Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 4
6 câu hỏi
(1,5 điểm) Tìm \(x,y,z\) trong các tỉ lệ thức sau:
a) \(\frac{x}{{3,2}} = \frac{{2,5}}{{7,2}};\)
b) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) và \(x + y = - 32;\)
c) \(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}\) và \(x + y + z = 27.\)
Hướng dẫn giải
a) \(\frac{x}{{3,2}} = \frac{{2,5}}{{7,2}}\) do đó \(x = \frac{{2,5.3,2}}{{7,2}} = \frac{{10}}{9}\).
Vậy \(x = \frac{{10}}{9}\).
b) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) và \(x + y = - 32\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{x + y}}{{3 + 5}} = \frac{{ - 32}}{8} = - 4\).
Do đó, \(x = 3.\left( { - 4} \right) = - 12\) và \(y = 5.\left( { - 4} \right) = - 20\).
Vậy \(x = - 12\) và \(y = - 20\).
c) \(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}\) và \(x + y + z = 27.\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2} = \frac{{x + y + z}}{{4 + 3 + 2}} = \frac{{27}}{9} = 3\).
Do đó, \(x = 4.3 = 12;{\rm{ }}y = 3.3 = 9;{\rm{ }}z = 2.3 = 6\).
Vậy \(x = 12;y = 9;z = 6.\)
(2,0 điểm)
2.1. Bạn Tùng mua 12 gói bim bim với giá 5 nghìn đồng một gói để khao các bạn tổ I. Bạn Huy cũng dùng số tiền như của bạn Tùng mua 6 gói bánh để khao các bạn tổ II. Tính giá tiền mỗi gói bánh mà bạn Huy mua.
2.2. Trong đợt quyên góp sách ủng hộ các bạn vùng lũ miền trung, số sách quyên góp được của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt tỉ lệ với \(16;13;12.\) Tính số sách mỗi lớp quyên góp được biết rằng lớp 7A quyên góp nhiều hơn lớp 7C là \(12\) quyển.
Hướng dẫn giải
2.1. Gọi giá tiền một gói bạn Huy mua là \(x\) (nghìn đồng)
Vì số tiền mà bạn Tùng và Huy mua đồ là như nhau nên gói bánh, bim bim và giá tiền của nó là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Do đó, ta có \(12.5 = 6x\) suy ra \(x = \frac{{12.5}}{6} = 10\) (nghìn đồng)
Vậy giá gói bánh bạn Huy mua là 10 nghìn đồng.
2.2. Gọi số sách quyên góp được của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(x;y;z\) (quyển).
Vì số sách quyên góp được của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt tỉ lệ với \(16;13;12\) và lớp 7A quyên góp nhiều hơn lớp 7C là 12 quyển nên ta có: \(\frac{x}{{16}} = \frac{y}{{13}} = \frac{z}{{12}}\) và \(x - z = 12\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{{16}} = \frac{y}{{13}} = \frac{z}{{12}} = \frac{{x - z}}{{16 - 12}} = \frac{{12}}{4} = 3\)
Suy ra \(\frac{x}{{16}} = 3\) nên \(x = 48\); \(\frac{y}{{13}} = 3\) nên \(y = 39\); \(\frac{z}{{12}} = 3\) nên \(z = 36\).
Vậy số sách quyên góp được của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(48\) quyển, \(39\) quyển, \(36\) quyển.
(3,0 điểm)
3.1. Cho đa thức \(Q\left( x \right) = - 3{x^3} + x - {x^4} - 3 + {x^3} + 4x - 2{x^2}\).
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Chỉ ra hệ số cao nhất, hệ số tự do và bậc của đa thức.
c) Tính giá trị của đa thức \(Q\left( {\frac{1}{2}} \right),Q\left( 1 \right),Q\left( { - 1} \right)\).
d) Tìm đa thức \(T\left( x \right)\), biết \(T\left( x \right) - {x^4} + 2{x^3} - 5x = Q\left( x \right)\).
