Đáp án đúng là: A

Số tiền để bạn An mua bút là: \(25 - x\) (nghìn đồng).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\widehat B = \widehat E\), mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \(DE\parallel AB\). Ta có hệ thức sau: \(\frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\widehat M = \widehat A = 90^\circ \), mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \(MN\parallel AB\).

Do đó, ta có: \(\frac{{CM}}{{MA}} = \frac{{CN}}{{CB}}\) hay \(\frac{3}{{3 + 3}} = \frac{5}{{5 + x}}\) được \(\frac{5}{{5 + x}} = \frac{1}{2}\) suy ra \(5 + x = 10\) nên \(x = 5.\)

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy ở Hình 3, xét tam giác \(ABC\), có:

\(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\).

Do đó, \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác \(ABC\) có \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác) nên \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\).

Đáp án đúng là:                 a) Đ         b) Đ         c) S         d) Đ

Gọi tuổi của Minh hiện nay là \(x\) \(\left( {x \in \mathbb{N}} \right)\).

Theo đề, sau 24 năm nữa tuổi của Minh là \(x + 24\) (tuổi).

Sau 24 năm nữa tuổi của bố Minh là \(10x + 24\) (tuổi).

Sau 24 năm nữa thì tuổi bố chỉ gấp \(2\) lần tuổi Minh nên ta có phương trình:

\(10x + 24 = 2\left( {x + 24} \right)\)

Giải phương trình, ta được:

\(10x + 24 = 2\left( {x + 24} \right)\)

\(10x + 24 = 2x + 2.24\)

\(10x + 24 = 2x + 48\)

\(10x - 2x = 48 - 24\)

\(8x = 24\)

\(x = 3\) (thỏa mãn).

Do đó, tuổi của Minh hiện tại là 3 tuổi.

Suy ra tuổi của bố Minh hiện tại là \(3.10 = 30\) (tuổi).

Vậy hiện tại bố Minh \(30\) tuổi.

Đáp án đúng là: a) Đ     b) S         c) Đ         d) Đ

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(EG\parallel BM\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}\).

b) Xét \(\Delta DCN\) có \(BM\parallel CN\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}}\).

c) Có \(D\) là trung điểm của \(BC\) (do \(AD\) là trung tuyến của tam giác) nên \(DB = DC\).

Do đó, \(\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}} = 1\) nên \(DM = DN\).

Suy ra \(GM + GN = GM + GM + MN = 2GM + 2MD = 2GD\).

Lại có \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(AG = 2GD\).

Xét \(\Delta ACN\) có \(FG\parallel CN\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GN}}{{AG}}\).

Suy ra \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{MG}}{{AG}} + \frac{{GN}}{{AG}} = \frac{{GM + GN}}{{AG}} = \frac{{2GD}}{{2GD}} = 1\).

Do đó, \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1\).

d) Xét \(\Delta ABC\) có \(EG\parallel BM\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AM}}{{AG}}\).

Xét \(\Delta ACN\) có \(FG\parallel CN\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AN}}{{AG}}\).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AM}}{{AG}} + \frac{{AN}}{{AG}} = \frac{{AM + AN}}{{AG}} = \frac{{AG + GM + AG + GM + MN}}{{AG}}\)

\( = \frac{{2AG + 2GM + 2MD}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2\left( {GM + MD} \right)}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2GD}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2.\frac{1}{2}AG}}{{AG}} = \frac{{3AG}}{{AG}} = 3\).

Vậy \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{CA}}{{AF}} = 3\).

Đáp án: \(2,5\)

Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{ - 1 - 3}}{{ - \left( { - 1} \right) + 1}} = \frac{{ - 4}}{2} = - 2\);

\(f\left( { - 3} \right) = \frac{{ - 3 - 3}}{{ - \left( { - 3} \right) + 1}} = \frac{{ - 6}}{4} = \frac{{ - 3}}{2}\);

\(f\left( 0 \right) = \frac{{0 - 3}}{{ - 0 + 1}} = - 3\).

Do đó, \(A = f\left( { - 1} \right) + f\left( { - 3} \right) - 2f\left( 0 \right) = - 2 + \left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right) - 2.\left( { - 3} \right) = \frac{5}{2} = 2,5\).

Đáp án: \( - 2\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có:

\(4x + m + 2 = - 2x - 6 - 3m\)

\(4x + 2x = - 6 - 3m - m - 2\)

\(6x = - 4m - 8\)

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại một điểm của trục tung thì \(x = 0\).

Thay \(x = 0\) vào, ta được: \( - 4m - 8 = 0\) hay \(m = - \frac{8}{4} = - 2\).

Vậy \(m = - 2\).

Đáp án: \(2\)

Để phương trình \(\left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x = m - 2\) có vô số nghiệm thì \({m^2} - 3m + 2 = 0\) và \(m - 2 = 0\).

