Đáp án đúng là: B

Vậy nếu gọi thời gian đi của xe khách là \(x\) (giờ) thì thời gian đi của ô tô là: \(x - 1\) (giờ).

Đáp án đúng là: B

Có \(DE\parallel BC\) nên theo định lí Thalès, ta có: \(\frac{{CE}}{{EA}} = \frac{{BD}}{{DA}}.\)

Đáp án đúng là: B

Theo đề, có \(IK\parallel GH\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{FI}}{{FG}} = \frac{{FK}}{{FH}} = \frac{1}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là phân giác của \(\widehat {BAC}\) (do \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)), nên \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{DB}}\) (tính chất đường phân giác).

Do đó, \(\frac{y}{x} = \frac{9}{5}.\)

Đáp án đúng là: B

Xét \(\Delta ABC\) có \(K,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\) nên \(KF\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).

Do đó, \(AC = 2KF\) hay \(KF = \frac{1}{2}AC\).

Đáp án đúng là:                a) S          b) S         c) Đ        d) Đ

Gọi vận tốc riêng của ca nô là \(x\) (\(x > 3\), km/h).

Lúc này, vận tốc ca nô xuôi dòng là \(x + 3\) (km/h), vận tốc ca nô ngược dòng là \(x - 3\) (km/h).

Quãng đường ca nô xuôi dòng là \(\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right)\) (km) và quãng đường ca nô ngược dòng là \(2\left( {x - 3} \right)\) km.

Theo đề, ta có phương trình: \(\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)\).

Giải phương trình, ta được:

\(\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)\)

\(\frac{4}{3}x + 4 = 2x - 6\)

\(2x - \frac{4}{3}x = 4 + 6\)

\(\frac{2}{3}x = 10\)

\(x = 10:\frac{2}{3}\)

\(x = 15\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là \(15{\rm{ km/h}}\).

Đáp án: a) Đ  b) S         c) Đ         d) S

a) Vì \(AB\parallel CD\) nên theo định lí Thalès, ta có: \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{EB}}{{BC}}\).

b) Vì \(AB\parallel MN\) nên theo định lí Thalès, ta có: \(\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{{BE}}{{BN}}\).

c) Từ a) và b) ta có: \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{BN}}{{BC}}\) hay \(\frac{{AM}}{{BN}} = \frac{{AD}}{{BC}}\).

Lại có \(\frac{{AM}}{{BN}} = \frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{BE}}\) nên theo tính chất của tỉ lệ thức suy ra \(\frac{{AM}}{{BN}} = \frac{{AD - AM}}{{BC - BN}} = \frac{{MD}}{{NC}}\).

Do đó, \(\frac{{AM}}{{BN}} = \frac{{MD}}{{NC}}\) hay \(\frac{{AM}}{{DM}} = \frac{{BN}}{{BC}}\).

d) Từ c) ta có: \(\frac{{AM}}{{BN}} = \frac{{MD}}{{NC}} = \frac{{AD}}{{BC}}\) nên theo tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

\(\frac{{MD}}{{NC}} = \frac{{AM + MD}}{{BN + NC}} = \frac{{AD}}{{BC}}\) hay \(\frac{{DM}}{{NC}} = \frac{{AD}}{{BC}}\) hay \(\frac{{DM}}{{AD}} = \frac{{NC}}{{BC}}\).

Đáp án: \(0\)

Ta có: \(f\left( 1 \right) = \frac{2}{3}{.1^2} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = - \frac{1}{3};\) \(f\left( 0 \right) = \frac{2}{3}{.0^2} - 1 = - 1\).

Do đó, \(B = \frac{{3f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right)}}{2} = \frac{{ - 1 - \left( { - 1} \right)}}{2} = 0\).

Vậy \(B = 0.\)

Đáp án: \( - 1\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\), ta có:

\(x - 1 = - x + 1\) suy ra \(2x = 2\) và \(x = 1\).

Với \(x = 1\) thay vào \({d_1}\) được \(y = 0\).

Suy ra điểm \(A\left( {1;0} \right)\) là giao của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

Để để hai đường thẳng \({d_1}\) cắt \({d_2}\) tại một điểm thuộc đường thẳng \({d_3}\) tức là ba đường thẳng đồng quy.

Do đó, \(A\left( {1;0} \right) \in {d_3}\).

Thay \(x = 1\), \(y = 0\) vào \({d_3}\), ta được:

\( - 3a + 2a - 1 = 0\) hay \( - a - 1 = 0\) suy ra \(a = - 1.\)

Đáp án: \(3\)

Để \(\left( {{m^2} - 9} \right)x = m - 3\) có vô số nghiệm thì \({m^2} - 9 = 0\) và \(m - 3 = 0\).

• Xét \({m^2} - 9 = 0\), ta có: \(\left( {m - 3} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\), tức là \(m - 3 = 0\) hoặc \(m + 3 = 0\) nên \(m = 3\) hoặc \(m = - 3.\)

• Xét \(m - 3 = 0\) khi \(m = 3\).

Kết hợp điều kiện ta được \(m = 3\).

Vậy giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m = 3\).

