Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Đề 6
15 câu hỏi
Mẫu thức chung của phương trình \[\frac{1}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 1}} = 0\] là
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).
\({\left( {x - 1} \right)^2}\).
\({\left( {x + 1} \right)^2}\).
\(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Mẫu thức chung của phương trình \[\frac{1}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 1}} = 0\] là \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình \[ - 4\left( {x - 5} \right)\left( {9 - 3x} \right) = 0\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[S = \left\{ { - 5;\,\,3} \right\}.\]
\[S = \left\{ {5;\,\, - 3} \right\}.\]
\[S = \left\{ { - 5;\,\, - 3} \right\}.\]
\[S = \left\{ {5;\,\,3} \right\}.\]
Giải phương trình:
\[ - 4\left( {x - 5} \right)\left( {9 - 3x} \right) = 0\]
\[\left( {x - 5} \right)\left( {9 - 3x} \right) = 0.\]
\[x - 5 = 0\] hoặc \[9 - 3x = 0\]
\[x = 5\] hoặc \[x = 3.\]
Như vậy, các nghiệm của phương trình đã cho là \[x = 5;\] \[x = 3.\]
Khi đó tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là \[S = \left\{ {5;\,\,3} \right\}.\]
Vậy ta chọn phương án D.
Phương trình nào sau đây không là phương trình bậc nhất hai ẩn?
\[\left( {x - 5} \right) + \left( {2y - 6} \right) = 0\].
\[5x - 3z = 6\].
\(5x - 8y = 0.\)
\[\left( {x - 2} \right)\left( {2y - 3} \right) = 3.\]
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \[ax + by = c\] với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).
Xét các phương án, ta thấy:
Phương trình \[\left( {x - 5} \right) + \left( {2y - 6} \right) = 0\] viết thành \(x + 2y = 11\), đây là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phương trình \[5x - 3z = 6\] là phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,z\).
Phương trình \(5x - 8y = 0\) là phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\)
Phương trình \[\left( {x - 2} \right)\left( {2y - 3} \right) = 3\] viết thành \[2xy - 3x - 4y = - 3\], đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ta chọn phương án D.
Cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 3}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 8}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 7}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 2y = 0}\\{x + y = - 5}\end{array}} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Cách 1. Để kiểm tra xem cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình nào, ta thay \(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào từng hệ phương trình:
⦁ Xét phương án A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 3}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\)
Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 - 2 \cdot \left( { - 3} \right) = 4 \ne 3\\2 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = - 7 \ne 4.\end{array} \right.\)
Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án A.
⦁ Xét phương án B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 8}\end{array}} \right.\)
Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\\ - 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7 \ne 8.\end{array} \right.\)
Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án B.
⦁ Xét phương án C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 7}\end{array}} \right.\)
Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\\ - 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7.\end{array} \right.\)
Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.
⦁ Xét phương án D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 2y = 0}\\{x + y = - 5.}\end{array}} \right.\)
Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}4 \cdot \left( { - 2} \right) - 2 \cdot \left( { - 3} \right) = - 2 \ne 0\\ - 2 + \left( { - 3} \right) = - 5.\end{array} \right.\)
Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án D.
Vậy cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.
Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của mỗi hệ phương trình.
⦁ Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 3}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\). Ta lần lượt bấm các phím
Như vậy, ta thấy rằng cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình này.
⦁ Tương tự như trên, ta tìm được \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.
Vậy ta chọn phương án C.
Bất đẳng thức \(m \le - 8\) có thể được phát biểu là
\(m\) lớn hơn âm 8.
\(m\) không nhỏ hơn âm 8.
\(m\) nhỏ hơn âm 8.
\(m\) không lớn hơn âm 8.
Đáp án đúng là: D
Bất đẳng thức \(m \le - 8\) có thể được phát biểu là \(m\) không lớn hơn âm 8.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
\(a < b\) và \(c > d\) thì \(a + b < c + d\).
>>
\(a < b\) và \(c > d\) thì \(a + c = b + d\).>
\(a > b\) và \(c > d\) thì \(ac > bd\).
\(a > b\) và \(c > d\) thì \(a + c > b + d\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(a > b\) thì \(a + c > b + c\)
\(c > d\) thì \(c + b > d + b\)
Do đó \(a + c > b + c > b + d\). Vậy ta chọn phương án D.
Khi biến đổi bất phương trình \[ - 15x + 4 \le 0\] về bất phương trình có dạng \(A\left( x \right) \ge B\), trong đó \(A\left( x \right)\) không chứa hệ số tự do, thì đa thức \(A\left( x \right)\) là
\[ - 15x + 4\].
\[ - 15x\].
\[15x - 4\].
\[15x\].