• Xét \({m^2} - 3m + 2 = 0\) hay \({m^2} - m - 2m + 2 = 0\), do đó \(\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\)

nên \(m - 1 = 0\) hoặc \(m - 2 = 0\).

Suy ra \(m = 1\) hoặc \(m = 2\).

• Xét \(m - 2 = 0\) suy ra \(m = 2\).

Kết hợp điều kiện ta có \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: \(8,1\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(AD\) là phân giác của \(\widehat {BAC}\) (do \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\) hay \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}.\)

Do đó, \(\frac{3}{5} = \frac{{DC}}{{8,5}}\) suy ra \(DC = \frac{{8,5.3}}{5} = 5,1\).

Khi đó, \(x = BC = BD + DC = 3 + 5,1 = 8,1\).

a) Nhận thấy hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) có hệ số \(2 \ne - 1\) nên chúng cắt nhau.

Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có:

\(2x - 1 = - x + 2\) suy ra \(3x = 3\) nên \(x = 1\).

Thay \(x = 1\) vào đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\), ta có \(y = 1.\)

Vậy ta có giao điểm \(I\left( {1;1} \right)\).

b) Gọi phương trình đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) là: \(y = ax + b\)

Theo đề, đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) song song với \(y = \frac{1}{2}x + 9\) nên có hệ số \(a = \frac{1}{2}\).

Vì \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua \(I\) nên ta có \(1 = \frac{1}{2}.1 + b\) suy ra \(b = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\left( {{d_3}} \right):y = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}.\)

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABC\), ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\({21^2} + {28^2} = B{C^2}\)

\(B{C^2} = 1225\) nên \(BC = 35{\rm{ cm}}\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là tia phân giác của góc \(BAC\) nên \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DA + DC}}{{AB + AC}} = \frac{{BC}}{{AB + AC}} = \frac{{35}}{{21 + 28}} = \frac{5}{7}\).

Suy ra \(DB = \frac{5}{7}.AB = \frac{5}{7}.21 = 15{\rm{ cm}}\) và \(DC = \frac{5}{7}.AC = \frac{5}{7}.28 = 20{\rm{ cm}}\).

b) Vì \(E\) là hình chiếu của \(D\) trên \(AC\) nên \(DE \bot AC\).

Mà \(BA \bot AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)).

Do đó \(DE\parallel AB\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(DE\parallel AB\) nên \(\frac{{EC}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{20}}{{35}} = \frac{4}{7}\) (Hệ quả định lí Thalès)

Do đó, \(DE = \frac{4}{7}AB = \frac{4}{7}.21 = 12{\rm{ cm}}\) và \(EC = \frac{4}{7}AC = \frac{4}{7}.28 = 16{\rm{ cm}}\).

c) Gọi \(F\) là giao điểm của \(BI\) với \(AC\).

Vì \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác nên \(BF\) là đường phân giác góc \(\widehat {ABC}\).

Do đó, \(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{21}}{{35}} = \frac{3}{5}\).

Suy ra \(FA = \frac{3}{5}FC = \frac{3}{8}AC = \frac{{21}}{2}{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Có \(AI\) là đường phân giác của tam giác \(ABF\) nên có \(\frac{{BI}}{{FI}} = \frac{{AB}}{{AF}} = \frac{{21}}{{\frac{{21}}{2}}} = 2\) (1)

Gọi \(GB\) cắt \(AC\) tại \(M\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(BM\) là đường trung tuyến, do đó \(\frac{{GB}}{{GM}} = 2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{GB}}{{GM}} = \frac{{IB}}{{IF}}\) suy ra \(IG\parallel FM\) hay \(IG\parallel AC\) (Theo định lí Thalès đảo).

Ta có: \(\frac{{x + 1}}{{15}} + \frac{{x + 2}}{{14}} = \frac{{x + 3}}{{13}} + \frac{{x + 4}}{{12}}\)

\(\frac{{x + 1}}{{15}} + 1 + \frac{{x + 2}}{{14}} + 1 = \frac{{x + 3}}{{13}} + 1 + \frac{{x + 4}}{{12}} + 1\)

\(\frac{{x + 16}}{{15}} + \frac{{x + 16}}{{14}} = \frac{{x + 16}}{{13}} + \frac{{x + 16}}{{12}}\)

\(\frac{{x + 16}}{{15}} + \frac{{x + 16}}{{14}} - \frac{{x + 16}}{{13}} - \frac{{x + 16}}{{12}} = 0\)

\(\left( {x + 16} \right)\left( {\frac{1}{{15}} + \frac{1}{{14}} - \frac{1}{{13}} - \frac{1}{{12}}} \right) = 0\)

Nhận thấy \(\left( {\frac{1}{{15}} + \frac{1}{{14}} - \frac{1}{{13}} - \frac{1}{{12}}} \right) \ne 0\) nên \(x + 16 = 0\) suy ra \(x = - 16.\)

Vậy \(x = - 16.\)