3.2.Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {\left( {x + 2014} \right)^2} + {\left( {y - 2015} \right)^2} + {\left( {z - 2016} \right)^2} + 2017\).
Hướng dẫn giải
3.1. a) Ta có: \(Q\left( x \right) = - 3{x^3} + x - {x^4} - 3 + {x^3} + 4x - 2{x^2}\)
\(Q\left( x \right) = \left( { - 3{x^3} + {x^3}} \right) - {x^4} - 3 + \left( {4x + x} \right) - 2{x^2}\)
\(Q\left( x \right) = - {x^4} - 2{x^3} - 2{x^2} + 5x - 3\).
b) Đa thức \(Q\left( x \right)\) có hệ số cao nhất là \( - 1\), hệ số tự do là \( - 3\) và bậc là \(4\).
c) Ta có: \(Q\left( {\frac{1}{2}} \right) = - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} - 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} - 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 5.\frac{1}{2} - 3\)
\(Q\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{{16}} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 3 = \frac{{ - 21}}{{16}}\).
\(Q\left( 1 \right) = - {\left( 1 \right)^4} - {2.1^3} - {2.1^2} + 5.1 - 3 = - 3\).
\(Q\left( { - 1} \right) = - {\left( { - 1} \right)^4} - 2.{\left( { - 1} \right)^3} - 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 5.\left( { - 1} \right) - 3 = - 9\).
d) Ta có: \(T\left( x \right) - {x^4} + 2{x^3} - 5x = Q\left( x \right)\) suy ra \(T\left( x \right) = Q\left( x \right) + {x^4} - 2{x^3} + 5x\)
Do đó, \(T\left( x \right) = Q\left( x \right) + {x^4} - 2{x^3} + 5x\)
\(T\left( x \right) = - {x^4} - 2{x^3} - 2{x^2} + 5x - 3 + {x^4} - 2{x^3} + 5x = - 4{x^3} - 2{x^2} + 10x - 3\).
Vậy \(T\left( x \right) = - 4{x^3} - 2{x^2} + 10x - 3\).
3.2. Ta có: \(A = {\left( {x + 2014} \right)^2} + {\left( {y - 2015} \right)^2} + {\left( {z - 2016} \right)^2} + 2017\)
Nhận thấy \({\left( {x + 2014} \right)^2} \ge 0\); \({\left( {y - 2015} \right)^2} \ge 0\); \({\left( {z - 2016} \right)^2} \ge 0\)
Do đó, \({\left( {x + 2014} \right)^2} + {\left( {y - 2015} \right)^2} + {\left( {z - 2016} \right)^2} + 2017 \ge 2017\) khi đồng thời \(x + 2014 = 0\); \(y - 2015 = 0\); \(z - 2016 = 0\).
Suy ra \(x = - 2014;y = 2015;z = 2016\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 2017\) khi \(x = - 2014;y = 2015;z = 2016\).
(1,5 điểm)
4.1. Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ bằng \({\rm{4 cm}}\), độ dài đáy lớn gấp đôi độ dài đáy nhỏ. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình thang cân, biết diện tích hình thang cân đó bằng \({\rm{18 c}}{{\rm{m}}^2}\).
4.2. Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng \(3{\rm{ cm}}\) và \(7{\rm{ cm}}\).
Hướng dẫn giải
4.1.
Ta có đáy nhỏ
\(AB = 4{\rm{ cm}}\) và độ dài đáy lớn gấp đôi độ dài của đáy nhỏ.
Do đó độ dài đáy lớn \(CD\) là \(4.2 = 8\) (cm)
Kẻ \(AH \bot CD{\rm{ }}\left( {H \in CD} \right)\), khi đó \(AH\) là chiều cao của hình thang cân \(ABCD.\)
Diện tích của hình thang cân \(ABCD\) bằng \(18{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\), suy ra \(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2} = 18\).
Mà \(AB = 4{\rm{ cm, }}CD = 8{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Suy ra \(S = \frac{{\left( {4 + 8} \right).AH}}{2} = 18\).
Vậy chiều cao của hình thang cân là \(AH = \frac{{18.2}}{{4 + 8}} = \frac{{36}}{{12}} = 3\).