Đáp án đúng là: D
Theo bài, ta biến đổi được bất phương trình \[ - 15x + 4 \le 0\] về dạng \[4 \le 15x\] hay \(15x \ge 4.\)
Như vậy \(A\left( x \right) = 15x\).
Với giá trị nào sau đây của \(m\) thì phương trình \(x - 1 = 3m + 5\) có nghiệm dương?
\(m \ge - 2\).
\(m > - 2\).
\(m \le - 2\).
\(m < - 2\).
Đáp án đúng là: B
Giải phương trình \(x - 1 = 3m + 5\) ta được nghiệm của phương trình này là \(x = 3m + 6\).
Để phương trình có nghiệm dương thì \(x > 0\) hay \(3m + 6 > 0\)
Giải bất phương trình:
\(3m + 6 > 0\)
\(3m > - 6\)
\(m > - 2\).
Vậy ta chọn phương án B.
Cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\). Khi đó \(\cos \widehat {MNP}\) bằng
\(\frac{{MN}}{{NP}}\).
\(\frac{{MP}}{{NP}}\).
\(\frac{{MN}}{{MP}}\).
\(\frac{{MP}}{{MN}}\).
Đáp án đúng là: A
Xét \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\), ta có: \(\cos \widehat {MNP} = \frac{{MN}}{{NP}}\).
Cho \(\alpha = 40^\circ \) và \(\beta = 50^\circ .\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\sin \alpha = \sin \beta \).
\(\cos \alpha = \cos \beta \).
\(\tan \alpha = \cot \beta \).
\(\tan \alpha = \tan \beta \).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\alpha + \beta = 40^\circ + 50^\circ = 90^\circ \) nên \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc nhọn phụ nhau, do đó:
\(\sin \alpha = \cos \beta \) và \(\tan \alpha = \cot \beta \).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 10,\,\,\widehat C = 30^\circ .\) Số đo góc \[\widehat {B\,}\] và độ dài cạnh \(BC\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) bằng
\(\widehat B = 60^\circ ;\) \(BC = 20.\)
\(\widehat B = 60^\circ ;\) \(BC \approx 8,08.\)
\(\widehat B = 60^\circ ;\) \(BC \approx 11,55\).
\(\widehat B = 60^\circ ;\) \(BC \approx 14,14.\)
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có: \[\widehat {B\,} = 90^\circ - \widehat {C\,} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]. Ta có: \[\cos C = \frac{{AC}}{{BC}}\] hay \[BC = \frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{{10}}{{\cos 30^\circ }} \approx 11,55.\] Vậy \(\widehat B = 60^\circ ;\) \(BC \approx 11,55\). |
|
(2,0 điểm)
1. Giải các phương trình sau:
a) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) = \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right)\).
b) \(\frac{3}{{x + 1}} - \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{4x - 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\).
2. Giải các bất phương trình sau:
a) \(\frac{{6 - 4x}}{{ - 5}} < 1\).
b) \[{\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) > 2\left( {2x - 5} \right)\].
Hướng dẫn giải
1. a) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) = \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right)\) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) - \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) + \left( {6x - 7} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) \(\left( {6x - 7} \right)\left[ {\left( {3x + 4} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {4x + 3} \right) = 0\) \(6x - 7 = 0\) hoặc \(4x + 3 = 0\) \(x = \frac{7}{6}\) hoặc \(x = \frac{{ - 3}}{4}\). Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{7}{6};\) \(x = \frac{{ - 3}}{4}\). | 1. b) Điều kiện xác định: \(x \ne - 1\) và \(x \ne 2\). \(\frac{3}{{x + 1}} - \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{4x - 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\) \(\frac{{3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{2 - 4x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\) \(3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 2 - 4x\) \(3x - 6 - 2x - 2 = 2 - 4x\) \[x - 8 = 2 - 4x\] \[5x = 10\] \[x = 2\] (không thỏa mãn). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. |
2. a) \(\frac{{6 - 4x}}{{ - 5}} < 1\) \(\frac{{6 - 4x}}{{ - 5}} \cdot \left( { - 5} \right) > 1 \cdot \left( { - 5} \right)\) \(6 - 4x > - 5\) \( - 4x > - 11\) \[x < \frac{{11}}{4}\]. </></> | b) \[{\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) > 2\left( {2x - 5} \right)\] B. \[{x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 25} \right) > 4x - 10\] C. \[{x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 25 - 4x > - 10\] D. \[0x > - 39\] Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x \in \mathbb{R}\]. |
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \[x < \frac{{11}}{4}.\]
(2,5 điểm)
1. Tìm các hệ số \(x\) và \(y\) trong phản ứng hóa học đã được cân bằng sau:
\[x{\rm{Fe}}{\left( {{\rm{OH}}} \right)_3} \to {\rm{F}}{{\rm{e}}_2}{{\rm{O}}_3} + y{{\rm{H}}_2}{\rm{O}}.\]
Từ đó, hãy hoàn thiện phương trình phản ứng hóa học sau khi được cân bằng.