Đáp án: \(24\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(D,E\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,AC\) nên \(DE\) lần lượt là đường trung bình của \(\Delta ABC\), do đó \(DE = \frac{1}{2}BC\).

Suy ra \(BC = 2DE = 2.4 = 8{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Vậy diện tích \(\Delta ABC\) là: \(\frac{1}{2}.8.6 = 24{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\), ta có:

\( - x + 1 = x + 3\) hay \(2x = - 2\) suy ra \(x = - 1\).

Thay \(x = - 1\) vào hàm số \(\left( {{d_1}} \right)y = - x + 1\), ta được: \(y = 2\).

Suy ra \(C\left( { - 1;2} \right)\).

Xét \(\left( {{d_1}} \right)y = - x + 1\), với \(y = 0\) suy ra \(x = 1\). Do đó, \(A\left( {1;0} \right)\).

Xét \(\left( {{d_2}} \right):y = x + 3\), với \(y = 0\) suy ra \(x = 3\). Do đó, \(B\left( {3;0} \right)\).

b) Gọi đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right):y = ax + b\).

Do \(\left( {{d_3}} \right)\) song song với \(\left( {{d_1}} \right)y = - x + 1\) nên \(a = - 1\).

Lại có \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua điểm \(B\left( {3;0} \right)\) nên có \(\left( { - 1} \right).3 + b = 0\) suy ra \(b = 3\).

Vậy đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) là \(\left( {{d_3}} \right):y = - x + 3\).

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác) .

Do đó, \(\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{BA}}\).

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{BA}} = \frac{{DC + DA}}{{BC + BA}} = \frac{{AC}}{{BC + AB}} = \frac{5}{{6 + 4}} = \frac{1}{2}\).

Do đó, \(AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.4 = 2{\rm{ cm}}\), \(CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.6 = 3{\rm{ cm}}\).

b) Xét \(\Delta BCD\) có \(CI\) là phân giác của \(\widehat {DCB}\) nên \(\frac{{DI}}{{BI}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) (tính chất đường phân giác).

Suy ra \(\frac{{DI}}{{BI + DI}} = \frac{1}{{2 + 1}}\) hay \(\frac{{DI}}{{DB}} = \frac{1}{3}\).

Lại có \(CE\) là phân giác của \(\widehat {ACB}\) nên \(\frac{{BE}}{{EA}} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{6}{5}\), suy ra \(\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{6}{{11}}\).

Có \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {CBA}\) nên \(\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{5}\), suy ra \(\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{2}{5}\).

c) Gọi \({h_1},{h_2},{h_3}\) lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ \(E\) đến \(BD\), độ dài đường cao kẻ từ \(D\) đến \(AB\), độ dài đường cao kẻ từ \(B\) đến \(AC\).

Ta có: \({S_{DIE}} = \frac{1}{2}{h_1}.DI;\)\({S_{DEB}} = \frac{1}{2}{h_1}.DB = \frac{1}{2}{h_2}.BE\) ;

          \({S_{ABD}} = \frac{1}{2}{h_2}.AB = \frac{1}{2}{h_3}.AD\); \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{h_3}.AC\).

Do đó, \(\frac{{{S_{DIE}}}}{{{S_{BDE}}}} = \frac{{{h_1}.DI}}{{{h_1}.BD}} = \frac{{DI}}{{DB}} = \frac{1}{3}\); \(\frac{{{S_{DEB}}}}{{{S_{BDA}}}} = \frac{{{h_2}.BE}}{{{h_2}.AB}} = \frac{{BE}}{{AB}} = \frac{6}{{11}}\); \(\frac{{{S_{DBA}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{h_3}.AD}}{{{h_3}.AC}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{2}{5}\).

Khi đó, \({S_{DIE}} = \frac{1}{3}{S_{BDE}} = \frac{1}{3}.\frac{6}{{11}}{S_{ABD}} = \frac{1}{3}.\frac{6}{{11}}.\frac{2}{5}{S_{ABC}} = \frac{4}{{55}}{S_{ABC}}\).

Suy ra \(\frac{{{S_{DEI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{4}{{55}}\).

Ta có: \(\frac{{x - 2}}{7} + \frac{{x - 1}}{8} = \frac{{x - 4}}{5} + \frac{{x - 3}}{6}\)

\(\frac{{x - 2}}{7} - 1 + \frac{{x - 1}}{8} - 1 = \frac{{x - 4}}{5} - 1 + \frac{{x - 3}}{6} - 1\)

\(\frac{{x - 9}}{7} + \frac{{x - 9}}{8} = \frac{{x - 9}}{5} + \frac{{x - 9}}{6}\)

\(\frac{{x - 9}}{7} + \frac{{x - 9}}{8} - \frac{{x - 9}}{5} - \frac{{x - 9}}{6} = 0\)

\(\left( {x - 9} \right)\left( {\frac{1}{7} + \frac{1}{8} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6}} \right) = 0\)

Nhận thấy \(\left( {\frac{1}{7} + \frac{1}{8} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6}} \right) \ne 0\) nên \(x - 9 = 0\) hay \(x = 9\).

Vậy \(x = 9.\)