó, \(x = 1.\)

Thay \(x = 1\) vào \(\left( d \right):y = 2x\) ta được \(y = 2\).

Vậy giao điểm của hai đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) là \(A\left( {1;2} \right)\).

b) Thay \(y = 0\) vào \(\left( {d'} \right)\), ta được: \( - x + 3 = 0\) hay \(x = 3\).

Vậy giao điểm của \(\left( {d'} \right)\) với trục \(Ox\) là \(B\left( {3;0} \right)\).

Ta có đồ thị sau:

Từ đồ thị, ta có \(OB = 3\).

Chiều cao từ \(A\) xuống \(OB\) chính là \(2\).

Vậy diện tích của tam giác \(AOB\) là \(\frac{1}{2}.2.3 = 3\) (đvdt).

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABM\) có \(MD\) là phân giác của \(\widehat {AMB}\) nên \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác).

b) Xét \(\Delta AMC\) có \(ME\) là phân giác của \(\widehat {AMC}\) nên \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AE}}{{CE}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Từ phần a) ta có: \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) nên suy ra \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{CE}}\).

Do đó, \(DE\parallel BC\) (định lí Thalès đảo)

Ta có: \(\Delta ABC\) có \(DE\parallel BC\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\).

Suy ra \(AD.AC = AE.AB\) (đpcm).

c) Gọi \(I'\) là giao điểm của \(AM\) và \(DE\).

Ta có \(DI'\parallel BM\) suy ra \(\frac{{DI' & }}{{BM}} = \frac{{AI'}}{{AM}}\) (Hệ quả của định lí Thalès) (1)

         \(EI'\parallel CM\) suy ra \(\frac{{EI' & }}{{CM}} = \frac{{AI'}}{{AM}}\) (Hệ quả của định lí Thalès) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{DI' & }}{{BM}} = \frac{{EI'}}{{CM}}\) mà \(CM = BM\) (\(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\))

Suy ra \(DI' = EI'\).

Do đó \(I'\) trùng với \(I\).

Suy ra ba điểm \(A,I,M\) thẳng hàng.

\(\frac{{x - 1}}{{2015}} + \frac{{x - 3}}{{2013}} = \frac{{x - 5}}{{2011}} + \frac{{x - 7}}{{2009}}\)

\(\frac{{x - 1}}{{2015}} - 1 + \frac{{x - 3}}{{2013}} - 1 = \frac{{x - 5}}{{2011}} - 1 + \frac{{x - 7}}{{2009}} - 1\)

\(\frac{{x - 2016}}{{2015}} + \frac{{x - 2016}}{{2013}} = \frac{{x - 2016}}{{2011}} + \frac{{x - 2016}}{{2009}}\)

\(\frac{{x - 2016}}{{2015}} + \frac{{x - 2016}}{{2013}} - \frac{{x - 2016}}{{2011}} - \frac{{x - 2016}}{{2009}} = 0\)

\(\left( {x - 2016} \right)\left( {\frac{1}{{2015}} + \frac{1}{{2013}} - \frac{1}{{2011}} - \frac{1}{{2009}}} \right) = 0\)

Nhận thấy \(\left( {\frac{1}{{2015}} + \frac{1}{{2013}} - \frac{1}{{2011}} - \frac{1}{{2009}}} \right) \ne 0\) nên \(x - 2016 = 0\) suy ra \(x = 2016\).

Vậy \(x = 2016\).