4.2. Giả sử tam giác \(ABC\) có \(AB = 3{\rm{ cm, }}AC = 7{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: \(\left| {AB - AC} \right| < BC < AB + AC\).
Do đó, \(4 < BC < 10\).
Mà tam giác \(ABC\) cân nên suy ra \(BC = 7{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Vậy chu vi tam giác \(ABC\) là \(3 + 7 + 7 = 17{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
(1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) là trung điểm của \(AC\). Trên đoạn \(BM\) lấy điểm \(K\) sao cho \(MK = \frac{1}{2}KB\). Điểm \(H\) thuộc tia đối của tia \(MK\) sao cho \(BH = 2BK.\) Gọi \(I\) là điểm thuộc cạnh \(AC\) và \(IC = \frac{1}{3}CA\). Đường \(KI\) cắt \(HC\) ở \(E\).
a) Chứng minh \(I\) là trọng tâm của \(\Delta HKC\) và \(E\) là trung điểm của \(HC.\)
b) Tính các tỉ số \(\frac{{IE}}{{IK}};\frac{{MI}}{{AC}}\).
Hướng dẫn giải
a) Xét \(\Delta HKC\), có:
Ta có: \(BH = 2BK\) hay \(BK + KH = 2BK\) suy ra \(KH = BK.\)
Mà \(MK = \frac{1}{2}KB\) nên \(MK = \frac{1}{2}KH\) hay \(M\) là trung điểm của \(KH\).
Lại có: \(IC = \frac{1}{3}CA = \frac{1}{3}.2MC = \frac{2}{3}MC\) với \(MC\) là trung tuyến của \(\Delta HKC\).
Suy ra \(I\) là trọng tâm của \(\Delta HKC\).
Mà đường thẳng \(KI\) cắt \(HC\) ở \(E\) nên \(E\) là trung điểm của \(HC.\)
b) Ta có \(I\) là trọng tâm của \(\Delta HKC\) nên \(\frac{{IE}}{{KE}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{IK}}{{KE}} = \frac{1}{3}\) do đó, \(\frac{{IE}}{{IK}} = \frac{1}{2}.\)
Ta có \(\frac{{MI}}{{MC}} = \frac{1}{3}\) hay \(MI = \frac{1}{3}MC\).
Mà \(MC = \frac{1}{2}AC\).
Suy ra \(MI = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AC = \frac{1}{6}AC\).
Do đó, \(\frac{{MI}}{{AC}} = \frac{1}{6}.\)
(0,5 điểm) Chứng minh rằng nếu \(\frac{{a + b}}{{b + c}} = \frac{{c + d}}{{d + a}}{\rm{ }}\left( {c + d \ne 0} \right)\) thì \(a = c\) hoặc \(a + b + c + d = 0\).
Hướng dẫn giải
Vì \(\frac{{a + b}}{{b + c}} = \frac{{c + d}}{{d + a}}\) nên \(\frac{{a + b}}{{c + d}} = \frac{{c + b}}{{d + a}}\).
Suy ra \(\frac{{a + b}}{{c + d}} + 1 = \frac{{c + b}}{{d + a}} + 1\).
Do đó \(\frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{c + d}}{{c + d}} = \frac{{c + b}}{{d + a}} + \frac{{d + a}}{{d + a}}\) hay \(\frac{{a + b + c + d}}{{c + d}} = \frac{{c + b + d + a}}{{d + a}}\) (*)
Nếu \(a + b + c + d \ne 0\) nên từ (*) suy ra \(a + d = c + d\) suy ra \(a = c.\)
Nếu \(a + b + c + d = 0\) thì ta có tỉ lệ thức luôn đúng (\(a\) có thể bằng hoặc không bằng \(c\))
Vậy nếu \(\frac{{a + b}}{{b + c}} = \frac{{c + d}}{{d + a}}{\rm{ }}\left( {c + d \ne 0} \right)\) thì \(a = c\) hoặc \(a + b + c + d = 0\).