2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Một đoàn khách du lịch gồm 40 người dự định tham quan chùa Hương (Hà Nội) bằng cáp treo khứ hồi (gồm lượt lên và lượt xuống). Nhưng khi tới nơi có 5 bạn trẻ muốn khám phá bằng đường bộ khi leo lên còn lúc xuống sẽ đi cáp treo để trải nghiệm nên 5 bạn chỉ mua vé lượt xuống, do đó đoàn đã chi ra \[8{\rm{ }}450{\rm{ }}000\] đồng để mua vé. Hỏi giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé cáp treo 1 lượt là bao nhiêu? Biết rằng giá vé 1 lượt rẻ hơn giá vé khứ hồi là \[70{\rm{ }}000\] đồng.
(Giá vé tính tại thời điểm tháng 2 năm 2024)
Hướng dẫn giải
1. Vì số nguyên tử của \({\rm{Fe,}}\,\,{\rm{O}}\) và \({\rm{H}}\) ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\3x = 3 + y\\3x = 2y\end{array} \right.\)
Từ hai phương trình \(3x = 3 + y\) và \(3x = 2y\) ta có phương trình \(3 + y = 2y,\) suy ra \(y = 3.\)
Vậy \(x = 2\) và \(y = 3.\) Khi đó ta có phương trình phản ứng hóa học sau khi được cân bằng như sau:
\[2{\rm{Fe}}{\left( {{\rm{OH}}} \right)_3} \to {\rm{F}}{{\rm{e}}_2}{{\rm{O}}_3} + 3{{\rm{H}}_2}{\rm{O}}.\]
2. Gọi \(x\) (đồng) và \(y\) (đồng) lần lượt là giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé 1 lượt \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)
Do giá vé 1 lượt rẻ hơn giá vé khứ hồi là \[70{\rm{ }}000\] đồng nên ta có phương trình:
\(x - y = 70\,\,000.\,\,\,\left( 1 \right)\)
Do trong đoàn \(40\) người chỉ có \(5\) người mua vé cáp treo \(1\) lượt cho lượt xuống nên đã có \(40 - 5 = 35\) người mua vé cáp treo khứ hồi.
Khi đó, số tiền cần trả để mua \(35\) vé cáp treo khứ hồi và \(5\) vé cáp treo 1 lượt là: \(35x + 5y\) (đồng).
Theo bài, cả đoàn khách du lịch này đã chi ra \[8{\rm{ }}450{\rm{ }}000\] đồng để mua vé nên ta có phương trình:
\(35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000.\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 70\,\,000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình \(\left( 1 \right)\) với \(5,\) ta được hệ phương trình mới là: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 5y = 350\,\,000\\35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000.\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:
\(40x = 8\,\,800\,\,000,\) suy ra \(x = 220\,\,000\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 220\,\,000\) vào phương trình \(\left( 1 \right),\) ta được:
\(220\,\,000 - y = 70\,\,000,\) suy ra \(y = 150\,\,000\) (thỏa mãn).
Do đó hệ phương trình trên có nghiệm là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {220\,\,000;\,\,150\,\,000} \right).\)
Vậy giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé cáp treo 1 lượt lần lượt là \(200\,\,000\) đồng và \(150\,\,000\) đồng.
(2,0 điểm)
1. Cho hình vẽ bên. Tính số đo góc \(\alpha \) và các độ dài \(x,y\) (góc làm tròn đến độ và độ dài làm tròn đến hàng phần trăm).
2. Từ trên một ngọn hải đăng cao \(75\,\,{\rm{m}}\), người ta quan sát hai lần thấy một chiếc thuyền đang hướng về phía hải đăng với góc hạ lần lượt là \(30^\circ \) và \(45^\circ \) (xem hình vẽ). Hỏi chiếc thuyền đi được bao nhiêu mét giữa hai lần quan sát (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Hướng dẫn giải
1. Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(B\), ta có:
\(\tan \widehat {BAD} = \frac{{BD}}{{AB}} = \frac{3}{5},\) từ đó ta tìm được \(\alpha = \widehat {BAD} \approx 31^\circ \).
Suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} + \widehat {DAC} \approx 31^\circ + 37^\circ = 68^\circ \).
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), ta có:
⦁ \[BC = AB \cdot \tan \widehat {BAC} \approx 5 \cdot \tan 68^\circ \approx 12,38,\] suy ra \(x = CD = BC - BD \approx 12,38 - 3 = 9,38;\)
⦁ \(AB = AC \cdot \cos \widehat {BAC}\) suy ra \(y = AC = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {BAC}}} \approx \frac{5}{{\cos 68^\circ }} \approx 13,35\).
Vậy \(\alpha \approx 31^\circ ;\,\,x \approx 9,38\) và \(y \approx 13,35.\)
2. Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là \(CD.\)
Xét \(\Delta BCA\) vuông tại \(A\) ta có: \(AC = AB \cdot \cot \widehat {BCA} = 75 \cdot \cot 45^\circ = 75{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Xét \(\Delta DBA\) vuông tại \(A\) ta có: \(AD = AB \cdot \cot \widehat {BDA} = 75 \cdot \cot 30^\circ = 75\sqrt 3 {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là:
\(CD = AD - AC = 75\sqrt 3 - 75 \approx 55{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\).
Vậy chiếc thuyền đi được khoảng 55 mét giữa hai lần quan sát.
(0,5 điểm) Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là ba số không âm.
Chứng minh bất đẳng thức \({a^3} + {b^3} \ge {a^2}b + {b^2}a = ab\left( {a + b} \right).\,\,\,\left( 1 \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức (1), chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \frac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} + \frac{1}{{{c^3} + {a^3} + abc}} \le \frac{1}{{abc}}\).
Hướng dẫn giải
⦁ Với \(a \ge 0,\,\,b \ge 0,\,\,c \ge 0\) ta có:
\({a^3} + {b^3} - ab\left( {a + b} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) - ab\left( {a + b} \right)\)
\( = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2} - ab} \right)\)
\( = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)\)
\( = \left( {a + b} \right){\left( {a - b} \right)^2}\).
Với \(a \ge 0,\,\,b \ge 0,\,\,c \ge 0\) ta thấy rằng \(a + b \ge 0\) và \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\)
Do đó \(\left( {a + b} \right){\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) hay \({a^3} + {b^3} - ab\left( {a + b} \right) \ge 0\) nên \({a^3} + {b^3} \ge {a^2}b + {b^2}a = ab\left( {a + b} \right).\,\,\,\left( 1 \right)\)
Như vậy, bất đẳng thức (1) đã được chứng minh.
⦁ Áp dụng bất đẳng thức (1) cho \(a \ge 0,\,\,b \ge 0,\,\,c \ge 0,\) ta có:
\({a^3} + {b^3} + abc \ge ab\left( {a + b} \right) + abc = ab\left( {a + b + c} \right);\)
\({b^3} + {c^3} + abc \ge bc\left( {b + c} \right) + abc = bc\left( {b + c + a} \right);\)
\({c^3} + {a^3} + abc \ge ca\left( {c + a} \right) + abc = ca\left( {c + a + b} \right)\).
Suy ra \[\frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} \le \frac{1}{{ab\left( {a + b + c} \right)}};\,\,\,\frac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} \le \frac{1}{{bc\left( {b + c + a} \right)}};\,\,\,\frac{1}{{{c^3} + {a^3} + abc}} \le \frac{1}{{ca\left( {c + a + b} \right)}}.\]
Khi đó, \(A = \frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \frac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} + \frac{1}{{{c^3} + {a^3} + abc}} \le \frac{1}{{ab\left( {a + b + c} \right)}} + \frac{1}{{bc\left( {b + c + a} \right)}} + \frac{1}{{ca\left( {c + a + b} \right)}}\)
Hay \(A \le \frac{c}{{abc\left( {a + b + c} \right)}} + \frac{a}{{abc\left( {a + b + c} \right)}} + \frac{b}{{abc\left( {a + b + c} \right)}}\)\( = \frac{{a + b + c}}{{abc\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{1}{{abc}}.\)
Vậy bất đẳng thức \(\frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \frac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} + \frac{1}{{{c^3} + {a^3} + abc}} \le \frac{1}{{abc}}\) được chứng minh.
